Institutiones geometricae in usum adolescentium adornatae auctore Raynerio Bonaventura Martini pisano in patria academia publico theoreticae medicinae professore

91쪽

ctique rectis GF, I D se invicem secantibus in puncto C, junctaque R C, & producta usque ad basim in puncto E, erit haec harmonice secta in punctis C , B . Est enim ER: RB z: GR: RD α GH: DF αα GC: CF EC : CE , unde constat propositum.

COROLLARIUM. O . Quoniam vero est GE: DB zz ER: RB: - EC r C

α GE: BF, vel EH: DB , erit DB α BF , & GE α EH. PROPOSITIO LXV. s. s. Si recta AB secta sit harmonice in punctis A, C.

D, B per harmonica iss AE , CE, DE, BE, quae vel in idem punctuin convergant, vel sint inter se parallelae, quae. Iibet alia recla MN quoquo modo ducta, & ab extremis harmon calibus AE, EB i et minata et it ab iisdem harmonice secta sit. 38. Si rectae harmonicales sint parallelae, evidens est quod

elim lineae rectae ad se invitem inclinatae in eadem ratione

dividantur, proindeque cum sit AB a BD:α MN: NIL , & AC; D

92쪽

CD π VH. et I K, erit MN: NΚ π MΗr ΗΚ, quare recta MN sicatur harmonice ab iisdem reo s. Si harinioni calis conveniant in eodem plancto E n. 43. ducatur per quodlibet punctum D recta GDF parallela alteri ex harmonicalibus AE secans EB in F, & producta EC in G. erit DF DG , quare si per quodvis aliud putidium Κejusdem rectae ED ducatur ΗΚ L eidem AE parallela .cans qua nil bet aliam MN ductam per idem punctum Κ, ita &ipsa secabitur a ricta ED in Κ, ut st ΗΚ α ΚL; erit ergo EM: Lκ EM: ΗΚ; sed EM : L MN: NK, de EM: ΗΚ π MO: OK, quare MN: NΚ - MΟ t CK , unde ipsa MN seeabitur harmonice in punctis O , Κ ab hisce harnis nitalibus.

stos. Η ne liquet rectas harmonieales EA, EC, ED, ES in eodem puncto E coeuntes ita dispositas esse, ut per quodlibet punctum alterius ex iisdem ducta qua Lbet recta alteri ipsarum parallela ab aliis bifariam secetur. ao . Quod si contra quatuor rectae ita disponantur ut si ab eodem puncto E procedant , & ducta aliqua recta ipsi rumalteri paralleli bisariam secetur ab aliis tribus, quatuor illae erunt harmonicales.

PROPOSITIO LXVI.

Si ab aliquo puncto E extra rectam AB eonirhara monice stelam accepto ducantur ad puncta divisionum rectae EA , EC , Eo , EB , & a puncto D agatur DF ipsi AE parallela . quae DF eonveniat in puncto F cum Eff& 'in puncto G cum EC producta , erunt rectae GD , AE, DE coEliaue proportionales. Cura Diuili od by Cooste

93쪽

Cum enim similia sint triangula EBA, FBD, nee non triangula ECA , GCD , erit ΑΕ : DF α AB: BD α DCrCA DG : AE , unde DG : ΑΕ π: AE : DF. PROPOSITIO LXVII. Lo . . Si a puncto F ducatur FC convenitari eum ΕΑ

in puncto P , erunt etiam continue proportionales ires re.

xto. In triangulis aequiangulis ABC , abe ductis ab ae. qualibus angulis B, b normalibus ad opposita latera AC; ae, erit Bin: bl m AC et ac tu. 4'.

Cum enim hypothesi sit angulus Α α α , & anguli

AQB , a b sint recti , triangui AQB , aqb erunt aequi an gula . quare ΑΒ et ob ra BQ Fq . Sed est AB: ab - Aciar, ergo B bq AC: ae. PROPOSITIO LXIX. diis. Si duae figurae similes in triangula per dἰagona.

Ies ex angulis homologis ductas utcumque dividantur , tri. angula homologa erunt smilia. In figuris ABCDE , abede sit angulus A a, B α β C - e , D d , E - e , sique AB et ab m BC : be ΣαCD : ed Σα DE : de ne EA : ea , ductis diagoniis AC, ας,& A D , ad , smilia erunt triangula ABC , abe , & ACD , aed, nec non ADE , ais , aequales sunt enim anguli B, & b,& lateribus proportionalibus conlprehenduntur , unde s milia sunt Diqiligod by Cooste

94쪽

eas . Item ostenditur angulos A CD , aes , & ADC , ad aequari in ter se , adeoque triangula ACD , aca sunt ae. quiangula.

