장음표시 사용
371쪽
s τ'n Ar a re s. st duo latera aequalia ni quadrantes, si angulus sub ipsis comprehensiis fuerit rectus, erit basis qua
drans : Si vero acutus, quadrante minor: Si denique obtusus, quadrante maior . Et sit basis fuerit quadrans, erit angulus sub lateribus comprehensus,rcetus: Si vcro minor quadrante, acutus : i d nique maior quadrate, obtusus. Sem per autem p O lus basis erit in anonio sub lateribus coprehenso.
IN triangulo sphaereo I seele ABC, sint latera A B, A C, quadrantes, L primum angulus A, sit rectus, ut in prima figura . Dico basim B C,quadrantem esse. Cum enim A B, A C,sint quadrate ,erunt anguli B, C, recti . Quare
SIT deinde angulus λ, acutus , ut in secunda figura . Dico basim B C,
Ium arcus A B, arcu circuli maximi A D, erit anapulus B A D, rectus, atque adeo maior acuto angulo B A C. Occurret ergo is .i Theod. A D,arcus arcui BC, producto,nempe in puncto D. Quoniam igitur in triangulo A BC, uterque angulus B, C, rectus est, erunt in triangulo A B D, duo, huiui. anguli recti B , & D A B, ideoque aequales; ac propterea & arcus DA, DB, , hus. . aequales erunt. Quare Iso sceles est D A B, habens ad basim A B, duos angu- is . huiuialos rectos; ac proinde uterque arcus A D, B D, quadrans est . Igitur B C,qua drante erit minor. Quod est propositum . TERTIO sit angulus A, obtusus, ut in tertia figura . Dico basim BC, esse quadrante maiorem . Ducto enim per A, S polum arcus A B, arcu circuli 1o. Theod. naximi A D, erit angulus D A B, rectus; atque adeo minor obtuso angulo is Theod. B A C. Occurret ergo arcus A D, arcui B C, intra triangulum, nempe in puncto D. Quoniam ergo in triangulo ABC, rectus est uterque angulus B, C, a .huius. erunt in triangulo D A B, duo anguli ad basim A B, recti &propterea aequasles; atque idcirco & arcus A D, B D. aequales. Quare Isosceles est D A B, ha
bens ad basim A B, duos angulos rectos. Vterque igitur arcus A D, B D,qua. al, huius. drans est, ideoque B C, quadrante maior . Quod est propositum . SED iam basis B C, quadrans sit , ut in eadem prima figura . Dico angulum A, rectum e sie . Quoniam enim duo arcus C A, C B, quadrantes sunt, aue .huius. erit
372쪽
erit uterque angulus A, B, rectus. Rectus igitur est angulus. A SIT deinde basis BC, quadrante minor. Dico angulum B A C, esse aeuistum. Producto enim arcu B C, ad D,ut sit B D, quadrans, ducatur per pun- Io.iTheod. cta A, D, a reus A D, circuli maximi. Quonii igitur duo arcus BA, BD,
quadrates sunt, erit utera a I .huius. que angulus D,& A B, rectus . Acutus igitur estantulus B A C. N IT ladem basis Bmaior quadrante. Dico angulum B A C, obtusum a. huius. esse. Abscindatur B D,ar-B-c xus aequalis quadrati A B;
Sper puncta A, D, arcus o. Theod. circuli maxuni deseribatur A D. Et quia duo arcus B A, B D, quadrantes sunt, erit uterque angu- 3 .huius. lus BD A, DA B, rectus. Obtusus igitur est B A C, angulti . DICO praeterea, in omnibus his punctum A, polum esse basis B C. Cum s. huius. enim latera A B, A C, ponantur quadrantes, erit uterque angulus ad basim M.t Theod. B C,rectus; ac propterea uterque arcus A B, A C, per polum arcus B C,tranis sibit. Sive igitur B C, quadrans it, siue minor, siue maior quadrante; Et siue angulus A , sit rectus , sue acutus, siue obtusus , semper punctum A, ubi coeunt arcus A B, A C, polus erit M sis B C. In omni igitur triangulo Iso,. ccete sphaerico, cuius duo latera, Sc. Quod erat ostendendum.
