장음표시 사용
381쪽
quadrante esse. riat enim rursus angulus C B D, rectus, tonueniatque arcus BD, cum C A, protracto in D; erit ue , ut prius, uterque arcus B D, C D, as .hulus. quadrans. Abscisso autem quadrante B G, ducatur per puncta D,G, arcus cir xo.iTheod. euli maximi D G, secans arcum A B, in H. Quoniam igitur arcus B D, BG, quadrantes sunt, erit uterque angulus BD G, BGD, rectus , & B, polus aris si cus D G . Rectus ergo erit angulus ad H; ac proinde uterque arcus B G,BH, i Th.M. erit quadrans. Quare A B, quadrante maior erit. as .huius. E T quoniam arcus C D,semper ostensus est esse quadrans,erit arcus A C, uadrante minor. Quapropter in omni triangulo sphaerico,&e. Quod ollen
IN omni triangulo sph co, cuius Unus an .gulus rectus, S alter reliquorum acutus, si quidem arcus illis angulis adiacens fuerit quadrans,crit re- ' liquus angulus rectus: si vero minor quadrante, acutus: si denique quadrante maior, obtusus.
S IT in triangulo ABC, sphaerico angulus C, rectus,& B, aeutu', sitque primum areus BC. quadrans. Dico reliquum angulum A, rectum esse. Erit 11. hu ua, enim , & A B, quadrans. Igitur uterque angulus C, A, rectus. SIT deinde arcus BC, quadrante minor. Dico angulum'A, esse aeutum. Erit enim & arcus A B, quadrante minor; atque adeo arcus A B, BC, sin ul emicirculo erunt minores. Quare anguli A,C, duobus rectis sunt minores; ac proinde , eum C, sit rectus, erit A, seu tus. SIT tandem arcus BC, maior quadrante. Dico angui um A,obtusum esse. Erit enim S A B,quadrante maior; ac propterea arcus A B, B C, simul semicirculo maiores erunt. Igitur anguli A, C, duobus rectis sunt maiores; atque G.hesu adeo, eum C, sit rectus, erit A, obtusus . Quocirca in omni triangulo sphae rico,cuius unus angulus,&c. Quod erat ostendendum.
IN omni triangulo sphaerico, cuius Unus angulus rectus, si ut eruis reliquorum angulorum sit rectus, erit arcus eum subtendens, quadrans: si vero
382쪽
acutus, quadrante minor: si denique obtusus, in ior quadrante. Et si ut eruis arcuum rectum angulum continentium fuerit quadrans, erit angulus, quem subtendit, rectius: si vero minor quadrante, acutus : si denique quadrante maior, obtusus.
SIT in triangulo sphaerico ABC, angulus C, rectu s, sitque primum alter reliquorum, nempe B, etiam rectus. Dico arcum A C, qui eum subtendit, quadrantem esse. Cum enim Vterque angulus B, C, rectus sit, erit & uterque arcus A B. A C, quadrans. SIT deinde B, angulus acutus. Dieo arcum A C, esse quadrante mino. Tem. Fiat enim angulus C B D,rectus,coeatque arcus BD, cum arcu C A, producto in D.Quoniam igitur uterq; angulus C,C B D, rectus cst, erit & uterque arcus BD, C D, quadrans; atque adeo arcus A C, minor erit
SIT postremo angulus B,obtusus. Dico
arcum AC, quadrante maiorem esse. Fiat enim angulus CBE, rectus, secetque arcus B E,arcum A C,in E. Quoniam igitur utemque angulus C, C B E, rectus est , erit & v- terque arcus B E, C E,quadrans; atque adeo
arcus A C, quadrante maior erit . .
RURSVM sit angulus C, ectus , & sit primum arcus A C, quadrans. Dico angulum ei subtensum B, esse rectum . Erit enim A, polus arcus B C, cum arcus C A, per polum arcus B C,transeat,ob angulum rectum C; atque adeo angulus A BC, rectus. DEINDE sit arcus A C, quadrante minor. Dico angulum ei subtensum B, esse acutum. Producto enim arcu C A, ad D, ut si CD, quadrans, erit eodem modo D, polus arcus C B; cum arcus C A, per polum arcus B C, transeat. Ducto ergo per puncta D, B, arcu D B, circuli maximi, erit angulus D B C, rectus; ac proinde A B C, acutus. POSTREMO sit arcus AC, maior quadrante. Dico angulum B, ei subtensum obtusum esse. Abscisso enim quadrante C E, erit rursum E, polu' arcus B C; propterea quod arcus C A, per polum arcus BC, transit. Dudio ergo per puncta E, B, arcu E B, circuli maximi , erit angulus E BC, rectus; atque adeo ABC, obtusus. Quapropter, in omni triangulo sphaerico , Sc.