PROPOSITIO L X X. v . Duae quaelibet figurae similes sunt , si in trian.

gula aequiangula resolvi possint. Enim vero ob angulos aequales in tria8gulis aequiangulis aequantur anguli homologi in unaquaque figura . Cum ergo figurarum Iatera sint Ialera Iriangulcrum aequiangulo. ruin proport onalia , si gurae similes sunt.

COROLLARIA.

at 3. Ex duabus hisce propositionibus , atque, ex modo describendi angulum altei i angulo aequalem tonligitur ra. io , qua super data recta ED rectilineum EDCBA seu fi gura reelorum laterum similis , de similiter posita datae si gurae rectilineae edeba construatur. Resoluto namque rectili. neo dato edeba in triangula aes , ais , acb super recta EDfiat angulus D EA dea , & angulus EDA m eri , de inode angulus ADC α ais , & angulus DAC dae . deni. que construatur angulus CAB die ea. , & ACB acb, erit figu ra te eli linta ED CBA similis ae similiter posita datae edeba. Cum enim triangula AED , aed snt aequiangula. habebunt circa angulos D , d Iatera proportionalia , nempe et it ED : DA α es : da , & cum sit angulus ADC die a/e . & DAC m dae, erit pariter angulus A CD m aed. Cum

95쪽

erit ex aequo ordinate ED : DC ei: de . Eodem modo ostendetur DC : CB - de ι eb, & CB : BA eb : ba , &BΑ : AE et: ba : ae , denique AE : ED m M: et , unde constat propositum.

De Proportionibus linearum recZarum quoad positionem earundem resiectu circuli.

xi . YN sem:circulo ADEA si ex centro C erigatur CF 1 normalis diametro AB, & ducatur quaelibet BF seis eans circulum in puncto E . & recta AE secans CF in puncto G , erit FC : CD DC: CG M. 1 f. Sunt enim triangula BCF , Α GC similia . Nam rectus angulus FCB est ACG, & angulus E FC α GΑC . itaque FC : CB α ΑC : CG ; sunt autem rectae CB , &AC aequales ipsi CD , ergo FC : CD CD : CG. PROPOSITIO LXXII. t s. Normalis Αο ex quolibet puncto cireumferentiae circuli in diametrum demissa est media proportionalis inter duo segmenta EO, OR t M. Ductis ex puncto A ad extrem1 diametri rectis AK, AR , triangulum EAR rectangulum est ad A . hine Eo rAO m AO OR. Diametri pars Eo inter normalem & tireumferentiam comprehensa vocatur ad scissa. normalis vero dicitur ordinata. COROL-Diuiti co by Cooste

96쪽

73. CUROLLARIUM. I 6. a Fline inveniri poterit media proportionalis inter bi. nas rectas M, N. , si sumta indefinita EP abscindantur in ιpsa portiones Eo α N, & CR α M , & super ER deia

cripto circulo erigatur ex puncto O recta OA normalisa ER , quae erit media proportionalis inter propositas rectas M , N . .

xi . si binae rectae AB, CD se invicem Deuerint vel intra vel extra circulum in aliquo puncto E , chordarum segmenta erunt reciproce proportionalia. n. so. st. λ. Ductis namque rectis AD , CB , triangula E AD ECAerunt similia . unde A E : ED CE : EB , eritque permu

, ix. Hi ne si binae rectae AB , CD ita se invicem se- .eent , ut sit AE : ED CE r EB circulus per quatuor puncta A , C , B , D traduci poterit. Si enim per tria tantum transiret , alteram vero ex iisdem rectis secaret in aliquo puncto R, foret ΑΕ : ER CE : EB αα AE : ED unde ER ED, quod est absurdum.1is. Si ex puncto O extra circulum adsumto in. st .aducantur tangens OA , & PO eirculum secans in N , et itPO : OA - Ο Α : ON. Ductis namque recti S NA, AP, similia sunt triangula OAB , DAN ob angulum ad O communem 3 8c angulos OPA , ΟΑN aequalcs , unde angulus

97쪽

AND N O AP , proindeque PO : OA 'α DA: ON, nempe tangens est media proportionalis inter totam rectam OP ,& partem externam ON. Axo. Hinc duae tangentes OA , O ex eodem punctoo ai circuli peripheriarn ductae sunt inter se aequales. Cum enim sit PO : UR m UR : ON , itemque Po : OC OG ON . necesse est ut eadem Q media proportionalis inter rectes PO . ON , unde OA m GC. 2.2r. Hinc etiam eruitur ratio qaa data recta ita di. vi datur , ut tota sit ad pirlem maiarem , ut pars malorat alteram, quod dicitur datam rectam extrema, ac media ratioue Deaxe Sit igitur data recta DR extrema , ac me. cita ratione secand t fg. 13. Super datae rectae extremum D excitetur normalis DC , quae sit aequalis semissi ipsus T. R , & centro C intervallo CD describatur circulus D AEB, deinde per puncti R , C ducatur recta RQ , & centro Rradio RH describatur areus ΗΟ , qui datae rectie DR Dt- curret in puncto quod quaerebatur. Et quidem ob tangen.

me aequantur.

