장음표시 사용
361쪽
bunt&trii latera tribus lateribus aequalia, singula singulis, quae aequales angulos subsen d Unt. .
HABEANT duo triangula cohaeri ea A BC, D E F , tres angulos A, B, C, tribus angulis D, E, F, sin los singulis , aequales. Dico Re tria latera A B, A C, BC, tribus lateribus D E, D F, E F, esse aequalia,singula singulis,
quae angu los aequales subtendunt. Si enim latera BC, EF, vi ab his lateribus exordiamur. non sunt aequalia,sit BC, si fieri potest, maius; S abscindatur arcus BG, arcui E F , aequalis . Aut ergo arcus B A,aequalis est arcui E D,
aut Inaior, aut minor. Quodcunque horu dicatur, sequetur absurdu ex eo , quod inaequa-
ia dicuntur esse latera B C, E F , nempe B C,
maius, quam E F. Sit enim primum arcus B. X, arcui ED, aequalis ; ducaturque per puncta A, G, arcus maximi circuli A G. Igitur cum latera B A, B G,aequalia sint Ia ictibus E D, E F,angulosque contineat aequales B, E,ex hypothesi erunt anguli B A G,& D,aequales: Est autem angulus D, post ius aequalis angulo BAC. Angulus igitur B AG , aequalis erit quoque angulo B AC , pars toti . Quod
SIT deinde a reus B A, maior arcu E D , Sabscindatur arcus BI, aequalis ipsi E D; ac per puncta G, I, arcus circuli maximi ducatur GI, conueniens The eum arcu C A, protracto in H. Quoniam igitur latera B l, B G, aequalia sunt lateribus E D, E F, angulosque continent aequales B , E; erunt anguli B I G, 7 'R R
BGI, angulis D, F, hoc est, angulis B AV, B C A, aequales;quod bis duobus aequales sint positi D , & F ; sunt autem anguli B lG, B A C , angulis HIA,' huius. H A K, ad verticem aequales. Aequales ergo sunt & anguli H A K, HI A. Igitur cum de angulus BG H, externus aequalis sit interno BCH ὲ N externus V A K, interno HI Κ, ut ostendimus:erunt tam arcus A H, H l,quam arcus 1 .huius. C H, H G, semicirculo aequales; atque adeo arcus A H, HI, arcubus C H, H G, aequales erunt, pars toti. Quod est absurdum. SIT tandem arcus B A, minor arcu E D, producaturque ultra A,& ex eo abscindatur arcus B K, aequalis arcui E D; atque per puncta G, K, arcus cir- h. tu culi maximi ducatur G K, secans arcum AC, in L. Quoniam ergo latera BK, zo . Tlum BG, lateribus E D, E F , aequalia sunt , anetulosque continent aequales B, E; erunt & anguli B K G, BGK, angulis D, F, hoc est, angulis B RC , BC A, 7. butus. quod his duobu aequalis sint positi anguli D, F. aequales. Itaque cum &angulus B A L, externus aequalis sit in teino B Κ L, Sexternus BG L, interno BC L, ut ostendimus, erunt tam arcus A L , L K, quam arcus C L,L G, is huiui. semicirculo aequales; ae proinde duo arcas A C, G K, integro circulo aequales erunt. Quod est absurdum, cum uterque a reus A C, G K, semicirculo sit ratu ius. minor. Non ergo inaequalia sunt latera B C, E F,sed aequalia. Eoden que modo ostendemus, lateia AC, D F, nec non AB, DE, aequalia esse. Tria ergo latera trianguli ABC, tr. bus lateribus trianguli D E F,aequalia sunt. Quare si duo triangula sphaerica,&c. Quod osendendum erat.
362쪽
THEOR. 18. PROPOS. 2 O. SI duo triangula sphaerica duos angulos duobus angulis aequales habuerint,virumque utrique, Unumque latus uni lateri aequale, quod aequalibus adiacet angulis: Et reliqua latera reliquis lateribus aequalia, Vtrumque utrique, & reliquum angulum reliquo angulo aequalem habebunt.
