장음표시 사용
61쪽
ti L F M , O IP, e ii alia esse. Per poluti
li mi R , tran libit ex coro. l. ichol.j pio-t os. 16. lib. r. huius 3 nec non per punctum D , cum viruixque circulum G Bri in
A B C D , bifariam diuidat ; circuli auatem hi secentur bifariam iri.B , D . Ex quo se , circulum QIue R Ia , paralis tum EF secare supra circulum A B C D, at parallelum I K, infra eundemset in puncti; S; T;& V, X . Quoniam vero circulus QB R D , parallelos i F , i K., bifariam se-. I . eat, crunt S F T , V K X , lemicirculi ; ae, propterea arcus L F M, semicirculo maior ,& O K P, scinicirculo minor crit. od st propositum. SlNT ia in paralleli E F,I K,equales. Dico alterna segmenta LPM,OI
qualia inter se e sic: nec nomist menta alterna L E M, OKl'. Nam per polosa .hu ua. parallesora,& polos circuli A BC D, describatur circulus maximus ACCH, abutus. qui diuidet segmenta L A M,O C P, bifariam. At quales ergo sunt arcus AL, A M, inter se,& C O, C I', inter se.Et quoniam cilculus maximus A GC H, h s. . transit per polos maximorum circulorum G H, AC ; transibunt vicimm hi μ μμ . per illius polos. Puncta igitur B, D , poli sunt circuli A G C H 1 ae propte-a s. eriti. rca recte B A, B c,aequales erunt, x detin. poli atque idcirco di arcus ipsi BRI .hui . BC, aequales erunt. Sunt autem & arcus B L, B O, squales; propterea quod aequales ponuntur paralleli E F, I K. Igitur di reliqui arcus A L, C O, e quales erunt:Sunt autem arcus A L, C O, dimidij arcuum L A M , OCI'; propic rea quod A L,ipsi A M,S C O,ipsi CP, ostensus est equa lis. Aequales ergo iunt quoque arcus L A M , O C P , ae proinde &rect subtente L M , OP,
aequa leserunt.Quare ex circulis equalibus EF, IK , auferent aequales arcus, maiorem quidem L F M , maiori ΟΙ Ρ ,& minorem L E M , minori O K P, hoc est alternum segmentum alterno tegmento qualem. Quod est propolitum . Itaque si in sph ra maximus circulus parallelos aliquot circulos in sphetrica superficie descriptos iecet quidem ,&c. Quod erat demonstrandum.
THEOR EN i S. PROPOS. 2 O. S i in sphaera maximus circi ilus parallelos aliquot circulos secet, non tamen per polos; de parallelorum assi impiis cir tum serent ijs in uno hemisphaerio, illae quae propius accedunt ad potu con
spicuum, ciunt maiores, quam ut similes esse pos
sint illis, quae ab eodem conspicuo polo longius
62쪽
IN si iura parallelos AB CD, EF, secet in II, O; I,N;K,M , non ta men per polo , circulux maximus G H I Κ L M N O, sitque supra hemi*hae rium G B L , polus conspicuus i , occultus . autem rasi coareum C B li, maiorem este, v quam ut similis sit arcui N D I & N D I,ma id rem , quam ut similis sit arcui M F K. . Per polum enim parallelorum P,5 puncta I,N, iactari batur duo circuli maximi Ρ l, PN, se-iantes parallelum A B supra circuluGlLN, in R, S: eritque arcus R B S, arcui I D N,si milis . Cum ergo arcus o B H, maior sit ar-eu R B s,maior quoque erit, quam v t similis sit arcui NDI. Eoaem modo ostendemus arcum N D I, maiorem ess 1,quam xt similis sit arcui M F K, si nimirum per polum P,&ptaracta K, M, duo alii circuli maximi descri. Dantur. Igitur si in sph*ra maximus circulus parallelos aliquot ,&e. Quod
T H E O R EUM A 19. P R O P O S. D. S i in sphaeris aequalibus maximi circuli ad ma
ximos circulos inclinentur, ille cuius polus sublimior supra planum subiectum est, inclinatior erit: illi vcro circuli, quorum poli aequaliter distant a su'biectis planis, aequaliter inclinantur.
