Institutiones geometricae in usum adolescentium adornatae auctore Raynerio Bonaventura Martini pisano in patria academia publico theoreticae medicinae professore

101쪽

distinctae sint , vel smul coniunctae , Fel altera 4 pars

alterius , huiu modi exueeaione semper intelligi debet parallelogrammum C ABD lateribus CA', AB norm liter avnct s tomorehensum . quibus lateribus semper aequantur op

posita BD , DC prioribus illis parallela. . . p ROPOSITIO 'L XX v III.

a 31. Dato quot bet parallelograivino AC EF si ducantur. normales ΑΒ , FD , unde rectanguluin ABDF. et rin et tur , rectingulum erit ad parallelogrammi in eandem habLns basim AF m ratione aequali Mis D. 13- λ Ducta en m eri quovis . puincto N recta NR ipsi. AF parallela , erit semper Nam PR , aequantur enim ipsi AF , unde consigendo omnes smul rectae in rectangulo ad omnes simul rectas in parallelogrammo , scilicet rectangulum erit ad parallelogrammum in ratione aequalitatis.

pROPOSITIO LXXIX. Parallelogramma eandem altitudinem hab Ptia sunt inter se ut bases tri. 1 - Per quodlibet punctum H agatur recta ΗΚΗ basi BG parallela . erit ergo semper Η BC . & Κ'd z: CG , unde ΗΚ : BC α xui CG , & permulando ΗΚ : ΚΜ Galle : Co , quare conligendo omnes simul rectae in parato telogrammo ABCD ad omnes simul rectas in parallegrammo DCGF . ut . basis BC ad bas .n CG , scilicet parallelogra in-miim ABCD ad parallelogrammum DCGF erit in ratione bainseos BC ad basim CG.

102쪽

& hoe semper , unde conligendo omines fili ut rectae paral-Ielae in triangulo ABC erunt ad omne' sit . ut parallelas in triangulo ECG nempe triangulum ABC erit ad trianguis

tum ECG ur bass BC ad basim CG. COROLLARIA. II ine si parallelogramma AC EF , GHKM R. 13.

habuerint bises aequales , altitudines. vero , sive perpendiculare AB , Gl inaequales , erunt parallelogramma inter se. ut eaedem altitudines sive perpendiculares . Duelis nam

que perpendicularibus FD , ML , completisque rectangulis AD DF , GIL M in te ligatur latus , vel perpendicularis ABian quam basis rectanguli GIL I, erit ergn rectanstulum ABDF ad rectangulum GIL. t ut basis AB ad basim Gl , quare Separallelogrammum A CEP ad parallelogrammum GHKM est ut perpendicularis, sive altitudo AB ad altitudinem GI. Idem similiter demonstrab tur de triangulis. 13s. Quod si parallelogramma, & triangula eandem ha

beant. bi sina , vel bases aequales , εc eandem pariter habeant alii tudinem , scilicet in iisdem sint parallelis , erunt in ter se aequalia . Cum enim parallelogramm , Se triangula ejusdem altitudinis sint inter se ut bases , si hae ponantur

aequales , parallelogramma quoque , dc triangulae erum aequalia .

,36. Quod si parallelogramma de triangula sint aequalia,& bases habeant aequales, eandem pariter habebunt altitudinem , scilicet in iisdem erunt parallelis. Contra vero si silet in t aequalia , di eandem habeant altitudinem , nempe in iisdem parallelis constituantur , eandem habebunt basin ;s enim sive ii iii iudines , sive bases inaequales serent , pa-- ralles gramma ipsa , vel triangula esstat inaequalia.

103쪽

13r. Paral Ielogram. ma AD , DG inter se aequalia . stangulum BDC aequalem angulo EDF habentia latera habent reciproce proportionalia , scilicet est CDr DE FD : DB ,& si habeant latera reciproce proportionalia , sunt inter se aequalia n. ss, Producantur latera AB , GE usque ad concursum in Η . Est quidem parallelogrammum AP ad parallelugram. im BE , ut basis CD ad basin DE , eademque ratione parallelogrammum GD est ad parallelogrammum EB ut bilis FD ad bifim DB . Sed ex hypothesi aequantur parallelo. gramma AD, GD, qaare eandem habent ad parallelogram. mum D H rationem , ratio igitur i psius CD : DE eadem est eum ratione FD : DS , est nempe CD : DE FD rDe. bd si fuerit CD : DE α FD r DB erit parallelogrammum AD ad parallelogrammum BE ut parallelogram. mum GD ad parallelogrammum BE ; unde parallelogram. mum AD aequatur parallelogrammo DG . Eadem plane est demonstratio pro triangulis . Nam triangula CBo , EBosunt in ratione basium CD , DE , triangula vero FED , BED in ratione FD : DB.