D V O triangula sphaeriea A B C,D E F,habeant duos angulos B, C,duobus angulis E, F, aequales utrumque utrique, & latus B C,lateri E F,aequale, quod aequalibus angulis adiacet. Dico & reliqua latera A B, A C, reliquis lateribus D E, D F,aequalia esse, utruna'; vir que,& reliquum angulum A,reliquo angulo D. Si enim latera A B, D E, svi ab his exordiamur. non sunt aequalia, sit A B, maius,&abscindatur arcus BG, arcui D E, aequalis,& per puncta C, G,arcus circuli maximi ducatur C G. Quoniam igitur latera G B, B C, aequalia sunt lateribus D E,E F,angulosque comprehendunt aequales B, E,ex hvpothesi
erunt & anguli B CG,& F, aequales: Sed F, aequalis ponitur Ipsi BC A. Igitur S angusus B C G, eidem BC A , aequalis erit,pars toti. Quod est absurdum. Non ergo inaequalia sunt latera A B, DE, sed aequalia.Quare eum latera A B, B C, lateribus D E, E F,aequalia sint,an gulosque comprehendant aequales B, E; erunt & latera A C, D F, aequalia,&anguli A, D, aequales. Quapropter si duo triangula sphaerica duos angulos,
SI suerint duo triangula sphaerica restingula,
habuerintque duos alios angulos aequales , & non rectos, nec non duo latera aequalia, quae sub rectis angulis subtenduntur: Erunt & duo reliqua latera duobus lateribus aequalia,Vtrumque utrique,&r liquus angulus reliquo angulo aequalis erit.
SINT in duobus triangulis sphaerieis A BC, DEF , anstuli B, E, recti, o duo εnsuli C, Fi aequales, non re*,nec non latera A C, D F, rectos angulos
363쪽
tulos subtendentia qualia. Dieo & reliqua latera A B, B C, reliquis lateri
us D E, E F, aequalia esse , utrumque utrique; Item & reliquos angulos A, D, esse aequales. Productis enim arcubus A c., BC, abscindatur arcus C H,arcui F D, hoe est,arcui C A, & arcus C G, arcui F E, aequalis; & per puncta G,
H, describatur arcus G Η,maximi circuli. Et quOnia latera C H, C G, aequalia sunt lateribus F D, e F E, angulosque continent aequales GC H, & F; Est enim ex hypothesi angulus F,angulo A C B, aequalis,& A C B, ipsi GC H , ad verticem aequalis. erunt & bases G H, E D,aequales,& anguli G,
H, angulis E, D, aequales; ac propterea, existente angulo E,recto, erit & angulus G,rectus. Ducatur iam per C ,& polum arcus BG , in utramque
Iartem arcus circuli maximi IC Κ , sitque I, po-us arcus BG. Et quia circuli arcuum B A, H G, transcunt quoque per polos eiuldem arcus BG, ob angulos rinos B , G ; conuenient arcus BA, G H, protracticum arcu CI , in polo I. Conueniat quoque arcus G H , ex altera parte cum eodem arcu IC K, in K, puncto , quod alter polus erit arcus B G, eum uterque arcus I CK, I GK, per alterum polum arcus B G, transeat. Erunt igiturare si arcus I B, IC, I G, aequales; propterea quod rectae subtensae illi, inter se aequales sunt,ex definitione poli: Similiterque aequales erunt arcus KC,KG. Quoniam vero anguli ICG, Ι GC, aequales sunt angulis ΚCG, KGC, cum omnes sint recti; quod I, polus Di arcus BG; illisque adiacet latus commune CG ; erunt latera IC, IG, lateribus KC, Κ G, aequalia, vir unque utrique;ac propterea cum I G, arcus arcui I B, aequalis sit ostensus, eritti a reus LG, eidem arcui I B, aequalis. Et quoniam latera I C, C A, aequalia sunt lateribus K C, C H, factus enim est arcus C H, arcui A C, aequalis . angulosque ad vertice continent aequalest,erunt bases I A, KH,& anguli I A C, Κ HV aequales. Ablatis ergo arcubus aequalibus I A, Κ II, ex arcubus aequalibus I B, K G, S angulis aequalibus I A C, K H C, ex binis ad A,& H,quorum bini duobus rectis aequales sunt remanebunt & arcus A B, H G,& anguisti B AC,G HC,aequales:ostensus est autem arcus H G,arcui DE,& angulus HC, angulo D equalis. Igitur & arcus A B, arcui D E,& angulus B A C, anissulo D, aequalis erit. Quare cum latera A B, A C, aequalia sint lateribus DE, i F, angulosque complectantur aequales; erunt & arcus BC, E F , aequales. Sunt ergo latera A B, BC, lateribus D E, E F, aequalia,& angulus B A C. n-gulo D. Quamobrem,si fuerint duo triangula sphaerica rectangula,&c. Qii 'ddemonstrandum erat.
