장음표시 사용
391쪽
SED tam circuli ABCD, AECF, seeent se mutuo ad angulos rectos inpunais A. C; sitque eorum communis sectio recta A C. Diu iso autem v. g. semicirculo A BC, bifariam in A, ut sint quadrantes A H, C H, sumantur
duo puncta utcunque B, G. Dico ita esse inrsus sinum arcus A B. ad sinum arcus,qui Per B, ductus rectos angulos facit eum circulo AECI , ut est sinus arcus A G, ad ii num arcus,qui per G, ductus cum circulo A E C F, rectos facit angulos . Quoniam enim circ ulus A B C,cum rectus ad circulum A E C, ponatur, transit per polos cirςuli ALC, erit H,polus circuli AE C. Quare alcus perpendiculares ad circulum A E C, per puncta B,G, ducti neces lario per Η, transibunt; atque adeo arcus illi erunt B A, G A : Pcrspicuum autem est, ut est sinus arcus A lue, ad sinum arcus B A, ita e si e sinum arcus A G, ad sinum arcus G A, cum utrobique sit propor tro aequalitatis , seu identitatis: Est enim idem sinus arcus AB, & arcus B A, necnon idem sinus arcus A G, S arcus G A . Q HOD si alterum punctorum sit II, polus circuli. A E C. erit quicunque arcus ex H, ductu , qualis est H E, perpendicularis, ad A E C,atque adeo is i Theod. quadrans. Rursus igitur manifestum est, ita esse sinum arcus A B, ad sinum ar- coroll. ic. cus BA, ut est sinus arcus A H, ad sinum arcus H E, vel H A; cum utrobique i. Thcod. quoque sit aequalitatis proportio , Sc. Si duo ergo circuli maximi in sphaerasse mutuo secent, Sc. Quod erat ostcndendum .
eorum ex duobus punctis utcunq: assumptis ducantur ad alterius circuli planum dualineκ rectae perpendiculares i ita es . sinum rectum arcus interceptι ιnter unum illa arum punctorum . . althrutram circulorum sectionem, ad perpendicularem ex illo puncto in plauum alteriur ei reuli demissam , ut est sinus rem arctu inter alterum p uctum, alterutram fictionem circulorum inter recti, ad perpendιcularem ab heeriti ero ponso in planum alterim circuli demissam . Nam n priori fixura buim proodis in usum st, ita s sinum arcus A ll, vel C B, ad B P, sitium rectum a rem B I, t essem areis A G vel C G ,ad G in sinum rectum arcus G L. Cum ergo sinu, B r. G qt, siret revendi. ula νει expuuare B, G, in planum circuit AEC F, demissae , ta- et propositum . Quod si,num punctorum acceptum sit B. ex una parte finionis A,
ulterum punctum acceptum sit D, ex altera parte sectioms A, n eodem circulos erit nihilominus sta sinu, arcus Α Β, ad perpendicularem B P, ex B, demissam in pla. num at eram earculi A E C F, ut sim larem A D, ad perpendicularem, quae ex D, planum alterius circuli AEC F, demitteretur: hropterea quod oste um est, Ma Geso arcus A B, ad sinum a diem B i, ut s sem arcu Α D, ad sinum a rem D F; quiff. dem sinis arcuum B l, D F, sunt perpendicula Φes ex punctis B D, να ρ Ianum circi I AEOP, eadentes , ut ex demonstram in hae propos liquido constat. idem
392쪽
larem ex B, in planum ei resti L EC F, demissam, ita sinin arein A G, ad perpendiacularem ex G, in planum et rauit A E C F, demissam e propterea quod in arcuum A B, A G, sunt ipsemet perpendiculares ex B, G, in planum circuti Α E C F, demissa
HINC Deile de mons rari poterunt sequentia theoremata rimorum nonnulla pI.νimum ad shbarieorum triangulorum ealentum conducωnt. Prιmum autem ae secunaedum sunt duo Theoremata Ptolemai Caeliea in primo tib. Almusi, sed multo bre-w.s, ae facilius demonstrata ex ,s, q- in boesbolio ostensa sunt. Vnde omittenda non videbantur, licet eorum Uus an bisee triangulis non appareat . I.
