Institutiones geometricae in usum adolescentium adornatae auctore Raynerio Bonaventura Martini pisano in patria academia publico theoreticae medicinae professore

71쪽

tionales ratio primae ad tertiam erit duplkara rationis pii. me ad seeundam , si magnitudines continue proportionale fuerint quatuor , ratio primae ad quirtam dicetur triplιeal rationis primae ad seeundam , & se dei neeps. Ratio praetere quam habet quadratum alῖcuius magnitudinis ad quadratum alterius dicetur duplieata eius quam inter se habent eaedem marnitudines; ratio euhorum erit triplieata &c Contra vero Fatio , quam inter se habent radices quadratae dicetur subduplicata , ratio radicum eubiearum vocabitur sub. triplicata rationis respondentium potestatum .

138. Animadvertendum est autem rationem duplealamson esse unam eandemque cum ratione dupla, triplicatam cum tripla flee. qu ppe in rationibus duplis. triplis Ece. nos instituitur eomparatῖo inter rationes. sed inter terminos eius dem rationis. quorum fi antee edens bis contineae consoquentem . ratio dieitur dupla, si ter tripla &e. stilicet utitio duplicata componitur ex duobus rationibus aequalibus, dupla vero ratio ea est cujus terminus anteeedens dupla est εonsequemis. '

ass. Ratio quam habet magnitudo aliqua ad aliam puta Α ad B brevitatis aratia se exprimitur Α: B, properti vero se effertur Ar B zet C: D.

PROPOSITIO XXXI.

a. Si magnitudines A. & B fuerint aequales, & 'tur alia quaevis Z, erit A et Z α ai et . Ei Z: A m ας 3

72쪽

Ηane propositonem , ut & sequentes quatuor mera effest xiomata cum Ta rueto contendimus , quae proinde nullo modo demonstrari debeant.

24t. Eodem modo aequales ad aequales magnitudines eandein habent rationem, nempe si detur etiam alia magnitudo x α Z. erit A i X B e Z , & vieeversa. Sie etiam patebit veritas trium sequentium propositionum , s Ioco unicae maguitudiam1 Z ubique ponantur duae aequales X , & Z.

PROPOSITIO XXXII.

a. Si magnitudines Α , & B fuerint inaequa las, mac1or Α ad tertiam Z maiorem habebit rationem quam minor B habeat ad eandem Z . Item minor B minorem habet rationem ad Z quam habet major A ad Z. Et Z ad majorem A minorem habebit rationem , quam eadem Z habeat ad Bquae minor est quam A . Et Z ad minorem B maiorem

habebit rationem quam habet eadem Z ad Λ quae maior est. PROPOSITIO XXXIII. a 3. . si Α , de B ad Z eandem habeant rationem ἐaequales sunt Α , & B. Et si eadem Z ad Α & B eaa.dem habeat rationem , ipsae A & B erunt aequales.

. . t . . in

v 44. Si A ad Z maiorem rationem habeat quam B ad Z , erit Α maior quam E; Et proinde si B minorem habeat rationem ad Z quam habet Δ ad Z, B minor erit quam A. O Quod

73쪽

Quod si Z ad B maiorem faticinem habeat quam eadem et ad Α, erit B minor quam A. Et si Z ad Α minorem titio. nem habeat , quam eadem Z habet ad B, erit A major quam B.

24 . Rationes , quae eidem rationi sunt aequales, ere. dem , similes, sunt aequales, eaedem, similes inter se.

PROPOSITIO XXXVI.

a 4s. Si quotvis magnitudines fuerint proportionales, sci, Iieet A et B ta C: D , erit eolligendo ut una antecedentium ad unam eonsequentium , ita omnes simul antecedentes a omnes simul consequentes, nempe A : E α Α - C: B - D. Cum enim sit A e B α C: D . toties quaelibet pars submultiplex , ea nempe , quae accurate continetur in m. inre , adeoque aliquoties sumta maiorem accurate metitur,

toties , inquam , quaelibet pars submultiplex ipsus B eoa. tinebitur in Α , quoties eadem pars submultiplex ipsius P continetur in C , quare duae similes partes submuhiplici ipsarum B, & D simul sumtae toties continentur in dua hus magnitudinibus Α , & C simul acceptis , quoties pars submultiplex ipsius B continetur .ia A. Magnitudines igi. tur Α , & C eandem habent ad duas magnitudines 3 ,& D rationem , quam habet ipsarum aItera A ad sum consequent ni B.