364쪽
Error Nicoui CoreI nici. Alina error Nieolai eo pernici.
C, couaIis. itas duo tri gula ADB, AD C, angulum rectum D, balent eommuonem, in duos angvios A B D, C. Muales, tar nou rectos: cati s latera A B, Aginatia essent,propter angulos B, C, recto Cr κΤ-ales: nee non latus A D, aqua. Ies angulos non rectos subtendens,eommune r Et tamem nec reliqua latera AB, B D , retiquis lateribus A C, C D, aequatia Dut, utrumque iraque, nec reliquus amaulin B A D, reliquo angulo C Α D , ut perspuuum est. Hoe autem νndeprouenit,qu od latera aequalia nora subis tendunt rectos angulos, sed latus commune a D, augis.los aequales non re Ios subtEndit. Qv AΜOBREM decipitur Nicolaus Cope r meus lib. I. Reu Iutionum propos. 6.tra uti ruiphaerteorum, rubi dicit. Si bina triangula rectum a neu lum,ac m-fuper alii tm squalem laabuerint,alterum alteri,unumq; latus uni lateri aequale,quod alterutri qualiu angulorum etia non recto, ut in demonstratione dicit opponitur; reliqua quoque latera reliquis lateribus,alteru alteri , acangulum angulo, reliquii reliquo aequalem habebunt.J oppositum enim ostparure an iriaetulis re lang-lis Α D B , A D C, in quibus laιus commune A D , opponitur ungulis κ2ualιbus Α Β D, A c D, uou rectis. Vnde verum nonsemper est, quod idem Coperuieus docet ibidem propos . ubi ait. sIn quocunq; tria gulo rectum angulum habente,alius insuper angulus fuerit datus, cum quo libui latere,reliquus etiam angulus cum reliquis lateribus da abitur.J inuis enim angulus ream D, c angulus A B Dinotrytit,eum latere Ao, quod angulo noto A BD, non recto opponitur , non tamen propteream cognitionem reiι κι anguli, in reliquorum laterum vetuemus, eum reliqua latera possini esse νela B, BD, vel A C, C D , e reliquus angulus vel BAD, vel C A D, νt perspicuum Oportebit ergo alι quid aliud praeterea connyare,antequam reliquus angulus cumretiquis lateribus codigatur, ut in Ahobotropos. .docebιmus.
Si fuerint duo triangula sphaerica, quae duos
angulos habeant duobus angulis aequales, Utrumque utrique, Unumq; latus uni lateri aequale, quod uni aequalium angulorum subtenditur, duo velo latera subtendetia reliquos angulos aequalus ς qualia non sint semicirculo, sed vel maiora, vel minora: Erunt & duo reliqua latera duobus reliquis i
teribus aequalia, Vtrumque Virique,& reliquus angulus reli Quo angulo aequalis erit.