quarum centra I , Κ, ad circulos maximo
ximi BND F OH,quorum poli, P , Qt, sitque primum polus P,subli- mior supra planum cir
63쪽
culum BN D, inclinatiorem esse ad elreulum ABCD, quam FGH, . Ahalua ad EFG H. Describantur enim per L, P, polos ,& per polos, M , Q, cir euli maximi A NC, E OG; sitque communis sectio eirculorum ABCD, B N D, recta BD; circulorum autem A BC D, ANC, recta A C, & circul rum B N D, A N C, recta N I: quae omnes reta per centrum sphaerae I, tran-
έ Ri sibunt,cum circuli maximi per idem centrum sphaerae ducantur. Eodem ordidine sint in alia sphaera communes sectiones circulorum,ut recta F Η, circulorum E F G H, F O H; recta vero E G, ei reulorum EFGH, E O G; & recta O K, circulorum F O H, E O G: quae omnes rectae similiter per centrum sphaerae Κ, transibun t. Et quoniam circulus ANC , per polos circulorum s. .hvis3 A B C D, B N D, transiens ,eos secat ad angulos rectos;erit vicissim uterque circulus A B C D, B N D,ad circulum A N C,rectus,atque adeo & recta B D, s. Πις a communis eorum sectio, ad eundem circulum A N C , perpendicularis erit. Quare anguli A l D, NI D, recti erunt , ex desin. s. lib. H. Eucl. ac pro inde A IN , angulus' v erit inclinationis eir-
fit1. 6. lib. I I. Eucl. Eodem modo erit EKO, angulus inclinationis circuli F OH, ad ei circuluE F G H.Qu niam vero P,polus cireuli B N D, sublimior
Coroll. huius Sehol. 17. culo ervi
eum sint perpendiculares ad circulos ABCD, EFGH, altitudines polorum P, Q , supra ipsos circulos metiuntur. Sunt autem arcus PN OO. aequales, cum sint quadrantes. Poli enim P, Q, a circulis maximis B ND. l. tc. F O Hster quadrantem absunt. Arcus ergo C N, maior erit arcu G O ac pro, ream livus ex sem:cim l A N C, minor erit reliquo E O, ex semicirculo EO G. Quare angulus A IN angulo E K O, minor erit, ac proinde mastis ines matus erit circulus B N D , ad circulum ABCD, quam circulus
SED sint iam a reus CP, Gn, aequales, hoc est, poli B, O ,aequaliter dissent a planis circulorum ABCD, EFGH. Dieo cireulo, B N D F O Haequaliter inclinari ad circulos A B C D, E F G H. Quoniam enim a reus CP G Q , aequales sunt,si addantur quadrantes P N, QD, erunt & arcus C H, G O,aequales;ac propterea & reliqui arcus A N, E O. ex semicireulis aestia ,sistiti. les erunt Anguli igitur AIN ER O, aequales erunt,ae propterea, ex Isin. 7. lib. II. Euel. similes,sive aequales erunt inclina tiones circuloru BND FOH. ad circulos A B C D, E F G H. si igitur in sphaeris e qualibus maximi circuli ad maximos circulos,M.Quod erat ostendendum.
64쪽
Hi N Cfioῖ circulorum maximoris ad alios inetinatorum .ii aqualiteν distentapolis maximorum, ad nuos inclinantur,ruci nat/ones esse aquales cuius vero polia s cinior sit polo ea,s,ad quem 3 nes nautur, mi nationem esse maiorem.Nam si arcus L P, Μ in , sint agnates, erunt m C P , G AEquales, cum quadrantes sint C L, obli atque adeo poli P, Q , circulor m inclinatorum aquali re distabunt a Iubieis Etis planis circulorum ΑΒ C D,E F G H.Quare, i demonstratum est an hae propos. Matis.runt inclinationes circulorum BN Fos ad eirc.Ios ABC D, EFGH. Si vero arcus L P, minor sit arcu M erit reliq-us arcis3 CP, ex quadrante maior arco G Q , reliquo ex quadrμnte. Igitur, t osten imus in hae propos maior . erit inclinatio circuli BND, ad circurum Α Β C D, quam eircia, F Ο H, ad erroculum EFGH.
