장음표시 사용
411쪽
in primo cas , existentibus vimirum omnibus aνeubus quadrante minorrbus , dem Ou gui 3 ς ιη Iratione fuisset onfirmata . Eo enim eas. demonstrato , fac ἰe demonstrationcm om. eu, sin q, , nibus aliis eamus aeeommodabimus. Sit nam. que triangulum sphaericum quodcunqt rectaragulum AED, babens angulum C ,rectum. Aut igitur duo arcus AC, CD, eirea angulum res esum quadrate sunt mιnores. ae proinde Cr ter ianus arcus Α D, quadrante quoque minaryaut nus quadrante maior , Cr alter mι nor , aut demque ambo quadraule .maiores : Nam de eos Iosphaerico triangulo ree anati Io agimus, in quo nurus areus es quadras. Sint primum duo arcus Α C, C D, circa angulum reflum quadrante minores: quo posito,er i uterque hui . Gngulu/ D, A, acutus, proptereaque irrangulo A C D, demonstratis transi. eprea potionis conueniet, quo ad prιmum casum. S l T deinde arcus DC,quadrante maior, . C A,mi uor. Productis are us D C, D A, donec coeant in B; erunt D AB, D C B, semieινcuJι ι atque adeo C s, q- . it τι Gdrante mι nor . Sunt ergo in triangulo A C B,duo arcus A s, C B, cιrca angulum reo ectum C, quadrante minores . Quare, ut proxime ostendιmus, ei virtusque propositionis demonst rat/o,quo ad primum easum, eonu emet. Cum ergo iidem sinus tam reocli, quam complementorum,sint arcuum, Er araulorum trι angisl AC B, qui a reuum,er angulorum trianguli A c Di Nam,ut insenubos diximus,areus C D,C B.e dem um habent tam rectum, quam eomylementi, necnon er arcus A D, Α Β . Item 'stam rem anguli ad C, eundem sinum habent, nempe totum, quam anguli obliqui ad Α, cum duobus rem/3nt aequales. Devique Ur anguli D, B, eundem sinum habent, cum si ut 3nter se aequatis: Areus autem A C, utraque triangulo communis est. Ii- 3 primi.' Mido constat , quicquid desinubus arcuum , angulorum : trianguli Λ C B, fuerit Hyensum, dem in sinu bus artuum, Crangulorum triangula A c D, Iocum habere. POSTREMO snt duo a reus D C, C A, di adrante maiorere quo posito, erit
orcus C B, minor quadrante. Habet igitωr triangulum A C B, arcum A c. cιrca gulum rectum C, quadrante maiorem, . C B, minorem . Quare e , mi proxime 'est demonstratum , iraque propostis conueniet . Cum ergo dem sinus tam redii, I . tquam complementorum,snt arcuum,m angulorum triangulι A C B, qui arcuum, Q angulorum trianguli AC D, ut paulo ante diximus, liquet easdem tropo tiones triangulo quoque A C D, eonvenire. Perspicuum ergo est,quicqv d des nubus arcuum. angulorum j: trianauli s aerici rectanguli, cuius duo arcus circa angulum rectum
quadrante sint minores , demonstratum fuerit , Iocum etiam habere in qu cuns alio triangulo obarico rectangulo.
IDEM prorsui dicendum est δε tertio eas. propos t. Salu enim fuisset itam
demonstrasse ira triangias rectangulo, cuius omnes arcus sunt quadrante mιnores, sua D ed triangulumsecundae Hura propos 4 I. dictae 3 cum eius trianguli demons pratio omnibus aliis conueniat, vi ex den onstratis in hoc scholio est manispum. E X bis, quκ proximis tribus propostionisus demons rauimus,absolutus iam per sinus es calculus triavisurum sphericorum rediangulorum : quare am non rectangulorum calculus sequι deb ret. Sεd quia per lineas tangentes, arsecantes breuius Ileruntue triangulorum re Iangulorum calculus, quam per sinus, eVedit ur,adi m. Ii . gemus er
412쪽
Itinus sequentes propositiones ad triangula quoqueobariea rectangulaspeaan is,
anteq-m ira angislorum spbaracorum non rectangulorum calculum exponamus .
Vt aistem elariores fiant demonstrationes , Ur minus eonfuse , proponemus semper triangulumstharicum rectangulum, cuius duo arc.I eι rea angulum rem m, aeprois inde omnes tres inores sui qωadrante. Nam eaedem demonstrationes aliis ommbus conuenrent, i in boesbotio demonstrauimus e quippe cum . tam duo arcus semicirculum eonferentes, qnam duo angvii duobus rectu aequales, eandem habeant tangentem, ac secantem, quemadmodum eundem senum, νι ιn tractatione tangentrum, e secantium monuimus.