HABEANT duo triangula sphaerica A B C, D E F , duos angulos B,
365쪽
C, duobus angulis E, F, aequales, utrumque utrique,' latera AC, D F,si b- tendentia angulos aequales B, E, intcr se aequalia , reliqua vero latera A B, DE, subtendentia alios aequales angulos C, F , non aequalia snt i emicirculo, sed vel maiora et minora. Di eo reliqua latera C B, B A, reliquis lateribus F E,E D,essse aequalia, utrumque utrique, reliquos quoque an gulos A, D, esse aequales. si enim C B, re F E, non sunt aequalia, sit CB, maius,& abscindatur CG, a reuiareui F E. aequa Ii ,3 per A, G, ar
lia sunt , angulosque continent aequaltis C, F erunt & arcus A G, D E, & anguli A G 5e F aequales:Ρ sirus es autem an- ν. huius. pulus E, angulo B, aequalis. Axqsalis igitur est etiam angulu, A G C, angulo B; ac propterea arcus AB. A G, iemicirculo aequa lex erunt. Cum ergo arcus M. buxi . A G, arcui D E, ostensus fit aequalis,erunt quoque arcus A Z . D E , iemicirculo aequales: Ponuntur autem & non aequales semicirculo. Quod est absurduin. Non ergo inaequales iunt arcus C B, F E,sed aequales. Quare cum latera A C, C B, sint aequalia lateribus D F:, F E, angulo que xo uales contineant C, F ; erunt & arcus A B, DE &anguli B AC, N D. aequales. Si igitur suo μ μ 'tinc duo triaugula sphaerica ,&c. Quod demonstrandum eiat
. dii XI MVs, duo latera subtendentia reliquos angulas aequales, non debereos aequalia sein circulo . Nam aIMis propositio vera non sis . sit enim triangulum filiae racum A B C , quodcunq; habens duo latera A B , Ab c , inaequalia ιnter se, sd imul simi eis eun aequalia e Produc a autem latere η C,
Aue ad D, ta tamen, ut B D, semicirculo sit minor. duacatur per A, D, arcus circul max1m3 A D. Quoniam Cratur arcus Α Β, Α C.semtor cisis aequales sunt, erat angu- Ius A C D, angu Ioly, aequalμ. itaqs duo triangula Aa D, A c D; duos araulos B, D , duobus angulis C, D, aqua res habent, utrumque vir'que , CV latus A r , commune, quod aequalibus angulis B, C,subtendιtur; π tamen nemque reliqua latera A B, B D, reliquis iateribus AC,C P, aequalia sunt, utrumque utrique , neque eliquiu angulus B A D, reliquo a MisC A D, ut perspicuum es. Hoc autem ι deo contingit,quod latera Α'v, A C ,sem. r. eulo sunt aquatia. N l c O L A VS ergo Copernicus lib. t. Reuolutionum propos i 2. triantularum Et ' Ni Phaeneorum hallucinaι ur,cum docer,omne triangulum stli4rreum uius duo anguιι teunque dat= 'erint, eum aliquo latere, datorum estio angulor Mu , ein laterum. 'Nam in triangulo A C D, licet du=anguli D, er A C D , noti ut eum latere AD, '
non tamen ex hoe perueniemus in notitiam reIt quorum laterum,'rel/qtis a vult:
praeterea Aliquid aliud constare, antequam reliquus angulus,cum reis qui Iateratas cogitissaιur, t insebotio propos q3. dicemus. .
366쪽
j d rariae M GUTA THEOR. ii. PROPOS. 13. ' Si fuerint duo triangula sphaerica, quae duos angulos duobus angulis habeant squales, utrumque utrique, duoque latcra duobus lateribus circa r liquum angulum aequalia, Vtrumque utrique, min reliquo angulo dicto non sit polus reliqui lat iis: Erit & reliquum latus reliquo lateri,& reliquus angulus reliquo angulo aequalis.