98쪽

1. Si suerit Fo : OC OC : ΟΙ , erit OC circuli tangens. Ex puncta o ducatur tangens OA , & ex cen. tro circuli v t n. si. agantur rectae VC , VO , VA , erunt igitur. triangula OzU , ΟAU , aequiangula . .Est autem angulus ΟΑU rectus , ergo huic aequalis OCU aritit idem .rectus , proindeque Oc est tangens. 113: Duelis ex quolibet puncto E secantibus in E , DCE siu. so. ductisque rectis AC , BD:, erit anguiuς EAG α 'EDB , & angulus ECA EBD. Est enim M tED m EC EA , unde similia sunt triangula C EA, BED, ideoque angulus Em α EDB , & ECA EBD . In quolibet triangulo rectangulo alterum ex lateribus circa rectum angulum est medium proportionale inter aggregatum, & differentiam aliorum laterum, ut patet.

xx s. Data ex tribus proportionalibus media DR, & ex. tremarum differentia ED invenire extremas ΗR , & RQ

Datarum differentia En normaliter erigatur supra me. diam DR , eaque bifariam secta in C intervallo CD descri-.batur eirculus ex altero extremo R mediae DR aga tur per centrum recta RCin, erunt KR , DR , RQ eoo inue proportionales ἔ Est enim DR tangena , & R eeans circuli, unde constat propositum.

invenire eκtremas. .

Dividatur bifariam AB in C, & radio CA describa.tur circulus , in quo aptetur recta AD dusa mediae Aia, Κ x deinde

99쪽

deinde secta bifariam AD in L per normalem LN , erunt L Κ , & KN extremae quaesitae . Est enim NK : ΚA di: DK , vel ΚA : ΚL. Est autem N L aggregatum extrema. rum , aequatur enim ipsi ΑΒ , ergo patet propositum.

PROPOSITIO LXXVI.

αχ s. In circulo ABC ductis quibuslibet rectis AB , AC, ductaque tangente FAG ad punctum Α , si hu e parallela ducatur insta , aut i ira recta DL, vel de , erit ΑD: AEzz ΑC : AB R. 31. Cum .eniris in triangulis ABC, AED sit angulus C αFAD π EDA , & angulus A utrique triangu o communis, triangula ipsa erunt similia , quare AD. AE AC: Αο PROPOSITIO LXXVII. 1, 8. Si ex tκmmo diametri EF cireuli CABD suman. tur a reus hinc inde aequales FS , FO , & ducta qualibet ΑΕ , quae occurrat perimetro in Α , agatur DR secans EF in o . erit FE : EI α FO : OI', quae est divisio har. monica n. so. Iungatur FA , & ex puncto I dueatur illi para Ilela EIU ; Et quoniam est angulus FAD αα AQI , adposits communi OAI , erit angulus FAI α ΑἰI -- OAI . sed

angulus FAI aequatur recto , ergo aequantur recto ω yγseriores ; reliquus itaque angulus AI in rectus erit, rectusque pariter ipsi adiacens Al L. Sed angulus A I die ALI, qui aequatur angulo BAF α FAD, & latus AI est com- 'mune duobus triangulis AIT . Atin, ergo ipsa aequantur inter se , unde XI m Iin. Est autem FO : o I ae: AF et . . vel ΚI. & AF: ΚI EF. EI ob smilitudinem trian

gulorum AOP, IOQ i & ΑFE, ΕΚΙ , ergo patet propositum.

100쪽

De Proportisuibus superficierum , sue

Figura u. DEFINITIO

Mallelogrammi . . et trianguli euiuslibet alι atu ο est perpendicularis quae ab ipsorum vel lice vel angulo superiore in basim demittitur. COROLLARIUM.13o. Parallelogramma igitur . vel triangula sub iis em parallelis comprehensa aequales habent altitudines , proinde. que in ipsis lineae reistae ad basim parallelae duci poterunt

numero aequales.

a 3t. Adnotandum hie est quod eum a geometris rei lan. galum semper exprimatur tribus litteris ex: gre C. AB , scilicet ex CA N AB cfit. 8. vel lineae ipsae a se invicem