SI in sphaerae superficie ab uno puncto duo arcus maximorum circulorum educantur, quorum uterque semicirculo sit minor,& ab eorum terminis in ipsos reflectantur alij duo arcus maximorum circulorum se inter duos illos priores arcus intersecantes: proportio, quam sinus segmeti unius eductorum arcuum inter terminum eius,& arcum reflexum habet ad sinum alterius segmenti eiusdem arcus educti, compon itur ex proportione, quam sinus segmenti arcus r flexi inter eundem terminum , & alterum arcum reflexum habet ad sinum alterius segmenti eiusdem arcus reflexi , & ex proportione, quam sinus segmenti alterius eductorum arcuum inter eius termi num,& arcum reflexum habet ad sinu totius eiusdem arcus educti.
EX puncto A, in superficie sphera educantur duo arcus AB, A C, semicirculis minores , . a terminis B, C, reflectantur ad ipsos duo arcus B D, C E, se inter se-
eantes in s . Dico proportionem sinus arcus B E. ad sinum arcus E A,eomponi ex proin portione sinus arcus B F, ad sinum arcus p D, in ex proportione sinus arcus C DAEdmum arcus C Α. Ductis enim ex punc Iis B, A, D, ad planum circuli CE , tribus perpendicularibus BG, AH,Dl3 qmoniam duo circuli A B, C E, s mutuo sicant in F, G expunctis B, A, in planum circuli CE, demisse sunt perpend=culares BC, AHν erit ut sinus arcus E B, ad suum arcut E Α, ita recta B G, a Lrectam A H r item quoniam duo et Nub B D, C E, se mutus secant νn F, r ex punctis planism ei reuli C E, deducta sunt perpendiculares BG, D ti erit eodem ratione ut sinus aracus F B, ad sinum arcus F D, ita recta B G, ad rectam D I: Deanique quia duo circuli AC, C Ε, se intersecaut io C, c eae punctis D, Α, in planum circuli C n, demissas ut perpendiculares recta lineae D I, A H i. erit simuli ter , ut suus arcus C D, ad sinum arcus C Α, ita recta D I, ad rectam A H . Pro. portio autem reae B G,σd rectam Λ H, posita media linea D l. componitur ex preis portione recta B G. ad rectam D I, er ex proportione ranae Di, ad rectam Α H. Igiatur er proportio με arcus B E, ad suum arcus E A, qua eadem est , quae propor. tio BG, ad A H. componetur ex proportione snus arcus B F, ad sinum arcus F D, qua ead/m est, quα preportio B G, ad D l. ex proportione sinus arcus C D, ad
393쪽
sinum segmenti eiusdein arcus inter punctum eductionis, de arcum reflexum , componitur ex proportione sinus arcus reflexi a termino dicti arcus ad sinum segmcnti eius in arcus reflexi inter alterum arcum eductum, & alterum arcum reflexum, & ex proportione sinus segmenti alterius arcus reflexi inter terminum alterius arcus educti, & priorem arcum reflexum ad linum totius pollerioris arcus reflexi. HOC est, propartio sinus areus A B, ad sinum areus A E, eomponitur ex prosportionesiuus arcns B D, adsinum arcus D F, tar ex proportione sinus arco/ C F, ad sinum arcu C E . Ductu enim expunsu B, E, F, ad planum c resti A C,to spe pendicularibus B G, E II, F la quomam duo circuli ΑΒ, Α C, se mutuo secant in A, m ex puuctM B, Ε, in planum et reuIι Α C, demissa sunt perpenduMolares a G, E Hι erit, ut sinus arcus A B, ad sinum arcus Α Ε, ita res a B G, ad rectam E Hr item quia duo eirculi a D, A C. se intersecant ιn D, Er expunctis B, F,in plani. circisIι Α C, deducta sunt peropendiculares B G. F lι erit para ratione . ut jinus arcus D B ,ad sinum arcus D ν, ita recia a G, ad res Liam ν I et Denique quoniam duo circuli A C, C E, se in C, intersecant. er exponoctis F, E, in planum circuli Α C, demissae sunt perpendieulares p l, E H3 erit eadem argumentatrone, ut sinus arcus C F, ad sinum arcus C E, ita νεcta F I, ad rectam E H. Componitur autem proportio recta a G, ad rectam E H, posita media I neau I. ex proportione recta B G,ad rectam F l, ex proportione rectae F 1,ad rectam E H. igitur er proportio sinus arcus ΑΒ, ad sinum arcus Α E, qua eadem est, qua B G,ad E H. componetur ex proportione sinus arcus B D, ad sinum arcus D F, qua