COROLLARIA.

138. In parallelogrammis igitur & triangulis aequalibus altitudines sunt basibus reciprocae , & si altitudines sint basibus reciprocae , parallelogramma , & triangula aequalia sunt inter se . Si igitur quatuor rectis proportionales fuerint , nempe CD : DE - FD : DB , rectangulum sub eκtremis

CD , DB aequatur rectangulo sub mediis OE , - FD , M

104쪽

contra . Facto enim rectangulo AD sub exrtemῖs , & DG sub mediis cum sint recti anguli ad D , & rectangulorum latera reciproce proportionalia , ipsa erunt inter se aequa. Ita . Contra cum rectangula AD , DG aequales habeant angulos, & sint inter se aequalia, erit CD : DE diu FD : DB. 13ς. Si lineae proportionales fuerint tres , quadratum

mediae aequatur rectangulo sub extremis . Si enim pona tur DE DF , ut sint tres proportionales CD . DE , DB erit CD r DE FD : DB , quare eum sit rectus angulus ad D tum in quadrato , tum in rectangulo , quadratum DG aequatur rectangulo CB. a o. Hi ne consequitur in circulo ARBE D. xi. γ qua.dratum normalis Αο aequari rectangulo EOR , quod alibi analytice enunciavimus . Consequitur praeterea in trian. gulo rectangulo quadratum hypollienuste aequari quadratis laterum rectum angulum comprehendentium . Et quidem in triangulo rectangulo EAR cum sit OR : RA m : RA: RE, erit RAst aer ERO , itemque eum sit Eo : EA ra EA : ER ,

a r. Unde patet , quod si trianguli latera rectum angulum comprehendentia sint inter se aequalia , quadratum hypothenusae duplum erit quadrati , quod sub altei uirula iere conssiluitur.

lium aequalia esse quadrata I quod quidem patet e X superis politionis principio . Nam si lineae snt aequales , & una alteri superponatur , congruent ipsae inter se; Cum ergo

M anguli sint aequales nempe recti, congruent & ipsi inter, se i

105쪽

8 se , ideoque totum quadratum congruet toti quadrato ; Quinis imo quadratorum aequalium aequales sunt lineae ; Aequa. lia enim quadrata congruunt inter se . ob aequalitatem angulorum , igitar & lineae λ alias unum quadratum altera maius esset .

a 3. Ceterum huiusce propositionis beneficio theoria pra. portionis linearum demonstrari posset , ut de se patet.

a 44. Propositis quotcumque quadralis unum omnibul aequale construere t n. ss. Proposia sint ima quadrata, quorum latera sint LM , P . in. Fiat angulus .rectus FGH infinita habens latera, in eaque transferantur GF π: LM , & GE m P . & jungatur EF , erit EFq LMq - Pq. Tum EF transseratur ex G in Z , & Qin GX , S iungatur ZN , erit ZX ZGr - GXrm LMq- rq in. PROPOSITIO LXXXII. a 4s. Datis duabus rectis inaequalibus RC , Co exhibere quadratum , quo quadratum majoris RC excedit quadratum minoris CG R. o. Centro C intervallo CR describatur cireuius , & In dia. metro RE a centro C versus E ponatur Co. Ex o erigatur normalis OA occurrens peripheriae in A, erit OA ex-

Dura

106쪽

les, ac proinde recti.

a r. Latus quadrati est diametro incommensurabile , scilicet latus , & diameter nullam habent mensuram communem. Cum enim diameter sit hypothenusa trianguli rectanguli. cuius latera aequantur inter se , quadratum diametri aequatur duplo quadrato lateris . Sed radix quadrata dupli numeris exprimi non potest, ut constat ex arithmetieis, quare u quadrali latus numeris eXprimatur , exprimi non poterit diame. ter , & viceversa.

107쪽

PROPOSITIO L X X X V., o. Dato triangulo BDC , positaque Co media proportionali inter BC , CD , & radio CO descripto arcu OK, ductaque chorda KO , erit triangulum C OK aequale trian

Est enim BC : Co zz CL : CD, nempe circa commuis nem angulum C latera eorundem triangulorum sunt reciproca , ae proinde triangula ipsa sunt aequalia.

PROPOSITIO LXXXVI.