THEOR. 33. PROPOS. 3 S.IN omni triangulo sphaerico rectangulo, si
terque arcuum comprehendentium angulum re
383쪽
s v Π Ag a I e A. 393ctum, vel unus tantum, fuerit quadrans, erit & a
cus re istum angulum subtendens, quadrans: Si vero vicique dictorum arcuum minor fuciit quadrante, aut maior, erit arcus rcctum angulum sub tendens quadrante minor: si denique alter illo rum maior fuerit quadrante, & alter minor, erit arcus rectum angulu subtendens maior quadrante.
IN triangulo sphaerico rectangulo A B C, sit angulus B, rectus. primum
uterque arcus AB, BC, vel alter illorum tantum quadrans . Dico&arcum AC, qui rectum angulum subtendit, quadrantem esse. Si enim uterque arcus AB, B C, quadrans est, cum angulus B,ponatur rectus,erit quoq; arcus A C, quadrans. Si vero alter tantum arcuum A B, BC, est quadrans,iit A B, quadrans.Quonia igitur arcus A B, quadrans est , transitq; per polos arcus B C, propter angulum rectum B,erit A, polus arcus B C;ac propteo rea angulus C, euus erit . Cum ergo uterque angulus B, C, rectus sit, erit uterque arcus A B, A C,qua.drans . Eodem modo si B C, ponatur quadrans,ostendemus A C, esse quadrantem . Erit enim similiter C, polus arcus A B; aσproinde angulus A, rectus. Cum ergo uterque angulus B, A, rcctus sit,erit uterisque arcus B C, A C, quadrans. SIT deinde uterque arcus AB, B C, quadrante minor, vel maior. Dico arcum A C, esse quadrante minorem. Si enim uterque est quadrante minor Pros
ducto arcu C B, ad partes B, S B A, ad partes A, ut sint C D, B E, quadrantes, ducatur per puncta D,
E,arcus circuli maximi D E, secans arcum C A productum in F.Quoniam igitur in triagulo B E D, an-
gulus B, rectus est,& arcus B E, quadrans, erit angulus D, quem subtendit,reoctus. Rursus quia in triangulo C D F, angulus D, rectus est,& arcus D C, quadrans, erit similiter angulus F,rectus; atque idcirco uteroque arcus DC, FC, quadrans erit . Quare arcus A C, quadrante minor erit . Si vero uterque arςus A B , B C , quadrante maior est, abscissis quadrantibus B D,C E,ducatur per puncta D, E, arcus circuli maximi E D, 1ecans arcum C A, productum in F. Quoniaigitur in triangulo DB E, angulus B, rectus est, & arcus BD, quadrans erit angulus E, quem B D, subtendit, rectus. Rursus quia in triangulo C E F, angulus E, est rectus,& arcus E C,quadrans erit eodem mO 34.huiuis
384쪽
do angulus F, rectus. Vterque ergo arcus C E, C F,quadran serit; ae propi rea arcus AC, quadrante minor. S I Γ postremo arcus A B, quadrante quidem maior, arcus vero B C mInor quadrante. Dico arcum A C, maiorem esse quadrante . Auseratur enim quadrans B D; & arcus C B, producatur ad E,v t C E,sit quadrans; ac per puncta D, E, arcus circuli maximi ducatur E D, secans A arcum A C, in F . Quia igitur in triangulo B E D. angulus B, remis est,& arcus B D,quadrans,erit angulus E, rectus . Rursus , quia in triangulo C E F. angulus E, rectus est ,& arcus E C, quadrans, erit eadem ratione angulus F, rectus. Vterque igitur arcus CE, C F, quadrans erit; ac proinde arcus AC, quadrante maior. In omni ergo triangulo sphaerico rectangulo, &c. Quod erat demonstrandum.
THEOR. 3 . PROPOS. 36. IN omni triangulo sphaerico rectangulo, si a
cus rectum angulum subtendens fuerit quadrans, erit vel uterq; arcuum angulum rectum comprehendentium quadrans, vel alter illorum saltem: si
vero fuerit minor quadrante, Vterque reliquorum vel minor, vel maior quadrante erit : si de nil quadrante maior fuerit, erit reliquorum alter maior quadrante, & alter mino Π.