I M M o in omni triangulo sphaerico babente duos angulos rems , demonstraue
invi eodem modo, in concursis duorum laternm , quae rectos subtendunt angulos, reotiqvi lateris. quod rectis angulu ad acet, polum esse , etiamsi nondum sciatων , duo illa latera esse quadrantes. Sint enim tu tramuis spbarico ABC, duo auuti rem io.Theod. B, C . Dico A, porum esse ψrcμs B C 3 Nam me que arcus Α Β, Α C, per polum a re B C, transibus ae propterea A, polus erιι arcus B C. a s.huiui. VER. um est tomen, duφι arc- Λ B, A C, essesemper quadrantes , propter a gulos rectos B, C .
THEOR. 11. PROPOS. 27. IN omni triangulo sphaerico, cuius omnes a cus sint quadrante maiores , vel Vnus quadrans,& reliqui duo quadrante maiores, omnes tres anguli sunt obtusi.
373쪽
IN triangulo sphaerieo A B C,sint primum singula latera quadrante ma-
sora. Dico tres angulos A, B C, esse obtusos. Aut enim triangulum aequilaterum est, aut Isosceles, aut Scalenum . S I aequi laterum,perspicuum est, tres angulos e sse obtusos ias I vero est Isosceles, habcns duci latera A B, A C, aequalia, erunt duo anguli B, C ad basim obatus. Sint quadrantes B D, B E , & per puncta D, E, arcus circuli maximi ducatur E D, conueniens cum arcu C A, protracto in F .Quoniam igitur B D, B F, quadrantes sunt, Sangulus Msus est obtusus , erit D E, arcus quadrante S anguli B D E, B E D, recti : Ponitur a arcus AC, quadrante maior. Igitur arcus DE, AC, simul semicirculo maiores sunt; ac propte rea arcus F D,FR, simul minores semicirculo,cum arcus FE, F C, integro circulo simul si n t mino.
res; cum uterque arcus minor sit semicirculo. An π - - .
pulus igitur F D B, maior est angulo F A D: Est autem angulus F D B rectus: M. huius, quod anguli F D B, BDE, duobus rectis aequales sint,& BD E, rectus osten- s. huius. sus. Ergo F A D,acutus est;ac proinde, cum F A D, D A C, aequales sint duci. 1 bu Mabus rectis, angulus B A C, obtusus erit: ostens sunt autem & anstuli B Cobtusi. Omnes ergo tres anguli A, B, C, obtusi sunt. ψ S I denique triangulum A BC, est Scalcnum , sit latus A C, latere AB
maius,& abscindatur arcus AD,arcui A B,aequalis eritque adhue arcus A D'quadrante maior, quod & arcus A B,cui aequalis est, maior ponatur quadran I.hulus.
anguius A D B,R B D, obtusus. Multo ergo ma-
is obtusus erit angulus ABC. Sint quadrantes, E, B F. S per puncta E, F, ducatur arcus E F, circuli maximi,coiens cum arcu C A, producto in G. Quonia igitur B E,B F,quadrantes sunt, erunt anguli ad E,& F, recti;& cum angulus E B F, ostensus sit obtusus, erit arcus E F, quadrante maior rPonitur autem & arcus AC, quadrante maior. Igitur arcus E F, A C, simul semicirculo sunt maiores ; N idcirco multo magis F G, C G, maioreserui semicirculo . Angulus ergo BF G,quem ostendimus esse rectum,minor est angulo B C G;ac proopterea angulus C, obtusus erit. Et quoniam arcus FG, CG, simul integro sunt circulo minores ;quod uterque semicirculo minor sit; & E F, A C, simul semicirculo maiores; erunt arcus G E , G A,simul semielreulo minores ; ac proinde angulus G E B, maior erit an ulo G A B. Cum ersto an u- L
lus G E B, rectus sit, quod duo anguli ad Etauobus sint tecti, aequalic& an. s. ' '
pulus B E F, ostensus sit rectus; erit angulus G A B,acutus. Quapropter cum A B, B A C qua lex sint duobusrectis,erit B A C,obtusus. Sunt autem duo ..huiu etiam anguli A B C, SC, ostensi obtusi. Tres ergo anguli A, B, C, trianguli
374쪽
SIN Τ lam in eodem triangulo ABC, duo arcua AB, AC, quadrante