SI in sphaeris aequalibus maximi circuli ad maximos circulos aequaliter inclinentur, erunt distantiae polorum ipsorum a subiectis Idanis aequales: Illius verb, qui magis inclinatur, sublimior erit po-
us. Item distantiae polorum illorum circulorum . qui aequaliter incli . . nantur, a polis circulorum, ad quos inclinantur, aequales erum: Distantia vero poli illius circuli, qui magi s inclinatur, a polo circuli, ad quem inclinatur, minor erit.
CIRCULI maximi tangentes eundem parallelum, aequaliter inclinantur ad maximum parallelorum : qui vero maiorem paralle- alum tangit, inclinatior est ad maximum parallelorum . Et circuli
65쪽
aequaliter inclinati ad maximum parallelorum, tangunt eundem parallelum: Qui vero inclinatior est ad maximum parallelorum, ina iorem parallelum tangit.
aequales strat,propterea diuod r. hae sis
thnsa F A, F C, aequclei iunx, ex dese. polr, aequaliter 1Ncltuabitur coculus D F, ad circulos Α Β , C 8 3 in tu viis cisim ad iti. aequaliter inclinabuntur. TANGAT iam maximus eireulus G H , minorem pariallelism G I. Dico malo. rem esse inclinationem circuli G H , ad maximum parallelorum DE, quam circuliao.1.buim. R B. Descripto enim per F, er contactum G, circulo maximo F G E, metietur eodem modo, i proxime demonstratum est, arcus F G, altitudinem pol .F, circuti D E ,suis. pra circulum G H. Est autem arcus F G , maior urcM F A, quod craculus G i , maior. ponaιur circulo A C, ae proinde a polo F. remotιο r. igitur magis ιnclina situr ciris
I, E, incliniabitur, quam A B. R V R s V s circuli maximi A B , C B , aequaliter inclinentur ad circulum D F, 1o.l. huius. maximn m parallelorum. Dico illos eundem parallelum tangere. Per F,evim polum parallelorum , . polos circulorum AB, C B , circuli maximi des iubantur F AD, a s. i.huius. F C E, secanter circulos A B, C B, in A , C . Et quan ani tos secaui ad angulos reolios; metrentur arcus P A, F C, alιitudinem heli F, circuli D E, IMpra oriuros AB.C B: sunt autem arcus F A, F C, aquales, quod circuιι A B, C lv. aequalis 'tonantur ncIιnarι ad circuitim D E , atque adeo σύ, e vicissim ad illor . Si ta tur ex solo F, in tertia Ilo F Α , vel F C, cireulus defferabatur AC,. tangεt hic circulos A n , C 23 propterea quod circulus A C, ta circuti A B , C B , in eiu em Iunctar A , C , I cantc rculos maximos F D, F E, quι per eorum polos transeunt. IAM Hro circulus maxιmus GH, magis ιnclinatus sit ad circulum DE .
66쪽
me T. A B. A C ,se mutuo tangant in A, o G H , G I ,se mutuo quos tangant I hvi. - G. conpar propositum.
II. CIRCULI maximi ad maximum parallelorum aequaliter in- 27. clinati, polos habent in circunserentia eiusdem paralleli. Et circuli maximi, qui polos habent in circunferentia eiusdem paralleli,ad maximum parallelorum aequaliter inclinantur.
D B, maximum parallelorum. Dies eos il irum polos E, F,esse in eodem parallelo. Descriptis enim per G,polum paralleolarum, σper E, F , polos circulorum A B, C D, maximis erreulas G E , G F, quν rear erunt ad circulos AB, CD erunt arcus E G, F G, distanti apolori E , F , apolo G : sunt autem aqMales, quod circula Α B, C D, ponantisr aquatiter inclinatι ad circulum DB. IPtisrcirculus E F, ex polo G , Cr interuallo
G E, vel G F , descriptus, paralleIus est circulo D B; in quo quidem parasses Io E F , circuli AB, C D , polos E, F habent.Quod est propositum.
habeant potis E, F , in parallelo , EF.