IIsDEM positis, proportio sinus unius arcuum eductorum ad
snum segmenti eiusdem arcus inter eius terminum, & arcum reflexum, componitur ex proportione sinus segmenti alterius arcus educti inter punctum eductionis, & arcum reflexum ad sinum reliquis menti, & ex proportione sinus segmenti arcus reflexi I termino posterioris arcus edocti inter tetminum, & alterum arcum reflexum ad sinum reliqui segmenti eiusdem arcus reflexi.
HOC est, repetita figura primi theorematis proportio sinus arcus A C,adsinum arcus C D, componitur exproportione suetus arcus A E, ad sinum arcus E B,
394쪽
ex proportἰone sinus artus B p .ad sinum arcus F D. Quoniam enim duo e Guli A C. C E, se intersecant in C,er expunctis A,'D, demisia sunι perpendiculares AH,D , siti. ti plμημm citas, C E; erit, γt suus Arcu C A; ad sinum arcus C D. ta retia AH, permutan. ulli μή rectam D Ι : Item quoniam duo circulo. B, C E, fe m. do. secant tu E, er extunctis A, B, in planum circuli C E, d du. H esae μὴ i p. vendiculares AH, B Gi irit smili modo , ut sinus arcus E A, ad sntim arcus E B, ita recta A H, ad rictam B G Dentque quia duo ctrculι B D, CF, se mutuo secant in F, in expunctis B, D, ad planum circuli CE, ductae sunt perpendi
eulares B G, D is erat eadem ratione, ut sinus arcus F B, ad ηntima reus F D, ita recta B G, ad rectum D l. Compon/ιar auo
rem proportio rectae A H, ad rectam D l, tosta media linea B G. ex proportione νιctae A H, ad rectam B G, Q ex proportione νεcta BG, ad rectam DI. 1gitur c proportio sinus arocus A C, ad sinum arcus C D, qua eadem es , quae ΑΗ, aά D I. eomponetur ex proportione sinus arcus A. E, ad sinum aracus R B , quae eadem est, quae Α H, ad BG.) π exproportione Mus arc-si s P, ad
IISDEM positis, proportio sinus segmenti unius arcuum re
flexorum inter terminum arcus edincti , & alterum arcum reflexum ad sinum reliqui segmenti, componitur ex proportione sinus segmenti unius arcuum eductorum inter eundem terminum, & alterum arcum reflexum ad sinum reliqui segmenti, ex proportione sinus al
terius arcus educti ad sinum segmenti illius inter terminum, & ar
cum reflexum. HOC est, repetita eadem figura primi theoremat proportio in arcus B Rad sinum arcu F D componitur ex protortione sim in arcus B E, ad sinum a reus E Α, tr ex proportione sinus arcus A C, ad num arcus C D . Cum enim duo circuli B D, C E , se mutuo secem in F, er ex B D, ad planum circuli C E , perpendiculares B G, sti D i, sint demissae; erit , visinus arcus FiB, alfinum arem F D, ita recta B G, ad reo retiti uian. ctam D I : Quia item duo circuit B A, C E, se mutuo secant in F, G expunctis B, A, do. ad et rculum C E, perpendiculares ductae sunt B G, A H; erit quoque, ut sinus arcus E B, adsilium aretis E A, ita recta B G, ad.resam A H: Deniqηe quia duo circuli AC, C E. sese m C, secant, . re punctis λ, D , ad planum circuli C E , demissae si ni perpendicularet A H, D l ; erit similiter , sinus arcus V A , ad sinum arcus C D , ita reAa AH , ad rectam D I. Prepertio autem rectae BC , ad rectam D I,' posita media I ea A H eam onitur ex proportione rectae B G , ad rectam A H , in ev proportione rectae AH, ad rectam D 1. Igitur tr proportio sinus arcus B F , ad snum arcus F D, cque eadem is, quae B G, A D I componetur ex troporιione Gnus arcus B E, ad suum arcus E A, quae eadem est , quae B G, ad A H. ex pro .