quidem maiores,at B C,quadrans. Aut igitur arcus A B, A C, aequales sunt. aut inaequales . Si aequales, erunt duo anguli B,C,obtusi. Sit quadrans B D, S per puncta C, D, arcus C D, maximi circuli dia iscatur conueniens cum arcu C A , protracto in E . Quia igitur a reus BC, B D, quadrantes sunt,crut
angulum B, quem obtusum esse ostendimus , qua drante maior : Ponitur autem & arcus A C, quadrante maior . Igitur arcus C D, C A, simul maioressint semicirculo I ac propterea , cum arcusCDei CA E, circulum conficiant, quod ut cr-que semicirculus sit. erunt arcus E D. E A, semicirculo minores. Quare a naulus E D B, qui rectus est , quod duo anguli ad D, aequales sint duobus rectis,& angulus B D C,ostensus sit rectus. maior erit angulo E A D; atque adeo E A D,acutuς crit. Cum ergo anguli E A D,D AC, duobus rectis sint aequalcs, erit B A C, Obtusus. Sunt etiam anguli B, C, demonstrati obtusi. Tres igitur anguli A, B, C, trianguli A B C, obtusi sunt. S I vero A B, A C, latera, quae quadrante maiora sunt,non sunt aequalia sit maius A C; & abscindatur arcus A D, aequalisa reui A B; & per puncta B, , o .i Theod. D, transeat arcus B D,circuli maximi: eri tque adhuc arcus A D, maior quadrante,cum ei aequalis A B, maior etiam ponatur.
Anguli igitur A D B, A B D, obtusi sunt. Multo
ergo magis obtusus erit angulus ABC. Sit quadrans B E, & per puncta C, E, transeat arcus C E,
circuli maximi occurrens arcui C A, producto in F. Quoniam igitur quadrantes sunt B E, BC, de angulus E B C,oste sus est obtusu , erit arcus E C, maior quadrate,scd anguli E,N B C E, recti erunt. Angulus ergo A C B , obtusus erit. Et quoniam arcus C E, ostensu est quadrante maior , ct arcus A C, maior etiam ponitur, quam quadrans; erunt arcus CE,CA, limul remi circulo maiores.Cu ergo arcus CE F,C A b, integro circulo aequales sint, quod uterque sit semicirculus. rut arcus F E, F A, simul semicirculo minores. Quamobrem angulus F E B, qui rectus est, sunt enim duo anguli ad L, duobus rectis aequales, &angulus B E C, ostensus est rectus. maior erit angulo F A E. Acutus ergo est angulus F A E; ae propterea, Cum duo anguli ad A, sint aequales duobus recti , an ulus B A C, obtusus erit. Sunt autem etiam ostensi obtusi anguli ABC, A C B. Tres igitur anguli in triangulo A BC,obtusi sunt. In omni ergo triangulo sphaerico uius omnes arcus, &c. Quod erat demonstrandum.
HAEC propositio non conuertitur . Non enιm omne t Gangu Iam θbarieum, tu
375쪽
duos quἰdem maioret quadrante, Cr unum quadranti aequaIem sed possunt esse duo quidem quadrante maiores, reliquus vero quadrante minor. sint enim duo semicir. culi insuperficie sphaera continentes angulos λ, C, obtusos . D ut ιur accipiantur duo arcus aequales AB, AD, quorum uterque maior sit sesquialtero quadrante, ita ut ambo ut tres quadrantes s perent a deserabatur
autem per punt1a B, D, a reus circula maximi B D; erit hie a rem B D, quadrante minor. Cum enim tres arem A B, A D, B D, integro circ. Io minores sint, ponatur autem duo arem AB, A D, trabin quadranti binmaro rest erre necesse famo tertim a reus BD, minor quadrate: Alias,
si quadrans esset, aut maior quadrante, superarent tres arein trianguli ABC, integrum circulum . Quoniam Citur duo anguli B, in D, in triangu Io A B D, obtusi sunt, necnon Cr tertius angulus Α, obtusus quoque, ex hapothssi; erunt omne= trra anguli A, B, D, obtusi: er ramen neque omnes arcus sunt quadrante maiores 3 neque duo tautum, tertius quadrans: sed duo quidem AB, AD, quadrante maioreι sunt, at tertiin arcin B D, quadrante manor, γt osenrimm .