Dies eos aqua trier νnclinarr ad DB,maximum parasit lorum. Erunt enim ex don. poli, resa G E, G F, aquales, atque ob id arcus EG, F G, aq ales quoque erunt. Cum ergo jdem areus sint distantiα'Iorum E. F, a GJoIo parallelorum; aequaliter nclinati erunt circuli AB, CD ad D so huici. parallelorum maximum.
S E D , T v R. iam in codice graeo propositio xx. euius demonstratio Iovissio
ma est. Unde quonιam in alia versona multo breuius, dilucidiusque eadem demon σstratur, visum est hoc loco inserere alia tria theoremata alterius versonis , νtfacio . . . lius Liude propotionem in . huius libr/ demonstremus . Est autem primum Theorema fc da pati propos i .lib. I.Theodosii, quamuis magis uniuersale sit, ut bic proponi. Wr .Pr mum ergo Theorema, quod ordine tertium se in bocschobo,itas babet.
i II. SI super diametro circuli constituatur rectum circuli segmen tum,dividatur autem segmenti insistetis circunserentia in duas inaequales partes, & a puncto sectionis ad circunsereni iam circuli primi
Plurimae rectae lineae cadant;erit recta subtendens minorem partem sit lentis segmenti omnium minima: quae autem l ..aiorem subten' di omnium maxima. Reliquarum vero propinquior maximae rc mo .
tiore semper maior eit: At propinquior minimae remotiore semper H minor
67쪽
minor est. Duae vero rectae lineae aequales ab eodem punino in circuiῖ serentiam circuli cadunt, a maxima aequaliter distantes.
S V P E R. diametro A D, circuli Α Β C D E, eonstituatur rectum circuli segmen ' tum Α F D, quod secetur non bifariam in F ,siique minor pars A F, er maior D F: Cadant autem ex F , plurimae rectae lineae F Α , F l , F H , F B , F C, F D , F F. Dic
mutum minimam esse F At maximam vero F D: At F C, maiorem, quam F B, Crc. Et F I,mtuo rem,quam FH. e. Denique duas F E, F C,aequales esses aequatiter distenta . undem a maxima F D, hoe est,si arcus D E, D C. aequales sint. Dematiatur enim ex F , inplas . undec. num circuti Α Β C D E, perpendicularis F G, qua νnΑD, communem sectionem ea.
det: eratque punctum G, vel inter puncta Α D, in prima figura; Id ciuod semper
. contri get,quando segmentum Α F D semicirculo maius non est, quamvis idem accide.
reposιt iu segmentomaiore. vel 12em quod Aι vel extra circulum iu diametro D A, protracta, ut posteriores duae figurae incidant. Id quod solum in segmento, quod sem circulo malos sit, eontingere potest . in prima autem fiura non erit G, centrum cir euli A B C D E , quod G F , nou diuidat bifariam segmentum A F D : Multo minus, ris posterioribus duabus Ruris erit G , centrum circuiι A R C D E. iungantur res G I,G H, G B, GC, C E 3 eruntque omnes angulι ad G, rect/, ex desu. 3. lib. I i. Euc Quoniam vero renarum ex G, in eirculum A 2 C D E, eatentium in prima figura. - ς' mihim s G Αι In omnibus autem furis maxima est GDir er G C , ma . v. vel i s vii ior, quam G B; atque GI mori quam G Hς duae denique G C: GE, eq.ales: ἐν unes. tertii. propterea in prima, er tertia figura duo qua ἐrata rectarum A G, G P , minora duo dii ita; bus quadratis renarum I G, G Fe quibus cum aequalia sint quadrata rectarum F A, F Ii minus quoque erat quadratum ex F Α, quadrato ex FI ; atque adeo er recta F A, minor erit quam F I. Eodem modo Vendemus F Α , in eadem figura prima , tertia minorem esse , quam F H, c. In secunda Vero Hura minor quoque es F A, 3.primi. quam F I, vel F H, Erc. propterea quὸd n triangulis Α l F, Α H F, in quibus anagulm Α, res s est, ex defra. 3.tib. II. Euci ae proinde alii acuti. rena F A. subis. tendit angulum acutum I, vel H , at recta Fl, vel F H, ere.' angulum rectum A. Μ,nima ergo omnium est recta F Α . Rursus in omnibus figuris erunt duo quadrata 4 .ptim L. ex G D, G F, maiora duobus quadratis ex G C, G F e quibus cum aequalia sint q-drata ex F D, F Cp matus quoque erit quadratum ex 'F D, quadrato ex F C; ac pro inde cor recta F D, maior erat, quam recta F C . Non aliter ostendemus, rectam p D.