portione sinus Arcus A C, ad Detum arcus C D, quae eadem est, quae A H , ad D i. quod est propositum.
395쪽
IISDEM postis, ,. proportio sinus unius arcuum reflexorumati sinum segmenti ei uidem inter terminum arcus educti, , alterum arcum reflexum , componitur ex proportione sinus segmenti alterius iresis educti intrepunctuna eductionis ,& arcum reflexum ad linum totius arcu educit; & ex proportione sinus alterius arcus refrixi ad sinum tegmenti eius icim inter priorem arcum eductum dc
priorem arcum reflexum. H o C est, repetita figura secundi theorematis proportio sinus arcus C E, ad
Dium arcus C F , componitur ex troportione Dus arcus A E , ad suum arcus A B, .er ex proportione sinus arcus B D , ad sinum arcus D F . Nam tum duo circuli A C, C E, se tu C mutaὸsceis . . ex tunarat, F,ad planum circuli AC,d-Aepol perpeuLeulares E FI, FI eris νε 'mas a reus C' E, assuum arcus C v, ita refia E D, ad rectam F I: item cum duo circuli A B, A C, s iste seceni tu A , O expunctu E, B, ad pia m eirculi A C, cadant perpendiculares .EM, B C; er ι etiam , ut suus arcus Α Ε, ad sinum arcis. X a, ita recta E H. ad rectam B o : Quia deonique duo errculι Α C, B D, se mutuo secant in D, er expunctu B, F, a planum circuli A C, demisi. sunt perpendiculares B G, F Iaerit pari ratione, ut mus arcus D B, adfiaum a rem D F,ita recta B G, ad rectam F I. Componιtur autem proportio recta E H, ad rectam F s, posita media linea B C, ex proportione recta E H, ad rectum B G, m ex proporrione recta B G, ad rectum F l . Igitur propor ιι o quoque sinus arcus C E, ad sinum arcim C F, qua eadem est. sua E H, ad F l. componetur ex proportione sinus arcus A E, ad sinum arcus A n, quae eadem est, qua E H, ad B G. e ex proportione sinus a reus B D,admum arcus
D F, Qua eadem est, qua d c, ad F 10 quod es propositum .
v I. S I in sphaerae superficie duo maximi circuli se mutub non ad angulos rectos secent,&a duobus punctis in uno assumptis ad alterum
circulum ducantur duo arcus perpendiculares: Erit, ut sinus arcus inter punctum intei sectionis, dc alterutrum angulorum rectorum intercepti ad tangentem illius arcus perpendicularis, ita sinus arcus inter punctum intersectionis, & alterum angulum rectum interiecti ad tangentem alterius huius arcus perpe idicularis.
D U O eirculi maximi AB, A C, se mutuo secent se, A, non ad angulas rectos, erexpunctu C, E in cireulo A C, assumptis ad circulum A B,ἀucantur a rem perpen.d culares C B, E D . Dreo ita esse suum arcus A B, ad tangentem arcus C v, ut est suus arcus A D. ad tangentem arcios E D . Productu enim arcubus B C, DE, donec eant m I , erunι B F, D F, quadrantes . Quoniam vero a pumia B, duo arcu ma 2 s. huius.
