장음표시 사용
81쪽
aro. Si magnitudines anteeedentes arithmeticarum rationem diversae tuerint . proportio dicitur MVncta. Si vero ante. ledens secundae eadem suerit eum consequente primae ra. tionis , proportio dicitur eontinua,
PROPOSITIO LVII. et t. 'Si magnitudines All, CD, EF, G Η fuerint in pro.
, a. Unde constat quod si proportlo suerli eontῖnua, an gregatum primae, de ultimae erit aequale duplo mediae.1 3. Hi ne si duabus datis magnitudinibus ipsarum summa dividatur bifariam, exsurget media proportionalis arithmetica inter duas magnitudines. 274. Quod si summa extremarum sit aequalis summae me. diarum, erunt magnitudines illae proportionales arithmeticea stitieet cum si AB - GΗ ra EF - CD . si utrinque auaserantur CD & GH erit AB GH CD GH EF- CD - CD - GH, nempe AB - CD m EF - ΟΗ,five AE eta EL . ergo eadem est diff tentia magnitudinussi AB, CD , ει EF, GH, ande constat propositum.17 r. Simi. Disitigod by Corale
82쪽
j, s. Similὶ ter si suae ma extremarum AB - EF, sit aequa. lis duplo mediae CD H. 3s. ablatis utrinque CD,&EF, set AB. - . EF - CD - EF a CD - CD EF, liae est ΑΗ - CD mr CD EF sive ΑΟ α CK adeoque eadem singularum differentia , sive ipsae ires arithmetice proportio.
arithmetiee proportionales permutando. sunt etiam arithmetice proportionales. Cum enim sit ΛΞ r CD ': EF r GH . erit ΑΒ -- GH αα CD EF. At vero si ponatur ΑΒ : EF CD di GH est ΑΕ -- GΗ EF-CD . ergo constat pro . positum . Eodem fere modo ostenditur magnitudines esse prois portionales arithmetice tum invertendo .ium eκ aequo ordinate. tum ex aequo perturbate. Praeterea varie combinando fieri posisunt plurima aggregata, aut residua arithmetice proportioat,sia, ut ex dictis con Iigi potest. PROPOSITIO L VIII., M. Si fuerint tres magnitudines A B, CD , EF In eo nistinua arIthmetica proportione, ratio ' maximae AB ad me. diam CD minor erit ratione ejusdem mediae ad minimam EF t sit. 36. . .
Esto AG differentia primae a media aequaIis Ipsi CH differentiae eiusdem mediae a tertia EF , & fiat ut AB: CD ita CD ad aliam quae sumi poterit in ipsa CD , cum hae minor ese debeat, & fit Dx . Cum sit ergo AB : CD, vel GBut CD: Κo, erit dὶ videndo RG: GB m C ΚῶΚD, de permutando AG : CK - GB r KD. Sed est GB , vel CD, T D , ergo erit & AG , c Κ, proindeque. Η , CK , quare punctum X eadit intes C , & Η . adeoque tota Loest ΗD , sive EF ; ratio igitur CD r DK est minoe rasis iam CD . DH vel EF . Sed ratio CD a DK est eade
83쪽
linearum rectarum. DEFINITIO I.
etri. o Ecta AB seeari dieitur barmonise , vel in ρηε I, portione barmώniea in punctis C , D , eum t.:λAB est ad extremam BD ut altera extrema AC ad mζ
EORO ARIUM. 't s. Erit ergo pe utando tota AB ad extremam Acut altera extrema BD ad mediam CD.
1go. Media harmonisa d eitur recti CB composita ex me. dia CD , de extrema BD , tota vero AB di ipsa exire lua BD vocantur extremae barmonicae.
84쪽
l AB . AD , AC prima ad tertiam est ut differentia primae a media ad disserentiam medias ab eadem tertia .. Nam est AB r DB Σα ΑC : CD , & AB : AC m DB: CD.
,3 3. Linera ba imuirales vocantur illae, quae profluunt eπqu Iuor punctis Α, C, D , B, in quibus quaelibet recta Avharmonice secatur , & in idem punctum F concurrunt , ut AF , CF , DF , BP , vel etiam illae quae ab iisdem quatuor punctis prostuentes sunt inter se parallelae, cujusmodi
rss. Erit ergo permutando tota AB ad mediam CD, ut extrema BD ad aliam extremam AC.