30. Parallelogramma CB , D G, ut & triangula BDC, EDF angulum CDB aequalem angulo FDE habentia sunt in ratione laterum composta. Adsumatur recta LM quarta proportional Is tribus rectis DB , DF , DE, erit parallelogramimim CB ad para I. lelogrammum DG ut CD r LM . Productis enim Iateribus AB , GE usque ad ipsorum concursum in II est paralle Ioiagrammum CB ad parallelograminum BE ut basis CD I. DE . Item parallelogrammum ΒΕ est ad parallelogrammum DG ut DB di DF. Sed DB : DF DE : LM , quare paralle Iogrammum BE ad parallelograminum DG est ut DE: LM, hinc tria parallelogramma CB , BE , DG sunt ex aequo ordinate ut tres rectae CD , DE , LM , unde erit primum CB ad tertium GD ut CD : LM . Quoniam vero triangula sunt semimes parallelogrδmmorum , ut alibi ostenis

demus , quod de his deaeonstratum est de illis quoque com

108쪽

Is r. Adnotandum file est parallelogramma & triangula licet nullum habeant angulum aequalem , tamen esse in ratione basium , & altitudinum composita , quod quidem ut supra demonstratur sumta quarta proportionali post alii. tudinem primi , & alii ludinem secundi, nec non basim elusidem secundi .

tudinem triangulorum FEA , AEG . Itaque quoniam ΑC . Fg α CB e BE , ut autem CA : GE Cor DE , erit ratio composita ex AC : FE , & ex CD : DΕ eadem quae componitur ex CB : BE , & ex CD : DE. Sed ratio comis posita ex AC r FE , & ex ΑC : GE est ratio ipsius CAqad rectangulum FEG , hoc est ad AEq, eomposita vero ex ratione CB e BE, & ex ratione CD : DE eadem est quae

109쪽

M PROPOSITIO LXXXVIII. as . Figurarum similium perimetri sunt ut latera homo laga n. 4 9.

Est AE: ED α aer ed, k permutando Ae r ae ED: M. Item ostenditur esse BD et eι α DC: de , & DC: de CB: eb ; de CBr eb BA: ba, ergo summa antecedentium ad summam consequentium , idest ΑΕ -- ED -- DC -, CB-. ΒΑ : ae - ed -- δε - c. - bs ' AB: ab, scilicet peri. meter primae figurae est ad perimetrum secundae ut latus homologum AE ad latus homologum ae .

PROPOSITIO L X X X I X. In triangulis similibus superfietes sunt in ratione du.

plicata, vel ut quadrata laterum homologorum. Constructis enim quadratis AD, ad supra rectas AC, ae,

quod facile obtinetur, si ex punctis C, A erigantur norma. les CD, AE aequales ipsi AC, & iungatur Eo, idemque fiat supra ae . ductis diagoniis AD, ad , triangula ABC, DC A utpote eandem basim AC habentia erunt ut altitudines, nempe ABC, DC A ra BQ : CD, sive AC eademque ratione aberdea Σα b. et ac, quue ABC; DCA abe: dea, & permutando ABC et abς αα DC A et Ba CE: ce.

COROLLARIA. Exinde ostendi potest polygona similia , seu similes

figuras plurium laterum esse itidem in ratione duplieata laterum vomologorum . Cum enim quodlibet latus primi polygoni proportione respondeat lateri alterius homologo , erunt pariter singula latera prioris, sive tora ejus perimeler ad singula Disisti Cooste

110쪽

prio is ad homologum latus posterioris. Cum a Liem sit trian.

gulum ABC ad triangulum abe in ratione duplieata BC: be, 6etriangulum CAD ad Od in ratione pariter duplicata CD: σου, quae est eadem cum ratione BC: be , denique triangulum D Α E: ae in ratione duplicata DE : de . seu CD: M, erunt singula triangula po 'reoni ABCDE ad singula triangula alterius tromitis aberi. sive polygonum ABCDE ad simile polygonum αεcde in duplicata ratione laterum homologorum . 17. Unde illud consequitur , quod si propositis tribus reis Ois continue propnrtionalibus describantur quaelibet figurae sim: les super prima, & secunda, erit figura, qu/e super

prima describitur, ad figuram quae describitur super secun . da ut prima ex tribus reclis ad tertiam . Nam prima figuis ra ad secundam. est in ratione duplicata primae rictae ad secundam . Sed ratio primae ad tertiam est pariter duplicata rationis primae rectae ad secundam, ergo patet propositum.118 Quoniam ergo in triangulo rectangulo 46.

ducta a vertice anguli recti normali AD in basim est BC iCA α CA : CD erit figura super hypothenusa BC deseri. pia ad similem figuram supra latus AC ut BC: CD; eadem. que ratione eadem ipsa fistura supra BC ad similem figuaram supra AB erit ut BC: BD, ergo figura supra BC ad similes figuras supra latera AC , AB erit ut BC t BO DC, scilicet in ratione aequalitatis.

si recta Est utcumque dividatur in o , rectanguis Ium RE X EO ad Eo1 -- ROE est in ratione aequalitatis