장음표시 사용
401쪽
arcus languis AB.AC D. A D. ADB. AC.
Brulus D rectus sta, est, ut sinus arcus AD, ad sinum anguli A C D ita sinus: arcus A C,ad sinum anguli A D C: & permutando, ut imus arcus A D,ad sinum arcus A C, ita sinus anguli A C D, ad sinum anguli A DC, hoc est, ad
sinum anguli A D B, cum anguli ad D, sint recti. Ex aequalitate ergo,&per turbata proportione ,erit,ut sinus arcus A B,as sinum arcus AC, ita sinus an istuli AC D,ad sinum anguli B; ut in apposita sermula apparet. Igitur Ze permuta n do erit,ut sinus arcus A B, in triangulo A BC, ad sinum anguli R B, in eodem triangulo ABC, ita sinus arcus AC, eiusdem trianguli A BC ad sinum anguli B,in eodem triangulo ABC. CADAT deinde arcus per A, & polum circuli BC, ductus in arcum BC, productum ad E, eritq; angulus E ,rectus. Quoniam igitur in triangulo A B E , angulus E, rectus est; erit, ut demonstratum est, ut sinus arcus A B , ad sinum anguli E, ita sinus arcus A E , ad sinum anguli B:&permutando, ut sinus arcus A B , ad sinum arcus A E , ita sinus anguli E , ad sinum anguli R. Sed eadem ratione .cum in triangulo ACE , angulus E, rectus sit, est , ut sinus arcus A E , ad sinum anguli A C E , ita sinus arcus A C, ad sinum anguli Er 3e permutando , ut sinus arcus A E , ad sinum arcus A C , ita sinus anguli A C E , ad linum anguli E. Igitur ex aequalitate ,&perturbata proportione , erit ut sinus arcus A B , ad sinum arcus AC, ita inius anguli ACE, hoc est, anguli ACB, cum idem sit
sinus utriusq; anguli ad C , quod corum arcus semicirculum constituant, ut constat ex coroll. propos. s. huius tractatus. Perspicuum autem est ex ijs , quae in tractatione sinuum diximus , duos arcus semicirculum conficientes, eundem habere sinum . ad sinum anguli B ; ut in apposita formula apparet . Igitur & permutando erit, ut sinus arcus A B , in triangulo A BR ad sinum anguli ACB, eiusdem trianguli A B C, ita sinus arcus A C , in eodem triangulo ABC, assinum anguli B , eiusdem trianguli ABC. Quod si ex B, ad arcum AC,ducatur alius arcus perpendicularis, qui vel intra triangulum cadet, vel in arcum productum, ostendemus eodem modo, ita esse sinu arcus A B , ad sinum anguli A C B , ut est sinus arcus B C , ad linum anguli B AC. Itaque in omni triangulo sphaerico, sinus euiuslibet arcus,&c. inios erat ostendendum-
HINC per spieuum est, in omni triangulo sphaeri eo rectangulo,ut est sinus a reus testum angulum subtendenii ad sinum totum, nempe ad linum anguli recti. quem subtendit, ita esse sinum euius, bet reliquorum a teuum ad linum anguli, tum subtenetit . Quod ideiris eo dixerim. quia plerique seriptores hoe eorollarium . tanquam pio potitionem ab hae no stra propositione 4 i. diuersam, demonstrant: sed plaeuit ne bis propolitionem hane magis niuersalem te dele, prout nimirum complectaui ec triangulum sphaericum rectangulum,. di non Iectangulum .
eo rvm triangulorum rectangulorum ealculus perficitur . quasi ex iis propositioni-HU elιciuntur .. Quanquam autem nonnun auaru in Iroblemase aliquo plura prvst Lee 1 nantur
402쪽
nantur ἰnuestiganda , primis tamen smper pol fimum ut, quod quaeritur, fer turet: primo ae per se ex ipso problemate. Ex bac igitor propositione sequentia tria
IN triangulo sphqrico rectangulo, dato arcu , qui recto angulo opponitur & alterutro arcuam angulum rectum ambientium; inuenire angulum huic arcui oppositum.