86. si recta AB secta fuerit harmonice in quatuor pudoes s A, C, D, B , & in ipsa loco ex. gr. puncti C aliud punis ct im E adsumatur, non secabitur harmonice in hoc puncto M
85쪽
ponenda ADr ED die AD: CD, foret igitur ED ra CD . quod e li absurdum .
x r. Eadem recta AB dividi non potest vel produei Iab ita ut retentis punctis C, D, possit AB harmonice serarita punctis D , C. Cum enim sit AB r BD re AC r CD , si seret AC: enm Abi bo, esset AEr BD α Abr , D, adeoque esset AB OD BD M. Ab, scilicet ΑΒ ,-- bB -- BD BD - AB - OB; sed aeeuantur hae magnitudines inter se , eu o patet propositum. vel sumto puncto b ad alteram plagam puncti Besset AD -- ,D-δB bD AD - , D - ,B - bD, quod est absurdum.
De Iraportionibus livearum angulos com
PROPOSITIO LXI. 282. In trIangui Is aequiangulis latera aequalibus angulla opphsita sunt pinortionalia. Huiusmodi triangula voeantur Amilia tM. 4ria Esto AD semissis rectae AB, & duratur DE Ipsi BC pa rallela , nee non EF parallela ipsi AB . erit EF AD α DB. sed est iriangulum CEP aequale triangulo E AD, quare CE ra EA,& EDdidi FB; unde AE . vel EC est semissis lateris ΔC, ut AD semissis est lateris AB, itemque CF , vel FB, est
86쪽
semissis Ialer s CB. Si recta AD t D. 4s. a ponatur tetita, quarta. vel quaelibet alia pars rectae ΑΒ , eadem ratione osten.ditur rectas ΑF, FD esse tertiam, quartam &ri partem Ialerum AC, CD, quippe simili facta constructione triangula AF D, FHL, HCK sunt inter se aequalia, ut patet. Idem constat strecta AD non contineatur accurate in recta AB, sed eum fractione aliqua; ostendetur enim simili prorsus modo ΑF in laistere AC, & FD in latere CB contineri ι Quod si ponamur in triangulis ACB, ΗCΚ tectas AB, ΗΚ esse inter se incommensurabiles , divisa primum concipiatur recta ΗΚ in partes rooa, patet in recta AB certum partium numerum cum aliquo residuo eontineri. Intelligatur iterum eadem recta ΗΚ in partes 2 Oooo. divisa, recta AB certum earundem partium numerum continebit, sed cum res duo is quod minus erit priore, atque ita porro semper minus fiet residuum , quo plures in partes secta concipietur recta ΗΚ Unde si in particulas numero infinitas secari intelligatur , patet res duum incommensurationis fieri comparative nullum; quare generatim triangula quaelibet ae. quiangula latera aequalibus angulis opposita habent proporistionalia .
rην. Nomine clunio is infelligimus eomparat Ionem da .rum sub diversa expressione aequalium magnitudinum, nomiis ne vero aequationis ematim iυμ intelligimus aequationem , quae figurae alicujus , nempe trianguli, circuli, parabolae, ellipseos die naturam vel essentiam exprimit . intelligendo semper ut
sensus sit secundum hypothesim , de doctrinae methodum prout ab illo, vel ab alio auctore traditur, nempe pro ut hoc, vel Diqitirco by Cooste
87쪽
64 vel illud primo eo acipimus In te, & ex Il.o ceteras rei pro. prietates recie demonstramus.