IN duobus triangulis sphaericit A B C, D E F , sint anguli B, C, anguli,
E F, aequales, uterque utrique,& latera A B , A C , et rca reliquum angulum A. aequalia lateribus D E, D F, utrumque utrique,non sint autem A, o, po- li a reuum B C, E F. Dico & reliqua latera BC, E F, aequalia en,& reliquos angulos A, D. Si enim arcus B C, EF,non sunt aequales,sit BC, maior,abscindaturque arcus CG,aequalis ipsi F E, & per puncta A, G, arcus maximi circuli describatur A G. Quonia igitur latera AC, C G,aequalia sui lateribus D F,F E,angulosi, aequales continent C, F 3 erunt & arcus A G, D E, & anguli A G C, & E, aequales: Ponitur. autem arcus D E,arcui A si,& anFulus E,angulo B, aequalis.Igitur & arcus A G, arcui A B,& angulus A G C, angulo B, aequalis erit;atque adeo, cum A G C, A G B, sin t aequales duobus rectis, et utS B, A G B, duobus rectis aequales: Sunt autem B, & A G B,inter se aequales,
ob aequalitatem arcuum A B , A G. Vterque igit ut rectus erit; ac propter 33.1. Theo. uterque arcus A B, A G, per polum arcus B C.transibit Est ergo A,polus ar-' eus B C . Quod est absurdum . Ponitur enim non esie . Non igitur inaequales
1 .huma. sunt arcus B C, L F, M aequales , atque idcirco S anguli B A C,&D, aequa
. vs T autem necessaria conditio illa, quod 3n reliquo angulo polus non sit reliqMiaierM.Falsa enim egὸt proposit o in ido angulo polus f. in
367쪽
Ios A C, D A C, aequalia, ιrumque utrique, m tamen neque reliqua latera B C, D C, aqualia inier e sunt , neque reliquι anguli B A C, D A C , νι manifes/uuis. Noe autem ideo accidit, quod A, tolui sit arcuum B C, D C. Hi NC perspicuum quoque est, copermcu ba Fucinara lib. I. Revo Iulionum proatos. 32. cum asserit , omne triangulum sipharacum , cuius duo anguli vicunque dati ς 'Ri. si 'fuerint, eum aliquo latere , datorum effer angulorum , Cr laterum . Nam in triari, i R 'aulo ABC, et ιamsi dentor duo anguti B, C, eum duobuι lateribvi A B, AC, in non cum vno tantum, ut ipse vult) non tamen stat 3m reliquum latus, retiquus anguias cognos et uri cum νeli Juum latus se possit vel B C, vel D C, Er reliquis angis Ius vel B A C, vel D A C, c. Aliquid ergo aliud praeterea eo et, necesse est ut relioetum angvlu',cum reli tuis laterib M cognoscatur, νι in scholiot: cpos 4 Desedernus.
THEOR. 11. PROPOS. 26. SI suerint duo triangula sphaetica, quae Vnum angulum uni angulo aequalem habeant,&duo latera duobus latctibus circa alium angulum aequalia virlimque utrique, atq; Vtrum que reliquorum angulo tum v ct maiorem recto, Vci minorem: Erit& reliquum latus reliquo lateri aequale, & reliquianguli reliquis angulis aequales, Uterque Viri qu .
IN duobus triangulis sphaericis A BC, D E F, sint anguli B, E, aequales,
Si duo latera BC, C A ,equalia duobus lateribus E F,F D, utrumque utrique, circa angulos C, F,& uterq; anguloru reliquorum A, D, vel minor sit,uel maior recto. Dico reliqua latera A B, D E,aequalia quoque esse,& reliquos duos angulos A, C, reliquis duobus angulis D, F, utruq; utrique.
Si enim latera A v, D F, aequalia non sunt, sit A B , maius, & abscindatur arcus B G, aequalis arcui D E, & per puncta C, G, arcus circuli maximi ducatur C H . Quia igi- tui latera B G. BC, a qualia sunt lateribus L D, E F, angulos' ue comprehendunt aequales B, E; erunt Se arcus G C, D F, ν.hui uti S anguli G, D, aquales: Ponitur autem arcus D F, arcui A C , aequalis . Aequa lis igitur erit quoque arcus GC , eidem arcui A C; atque adeo anguli A, 3. huius. R C G A. aequales . Et quoniam anguli duo ad G , sunt aequales duobus re- 1.huius.ctis, erunt quoque duo anguli BG C, &'A, duobus rectis aequales ; ac proinde , cum angulus B G C, ostensus sit aequalis angulo D , erunt S duo anguli D, δ' A , duobus rictis aequales. Quod fieri non potest. Cum enim uterque
nor recto ponatur,vel maior, erunt ambo simul vel duobus rectis minores,
vel maior ea. Non ergo inaequalia sunt latera AB, DE, sed aequalia. Quare Aa a & duo
368쪽
r t. huius. R duo Anguli A, C, duobus angulis D, F, aequales erunt, uterque utrique. safuerint igitur duo triangula ,&c. Quod ostendendum erat.