396쪽
totus ad tangentem a reus B C; conuertendoq; tsinus arcus B C, ad sinum arcus CF, ita tangensaretis B C, ad sinum totum r item ceum E F, sit eomplementam arcus D E. ut sinus arcus E F,ad sinum arcus D E,ita simias totus ad tangentem a r. cus D E . li tur proportio Dur arcus A B, ad si num a reus A D,componetur quoque ex proportio. ne tangentis arcus BC, ad sinum totum , er ex proportione sinus totiωs ad tangentem ardus D E. Cum ergo proportio tangen ι is arcus B C, ad tangentem arcus D E, eamponatur ex proportio. ne tangent. arcus B C, ad simum totum , Cr ex proportione sinus totius ad tangentem a reus D E; quod sinus totus inter dictas tangentes sit positus r erit, ut simus arcus A B, ad simism arcus Α D, rta tangens areiss B C, ad tangentem arcus D E 3σpermutando, ut suus arens A B, ad angentem arcus C B, ita sinus arcus Λ D, ad
auentem arcus E D . Quod est propositum .
SI in sphaerae seperficie duo quadrantes maximorum circulorum se intersecent ad angulos non rectos,& per extrema puncta arcus maximi circuli ducatur, necnon ab aliquo punisto unius quadrantis ad alterum arcus perpendicularis demittatur: Erit, ut sinus totus ad tangentem huius arcus perpendicularis, ita tangens complementi arcus per extremitates quadrantum diusti ad sinum arcus quadrantis, ad quem perpendicularis arcus dem illiis est, inter punctum sectionis, &arcum perpendicularem interiecti.
D V O quadrantes maximorum cireuurum A D, A E, secent sese in A,ad angulos non rectos, per D, E, a reus circulν maxima describatur D E : eruntq; angulι D, E, relis . Item ex C,puncto quocunque demittatur ad Α D, arcus perpens dicialaris CB: Produc is autem arcubus D E, BC, donee in F, coeant, erunt D P, B F, quadrantes. Dico ita esse sinum totum ad tangetem arcus B C, t est tangens arcus E F, qut eomplementum est arcus D E ,ad sinum arcus A B . Quoniam enim a puncto D ,dus arcus ei reuioris maximorum ed cti
sunt D A, D F,Cr ab eorum terminis A, F uo alii reseci tur a E, F secanto sese in C; erit proportio sitius arcus C F, ad 'μm
397쪽
are. 1 B e, eomposita ex proportione snus arcus B F, ad Finum areus D E, er rarproportione siniss tot ros quadrant. A D, ad sinum μrcus AB. Est autem, cum C F,
sit complementum arcus B C. visnus arcus C Find Mm arcus C B, ita sinus to a 33 sinue tus tangentem arcus B C : Hem, cum D E, si coinplementum arcus E F. νι sisnus arcus D E, adfinum a reus E F, ita senus totus ad tangentem a reus E eonis .ertendo, ut senus arcus E F, ad 'um arcus D B, ita tangens arcus E F, ad sinum totum . litur m proportio sinus totius ad tangentem arcus B C, composita erit ex proportione taugent M a reus E F, adfinis totum, π ex proportiones nus totius qua adrantis A D, ad finiam arcus A B . Cum ergo proportio tangentis arcus B F, ads- num arcus A B, eomponatur quoque ex proportione tangentu arcus B F, ad sinum totum, Er ex proportione sinus totius adfinum arcus A Bι quod sinus totus si me dius inter illam tangentem, e hunc 'um: erat, i senus totus ad tangentem arcissa C, ita tangens arcus E F, adsnum arcus A B . Quod est propostum.
