Institutiones geometricae in usum adolescentium adornatae auctore Raynerio Bonaventura Martini pisano in patria academia publico theoreticae medicinae professore

111쪽

s.co. Quadratum totius ER utcumque sectae in o est id rectangulum REΟ -- ERO in ratione aequalitatis .

Est enim RAq π ERO, M AE REO . Sed ARε AE ERr, ergo ERr est ad ERO . REO in ratione aeis qualitatis.

112쪽

PRopo SITIO XCIV.

PROPOSITIO XCV.

PROPOSITIO XC VI. 26 . si recta TI bi satietur in V, eique in directum adi ciatur quaelibet Io, erit rectangulum TOI - . Vir ad Iost in ratione aequalitatis tri. set. . Describatur supra TI semicireulus I ΕΤ Α, & ducatur tangens OA; Et quoniam est ΤOI α OAq, erit TOI

113쪽

PROPOSITIO XCVII I. ετ o. Si recta AB secta iit bifariam in C, ipsique a L

114쪽

. PROPOSITIO C.

1 1. Si fuerint tres reme in continua propoli Ione arith melica , erit quadratum maximae ad quadratum minimae plus rectangulo mediae in quadruplum differentiae magni tuis dinum in ratione aequalitatis n. 61. Descripto quadrato FD supra maximam , duetique dia. metro, & completa sigura, patet quadratum maximae FD aequari CD quadrato minimae CG plus quadruplo rectan. pulo BE plus quadruplo quadrato EII, scilicet quadruplo re elangulo CH . quod continetur sub HB, vel BD media arithmetica , & differentia BC, ergo quadratum maximae Aoaequatur quadrato m n Imae CD plus rei langulo mediae BD

in quadruplum differentiae BC. PROPOSITIO CI.

1 3. si altera ex mediis harmonicis CB bifarietur In Ε, erit rectanguluin BAC ad EAD in ratione aequalitatiss n. 61. ' Cum sit enim AB r AC π BD: DC, erit componendo AB AC: AC - BC: DC; Sed AE em media arithme. iica inter AB, & AE , quare AB -- AC - 2AE, ergo sumto antecedentium dimidio erit AE: AC BE : CD; igitur summa quoque antecedentium ad summam consequenisi um, nempe AB: AD erit in eadem ratione AE: AC quare rectanguluiu sub extremis BAC aequatur re tangulo sub me.

diis EA D.

115쪽

s xsi histrietur media harmon Ica DA in F eodem moda demonstratur rceianguluin ΑBD aequari FBC. PROPOSITIO CII. a 4. IIsdem positis erit quadratum CE ad rectangulum AED in ratione aequalitatis. Cum en in sit BC bisariam secta in E , si eidem addaistur CA, erit AEq α BAC -- CFq. Sed Arq α EAD AED, ergo ob BAC EAD, erit CPq α AED. COROLLARIUM.2 s. Hi ne si auferatur dimidium BE a media harmonica CB, erunt geometrice proportionales tres rectae AE, CE, DE, & CE semissis mediae harmonicae erit media geometri. ca inter duas ΑΕ , DE .

PROPOSITIO C III .

t 7. In triangulo aeut angulo CBA ducta normaIi AD, erit AC ad CB - AB - 2CED in talione aequalitatis. Nam eum sit CPq -- BDq ra DCq -- x CBD, addito

116쪽

PROPOSITIO CV.

' COROLLARIA,

ago. Ηine Ia omni parallelogrammo quadrata diametro. eum sunt ad quadrata laterum in ratione aequali talis 663. 3

117쪽

-afain in E a diametro BD, quae vicissim b sartatur a dia. metro AC in eodem puncto E . Item ADq DCr 2EDq ,.sve x BE - 2AEq, ergo Adq -- BCq -- ADq -- DCq 4BEq -- 4 AEq sed BDq --& ACq 4 AEq, ergo liquet propositum. Hine si luxatis angulis, & eadem manente laterum ma .gnitudine parallelograminum ABCD in aliud FGIς distrahitur M. 66. quadrata priorum diametrorum AC, BD aequa buntur quadratis posteriorum FI, GK, utpote quadratis lateruin, quae eadem manere supponuntur, semper aequat a. PROPOSITIO CVI. agit In quadrilaterI, eircu Io inscriptis rectanguIum ex diagoniis ΑΕ . DB est ad rectangulum e X lateribus opis positis, nempe AD BE AB H DE in ratione aequali.