es.. Ex praecedente propositione manifeste conligitur quod si a vertice trianguli ABC nempe ex puncto C ducantur plures rectae CD , CE , quae secentur recta FG bas parallela in punctis Ο, N, secabuntur in hisce punctis proportione aduIera, M segmenta FO , ON, NG erunt proportionalia pomtionibus baseos AD, DE, EB . Cum enim sit AD: FO m DCri DE: CN L: EC : CN α EB: NG, erit permulan. do Fo: ONO AD: DE, & ON: NG α DE: EB. . x t. Hinc s secanda suerit recta CB in eadem ratione, qu recta alia C A secta est in punctis Η, F. ducta AB aganturioii parallelae ΗΚ. FG quae secabunt rectam CB in eadem ra tione, qua secta est recta C A. . ivsa. Unde patet modus quo data recta , ex. gr. CA ῆn quotis
vis aequales partes dividi possit, quod set, si ducta tradesinii CM ipsique iuncta ad quemlibet angulum recta C A sumantur in ea quotlibet aequales partes CL, EG, GE &c. ae deinde isncta ΑΒ ducantur per purcia X, G &c. ips BA parallelae Is 3. Inveniri etiam poterit tertia proportionalis duabus rectis CF, FA si ducta a puncto C ad quemlibet a naulum inis definii a C M abscindatur ex ea portio CG ae: FA . ducta nam. que FG, hute ex puncto A ducatur parallela AB. eritque GBtoria proportionaIis quaesita. Est enim per divisonem CFq
a M. Quod si inveniri debeat quarta proportional7s iri
88쪽
ες bus rectis inter se diversis CF , FA , CG , saeti eadem constructione habebitur GB quarta proportionalis quaesita. Si fuerit m a , FA b , CG e , erit Ga
εο s. Si duo triangula habuerint latera homologa proportionalia , erunt aequiangula n. 43. Super recta EF construatur triangulum FEG aequi ingulum triangulo ABC ut sit angulus GEF π BAC , argutus GFE aer BCΑ , unde reliquus EGF - ABC , erit ergo AC: EC m FB r FG. Sed ponitur C Ar BC FE: FD; quare FE r FG α FE : FD, unde FD FG . Item erit ΑC: A
ED; Duo igitur triangula FED, FEG aequi angula sunt. &aequalia ; Est autem triangulum FEG aequiangulum triangulo AC, ergo eidem quoque aequiangulum erit triangulum FED .
, νε. st in triangulis ABC, EDP sit angu)us D α B. sitque praeterea DE : DF BA et BC , triangulum DEFaequi angulum erit triangulo ABC . Fiat en m in latere Barecta R. α DE , & agatur es ipsi AC parallela , erunt triangula ABC, e V aequiangula, quare Be: V m BA BC. Sed ponitur DE : DF BA: BC , ergo Ba r V - DE DF; Es autem Βε α DE, hinc Es DP , unde triangula Bj , DEF sunt inter se aequalia . & similia . sed triangulum Bes aequiangulum est triangulo ABC , quare triangulum D EF est aequi angulum triangulo ABC. 197. In quolibet triangulo BAC si bisariana secetur a I gulus
89쪽
ssgulus BAC per rectam AD , quae conveniat in D cum latere BC , erit AB: AC ra BD : DC , & si fuerit AB AC m BD r DC , angulus BAC bifariam secabitur a recta ΑD ; tandem si bifariam dividatur angula exterior CAΗ per reseam RG , erit ΑΒ : AC m BG : UC n. 44. ὶ Duct s enim a punctis C , B rectis CO , EF ipsi AF per.
cadat in medio basis AC, patet late ΑΒ m BC , ω an. gulos ad D utrinque rectos , unde erit AB BD , nec non BC BD , adeoque AB - , BC a BD . sin vero aller utrum segmentum AD altero DC majus est , erit &AB BC , positaque BG die BC , juncta CG perpendicularis siet in F ipsi BD , & divisa AC bifariam in E ,
ae per E ducta HE parallela GC , quae occurret BD productae in I , cui pariter perpendi eularis erit , fiet AH
90쪽
opposita angulo recto I est SI , ac proinde multo mi. ior quam BD , ergo ΑΒ - BC 1 BD. 1νς. In triangulo rectangulo BAC ducta ab angulo recto A ad basim normali AD erunt triangula BAD . CDA aequiangula inter se , & toti triangulo BAC , proindeque erunt similia i n. 46. Cum enim sit angulus BAC ADB , sunt enim ambo recti , & angulus ad B utrique triangulo BAC, BD A communis, erit reliquus BAD m BCA . Eodem modo ostendetur triangulum ADC aequiangulum trian- Io BAC. Et quoniam angulus BAD est BCA, & anguli ad D sunt recti , ideoque aequales , erit reliquus auis gulus ABDα DAC, quare & triangula BAD, CAD sunt aequiangula r erit ergo BC et CA τα CA : CD , & CB rΕΑ α BAr BD; denique BD et DA DA: DC, unde latus EA erit medium proportionale inter latus BC , & segmen. tum BD , Iatus vero AC medium proportionale inter idem latus BC , & segmentum CD , normalis autem media prooportionalis inter segmenta BD , DC.
Lot. Η ne si ex vertice R trianguli ducatur ad pun. cium Ε dimidium baseos recta RE , erunt quatuor rectra