I N triangulo A B C,euim angulus C, rectuι, dati Die arcus AB, A C . Dico dari quoque angulum B , arcui A C, Oppositum . Quoniam enim est , ut suns arcus AB, ad sim .m totum anguli rem C, ita suus arcu. Α C, ad ynum anguli B:
S i fiat , ut simus arcus dati recto angulo oppositi ad simum totum , ita simus arcus circa angulum rectum dati ad aliud , reperietur mus anguli quaesiti.
v E R. v M bie diligenter attendendum est, num angulus quaesitis B , sit acutus, an obtusus. Si enim acutuι est, dabit arcu sunt inuento respondens angulum his.,ero est obtusus , relinquet idem arcu. ex semicirculo seblatus angulum R. Pulebre aut/m arcus datus A C, circa angulum rectum C , docebit, an augulus B, aeutus sit, mel obtusius . Nam si A C , est mmφr quadrante , erit angulus B , acutus : Si vero quadrante maior , obt Uus . Sumimu autem hic tr angulum sphaericum, in quo unus tantum angulus rectus est, . pro/nde nurus arc- Q adrans, H inpropos dictum
es : quod etiam insequentibuι istelligatur .
II IN triangulo sph tico rectangulo, dato arcu, qui recto angulo opponitur, & alterutro angulorum non rectorum ; inuenire arcum huic angulo oppositum .
I N eodem triangulo dat us sit arcus A P, recto angulo C ,ορρημον, σ ins steranon Ius B. Di. odari quoque arcum A C, ανγὶν B , positum. Cum enim sit,ut D 4i. huius. arcus AB, ad sinum toιum anguli rem C, ita si us arcus AC , ad sinum an .li nν erit conuertendo , t sinus totus adsimum arcu, ΑΒ , tasinus anguli R , ad sinum
polli. I I Igitur fiat, ut simus totus adsimum arcus aurulo recto oppositi tamus amuli dati ad aliud , invenietur simus arcus qua sit i.
HI. IN triangulo sphaerico rectangulo, dato atrerntro arcuu circa an stulum rectit & angulo, qui ei opponitur; inuenire arcu recto angolo oppositum. Oportet autem constare, num tertius angulus sit acutus, an obtusus: vel in tertius arcus sit quadrante minor, aut maior.
403쪽
I N eossem triangulo datus sit arcus AC, ei rea angu Ium C, rectum , O angulustraterea n , ιlli oppositus . Dico dari quoque arcum ΑΒ, redito angulo oppestum. Cum enim sit, ut sinus arcus AC , ad sinum anguli B , ita sinus arcus A B, ad suum 4 I. hul in totum angulι rectι C3 erit conuertendo, ut suus anguli B, dati ad sinum arcus A C, datν , ita sinus totus ad sinum arcus A B, recto angulo opposit , qui quaeritur .
S I igitur fiat, ut sinus anguli dati ad hnum dati arcus, ita sinus to- Praxi tus ad aliud , reperietur sinus arcn qu sti, qui recto angulo opponitur.
opo RTET autem constare , num tertius angulus Α , acutus sit,an obtusus'. vel an teritus arcus C B, quadrante minor sit,aut mιον. Hι ne enιm discemus, quan
do arcus quae=us Α Β, est quadrante minor, quando maioris aliunde id non conostiterat. Namsi angulus A, fuerat acutus di quidem G B, datus sit acutus : Vel si Α, fuerit obtusus , si quidem e B , datus sit obtusus 3 erit arcus A B , recto angulo opa 37.hulari positus quadrante minor . D vero angulus A, fuerιt aestus,at B, datus obtusus e vels Α, fuerit obtusus, at B, datus acutus; erit arcus A B, mator quadrante . ita et ιῶ, s arcus C n, fuerit quadrante minor, s quidem er A C, datus sit quadrante minore Veis C B , fuerit quadrante maior , si quidem crΑC , datur si maior quadrantes er/t arcus AB, recto angulo oppositus quadrante minor . Si vero arcus C B , fuerit Π hR M mrnor quadrante, at A C, datus quadraule maior:Velsi C B, fuerat quadrante ma aior , at A C, datus quadrante minor 3 erit arcus Α B, maior quadrante . Itaq; non satis est, dars unum arcum ctrca rectum angulum,cum angulo opposito , ut vult Coo pericus propos q. de triangulti θbcricis : id quod in scholio propos 2 I. supra ago monuιmus sed da νι etiam debet species tertis angul3, et tertii arcus.Qua in re etiam Desus est Ioan . Regiom. propes. 27. lib. q. trιangulorum.