74쪽

. . ,

t 8. - Partes similes eandem inter se rationem habent quam earundem magnitudines multiplices e eae scilicet qu.is magnitudo minor aliquoties sumpta accurate mensural in. 1 . Intelligantur enim ipsae αΑ , gC divisae in suas par. tes ab . M , ed &e. gs , se &c. ita ut quaelibet pars ipsi. us aΑ sit m B , quaelibet vero pars ipsius e C sit mr D. erit ergo ab: u π: B r D, itemque be r D α B et D & sie de ceteris , erunt igitur omnes antecedentes a A ad omnes consequentes gC - B : D.

PROPOSITIO XXXVI M. x φ. Si fuerit A r B et: C : D, erit peνmutando A r Czet B: D. Cum enim sit A r B m C r D pars submultipleat Ipsi. us B toties eontinetur in ri , quoties pars similis submulti. plex ipsius D eontinetur in C. Erit ergo A : C ut para submultiplex ipsius B ad siuilem partem submultiplieem ipsi. us D. Idem dicas de duabus, trib.s &e. partibus submuutiplicibus ipsarum B , & D , scilicet de ipsis magnitudi. nibus B , & D ; quare erit Λ C Bι D. : COROLLARIUM.t se. Unde tonstat quod si prima suerit maior seeunda erit & tertia major quarta, & si aequalis, aequalis, s minor,

75쪽

, st. Si fiterit Ar Bra C et D , erit inverienda B : A

PROPOSITIO XL.

habeant ad BC rationem , erunt inter se aequales , quod est absurdum a

PROPOSITIO XLII.

76쪽

m aequa ordinate A r E et C : P . t n. 1ν. Cum enim sit A e B α C r D . erit permutando Ar C B r D ; & quoniam B r Era D: F , ergo rursus peris mutando Br D α Er F. Sed ut B r D α At C . ergo A a C E: F . & permutandi ΑιEα C: F. . Hoc ex eo etiam confi matur quod rationes A r E . MC: F ex iisdem rationibus componantur.

erit ex aequo pertiniate A r E m C et F. Fiat ut A E , vel C : D ita F: G . erit permutanado C r F α D a G. sed est Ar Em Dra C. F, ergo Patet propositum. Id ulterius e eo probatur . quod rationes Λ ι Ε . di C r F ex iisdem rationibus componantur. A.

77쪽

rationes componentes AB: CD, & E: F erunt reciprocae . Cum enim sit E m G, erit Fr E F: G nempe ut ABr CD, ae proinde rationes componentes sunt reciprocae.

PROPOSITIO XLVII.

et sq. Si ut totum AC est ad totum DF, ita ablatum BC sit ad 4blatum EF , etiam ut tolum est ad totum, ita reliquum in B erit ad reliquum DE n. 3 - , o Quoniam est AC a DF α BC: EF, erit permutando AC rCB m DF .PE, ergo per conversionem rationis Ace ΑΒ αDF: DE, & permutando AC: DF a: AB: DE. PROPOSITIO XLVIII.

aso. Si fuerit ΑC: DF α X: Z, maxima AC. & mῖ-nima Z duabus reliquis DF, X majores erunt. Ex maxima AC sumatur AB ra X.& ex DF reseeetur DE α E. Erit ergo AC tota ad totam DF ut ablata AB ad ablatam DE, ergo reliqua BC est ad reliquam EF ut tota AC ad totam DF. Sed est AC DF, ergo & BC EF; quo. niam vero est AB ra X, & DE 2: Z, etiam AB - Z α. DE ; quare si ad AB E addatur maius BC & ad X --DE addatur minus EF, erit totum ABC-Σ N-. DEF. .

P Ropos ITIO X LIX. est. Si m ior si ratio Ar B quam Cr D, Invertendo mi.