SI in sphaerae stiperficie duo maximi circuli ad annitos non rectos
se mutato secent, & a duobus punctis in uno allum piis ad alterum circulum duo arcus perpendiculares ducantur: Erit, ut sinus arcus inter punctum sectionis, & alterutrum punctorum sumptorum ad seca tem complementi arcus per reliquum punctum allumptum ducti, ita sinus arcus inter punctum iectionis, & reliquum hoc punctum sui n-
ptum ad secantem complementi arcus per alterum illud punctum assumptum ducti.
IN proxima fixura scentses duo maximi circuli Α D, A E,in Α, ad angutis no .
rectos, in expuncti, C, E, ad Α D, arc- perpendiculare ducantur C B. E D, proadueantur p, donee coeant m F. Erunt BF, D F, quadranter, ae propterea C F, E F, I.huius. complementa areMum n C, D E. Di eo ita essesin
pune Io D, duo arcus educuntur D A, D F, a quorum terminis A, F, duo alis ad ipsos reflectunturA E, F B, se intersecantes in C; erit proportio senus arcus A n, ad simum arciis A C, composita eπproportione simus arem D L, adsimum totum qua drantis D F, erex proportione sevi totius qua drantis B F, ad sinum arcin B C . Est autem , ut suus arcin D n, adsimum totum quadrantis D F, ita sinin totus ad seeantem areM E F 3 propter quod sevi totvi medio loco proportionalis sinarerpnum reclam arcin D n, in secantem arιm n r,qui eo timentum est areus D nex dems ratione ita est secans arem C F, ad simum totum , ut sin- tm quadrantis 2 F, ad simum a reus B C; quod mus totus media quoque loco sis proportionalis intersecantem arcus C F, qui complementum est arcus B c, σ Dum retium arcus B C. VUMr proportio sinus arcus AR, ad sinum a reus A C, componetur V fue ex pro
398쪽
tem arcus B ν . Cum ergo' propoptio sietantis areas C F, ad secantem a reus n ricomponatur ev 'roportione secantis aress C F, ad sinum totum , Ur ex stroportione sinus tauus asseantem arcus E F;quod sinus totus sit medius inter hin secates erit, ut Iratus arcus A E , ad senum arcus A C,ιta secans arcus C F, ad secantem arcus B Fνm permutando, ut sinus arius A r, ad feautem areiss C F, Masenus arcus Λ C, adfecantem arcus B F .Q od est propositum . ALITER. Quonιam est, visnus arcus A g, ad sinum arcus E sinus ariscus A C, ad senum a reus C B; hoc est, peνmutando, t siniss arins A E. ad suum ariscus A C, ita us a reus E D, ad suum arcos C n : Est autem ιta scans artus C P, ad feeantem arcus E F, ut suus B D, qui complementum est possemoris arcus E F, ad snum arcus C B, qui complementum est arcus prioris C F; erit quoque, HI nus araeeus A E, ad suum arcus A C,ita seans arcus C F, ad secantem arcus L F . Et perae mutando, visnus areas A E, ad secantem arcus C F, ta snus arcus A c, ad seca
sem arcus B p . Quod es propositum EADEM haec demonstratio locum etiam habet, licet duo puncta assumpta snt ad
diuersa partes puum sieFionis. Secent enim rursum sese duo circula maximι E F, B A,su D, a punctu F, Ε , arcus E F, ducantur ad B A, Hrcul perpendiculares F Α,E B. Dico ita esses num arcns B D, ad secantem complementiareus ν A, ut esZfnus arcus D F, ad scantem temple menti arcus E B . Nam quon om est, ut stius arcus E D, ad senum a reus L B, ita sinus arc.s D F, ad senum ara ν A; permutando, vi suus arcus L D, ad fnum arcus D F, ita sinus arcus E B , ad suum arcus p A : Vι aut .mfnus arcius E B, ais num arcus F A,rta es secans ec
oit quoque, isnus arcus B D, ad suum arcus D F, ita secans complementi qrcus FA, ad secantem complementi arcus Eni . hermutando, Ῥt senus areus L D, ad se uι em complementi arcus ita senus arcus D F. a i secantem complementi arcus p n . Quod est propestum .REi ETIVIMVS autem hie Agoram quartam propos. . licet arcuum BC, C F, nulla fiat mentio, ne nouam Ruram cogeremur ext ruere .