68쪽
maiorem esse, quam F B, Cre. Maxima ergo omnium est refla F D . Preterea in omis. ibus figuris erisui duo quadrata ex G C, ci F, maiora duobus quadratu ex G B , G F: quibus cum aequalia sint quadrata ex F C, F B; erit quoque tuadratum ex F C, maius quadrato ex F Ba ac proinde . recta F C, maior erit, quam F B . Non aliarer ostendemus, rectam F C, quae propinquior 6 maxima F D, maiorem esse quacuna sue alia remotiore, me. Adhuc ιn omnibus Duris eruut duo quadrata ex GI, GF, minora duobus quadratis ex G H, G F: quibus cum aequalia sint quadrata ex FI, F Hr erit quoque quadratum ex F I, minus quadrato ex F H ; propterea, er recta F I, minor, quam FH, erri. Eodemq; modo demonstrabimus , rectam F I, qua proupinquior est mimma F Α , minorem esse quacunque al a remotrore, me. Postremo erunt duo quadrata ex G C, G F, aquaita duobus quadratu ex G E, G F : quibu/rum AEquat a sui quadrata ex F C, F E , aequatia quoque erunt quadrata ex F C, F E,atque adeo er recta F C,F E, aequales erunt. Consat ergo id, quod propons tur. Caterum ut ex demonstratione patet, eam res iam dicimus propιnquiorem maxima F D,qua cadit inpunsfum Meintus puncto D: Illam vero propιnqviorem murma F Α, quα cadit inpundium propinquius punc Io A .
SI in sphaerae superficie intra circuli cuiusque peripheriam pun
etiam signetur praeter eius polum , ab eo autem aci circuli circuns retiam plurimi arcus circulorum maximorum ducantur semicirculo minores; maximus est, qui per circuli polum ducitur; minimus autem, qui ei adiacet: Reliquorum vero propinquior maximo, re notiore semper maior est: Duo vero arcus ab eodem maximo, vel minimo aequaliter remoti inter se aequales sunt.
s IT in sphaera circulus A B C D E , --ε polus F , signeturq; in sphaerae superfris intra peripherιam c/rcuti praeter polum F, punctum quodlibet G, a qua pluram,
'rcus maxι morum circulorum ad circunferens
iam eιrculi A B C D E, ducantur, quorum G A, sis utramque partem edustas transeat per polum
D arcus vero G B, propinquio ν sit ipsi G A,q-am G C; duo denique G B, G E, aequaliter distent ab 'eodem G A, vel a GDs sintque omnes hi arcus se.
micirculo minores : quod tism demum erit, cum se mutuo non intersecabunt in alio puncto, quam n G . Cum enim circuis maximi se mutuo diuia dant bifarram, erunt arcus G Α, G E,semicircu lo manores, cum nondum se inιersecent. Eademi:
ratione eruut at' arcus ex G, exeuntes minores
femi circulo, si se mutuo non interfecent. Quod si nus eorum, ut v. g. areus G A, set semicirculm , transirent omnes a I per punctμm A, essent et semicirculi quoque: in γε ro G A, esset semicirculo maior ,secarent eum omnes a I , antequam ad erreuna ferentiam peruem rent, essentq; semicirculo maiores , t patet . Vnde nihil eo Pigὸ posset. Dico arcum G A, omnium esse maximum, . GD, minimum e G B, vero ma. orem esse arcis G C; duos denique G B, G E, esse aequales . Quoniam enιm arcus Α D, secat circulum ABC, bifariam, ad angulos recissa erit recta subtensa A D,dia, H v meter I. primi.