DIXIMUI, utrumque reliquorum angularum debere esse vel maiarem, vel minorem recto . Nam alias falsa esset propositio . Sit enim triangulum sphaerieum Thςod quodeunque ABC, habens duo Iaιera AB, AC, aequatia r Prodis Io autem latere C B ad D, ita ut C D, D arcus semicirculo minor, ducam tur ster puncta A, D, arcus circuli maximi A D. itaque triangula A D B, A D C,angulum angulo aequalem habet nempe D. communem , tr duo latera AD, A B, aequalia duobus lateribus Α D, A C, trumque utriquυ tamen reliqua latera DR,DC, aequatia non sunt , nee reliquianguli D A B, D A C, immo neque anguli A B D, A C D, msi uterqν r.esus sit, ut demonstrabimus. Noe autem ideo euenit , quod non uterque angulus A B D, A C D , maiores vel minor redio, sed vel uters recIus, vel unus maior res O , Cr alter minor: quod ita ostendemus . Sit primum angulus Α Β D, rectus . Dico Cr C, rectum esse . Recto enim exissente antulo A B D, erat . A a C, reflus quod ambo angul/ ad B, aqualcs sint duobus renis r sed hic aequalis es angulo C, ο, aequalitatem laterum Α Β, Α C . Igitur m C, recrus erit iasi Τ deinde angulus Α Β D, maior recto. Dico C , minorem esse reno . Cum enim. A B D, sit recto maιor, erit A B C, minor recto, cum ambo duobus rectis si it aqua Iesiauit urinangulus C, qui aequalis 6 angulo ABC, recto minor erit. s l T tandem anguluι Α Β D, minor recto. Dico C,s e recto maiorem. Cum enim A B D, sit minor retio, erit ABC, hoe est, sibi aequalis C, maior recto..HINC manifestum est, propositionem L Nicolai Copernici de Ipharicli trianguis Iis,lib. I. Revolutionum falsim ere, quo ad eam partem,tra qua dicit. Si bina triancula duo latera duobus laterisus aequalia habuerint, a iterum alteri, anguintum angulo aequalem, qui ad basim fuerit; basim quoque basi,ac reliquos angulos reliquis angulis habebunt aequales. Hoe em m νerum non est, nisi ponatur
uterque reliquorum angulorum ad basim vel maior recto , vel minor . In triangulis
enιm propositu Λ D B, A D C, sunt duo latera A D, A B, duobus Iateribus A D, A C, aequalia , anguluit; D, communis esZs per bases D B, D C 3 Er tamen bases nou sunt. aequatis, ob causam dictam. Aliua error UNDE errat ι dem Nicolaus in eodem libro propos tr. ubi ait. Omne trian- Nicolai Co gulum, cuius duo latera fuerint data cum aliquo angulo, datorum efficitur 2 Mς ' angulorum ,& laterum . Nam ei iam si latera A D. A B, nota si reum a guto P,
. non tamen /nde tu notιttam alterim lateris , Cr altorum angulorum peruem in x,
cum reliquum latus possit esse vel DB, vel D C , Ere. Neeesse est ergo aliud qui ψ' ptam praeterea constare, antequam reliquum latus . cum reliquis angulis notum eΟ-Datur, γt in scholio propos 4 . perspicuumsaciemus ..
THEOR. 13. PROPOS. 2S.I N omni triangulo sphaerico Iso scele, si duo
369쪽
latera aequalia sint quadrantes, erunt duo anguli aequales super basim recti: si vero utrumque quadrante minus sit, acuti: si denique maius quadrante, obtusi. Et si duo anguli aequales ad basin sint
recti, erunt duo latera aequalia, quadrantes: si ve-IO acuti, Vtrumque quadrante minus erit: si denique obtusi, Utrumque quadrante maius.