THEOR. 39. PROPOS. 4r. id omni triangulo splia rico, sinus . cuiuslibeti arcus ad sinum: anguli, quem iubtendit, eandem habet proportionem; quam sinus utriusque reli-γώ quorum arcuum ad sit nu anguli, quem subtendit.
SIT triangulum sphaericum quodcunque A BC. Dico ita esse sinum arcu A B, ad sinum anguli C, quem subtendit, ut est linus a reus A C, ad linum anguli B, quem iubtendit , S ut sinus arcus SC, ad sinum anstuli A, quem
subtendit. Sint Cnim primum omnes tres anguli recti cruntque propterea, ui ' ' o ris arcus quadrisu I. Maiulaltum igitur ei ut est Imus totus quadrantas a i AM
399쪽
A B, ad sinum totum anguli recti C, ita esse totum quadrantis A C, ad sinum
totum anguli recti B, & sinum totum quadrantis B C, ad sinum totum anguli recti A. DEINDE sint duo tantum anguli A, B, recti, eruntq; idcirco arcus A C, B C, quadrantes,& C,polus arcus A B. Itaque rursus perspicuum est, ut est si anus a reus A B, ad sinum anguli C, hoc est, ad sinum arcus A B, Est enim R B, arcus anguli C, eum C, sit
polus arcus A B,ut ostensum est ita esse sinum totum quadrantis AC, ad sinum totum anguli recti B, & sinum totum quadrantis BC, ad sinum totum anguli recti A; eum semper sit aequalitatis proportio. TERTIO sit angulus duntaxat C, rectus ,&reliquorum angulorum A, B, uterque recto minor, vel maior; vel alter recto maior,& alter minor. Si
igitur uterque recto minor est, erunt omnes arcus quadrante minores.Produs
cantur omnes,& fiant quadrantes B D, A E, B F, AG, Sper puncta D, F, arcus maximi circuli D F, & per puncta E, G, arcus maximi circuli E G, ducatur; eruntque anguli D, F, E, G, recti, & B, polus arcus DF, &A, polus arcus EG; ac proinde arcus D F, E G, arcus erunt angulorum B, A . Tam vero quadrans B D, quam A E, a reus est anguli recti C, ut ex defin. 6. perspicuum est . Quoniam igitur duo circuoli maximi B D, B F, se mutuo secant in sphaera in puncto B, & in arcu B D, sumpta sunt duo puncta A, D, Q quibus ad arcum B F, ducti sunt arcus perpendiculares A C, D F; erit ut sinus arcus AB, ad sinum arcus AC, ita sinus arcus BD, ad sinum a reus D Fr& permutando, ut sinus arcus A B, trianguli A BC, ad sinum quadrantis B D, hoc est, ad sinum totum anguli rem C, in eodem triangulo ABC, ita sinus arcus A C, trianguli eiusdem A B C, ad sinum arcus D F, hoc est,ad sinum ano guli B, eiusdem trianguli A BC . Eodem modo erit, ut sinus arcus AB, in triangulo A B C, ad sinum quadrantis A E, hoc est, ad sinum totum anguli recti C,eiusdem trianguli A BC ita sinus arcus BC, eiusdem trianguli ABC, ad sinum arcus EG, hoc est, ad sinum anguli Α, in eodem triangulo ABC. Patet ergo propositum. SI vero uterque angulorum A, B, est recto maior, erit arcus A B, quadrante minor:& tam arcus A C, quam B C, quadrante maior. Producto igitur arcu A B, in utramque
partem, ut sint quadrantes A E, BD, abscissisque quadrantibus A G, B F, ducatur per puncta D, F, arcus maximi circuli D F, & pery, G, maximi circuli arcus E G ; eritque rursum B, polus arcus D F,& A, polus arcus E G. Igitur DF, L G, arcus erunt angulorum B, Aue necnon tam quadrans B D, quam A E,areus anguli recti C, ex defin. 6. Item propter