I in lo spinico ABC, angulus B, rectus,& eum subtendens
arcus A primum quadrans. Dico vel utrumque arcuum A B BC esse quoque quadrantem , vel saltem alterum illorum. Si enim neuter illorum est quadrans, erit vel uterque illorum maior,vel minor quadrante, atque adeo arcus A C,quadrante minor; vel alter illorum quadrante quidem maior,alter vero minor , ac proinde arcus AC, quadrante maior; quorum utrumq; absiardum cst , cum arcus A C, ponatur quadrans . Erit ergo vel uterque arcus AB, BC, quadrans, vel saltem alter illorum. DEιNDE sit arcus A C, quadrante minor. Di eo utrumque arcum A B, B C, esse vol quadrante mi. . . norem,vel maiorem. Si enim uterque non est minor vel maior quadrante erre vel uterque quadrans, ideoque Rarcus AC, qua drans; vel unus illorum quadrans ,& alter non , atque idcirco & arcus A C, quadrans, veI unas quidem quadrante minor,alter vero maior,atque adeo &
385쪽
reut AC, quadrante maior: quae omnia absurda sunt , eum a reus A C, po- 3 .huiuis natur quadrante minor. Erit ergo vel uterque arcus A B,B C, minor quadrante, vel maior. TERTIO sit a reus AC, maior quadrante . Dico alterum reliquorum A B, B C. quadrante quidem esse maiorem , alterum vero minorem . Si enim non est alter maior, & alter minor quadrante, erit vel uterque quadrans, vel alter saltem quadrans, & a iter non, ac proinde S arcus A C, quadrans; s. huius. vel uterque minor quadrante, aut maior, atque adeo arcus A C, quadrante I I .hain minor: quae omnia sunt absurda, cum arcus A C, maior ponatur , quam qua is drans. Erit ergo alter arcuum AB, B C, quadrante quidem maior, alter vero minor. Quocirca in omni triangulo sphaerico rediangulo,&c. Quod demonstrandum erat.
IN omni triangulo sphaerico, si uterque reli
quorum angulorum, vel alter saltem fuerit rectus, erit arcus rectum angulum subtendens, quadrans: si vero uterque reliquorum angulorum minor fuerit recto,Vel maior,erit arcus subtendens angulum
rectum quadrante minor: si deniq; alter reliquorum fuerit maior recto, & alter minor, erit arcus tangulum rectum subtendens, quadrante maior. i . . .
IN triangulo sphaerico A B C, cuius angulus B, rectus, sit primum V terque angulorum A, C, vel alter saltem, nempe C, rectus. Dico arcum A C,qui rectum angulum B, subtendit, esse quadrantem. Si enim uterque angulus Α, C, rectus est, Vel C, tantum, erit triangulum ABC, rectangulii habens angulum C, rectum: Est autem & Aantulus B,rectus. Igitur arcus A C, quadrans erit. 34. huius.
DEINDE sit uterque angulus A, C, vel minor
recto , vel maior . Dico arcum AC, quadrante ino minorem. Si namque uterque angulus A, C, est mi- i . hului. Nor recto, erit tam arcus BC,quam A B,minor qua. I Idrante; si vero uterque angulus A, C, maior est re- D 3 . huius.cto, erit tam arcus BC,quam A B,quadrante maior. γε Quare cum in triangulo A BC, angulus B, rectus sit, & uterque arcus A B, BC, vel minor, vel maior quadrante, erit semper arcus A C, quadrante minor. 33. huius. TERTIO sit angulus A, maior recto,& C, minor. Dico arcum A C,e se quadrante maiorem . Cum enim angulus A, obtusus sit, erit arcus B C, s .huiuia maior quadrante : Et cum angulus C,acutus sit,erit arcus A B, quadran te mi- 34 huius.
386쪽
34. huius. 36. huius. ι . huius. Nora.
rior. Igitur eum a reus B C, quadrante quidem maior sit, & AB, mlaotiesIi arcus A C, quadrante maior . Quamobrem in omni triangulo chaerico rectangulo, S c. Quod erat ostendendum.
THEOR. 3 c. PROPOS. 38. IN omni triangulo sphaerico rectangulo, si a
cus rectum angulum subtendens fuerit quadrans, erit saltem alter reliquorum angulor u rectus quomque : si vero minor quadrante, erit V term reliquo rum angulorum v ct maior recto, vel minor: si de
nique quadrante maior, erit alter reliquorum angulorum maior recto, & alter mino .