THEOR. 16. PROPOS. 28. IN omni triangulo sphaerico rectangulo, cuius omnes arcus sint quadrante minores, relictui duo
anguli acuti sunt. Et si reliqui duo anguli sint acuti, erunt singuli arcus quadrante minores.
IN triangulo sphaerico ABC, sit angulus B, rectus,& singuli arcus quadrante minores. Dico reliquos angulos A,C, esse acutos. Producantur enim arcus B A, B C, ut sint quadrantes B D, B E ; S per puncta C, D, arcus maximi circuli ducatur C D, necnon per puncta A, E, ar eus circuli maximi A E. Et quoniam quadrans B D, b angulum rectum B, per polos arcus BC, transit, abestq; polus circuli maximi quadrate circuli maxi mi ab eo, erit D, polus arcus BC. Igitur erit anguinius B C D, rectus; ac propterea angulus A C B, acu tus. Eodem modo , quia quadrans B E, ob angulum rectum B, per polos arcus A B, transit,abestq; polus circuli maximi quadrante maximi circuli ab eo , erit E, polus arcus A B. Igitur angulus E A B, rectus erit; ae proinde B A C, acutus. - SED iam in eodem triangulo ABC, angulus B, rectus sit, & reliqui A, C, acuti. Dico singulos arcus esse quadrante minores . Fiant enim recti anguoli BCD,B A E. Quia igitur uterque angulus B, B C D, rectus est, erit uterque arcus B D, CD, quadrans. Arcus igitur B A, quadrante minor est. Eodem modo arcus BC, minor erit quadrante;propterea quod & arcus B E,A E,
376쪽
quadrantes sunt,ob angulos rectos B, B A E. sed & arcum A C, minorem se quadrante, ita ostendemus. Quoniam arcus B E, ducitur per E, polum ar--r, cus B D ; ostendemus enim E, esse polum a reus A B, ut supra , cum B E, quadrans sit, rectusque ad areum A B. erit punctum C, intra peripheriam circuli arcus B D, in superficie sphaerae,& praeter eiusdem p lum. Quare arcus C A,minor erit arcu C D: At C D, ostensus est esse quadrans. Igitur A C,quadrante minor erit. Omnes ergo arcus trianguli ABC, quadrante sunt minores . Quocirca in omni triangulo plierico rectangulo,&c.Quod OItendendum erat.
PRIMA pars hui- propositionis vera quoque scii sium uterque arcus e rea angulum recI.m ponatur 'oadrante minor . eιιamsi Tnoretur , reliquum a reum, qua rectum angulum sobtendit, minorem esse quadrante . Id quod liquido eonstat erudemonstratione prioris partis. Ostensum est enim , angulos B A C, B C A, esse aeuotos . ex eo sium , quod uterqne arc- B A , B C , quadrante m)nor ponat.r, nassa facta mentione arem AC . Erat tamen semperarem rectum angulum subtendens quadrante minor , si duo a rem recTam ariolum contιnentes quadrarate minores sint, ut ex demonstratione manifestum est . Nam cum exeo , quod arc- s A, BC , πιι res sint quadrante, anguli A,C, acuti sint, i in priore parte demonstrat.m est, fit, ut cir arc- Α C, minor H qisadrante , ut ιn parte posteriori est ostensum . itaque proponi poterat ειιam huiusmodi Truorema.
IN omni triangulo sphaerico rectangulo, cuius duo arcus rectum angulum comprehendentes quadrante sint minores, erit & arcus angulum rectum subtendens quadrante minor.