quadrantes B D, B r, uterque angulus D, F; & propter quadrantcs A E, A G,
400쪽
uterque angulus 77, G, rectus erit. Quia igitur duo maximi eire uti B D, Brise mutuo in sphaera secant in B, sumptaque sunt in BD, duo puncta A, D, a quibus ad BC, ducti sunt duo arcus A C, D F, perpendiculares, erit ut sinus e .huius. arcus A B, ad linum arcus A C,ita sinus arcus B D, ad sinum arcus D F:& permutando , ut sinus arcus A B, trianguli A BC, ad sinum quadrantis B D, hoe est,ad sinum totum anguli recti C, in eodem triangulo ABC, ita sinus arcus A c, eiusdem trianguli ABC, ad sinum arcus DF, hoc est, ad sinum anguli B, in eode, a triangulo ABC. Eademq; ratione erit, ut sinus arcus A B,trianguli A BC, ad sinum quadrantis A E ,hoc est, ad sinum totum anguli recti C, in eodem triangulo A B C, ita sinus arcus BC, eiusdem trianguli ABC, ad sinum arcus E G,hoc est,ad sinum anguli A,in eodem triangulo A B C. Quod est propositum. S I denique alter angulorum A, B,recto maior est,& alter minor; sit B,ma-3 .huius. ior , ct A, minor. Erit igitur arcus A B, quadrante maior: Item arcus AC, Α .hui . quadrante etiam maior, at vero B C, minor quadrante . Abscindantur ergo quadrantes
B D A E,& AG, productoque arcu B C,fiat quadrans B F; & per puncta D,F,ducatur arcus D F, circuli maximi, nec non per E, G, arcus circuli maximi E G 3 eritque rursus B, polus arcus D F,& A, polus arcus E G. Igitur DF, E G, arcus erunt angulorum B, A; necnon tam quadrans B D, quam A F, arcus anguli C,recti ,ex defin. 6. Item propter quadrantes A E, A G, uterque angulus E, G, rectus erit. Quoniam igitur duo circuli maximi B A, B F, in sphaera se mutuo secant in B, sumptaque sunt in B A, duo puncta A, D, squibus ad BF, ducti sunt duo arcus perpendiculares AC, D F; erit, ut sinus
4 e. huius. arcus A B, ad sinum arcus AC, ita sinus a reus B D, ad sinum arcus D F : Sezrmutando, ut sinus arcus A B, trianguli A B C, ad sinum quadrantis BD, oc est, ad linum totum anguli recti C, in eodem triangulo ABC, ita sinus arcus A C, trianguli eiusdem A BC ad sinum arcus D F,hoc est, ad sinum anguli B, in triangulo eodem AB C. Eodemque modo erit, ut sinus arcus AB, trianguli ABC, ad sinum quadrantis A E, hoe est, ad sinum totum recti anguli C, in eo de triangulo A B C, ita sinus a reus B C,eiusdem trianguli ABC, ad sinum arcus E G, hoe est, ad sinum anguli A, eiusdem trianguli ABC. Quod est propositum. QVART O ac vitimo nullus angulorum A, B, C, rectus sit . Per pun--, Theod. 1 ctum A, & polum circuli B C, ducatur arcus circuli maximi A D, cadatque primum in latus B C, intra triangulum; eruntq; anguli ad D, recti. Quoniam igitur in triangulo A B D,angulus D, rectus est erit, ut iam demonstratum est, ut sinus arcus A B, ad sinum anguli Α D B, ita sinus arcus A D,ad sinum anguli B :& permutando, ut sinus arcus A B, ad sinum arcus A D, ita sinus anguli A D B, ad sinum anguli B. Sed eodem modo, cum in triangulo A DC, angulus