IN trianrulo sphaerteo A B C, cuius angulus B, rectus, sit primum arcus
A C, subtendens angulum rectum B, quadrans. Dico saltem alterum angulorum A, C, rectum quoque eme . Cum enim angulus B , sit rectus , & arciis AC, quadrans, erit saltem alter arcuum A B, B C, quadrans; atque adeo αangulus A, vel C, quem ille areus subtendit, rectus erit. SIT deinde arcus A C, quadrante minor. Dico utrumque angulorum A,C, esse maiorem, vel minorem recto. Erit enim uterque arcus A B, B Civel maior quadrante , vel minor. Quare uterque angulus A, C, maior erit recto, vel minor. POSTREMO lit arcus A C, maior quadran. te . Dico alterum angulorum Α, C, esse recto maiorem ,& alterum minorem . Erit enim alter arcuum A B, BC, quadrante maior, & alter minor . Igitur alter angulorum A, C, recto erit maior, ' alter minor. Quapropter In omni triangulo sphaerico rectangulo,&c. Quod ostendendum erat.
EX hii omnibus inlligitur. In omni tria neuto sphaeri eo, cuius unus areuum est qua drans. unusque angulorum rectita. reliquorum quoque a reuum unum saltem esse quadrantem , di teliquorum angulorum unum satiem tenum . Nam si unus angulorum rectus eluti alter arcuum ipsum comprehendentium quadrans. erit S at eos rectum angulum subtendens quadrans ; & angulus quem prior quadrans subiendit tectus: si Wero arcus angulum rectum subtendens quadrans est. erat & vel uterque arcuum tectum angulum eomprehen dentium. vel alter saltem quadransa di vel uterque teliquorum angulorum. vel aliet saltem tectus . liaque feri non potest . ut detur triangulum sphaticum iectangulum . euius unu dum axat arcus sit quadrans, sed vel nullus erit quadrans, vel omnes iter, vel duo quadrat . tes e Iuut.
387쪽
THEOR. 37. PROPOS. 39. AN G V LI sphaerici eandem habet rationem,
SINT duo anguli sphaerici B AC, E D F, quorum a reus B C, E. F. Dicolla esse angulum A, ad angulum D, ut est arcus BC, ad arcum E F . Erunt enim A, D, poli arcuum B C, E I ; & arcus A B, A C, D E, D F, quadrantcs. Productis igitur arcu bus B C, E F, suman
BG, G H, arcui B C, ct quotcuq; arcus F I, IK, KL, arcui EF, aequales; ac per puncta
los A, D, arcus circus lorum max irinoru duin
caritur A G, A H, D DK, DI., qui Omnes
quadra tes erunt,nem. pe quadrantibus A B, 28. tertii.
R C, DE, D F, aequales, propterea qu5 d& rectae subtense AG, AH, DI, O K, D L, rectis obtentis A B, AC, D E, DF, aequales sunt, ex des n. poli.
Trunt ergo omnes anguli ad A, inter se aequales; atque adeo quam multiplex I3.hn ur. est arcus CH, arcus BC, tam multiplex erit aegregatum omnium anguloruad A, anguli B A C r Eademque ratione tam multiplex erit aggregatum Om- Dium angulorum ad D, anguli EDF, quam multiplex est arcus E L, arcus E F . Quoniam vero si arcus C H, arcui E L, aequalis fuerit, etiam angulus H A C,angulo E D L, aequalis est; si autem a reus C H, maior fuerit arcu E L, huius. etiam angulus H A C, angulo E D L, maior est; & si minor, minor ; deficient propterea una arcus C H, S angulus II A C, aeque multiplicia primae maeni- ra .huius.. -tudinis B C,& tertiae B A C. ab arcu E L,& angulo E D L, aeque multiplicibus secundς magnitudinis E F, & quartae E D F ; vel una aequalia erunt, vel una excedent. Quare que proportio est arcus B C, primae magnitudinis ad arcum E F, secundam magnitudinem , ea erit anguli B A C, tertiae maenitudinis ad anquium EDF quartam magnitudinem. Itaque anguli sphaerici eandcm habent rationem, quam eorum arcus. Quod erat demoustrandum .