.nor erit ratio Et A quam Dr C t n. st. λ., Habeat enim Ai Η eandem rationem quam Ct D. ergo, maior erit ratio Λι B quam δε et II, et iique propterea B.M. H, unde Diuiti by Coost

78쪽

is , unde Br A minorem habebit rationem quam Hr A . Sed Η : A etet D et C , ergo B: Α minorem rationem habet quam D: C.

x ς L. Si Ar B maiorem ratIonem habeat quam C tD, τιam permutando maior erit ratio Λ: C quam Bet D. Esto enim Α: Η α C: D, ergo maior erit ratio Ar B quam Α : Η, unde B V Η , & ideo B: D minorem ratinnem habet quam Η : D. Sed Α : C α Η: D , quare cum ratio H: D sit maior ratione B: D, etiam Λ: C erit tu maν aratione quam B: D .

263. SI AB: BC maiorem rationem habeat quam DE: EF etiam eomponendo AC: BC majorem rationem habebit quam DF. FE in. 3 . Habeat enim GE: BC eandem rationem quam DE: EF, componendo GBC: BC erit in eadem ratione ae DF; FE. Sed AC: CB maiorem habet rationem quam GBC: BC, quippe est AB GB, eum illa ad BC maiorem habeat rationem quam G B: BC, ideoque etiam ABC maior est quam GBC; ergo Acr B ea in majore ratione quam DF et FE

in . si maior fuerit ratio AC : CB quam DF t FE, dl- videndo maior erit ratio AB: BC quam DEr BF. Fiat enim ut DF: EE ita GC r CB , ergo maior erit ra Jo AC: CB quam GCr CB. erit ergo GC AC. ablato communi BC, erit GB M AB, ideoque . major erit ratio ABτ

79쪽

sBC quam Gg. BC. Sed haee ratIo eadem est eum rat Ione DE: CF, ergo aBet BC est in majore ratione quam DE: EF.

PROPOSITIO LIII.

ἀ ε s. Iisdem positis erit per eonversonem ratIonis in isnor ratio AC et AB quam DF : DE. Nam facta DC r CB α DF : FE , erit per eonversionem extionis CG : GB α FD: DE. Sed quoniam est GA m AB, ut in praeee . demonstravimus, minor est ratio CEt AB quam CB : BG . Se componendo minor erit ratio CR t AB quam a GB, ergo etiam minor est ratio CΛ : AB quam FD l DB.

PROPOSITIO LIV. 1εε. Si in duabus seriebus A , B, C; D, E , F maior sit ractio Ar B quam D r E itemque maior B: C quam Br F. etiam ex aequo ordinate maior erit ratio A t C quam Det F l . 33. δEsto enim ut D et E ita Gr B & ut Er F ita Bi H erit ex aequo ord nate D: F π Gοῦ Η . Sed quia maior est ratio Α: B, quam D: E , vel Gets , erit A G. Et quoniam ratio A: C maior est quam E: F, sive set Η , erit C ς Η, unde a maior quam G habebit ad C minorem ipsa H rationem

maiorem quam Gr H, erescit enim ratio tum ratione maioris antecedentis . tum ratione minoris eonsequentis. Sed Gr H

maior ratione D: E. erit ea aequo perturbate ratio Α ρ Cmajor quam Dr F. Fiat enim Gr B α Et F. & Br H er D aequo perturbate Garim D et F. Ied eum sit E. erἰl enmaior ratio

80쪽

Ar B quam E: F, vel G: B, est A ,-G , flet eum sit B: C in majore ratione quam D: E, vel B r H est C H, ergo erit major ratio Λοῦ C quam G: Η, sive D: F. . . PROPOSITIO LUI.

major quam Cr F., erit ratio omnium Antecedentium Α --B - C ad omnes eonsequentes D - Ε - F major quam ultimae antecedentis ad ultimam consequentem. mQuoniam enim maior est ratio a : D quam B : E, peris mulando maior erit ratio AB quam D: E , componendo ma-3or erit ratio Α -- B: B, quam D E : E . Rursus per .rando maior est ratio B: C quam E: F, ergo ex aequo major

est ratio Α-Br C quam D -- E: F, & componendo major est ratio Α - B C: C quam D -- E - Eet T.

DEFINITIO I.

ισς. Atio dicitur aritbmetiea, cum vn ce expenditur disse ri rentia , quae inter duas propositas magnitudines inistercedit , adeoque proportio artihmetica in duabus ration bus arithmeticis inier se aequalibus consiliit , cum nempe disse. rentia primae, & secundae magnitudinis aequatur differenIiae , quae tertiam inter & quartam intercedit.