Ducatur ex puncto A recta EH conveniens cum DBia II ita tamen ut fiat angulus D EII α AEB , erit ergo angulus D HC ABE, proindeque angu us ΕΗΒ ra En Α,& est angulus II BE α DAE , quare FB: BH α EA: AD,

quod vῖs punctum peripheriae recta CF , &. resectis aequa. libus CB , CD ducantur ex punctis B , D rectae BF , DF erit BFg DPr ad EBr -Φ BAt in ration. aequa

118쪽

286. Esto triangulum D AB circuIo inscriptum , cuius diameter ACO, 5e ducta sit ad basim DB normalis AK , erit rectangulum laterum D AB ad rect,ngulum diametri cum dicta normali OAK in ratione aequalitatis sis. r4. Nam iuncta EO, erit triangulum OAB smile triangulo ADT, ob aequales angulus ad O , de D , nec non rectos 4KO, ABO, quare DA : ΑΚ α ΟΑ : AB, dc DAB α Ο ΑΚ.

PROPOSITIO CUI II.

dit . In eodem, vel aequalibus circulis sectores, nem si circuli partes duobus radiis de arcubus comprehensae pro. Porin

119쪽

portione respondent aroebus quibus Insistiint. Idem Intellige de angulis sive ad eentrum , sive ad circumferentiam tAg. m. Concipiamus arcum ΑΚ in infinitum subdividi, & in areu GL sumantur tot arculi aequales arculis, in quos arcus AK dividitur , quot sumi possunt, deinde ex centris C , e ad singula divisionum puncta ducantur lineae rectae , patet quemlibet sectorem indefinite parvum considerari , & haberi potis pro triangulo rectilineo, cujus altitudo est radius, bais sis vero linea indefinite parva , & arcui indesinite proxi. ma , quare sector ACK aequabitur omnibus triangulis ACa,aCb , bCΚ &e. sector vero GeL aequalis erit oinn bus riangulis Ges , nee ees, feL , &e. & arcus AK aequabitur basibus omnibus triangulorum ACa , aCb , bcΚ , &c. arcus vero GL aequalis erit basibus triangulorum Gra . dee , &c. quare sector ACK est ad sectorem GeL , ut omnia triangula in quae ille resolvitur , ad omnia trianis gulo in quae hic dispescitur , scilicet ob aequalem omniisum, altitudinem ut numerus basium triangu Iorum in sectore ACK ad numerum basium in sectore GeLiscilicet ut

arcus AK ad arcum G L. Quoniam autem tot aequales angulos continet angulus ACR quot aequales arculos conistinet a reus AK , & tot aequales angulos GeL, quot aeis quales arculos arcus GL , erit arcus AK ad arcum GLut angulus ACK ad angulum GeL . At vero anguli ad centrum dupli sunt angulorum ad circumsereni iam , quod de illis ostensum est de his pariter demonstratur . COROLLARIA.as I. Unde eonstat in eodem circulo esse arcum AK ad totam suam cireumferentiam ut angulus ACK ad qua.

luor rectos.

Sos. Hinc areus cireulorum inaequalium , qui aequales

angulos ad centra vel ad peripherias sublendunt , sunt sinia I

120쪽

similes , scilieet eandem habent rationem ad Integras ei cumferentias , & contra ; Est enim arcus' mn ad totam circumserentiam suam , ut angulus mCn, vel BCD ad qua. tuor rectos , & arcus BD ad integram circumserentiam ut idem angulus BCD ad quatuor rectos , quare arcusnm ad totam suam circumferentiam ut arcus BD ad suam.

po. Similes arcus DE , BG sunt in ratione radior uin

Si negas . sit DE r BC in maIore ratione quam AE tAC . & sit ratio A E : AF . Describatur arcus FG , duinctaque' tangente FH ex eentro A agatur recta ΑΗ . ipsi isque FH ducatur ex puncto L parallela LΚ . & ex puncto E parallela EM. Cum fit ergo D E : BC ut quaelibet portio NE ad similem portionem LC, erit etiam NE: LC - ΑΕ : AF α EM : FΗ . ergo NE : EM - LC :FΗ ; Sed prima ratio est minor secunda ergo & teratia minor est quarta , quod est absurdum ; est enim LC, LX , quae est , FH . ae proinde LC multo maior ipsa FH ι ergo D E : BC non potest rationem habere maiorem quam Α Ε : AC s sed neque minorem . Sit namque DE : BC α AEr Ae, ductaque tangente CQ , cum qua conveniat in in recta quae ducitur a vertice antequam se riat areum radio Ae descriptum , ducantur rectae PR , Noeidem tangenti parallelae . Erit ergo arcus NE r LC die