EX hoe sequitur, ita esse angulum sphaeri eum quem eumque ad quatuor angulos recti sphaeri eos, ut est a teus illius anguli ad totam ei reunserentiam ei reuli mox mi a di conita . . . Cum enim sit angulus sphaericus quicunque ad angulum rectum sphaericum . v i arcus il lius anguli a 4 quadrantem . nimii um ad at eum anguli tecti, erit quoque idem angulus ad quadruplum anguli tecti nempe ad quatuor rectos . ut idem arcus illius anguli ad quailtu. schol. 4. Plura quadrantis, hoe est, ad tutam cucuta ferantiam; dc contia. quinu.
388쪽
THEOR. 38. PROPOS. 4o. S I duo circuli maximi in sphaera se mutuo socent, & in eorum peripherijs duo puncta signen
tur, quorum utrumque vel in eodem semicirculo sumatur; vel in uno semicirculo unum, & alterum in altero eiusdem circuli ; vel unum in semicirculo uno unius circuli , & alterum in semicirculo utrolibet alterius circuli ; atque per Vtrumque horum punctorum arcus maximi circuli ducatur facies cum peripheria alterius circuli, ad quamcumque partem, angulum rectum: habebit sinus arcus intercepti inter unum illorum punctorum, & alterutram sectionem circulorum, ad sinum arcus,
qui per illud punctu ductus rectium cum peripheria alterius circuli angulum facit, eandem proportionem, quam habet sinus arcus inter punctum alterum, & alterutram circulorum sectionem in te Diecti, ad sinum arcus, qui per illud punctum d
scriptus cum alterius circuli peripheria rectu con
IN sphtra duo eirculi maximi A B C D, A E C F, se mutuo seeent in A,Ae
C,Se primum ad angulos non rectos;signenturque primum in eodem semicirculo A BC,duo puncta utcuque B,G; per que,& polum circuli A E C F,qui sit ea Theod. H,eireuli maximi ducantur I B HK, L G H M; eruntque anguli ad I L, K,M, 1.1.Theod. rccti. Dico eadem habere proportion E sinum arcus A B,vel C B,ad sinu arcus B s, vel B Κ, quam habet sinus areus A G,vel C G,ad sinu arcus G L,vel G M. . underi Sit enim comurus sectio circulorum recta AC,ad quam ex B,G,perpediculares 3 .Pri . agatur B N,G O,in plano cireuli A B C D;eritq; B N, sinus rectus tam arcus A B, quan. arcus C B, ex definitione sinus recti ; & eodem modo G O, sinus r. vadec. vitiusque arcus Ain C G . Demittantur ab eisdem punctis B, G, ad planum circull
389쪽
elreuli A E C p, perpendiculares BP, Ga, Et quoniam rectae B P, G Q,o
dunt in communes sectiones circulorum I B K, L G M, cum circulo A E C F, quem bisariam secat in punctis I,K;L,M,hoc est,cadut in diametros circulorum aximorum IBK, LGM, quod horum circulorum plana recta sint ad planum circuli AECF, ac proinde rectos angulos faciunt
lib. ii. Eucl. erit quoque tam BP, sinus rectus arcuuBI, BK, quam Gin sinus rectus arcuum GL, G M, ex definitione sinus recti. Ducantur in plano circuli
eruntq; per desin. I. lib. li. Eucl. anguli P, recti, in
Quia vero tam rectae B N, GO parallelet sunt, propter angulos rectos AN B, AOG,
quam rectae B P,G cum hae perpendiculares sint ad planu ei reuli A ECF; erunt quoque anguli B, G, aequales in eisdem triangulis N BP, OG AEquiangula igitur sunt triangula N B P, OG Q ; atque adeo erit, ut N B, sinus arcus A B, vel C B, ad B Ρ, sinum a reus BI, vel BK, ita O G, sinus aroeus A G, vel CG, ad G sinum arcus G L, vel G M, quomodocunque arcus sumantur , cum cuilibet sinui duo arcus semicirculu conficientes respondeant. Hoc est,erit,ut sinus arcus A B,ad sinum arcus B I, ita sinus arcus A G, ad sinum arcus G L. Item ut sinus arcus A B,ad linum arcus B Κ, ita sinus arcus A G, ad sinum arcus G M . Item ut sinus arcus CB, ad linum arcus B I,ita sinus arcus C G, ad sinum arcus G L. Item ut sinus arcus C B, ad sinum arcus B K, ita sinus arcus C G, ad sinum arcus G M. Item ut