IN triangulo sphaerico Isoste te A BC , sint primum duo arcus aequales
A B, A C, quadrantes. Dico aequales angulos B,C, ad basim esse rectos. Cum enim uterque arcus A B, A C, quadrans sit,erunt ambo simul semicirculo aequales. Qv are producto
arcu B C, ad D , angulus A C D, aequalis erit angulo B: sed angulus B, angulo A C B, aequalis est. Igitur & angulus, A C D, angulo A C B, aequalis
erit; atque adeo,cum duo anguli ad C,duobus rectis ς quales sint,etit uterque angulus ad C, rectu . Q nare& angulus B, qui recto A C B, aequalis est, re ctus erit. Quod est propositum. 'SI T deinde uterque arcuum A B, A C,aequalium quadrante minor. Dico angulos B,C, aequa inles esse acutos. Cum enim uterque arcus A B, AC, quadrante minor sit, erunt ambo simul semicirculo minores. Quare angulus A C D, maior erit
angulo B, hoc est , angulo A C B; cum anguli B, N A C B, aequales sint . Cum ergo duo anguli ad C, aequales sint duobus
rectis , erit angulux A C B, recto minor; atque adeo angulus B qui ei aequalis est, recto quoq; minor erit. Sunt ergo duo anguli B,& AC B, acuti. Quod est propositum. SIT postremo uterque arcuum A B, A C, quadrante maior. Dico angulos aequales, B, C, esse obtusos. Cum enim uterque arcus A B, A C, maior sit quadrante, erunt ambo maiores semicirculo. Quare angulus A C D, minor erit angulo B, hoc est, angulo A C B, qui angulo B, aequalis e st. Cum ergo duo anguli ad C, duobus rectis sint aequales, erit angulus A C B , recto maior, hoc est, obtusus; atque idcirco & angulus B, qui ei aequalis est, obtusus erit. Quod est propositum . SED iam uterque angulorum aequalium B, C, sit rectus. Dico utrumque arctimi A B, A C, quadrantem esse. Cum enim A C B, rectus sit,& duo anguli ad C, aequales duobus rectis, erit quoque A CD, rectus, ac proinde recto B, aequalis. Sunt ergo duo arcus A B, A C, simul semicirculo aequalos,ae propterea cum ipsi aequales ponantur,vterq; quadrans erit. Quod est propositu. DEINDE vterque angulorum B, C, sit acutus. Dico utrumque arcum A B,A C,quadrante minorem esse. Cum enim duo anguli ad C, aequales duo Aa a x bus
370쪽
bus rectis sint, & A C B, ponatur recto minor; erit A C D, recto maior I aepropterea maior, quam B, qui recto etiam minor ponitur . Sunt ergo arcus AB, A C, simul semi- A circulo minores; atque idcirco,cum ipsi sint ς quales, uterque quadrante minor erit. Quod est propolitum. POSTREMO sit uterque angulorum B,C,
obtusus . Dico utrumque arcum A B, A C, maiorem esse quadrante . Cum enim duo anguli ad C, sint aequales duobus rectis,& A C B, ponatur malo erecto , erit A C D, recto nil nor , atque idcirco mi. nor angulo B, qui recto quoque maior ponitur.
Arcus ergo AB, A C, simul maiores sunt semici culo; atque adeo,cum ipsi aequales sint, erit uterq; quadrante maior . Quod e st propositum. In omni ergo triangulo sphaerico I scele,&c. Quod demon strandum erat.
E X his sequitur , omne triangulum sphaeri eum aequi laterum, seu aequiangulum, si sinistula latera sint quadranto, habeιe singulos angulos rectos i ii vero quadrante minora.aeuistos . si denique qua diame maiora . Obtuslas. Et omne triangulum sphaericum aequi anguis lum, seu aequila telum si singuli anguli sint resti, habete singula latera quadrantes : si vel ci cuti, quadiante minora i ii denique chiuli, qua di aut e maiora .
CAETERVM, quando duo latera trianguli sphaerici sunt quadrates, utrumoque angulum ad basim esse ree um: Et si uterqse angui s ad basim refi- es,ut rumoque Iaιus usι quadrantem, demonstrarι etram poterat bac rat one. SINT in triangulo ABC. quadrantes A B, A C . Dico angulos B, C, esse reflos . Produstu enim artubus A B, A C, donee coeant in D, νι sut Α Β D, A C Ddemicireulii eruuequoque aretis D B. D C , quadrantes t atque adeo uterq-arem ABD, A C D, bifariam diuidetur ab arcis B C, impunctis B, Cr C . igitur arcus B C, per polos arcuum A B, A C, transbit i atque idcirco rectos angulos ad B , . C. Uci et . VERUM iam anguli B, C, resi sint. Dieo latera A B, AC, quadrantes esse. Cum enim anguli B, C, sint recti, transibit a rem B C . per polos arcuum Λ B D, A C D,qui quidem semicirculi sunt sat que adeo utrumque bifariam se in ea ιιι 1n B, C . Sunt ergo arcin Λ Β, Α C, D B, D C, qua udrantes . Quod demonstrandum erat.