THEOR. o. PROPOS. 42. I N omni triangulo sphaerico rectangulo, cuius nullus arcuum quadrans sit, sinus utriuslibet
reliquorum angulorum eandem habet proportionem ad sinum totum, quam sinus complementi reliqui anguli ad sinum complementi arcus ip
. IN triangulo sphaerico A BC, angulus B,
sit rectus ,& nullus arcuum quadrans. Dico ita esse sinum anguli C, ad sinum totum , ut est stonus complementi reliqui anguli Α, ad sinum complementi arcus BC, angulum A, subtendentis . Quoniam enim nullus arcuum ponitur quadrans, nullus reliquorum angulorum rectus erit: Alias triangulum A B C,duos habens angulos rectos haberet duos arcus quadrantes; Iod non ponitur . Sit ergo primum angulul, acutus, ct arcus A B, i pii, & reotin angulo R
404쪽
33. huius. S. huius. 2 . Theod. al. huiua. as. huius 16. huius.
adiacen ,quadrante minor.Quo posito, erit & angulus C aentus: atque adeo omnes arcus trianguli A B C , quadrante minores. Producantur arcus AB,
A C. & fiant quadrantes A D , A E, ac per
puncta D, E, arcus DE, circuli maximi ducatur D E , conueniens cum arcu BC,
producto in F ; Erit ergo uterq; anzulus D, E , rectus , ob quadrantes A D, AE; atque adeo , cum & angulus B , rcctus sit, uterque arcus B F. D F , quadrans erit , ob angulos rectos B, D . Erit quoque D E, arcus anguli A; propterea quod 'A , polus est arcus DE, ob quadrantes A D , A E . Item arcus E F ,
complementum erit arcus D E , & arcus C F , complementum arcus BC, Cb quadrantes D F, B F. Quoniam vero in triangu
Coroll. 43. lo C EF , angulus E , rcchiis est; erit ut sinus arcus CF ad sinum totum,ita sinus arcus E F , ad sinum anguli ECFr & conuertendo , ut sinus anguli E C F , hoe es anguli AC B , qui illi aequalis est ad verticem , ad sinum arcus E F, ita sinus totus ad sinum arcus C F: & permutando , ut sinus anguli A C B, ad sinum totum , ita sinus arcus E F, hoc est, sinus complementi anguli A , ad sinum arcus C F, id est, ad sinum complementi arcus C MQuod est propositum. S I T deinde angulus A, obtusus, & adhuc arcus A B, quadrante minori. Fiat angulus B A D, rectus, secetque arcus A D, arcum BC, in D ..Producto quoque arcu A B, sat quadrans A E, & pcr puncta E, D, ducatur arcus E D, circuli maximi secan arcum A C, in F. Et quia duo anguli D A B, D B A, recti sunt, erunt arcus AD, BD. quadrantes; atque adeo cum A E, quadrans quoque sit, & angulus D A E. rectus, erit de D E, quadrans,& Λ, polus arcus D E. Igitur di arcus A F, quadrans erit,cum a cus F. F, quadrante semper absit a suo polo. Angulus item uterque ad F, cum arcus A F , transeat per A . polum arcus E F , rectus erit. Praeterea E F, erit arcus anguli B A C, ob quadrantes A E, A F. Erit quoque arcus DF, comNe- tum arcus E F, seu anguli B A C; ct arcus C D, complementum arcus BC,ob quadrantes D E, s Di. Quoniam igitur in triangulo CD F , an cuius F, remix est , erit ut sinus arcus C D, ad sinum totum , ita sinus ariscus D F, ad sinum anguli C : &. conuertendo , ut sinus anguli C , ad sinum arcus DF. ita sinus totus ad sinum arcus C D: & permutando, ut sinus anguli.C . ad sinum totum , ita sinus arcus D F , hoc est , sinus complementi anguli B AC ad sinum arcus C D, id est, ad sinum complementi arcus BC. Quoir est' propositum. S LT tertio angulus Α, acutus & arcus A B, quadrante maior. Quo posito, erit reliquus angulus C, obtusus 3 ac proinde arcus A C, rectum angulum
405쪽
per puncta D, E, ducatur arcus D E, circuli maximi coiens eum areu B C, protracto in F; eritq; uterq angulus D,E,rectus, ob quadrantes A D, A E; atque idcirco,
cum & angulus B,st rectus, quadrantes erunt
B F , D F Erit quoque DE, arcus anguli A,