sinus arcus A B, ad sinum arcus B I, ita sinus arcus CG, ad sinum arcus G M,Sc. DEINDE sumatur unum punctum, puta B, in semicirculo A B C, & alterum, nempe D, in altero semicirculo C D A, eiusdem circuli, ducanturque per puncta B, D,& polum circuli A ECF, qui sit H, duo arcus circulorum maximorum I B K, D F S;eruntque anguli recti F, I S,K. Dico rursus,ut est si onus arcus A B, vel C B, ad sinum arcus BI, vel B K, ita esse sinum arcus A D, vel C D, ad sinum arcus D F, vel a reus, qui cum arcu F D, semicirculum perficit a puncto D usque ad punctum S, semicirculi A E C . Nam arcus ab F, per D, usque ad S, semicirculus est , eum circuli A E C F, DF S, se mutuo bifariam secent in F, S. Sumatur enim arcui A D, arcus A G, aequalis, & per G, S polum circuli A E C F,nem pe per H,areus maximi circuli ducatur L G M; erunt que anguli L,M,recti. Quoniam igitur duo anguli A,I.,trianguli A G L,
duobus angulis A, F, trianguli A D F, aequales sunt, sunt enim duo anguli Α, ad verticem aequales,& anguli L, F, recti. iuntque latera AG, AD,rictos subten
390쪽
a I.halas. subten entia angulo , per constructionem, aequalia;erunt quoque a reus GL. D F, aequites, ac propterea & eorum sinus aequales erunt, necnon & sinus arcuum aequalium A G, AD, erunt aequales . Eadem ergo est proportio sinus arcus A G, ad sinum arcus G L, quae sinus arcus A D, ad sinum arcus DF : Vei autem sinus arcus A G, ad sinum arcus G L, ita demon stratum est, esse sinum - arcus A B, vel C R. ad sinum arcus B I, vel B K, propterea quod puncta BO, in eodem semicirculo sumpta sunt. Isitur erit quoque, ut sinus arcus A B, vel C B ad sinum arcus BI,vel B K,ita sinus arcus A D.ad linum arcus D F,&c. POSTREMO sumatur in semicirculo A BC, punctum B. S. in alterius circuli semicirculo viro uis
nempe in A E C, aliud punctum L : Et per B,& polum
circuli AEC, arcus maximi circuli ducatur I B K :Item per L, di per polum circuli A B C,arcus I G M,
maximi circuli; eruntque anguli I, G,recti. Dico rursus, ut est sinus arcus A B, ad sinum arcus B I, ita cise sinum arcus A L, ad linum arcus L G, & c. Per polos enim utriusque circuli ABC D, A E C F, arcus circuli maximi ducatur R E; eruntque anguli R, E, recti, diuidenturque semicir
adeo sinus quadrantum ΑR, A r, aequales erunt; Eademque proportio erit T. quinti. sin ut arcus A R,ad sinum arcus R E quae sinu arcus A E, ad sinum arcus E R. Quoniam vero est,ut sinus arcus A R, ad sin si arcus R E, ita sinus arcus A B, ad sinum arcus B I, ut demonstratum est ; sumpta sunt enim duo puncta R, B,in eodem semicirculo erit quoque, ut sinus arcus A E,ad sinum arcus E R, ita sinus arcus A B, ad sinum arcus B l: Sed eadem ratione est , ut sinus arcu, A E, ad sinum arcus E R, ita sinus arcus A L, ad linum arcus L G . Igitur erit quoque, ut sinus a reus A B, ad sinum arcus B l, ita sinus arcus A L, ad sinum arcus L G, &c. Quod si loco puncti L, sumatur in altero semicirculo A F C, eiusdem circuli A ECF, aliud punctum, nempe F, S arcus F D, faciat angulum D, rcctum, erit adhuc, ut sinus arcus A B, ad linum arcus BI,ita sinus ariscus A F, ad sinum arcus F D, Sc. Vt enim proxime ostendimus, ut sinus arcus A B, ad sinum arcus Bl, ita est arcus sinus A L, ad linum arcus I G: Uti P. autem sinus arcus A L, ad sinum arcus L Gi ita demonstratum est , esse sinum arcus A F, ad sinum arcus F D, quod puncta L, F, sumantur in duobus semiis circulis eiusdem circuli. Igitur erit quoque, ut sinus arcus A B, ad sinum arcus BI, ita sinus a reus A F, ad sinum arcus F D: Atque ita in uniuersum vera est propositio, quomodocunq; duo puncta sumatur, quando circuli A B C D, A E C F, se mutuo secan t ad angulos non rectos.