THEOR. 17. PROPOS. 22..i IN omni triangulo sphaerico, cuius omncs an guli sint acuti, arcus singuli quadrante sunt m N
IN triangulo sphaerico A B C, sint omnex an
guli acuti. Dico singulos areus quadrante minores esse. Sint enim primum omnes anguli acuta aequales . Quo posito , erunt singuli arcu quadrante minores, ut supra demonstratum est. DEINDE sint duo tantum anstuli acuti ae quales B, C;& A, minor utroque illorum. Erit
377쪽
BC, quadrante esse minorem . Fiat enim angulus rectus BAD, sitque arcus A D, utrique arcuum A B, A C, aequalis ε, & per puncta B, D, describatur ar- 1o.iTheod. cus circuli maximi BD. Quoniam igitur uter. que arcus AB, A C, ostensus est quadrante in inor erit & A D, minor quadrante. V terque ergo angulus A B D, & D, acutus est . Quare cum in triangulo A B D, angulus BAD, rectus sit ,& reliqui
acuti erunt omnes arcus quadrante minores. Areus igitur B D, quadrante minor est: At quia latera A B, AC, lateribus A B, A D, aequalia sunt, estque angulus BAD, angulo B A C, maiori, erit& basis B D, base B C, maior: Ostensus est autem
arcus B D, quadrante minor. Multo ergo minor quadrante erit a reus BC. Omnes erro tres arcus trianguli ABC, quadrante sunt minores. POSTREMO sint omnes anguli acuti A, B, C,inaequales; & sit A, omni u maximus. Erit igitur propterea arcus B C, maior viro uis arcuu A B, A C. it. huius. Sit quoque angulus C, maior angulo B; eritque propterea arcus A B, maior G. huius. arcu A C. Quoniam igitur arcus BC, maior est arcu A B,& A B,maior, quam A C; abstin datur a reus B D, aequalis arcui AB, S per puncta A, D, ducatur arcus A D, circuli maximi r eruntque anguli B A D, 5 D A, aequales: Est au- 8. hui utitem angulus B A D, acutus, cum pars sit anguli acuti B A C. Igitur & angulus B D A, acutus erit. Vterque igitur arcus A B, B D, quadrante est minor. Multo igitur magis arcus AC, qui minor est arcu AB, minor erit quadrante. Dico & arcum B C, quadrante minorem esse. Fiat enim angulus B A E, rectus, &arcus R E, arcui A C, aequalis , ac per puncta B, E, describatur arcus B E,maximi circuli. Et quia arcus A C, ostensus est minor quadrante , erit& A E, mi onor quadrante. In triangulo ergo A B E, angulus B A E, rectus est, & uterque arcuum ipsum comprehendentium quadrante minor. Igitur reliqui anguli A B E , A E B, acuti sunt. Quoniam igitur in schol. at . eodem triangulo A B E, angulus B A E, rectu est, & reliqui duo acuti. erunt hu omnes arcus quadrante minores. Arcus erpo B E,minor est quadrante. Quo- 18. huiuMniam vero duo latera AB, A E, duobus lateribus AB, AC aequalia sunt, estque angulus B A E, maior angulo B AC;erit S basis B E. base C E, maior: in .huius. Ostensus est autem arcus B E, minor quadrante. Multo igitur minor quadrante erit arcus BC. Tres ergo arcus trianguli A B C, quadrante sunt minores. Quamobru, In omni triannulo soliae rico,cuius,&e. Quod demonstrandii erat.