69쪽
m ter eliculi ABC; . super ipsam rectum circuli fermentum A G D, eonstitutum, quod quid m inaequaliter secatur in G, Nam quia , ex defin. poli , recta subtensat s. tertii. FA, F D, aequales sunt , erunt quoque arcus FA, FD, aequales ι ae pro ride arcu. . . . A D, sectus erit bifriam iis F, atque ob id in G, non bifariam ) maiors pars est C M
3 i. S I in sphaerae superficie extra circuli cuiusque peripheriam pun
ctum signetur praeter eius polum, ab eo autem ad circuli circuns rentiam plurimi arcus circulorum maximorum ducantur scivici culo minores , secantesq; ct rcun serentiam circuli; maximus est, qui per circuli polum ducitur; Reliquorum vero maximo propinquior, remotiore temper maior est: Minimus autem est ille, qui inter punctum , & circuli circunferentiam extra circulum interi jcitur; Reli
quorum vero minimo propinquior, remotiore semper minor est: Duo vero arcus ab eodem maximo, vel minimo aequaliter remoti inter se aequales sunt. I N Dbara circ.Im sit A B C D E, cuius poluι F, signetur in Obκrae seperficie
extra per be Nam circvli , Iunctum quodvis ci , preter alterum polum circuli
A B C D E: σ a G, plurimo arcus maximorum circulorum ducantur ad erreunferentiam et rcua
li A B C D F, ipsam secantes 1 quorum G D F A, perpolum F , transea ιι arcus ero G HB , proopinquior sit ipsi G D F Α, quam G I C : duo deantque GH B, G ΚΕ, aequaliter dissent ab re isdem G D F A , , I a G D, sntque omnes hi araeus semicirculo minores : quod tum demum erit, cum se mutuo non intersecabunt in alio puncto , quam in G , vetati νn antecedenti theoremata es ostensum . Dico arcum G Α , esse omnium maxιmum t m o B , maiorem quam G C : Miniamum autem esse o D 1 Cr G Π, minorem quom G I et Denique duos arcus G B, G E, 1 t. huius. Item G H, O K , aequales esse. Quoniam enim arcus G A, secat erreulum A B C D F, bifariam, tar ad angulos rectos; erit recta subtensa A D, diameter circula A B C D E,
super ipsam rectum circuli segment constitutum D G, quod initium sumens a mper G, ducitur, donee in alio puncto A, circulum A B C D E, iterum feeeri quod quiadem non bifariam fictum est in o , quod G , non ponatur polus circiai A B C D E, in quo dictum segmentum bifariam diuiditur, γι in praecedenti theopemate ostensum est. Jmaiorque pars est a puncto G, siue ad A, eum in ea sit reliquus polus, alias areus G D A, permirumque polum .uceretur. minor vero D G. Igitur recturum ex G.
70쪽
THEOREM A LO. PROPOS. 22. H. SI in sphaera maximus circulus Vnum quidem icirculum tangat, alium vcroci par telum secet, positum inter sphaerae centrum, & eum circulum,
quem tangit maximus circulus, potu S autem maXi . . mi circuli fuerit inter utrumque parallelorum,describanturque maximi circuli tangentes duorum parallelorum maiorem: hi omnes erunt inclinati ad maximum circulum, de eorum rcctissimus quidem erit ille, cuius contactus erit in eo puncto, in quo maius segmentum paralleli maioris bifariam diuiditur ; humillimus vero & maxime inclinarus, cuius contactus crit in eo puncto, in quo minus segmentum bifaria diuiditur: Reliquorum au- .: tem illi quidem, qui aequaliter dillant ab alterutro' eorum punctorum, in quibus segmenta bisariam secantur, sunt similiter inclinati: qui Veso conta- ictum remotiorem habet a puncto, in quo maius , segmentum bifariam secatur,inclinatior perpetuocii, quam qui contactum eidem puncto propio- .
rem habet. Polidenique maximorum circulorum, crunt in uno circulo, qui & minor erit eo circulo, quem