quod A, polus sit qrcu, D E. Quare EF,complementum est anguli A; S C F, complementum arcus BC, ob quadrantes DF, BF. Quoniam igitur in triangulo C EF , angulus E, rectus est, erit ut sinus arcus C F, ad sinum totum , ita sinus arcus E F , ad sinum anguli E CF : & conuertendo ut sinus anguli E CF, hoc est, anguli A C B. Habent enim duo anguli ad C , eundem sinum, cum eorum arcustem ieirculum consciant, ex coroll. propos. s. ad sinum complementi anguli A , ita sinu et totus ad sinum arcus CF, hoe est,ad sinum complementi arcus B C: & permuta do,ut sinus anguli A C. B, ad sinum totum, ita sinus arcus E F, siue complementi anguli A , ad sinum arcus C F, seu complementi arcus B C. Quod est propositum. I ARTO ac vitimo sit angulus A, obtus us,& adhuc arcus AB, quadrante maior. Fiat angulus rectus BAD, secetq; areus A sa , arcum BC , in D . Abscindatur quoque ex A B, quadrans A E, Sper puncta E, D, ducatura reus E D, circuli maximi secans arcum AC, productum in F. Et quia angulus B, rectus ponitur, & angulus BAD, rectus quoque ex constructi ne est , erunt arcus AD, B D, quadrantes . Rursus quia arcus A D, A E, Juadrantes sunt, continentque angulum D A E,rectum, erit arcus D E, qua-rans, & A, polus arcus D E ; ac proinde cum arcus AF , transeat per A , polum arcus E F, erit angulus F , rectus. Item E F ,erit arcus anguli B A C. Praeterea arcus D F, complementum erit arcus E F, seu anguli B AC; & arcus C D, complementum arcus B C, ob quadrantes DE , BD. Quoniam igitur in triangulo C DF, angulus F, rectus est, crit ut sinus arcus CD,ad sinum totu ita sinus arcus DF, ad sinum anguli D C F: Et conuertendo,ut sinus anguli D C F, hoc est,anguli AC B, Habent enim arcus angulorum D C F, A C B, eundem sinum, eum semicircuitim costituant. ad sinum arcus D F, hoc est,ad sinum complementi anguli B A C,ita sinus totus ad sinum arcus C D, hoc est, ad sinum complementi arcus B C: Et permutando , ut sinus anguli A C B, ad sinum totum, ita sinus arcus D F, siue complementi anetuli B A C , ad sinum arcus C D, seu complementi arcus B C. Quod est propoliis lum. Igitur in omni triangulo sphaerico rectangulo, &c. Quod demonstran
c OLLI OEMVs ex baepropositione duo hae problemata,
406쪽
IN triangulo spli rico rectangulo, datis duobus angulis rion
rectis; inuenire arcum virilibet eorum Oppositum, Una cum arcu, qui recto angulo opponitur. IN triangulo ABC, cuius angulu3 Q, refias , dati sui anguli Α , a . Dis
trismuis arcuum AC, B C, quoque dari , cum arcina B . Quoniam enim est , ut sinus anguli Α , ad sinum otum,3tasnus eo lementi anguli B , ad suum eom. plementi arcus A C. Item, ut sinus auuti B ,ad sinum totum, ita sinus eo lementi aetuti A , ad sinum com plementi areus BC
S I fiat, ut sinus anguli dati, qui quaesito lateri adiacet, ad sinum totum, ita sinua complementi reliqui anguli dati ad aliud, prod retur sinus complementi arcus huic posteriori angulo oppositi, qui qum
ritur. Inuento autem Niroque arcu circa angulum rectum, reperietur
quoqae ex utrolibet illorum, est ex angulo, qui ei opponuntur dato, a cur recto angulo oppositur, H in problemate 3. propositionis qI. osten
UTRUM autem arcus A C, B c, ne minores quadrante , aut maiores , ita discemur. Si ang.I.s B, est acutus, erit areus Α C. ei oppositus quadrante minor r si vero obtusιs,q.adrante maior . Eadem rationes angulus Α , fuerit aeutus, erit arocus ei oppostus a C, quadrante minor si vero obtusus, quadrante maior. II.
IN triangulo sphaerico rectangulo, dato alterutro angulorum
non rectorum, cum alterutro arcuum circa angulum rectum; inu nire alium angulum non rectum, & reliquos duos arcus.