ut quia angulus B, maior ponitur angulo A,
erit arcus AC, maior arcu BC . Cum igitur arcus AC, ostensus sit quadrante minor stat multo magis arcus B C, minor qua
TERTIO sint duo tantum anguli acu et iterum aequales B, C;& A, acutus utroque illorum maior. Erit igitur rursus uteruue arcus AB, AC, quadrante minor . Dico &
378쪽
P o R. R. o neque hae propositio eam uera potest. Non enim omne triangulum Jhενie .m, cuius si uul3 arem quadrante sunt minores , nec sarto habet omnes angulos acutos . Nam vius angulus potest esse rectus, er reliqui duo acutι , ut ex propos praecedenti constat. I mmo e r unus potest esse obtusus . Cr reliquι acuti'. Sint enim duo semicirculi ABC, A D C, eoni uentes angulos A, C, obι usos , aecipiantur, duo arcus aequales AB, A D. quorum uterque sesquialterum quadrantem superet, per puncta B, D, arcisa e rcuit maximi deferibatur B D, quν minor erit quadrante, t m s botio propos 27.ostendimus. Erant igitur is triangulo B C D, tras arcus B C, . C D, B D, singuli quadrante minores,c tamen non om nes angula ια irrangulo B C D, acut sunt , sed C, qui dem obtusus , ex ha thes, at vero B, D, acui 3 , propterea quod duo latera C s. huius. C D, aequalia sunt, 'uadrante m nora ia
THEOR. 18. PROPOS. O. I N quolibet triangulo sphaerico, cuius Unus
quidem arcus quadrante maior sit, reliquorum Vero Vterque quadrante minor, nullus angulo Iu in
ΙN triangulo sphaetico ABC, sit quidem areu A C, quadrante maior, Utam A B, quam B C, minor quadrante . Dico ritillum angulorum esse rectum. Sit enim si fieri potest , angulus B, qui arcui A C, quadrante maiori opponitur, rcctus. Abicisso igitur A D, quadrante & producio arcu A B, ad E, ut A E, sit etiam quadrans & pir puncta in F, arcu D E, circuli maximi descripto , qui arcum BC, secet in F; erit uteruue angulus D, E, rectus: Ponitur autem S angulus A B C, rectus, hoe est, E BC; sunt enim duo anguli ad B, duobus rectis aequales . Vterque igitur arcus E F, B F, quadrans erit, atque adeo arcus B C, maior quadrante. quod est absurdum , eum ponatur quadrant minor. Non ergo angulus B, rectus esse potest. QS O D si angulus C, rectus esse dicatur, erit, si eadem fiat constructio , eodem modo uterque arcus x .huius.. DF, CF, quadrans: Nam&angulus C D F, rectus est, cum uterque D, E, s. huius. rectu sit, ob quadrante v A D, A L. atque adeo arcus B C,quadrante maiori. quod est contra hypothesim .
379쪽
euadrans CG,& arcus C B, producatur usque ad H, ut&CII, quadrans sit,
a. sci ibatiitque per puncta G, H, arcus circuli maximi GH,secans arcum A B, iret Theodin I; erit uterque angulus G, H, rictus. Cum ergo & angulus A, ponatur re- ,. huiui. ctus, erunt in triangulo A GI, duo anguli A, G, recti . Quare uterque arcus A I, G I, quadrans est; atque adeo arcus A B, quadrante maior . quod est cono aue .huius. tra livpothelim. P O S S V M V S tamen aliter demonstrare, angulum A , non posse esse rectum , licet non abscindatur quadrans C G, Sc. Si enim angulue A, rectus r6. huius.c cedatur , erit arcus D E, quadrans . Cum ergo S E A, quadrans sit , erit 1 s. huius. uterque a neu lus A, D, rectus ; S E, polus arcus A C, propterea quod uterque arcus D E, A E, per pol uni arcus AD, transit, ob angulo, rectos A, is .iatu . D. Eodem modo D, polus erit arcus AB. Quoniam igitur punctum F, est intra peripheriam circuli A B,& praeter eius polum , duciturque arcus F E, per polum circuli A B, nempe per D, erit arcus F B, maior arcu F E . Eadem ratione arcus F C, mathr erit arcu F D, eum FD, ducatur per E , polum circuli AC. Totus igitur arcus B C, quadrante D E, maior erit. quod est ς', ' absurdum , cum minor quadrante ponatur . Nullus ergo angulorum A, B, 'Fh si C, rectus est. Quamobrem , In quolibct triangulo sphaei ico, Sc. Qu0dde
THEOR. PROPOS. 3I. CUIUSCUNQUE trianguli sphaerici tres
anguli duobus quidem rectis sunt maiores, sex Vero rectis minore S.