I N eodem triangula datus sit primum arcus AC, eum angulo Α, si adiacente. Dico dari quoqwe angulum B , eum arcubus a C , A B . Cum enim sit , ut suus a Iuli A , ad sinum totum, ita sinus complementi anguli B , ad sinum complementi arin .sus a C 3 erit conuertendo, i sinus totus ad sinum anguis Α, dati , ita sinus compleomenis dati arcus Α C, ad Dum complemenιι anguli B , quι 1urritur.
QUA ND O ergo datur arcus cum angulo sibi adiacete fiat,ut mnus totus ad sinum anguli dati ta sinus complementi arcus dati ad aliud, reperietur sinus complementi alterius anguli, qui quaeritur. Hinc ex duobus angulis non rectis iam cognitis, cognoscentur reliqui duo arcus, ut in proxim8 antecedenti problemate demonstratum est:Teum autem da
407쪽
DAT vs Linde sit a rem A C, eum angulo B, sibi opposito, eo eis de reliquo
angulo A,num acutus sit,an obtusus e vel de altero arcu BC,circa rectum angulum, qualu sit. Dico rursum darι er νςIιquum angula A, er reliquos arcus B C,Α B. Nam cum se, ut siniis anguli A, adsimum locum, ita sexu eompiementi aristi B, ad sinum 4 .haias. complementi arcus A Ct erιt conuertendo , ut sinus eo lementi arcus A C, dati ad
sinum remplemeuti auguis B, dat/I ita siniu totus ad sinum anguli Α, quasti.
IGITUR cum datur arcus cum angulo sibi opposito, se fiat, risi, Praxit, quanus complamenti arcus dati ad sinum complementi anguli dati, ita sinus ilia.: ζῶ
totus ad aliud, procreabitur sinus reliqui anguli, qui quaeritur. Ex duo- angulo orbar ergo angulis non rectis iam cognitis, cognoscentur reliqui duo arcus, ῆ' ut in praecedenti problemate monstrauimus. Tertius autem per Θpothesm datus en .
O P o R. T E T autem eonstare, num reliquiu anguliu A, sit aeutus, an obtusu, ut sciatur, qualis angulus sinus inuento respondens sit accipιOndus, aeuiusne,an obtussus . Quod s eo taret de arcu B C, qualis sit, trico cognosce etur quoque species an. gul3 Α. Namsi arcus B C, fuerit quadrante minor,erit angu sus A,aeuius :s autems drante maior, obtusus . Parι ratione, sciretur, qualis sit arcus A B, angulo res hdius. Ela oppositus , continuospeciem anguli Α, cognosceremus . Nam s arcus Α B, fuerit minor quadrante, π datus quidem angulus B, aeuius , erit quoque angulus A,acua .huiu μιν Si vero datus angulus B, si obtusus,erit quoque obtusus angi Ius Λ . Ars arcus A B,fuerit maior quadrante, er datin quidem angulus B, acutua, erit angulis Α, obtusus : Si vero datin angulus B, sit obtusus , erit angulus A, ae ius. Itaque non est fatis, dari angulum non rectum, cum arcis opposito, vi vult Copern cu propos q.
de triangulis sphaericur id quod supra quoque monuimus in scholio propos. χι. sed
debet etiam dari species terti, anguli ,-Ispecies arcus alterius eirca re Ium angusIuma vel certe species arcus recto angulo oppositi. Qua in re lapsus est Nicolaus Coa Error C perniens, qui voluit in propos q. de trianguli sphaeracis,fatis se,ut detur areus eira P ις ca rectum angulum , eum alterutro angulorum non rectorum . Falsum enim hoc est de angulo dato arcuι opposito, nis aliudpraeterea conset, ut hic diximus ansbo. Dopropos 2I. monuimus.
THEOR. 41. PROPOS. 43. IN omni triangulo sphaerico rectangulo, cuius
nullus arcuum quadrans sit, sitnus complementi arcus rectum angulum subtendetis ad sinum complementi utriusve reliquorum arcuum eandem habet proportionem, quam sinus complementi re- Fhqui arcus ad sinum totu .