SIT triangulum sphaericum AB C. Di eo tres angulos A, B, C, maiorer quidem esse duobus rectiς, minores vero sex rectis. Si enim omnes tres anguli recti sint, vel obtusi; vel duo tantu recti, vel obtusi; vel unus tantum rectus,& reliquorum alter obtusus , perspicuum est , omnes tres duobus esse rectis maiores. In quolibet autem triangulo haec erit demon stratio. Producto late ore B C, ad D, erit angulus A C D, vel aequalis,vel minor, vel maior angulo B. Sit primum aequalis. Erunt igitur arcus A B, A C, simul semicirculo aequales; a tq; adeo duo anguli. ABC, AC B, duobus rectis aequales. Tres ergo anguli A, B, C, duobus rectis maiores erui. Sit deinde angulus A CD, minor angulo B. Erunt igitur arcus A B, A C, simul maiores semicirculo; ac propterea duo anguli A BC,AC B, duobus rectis ma aiores. Nullo ergo magis tres anguli A, B, C, duobus rectis maiores eriit. Sit denique angulus A CD,maior angulo B, & fiat angulus D C E, angulo B, aequalis, occurrat Eue arcus C p, io .hulus. arcui B A, producto in E: S tandem arcus C A, protrahatur ad F . Erunt igitur arcus E B, EC, simul aequales semicirculo; ac propterea arcus E A, E C, H huiuM.
Lines semicirculo minores. Angulus igitur E A F, hoc est, angulus B A C. qui
380쪽
1 4 .bulus. qui illi ad vertieem aequalis est,maior erit angulo A C Et sed angulus A C E. 16.huius. de anguli AC B, & B, duobus rectis sunt aequales. Igitur anguli B A C, A C B,& B, maiores erunt duobus rectis . Semper ergo tres anguli simul duobus rectis sunt maiores. U I A vero omnis angulus sphaericus, etiam obtusus. minor est duobus rectis; perspicuum est, tres angulos euius uis trianguli sphaerici siti, ut minores esse sex rectis. Cuiuscunque ergo trianguli sphaerici tres anguli ,&c. Quod dii erat demonstrandum.
I N omni triangulo sphaerico, cuius Unus a gulus rectus sit, & alter reliquorum acutus, si qui- dem arcus illis angulis adiaces fuerit quadrans, erit arcus rectum subtendens angulum quadrans; si vero minor fuerit quadrante, quadrante quoque minor erit: si de nil quadrante fuerit maior, qua
drante quoq; maior erit: Semper autem arcu S acutum angulum subtendens minor erit quadrant .
IN triangulo ABC, angulus C, rectus sit,& B,aeutus,sitque primum arocus BC, quadrans. Dico & A B,quadrantem esse. Fiat enim angulus C B D,
rectus, coeatque arcus BD, cum areu C A, troducto in D. Erit igitur uterque arcus BD, D, quadrans : Ponitur aute S B C, quadrans. Ergo B, polus est arcus CD; atque adeo rectus erit angulus ad A.Quare uterque arcus BC, B A,quadrans erit. Quadi ans igitur est arcus A B,angulo recto C,oppositus. SIT deinde arcus BC, quadrante minor. Dico & areum A B, quadrante esse minorem. Fiat enim rursus an ulus CBD, rectus, Occurratque arcus B D, arcui C A, producto in D; eritque ut prius, uterque arcus B D, C D. quadrans . Producto autem B C, ad E, ut sitao. Theod. B E,quadrans. ducatur per puncta D, E, arcus circuli maximi D E,quem B A, productus secet in F . Osoniam igitur arcus B E, B D, quadrantes sunt , erita s. uterque angulus BDE, BE D, iectus,& B, polus arcus DE. Rectus ergo hirius erit angulus ad F; atque a leo uterque arcus B E, B F, quadrans erit. Igitur . Th od arcus B A, quadrante erit minor . ' ' denique arcus B C, quadrante maior. Dico&arcum AB, maiore qua-