408쪽
arcuum quadrans. Dico ita e Te sinum complementi aretis K C, ad sinum eo mplementi. arcus v. g. R B, ut est, sinus complementi reliqui arcus B C, aes sinum totum. Quoniam enim nullus arcuum Ionitur quadrans, nullus reliquorum anguorum erit rectus. Alias triangulum ABC, duos angulos habens rectos haberet duos arcus quadrantes. quod non ponitur. Sit erigo primum angulus A, acutus, & arcus A B, ipsi& recto anguso B, adiacens qMadrante minor. Quo posito, erit EN angulus C, acutus; atquc adeo omnes arcus trianguli ABC, quadrante minore v. Producantur arcus AB, AC, ct
fiant quadrantes A D, A L; ac per puncta D,
E, arcus DE, circuli maximi ducatur DE, conueniens cum arcu BC producto in P. Erit ergo uterque angulust D,E, rectus, ob quadrantes A D, A E; atque adeo,cum S angulus B, ponatu r rectus, erit uterq; arcus B F, D F, quadrans , oti rectos
angulos B, D . Prael erea B D,erit arcus anstuli F; propterea quod I, polus est arcus B D, ob quad rantes B I , DF . Item C F complementum erit aletis BC;& B D, C E, comi lementa arcuum A B, A C, ob quadrantes B F, A D, A E Manifestum aute is est in triangulo C E F, ita esse sinum arcus C E, hoc est, sinum complemeriti arcus A C, ad sinum angulι F, hoc est, o linum arcus B D, seu complemen i arcus A B, ut est sinus arcus C F, hoc est , sinus complementi arcus B C, a I sinum anguli recti E, id est , ad sinum totum . Quod est propositum. SIT deinde angulus A, obtusus, S adhuc arcus A B, quadrante minor. Fiat angulus B A D, rectus , secetq; arcus A D, arcum BC, in D. Producto quoque arcu A B, fiat quadrans A E,&per puncti E, D, ducatur arcus E D. circuli maximi secans arcum A C, in F..Et quia duo anguli D A B, DBA, recti sunt,erunt arcus A D, B D, quadrantes ; atque adeo cum A E, quoque sit quadrans, Sangulus DA E ,rcctus,erit Marcus D E quadrans;ac proinde B E,ob qua C drantes B D, E D, erit arcus anguli BD E, hoc est, anguli C D F, qui illi ad verticem est aequalis . Quoniam vero A, polus est a reusE D, erit A: arcus A F, quadrans, cum arcus E F,quadrante semper absit a suo polo; necnon S angulus A F E, ε
ctus . Praeterea erit arcus C F, complementum a reus A C; & arcus B E,complementum arcus A B;&arcus CD, complementum ariscus B C, ob quadrantes A F, A E, B D. Perspicuum outem est in tria aulo C D F, ita esse linum arcus C F, hoc est, sinum complementa .rcut A C, ad sinum anguli CD F. hoc est, ad sinum arcus B E, siue compleis menti arcus A B, ut est sinus arcus C D, nempe sinus complementi arcui B C, ad sinum anetuli recti F, hoc est, ad sinum totum. Quod est propositum. TERTIO sit angulus Α, acutus, ct arcus Aori quadrante maior- Quot. po utO,.
409쪽
posito, erit reliquus angulus C, obtusus; ac proinde arcus AC,rectum angu- 3.halu
Ium B. subtendens quadrante quoque maior.
Abscindantur quadrantes AI , A I, S per
puncta D, E, ducatur arcus D E, circuli maximi conueniens cuin arcu BC, producto in F 3 Eritq; uterque angulus D, E, rectus , ob quadrantes A D, R E; atque adeo,cum & an in Iulus B, rectus sit, quadrantes erunt arcus F, DF; proptereaq; B D, arcus erit anguli F. Item arcus C F,complementum erit arcus BC, & arcus D B, EC, complementa arcuum
δε B, A C, ob quadrantes B F, A D, A E. Per -
picuum est autem in triangulo CET, ita esse sinum a reus E C, id est, imum complemensti arcus A C, ad sinum anguli F, hoe est,ad si . num arcus D B, hoe est . ad sinum complementi arcus A B, ut est sinuq areus C F, nempe sinus complementi arcus BC, ad sinum anguli recti E, hoc est, ad sinum totum. Quod estpropositum. POSTREMO s t angulus A, obtusus adhue a reus A B, quadrante maior. Fiat angulus rectus B A D, secet Marcus A D, arcum BC, an D. Abisscindatur quoque ex A B, quadrans A E, & per puncta E, D, destribatur ar- aαl Theod. eus E D, circuli maximi secans arcum A C, productum in F Et quia angulus B,ponitu eretius, de angulus B A D, rectus factus est, erunt arcus AD, BD, quadrantes. Rursus quia arcus A D, A E, quadrantes sunt, continentq; angulum rectum D A E erit&arcus D E, quadrans, & A, polus arcus E D;atque adeo angulus F, rectus erit Praeterea quia D B, D E, ouadrantes sunt ostensi, erit E B, at eus anguli B D E ,hoc est,anguli C D F, qui illi ad verticem est aequalis . Item cum A poslus sit arcus E F, erit arcus AF, quadrans, quod arcus E F, quadrate semper absit a suo polo . Arcus item CF, complementum eritareus A C; S arcus E B, complementum arcus A B; & areus C D, eomplementum a reus B C, ob quadrantes A F, A E, B D . Manifestum est autem in trianas huiuα
lulo CDF, ita esse sinum arcus C F,id est, sinum complementi a reus A C,ad Ai. huius inum anguli C D F, hoc est, ad sinum arcus B E, siue complementi arcus A B. ut est sinus arcus C D, nempe sinus complementi arcus B C, ad sinum anguli recti F, hoc est, ad sinum totum. Quod est propositum. In omni ergo triangulo sphaerico rectangulo, &c. Quod erat Amdendum.
s E Qv ENs problema ex bae propos olligemus hunc in modum.
IN triangulo sphaerico rectangulo , datis duobus arcubus qui
bus ibet. inuenite tertium a Icu,& reliquos duos angulos non rectos.
410쪽
I N triangulo ABC, euius angular C, rectur , tansnt primum doo areus A C, C B, eirea angulum rectum C . Dieo dari quoque tertio areism Α 8, eum duobus a gulis A, B. Quomam enim est , ut sinos est Iementi ariscus A B, ad sinum eo lementi a reus A C, ita sinus raminplementν arcus C B asinum totism 3 erit eonuertendo,ν Hus totos ad sinum eomplementi arcus C B,ita sinus complementi arcus A C, ad suum complementi arcias A B.
qui MOBREM, datu duobus arcubus rectum angulum ambien:.. ' tibus , si fiat, ut sinus totus ad sinum complementi viriti libet arcuum v I h. is datorum, ita βοηs complementi alterius arcus dati ad aliud, producetur 'U' ' sinus complementi arcus recto angulo oppositi, qui quiritur. Ex dato au'tem arcu, qui recto angulo opponitur, cum virorus arcu circa re m an gulum, inuenietur angulas ei oppositus , Ni in problemate I. propos I. tradidimus.
V T RV Μ vero qua situs arcus A B, quadrante miner se, aut maior , docebunt 33. huic , duo arcus dati. Ss enim uterque fuerit mrnor, aut maior quadrante.erit are.s A B, quadrante mauor: Si vero unus qnadrante minor, o alter maior,erit arcus Α Β, quadrante maior. DAT v s deinde se arcus AB, reno angulo oppostus , cum alterutro arcuum cirea angulum rectum , ut eum Α C . Dico rursum dari reIiquum arcum C B, eum 43. baiv duobus angulis A, B. Nam eum fit, ut sinus complementi arcus ΑΒ, ad sinum eo plementi arcus A C, ita sinus eo timenti arcus C B, ad sinum lotnm3 erit eonue tendo , ut sinus complementi arcus A C, ad sinum eonplementi arcui A B, ita suus totus adpnum complementi arcus C B .
PROPT ER, dato arcu, qui recto angulo opponitur, cum . eis. Esci alterutro arcuum circa angulum rectum, si fiat, ut sinus complementi a μ' .. Id cus dati circa angulum rectum ad sinum complementi arcus angulo recto aliis ut 6 oppositi, ita sinus totus ad aliud, inuenietur sinus complementi alterius nisa.ῶ. arcus cιrca a dum rectum, qui quaeritur. Ex quouis autem arcu dato circa rectum angulum, cum arcu, qui recto angulo opponitur, reperietuirangulus illi arcui oppositus , ut ri problemate r. propos qt. demm tira
A N vero tertias areus C B, quaesitus si quadrante minor , aut maiar, inter eamus ex duobus arcubus datis. si namque arcus AB, angulo recto oppositus fuerit quadrante minor, si quidem Cr alter datus Λ C, si quadrante minar, erit Q areus N. huius. C B, quadrante minor 3s vero A C, sit quadrante maior , erit σ CB, maior quaadrante . Sa autem AB, fuerit quadrante maior , si quidem er A C, D quadran amator , erit C B, quadrante Unor ν si νεro RC , si minor quadrante erit C Metuadrante mmor . Quiequid