THEOR. 41. PROPOS. 44. IN omni triangulo sphaerico rectangulo, cuius omnes arcus quadrante sint minores: sinus t .l tus ad sinum Vtriusvis arcuum circa rectum angulum eandem habet proportionem, quam tangens anguli non recti dicto arcui adiacentis ad tangentem reliqui arcus circa angulum rectum huic angulo oppositi.
IN triangulo sph rico A BC, cuius omnes a reus quadrante minores, stangulus C, rectus. Dico ita esse sinum totum ad sinum arcus B C, ut est tangens anguli B, ad tan entem arcus A C . Productis enim arcubus B C, B A, donee fiant quadrantes B F, B D, ae per puncta F, D, arcu F D, circuli maximi descripto; erit uterque angulus F, D,rectus, ob qua drantes BF, B D:& D F, arcus erit anguli B; cum B, polus si arcus D F. Quia igitur duo circuli maximi in sphaera BF, B D, seeant sese in B, ductique sunt ex A, D. ad BF, arcus perpendicularcs AC, D F; erit, ut sinus quadrantis B F, hoc est, sinus to
Rhesii. o. tus, ad tangentem arcus F D. hoc est, ad tangentem Riv anguli B, ita sinus areus BC, ad tangentem arcus A C: Et permutando, ut sinus totu ad sinum aercus B C,ita tangens anguli B,ad tangentem arcus AC. Non aliter demonstrabimus, ita esse linum totum ad sinum arcus A C, ut est tangens anguli Α, ad tangentem arcus B C: ut patet, si arcus A C, A B, producantur, donec fiant quadrantes A G, A E, perque G, E, arcus maximi cir-Geor c. culιdescribatur G E. Erit enim rursus, ut snus quadrantis A G, id est, sinusseholii 4 e. totus. ad tanetentem a reus E G, seu anguli Α, ita sinus arcus A C, ad tangen ,-- tem arcus BC: Et permutado,ut sinus totus ad sinum arcus A C, ita tangens
anguli 4, ad tan*entem arcus B C . In omni ergo triangulo sphaerico rectangulo,&c. Quod erat demonstrandum.
413쪽
IN triangulo sphaerico rectangulo, dato alterutro arcitum circa angulum rectum, cum alterutro angulorum non rectCrum, reperire alium arcum circa rectum angulum , & reliquum angulum non rectura, cum arcu, qui recto angulo opponitur et dum modo, quando angulus datus opponitur arcui dato, constet, an reliquus arcus circa retium angulum sit quadrante minor , maior ψe; vel an reliquus angui us non rectus sit acutus,obtususve .
I N irriangulo A s C,euιus angulus C , rectus, Datus sit prι-m Arcus AC, cum angulo A, Fba adlaucente. Dico dar quoque arcum B C, una cum anguora B, m arcu A B . Quoniam enim est , χν smus ιοι usadsinum arcus A C ta tangens angu is Α, ad tangens em arcus B C :S I quando datur arcus cum angulo adra- centri liat, νt simus totus ad sinum dati arcus, ita tangens anguli dati ad aliud , produci tur . . tangens arcus quaesiti. Ex eodem vero arcu dato O angula dato, ira nietur alter angulus non rectus et arcus recto angulo oppositus,vi in pro blemate et . propos i. demonstra imus.
AN vero arcus quaestus B C ,sit quadrante minor , maiorue, indicabit anguIus datus A . Nam se fuerit acutus. erit arcus B C, quadrante minor 3s vero obtUMF, 34. Liquadrante maior. S I T deinde datus areus A C, eum angulo B,sbi opposita , constet, praeterea de altero arcu B C, num quadrante minor fit, an matori vel an alter angulus Α, acuistus sit, an obtus.1. Dico rursum dari arcum B C, na eum angula B, arcu AB. Cum eurm sit , ut tangens anguli B, ad tangentem a reos a C, ita snus totus ad s. 4 . hui num arcus B C IS I siando datur arcus eum angulo opposites fiat, ut togens angu- Praxis. edii dati ad tangentem dati arcus, ita senus totus ad aliud, reperietur senas et clis quasiti. Ex dato vero arcu, ct angulo dato dabitur alter angu- opposito. Ius non rectus, ct arcus recto angulo opposituri. τt in problemate a. propos qr. diximus.
OPORTET autem eoustare, an arent B C, sit quadrante minor, an maior, esciamus quai s ἀνωι inuento sinu, respondens accipi iam si, an videlicet minor quadrante , an vero maior . Qu.d si constaret de angulo Α, qualis sit , statim cognosce. remm, qua lusit arcus B C . Eristente enim angulo Α, acuto , er i arcus B C, qva.-haias..eυπι emiser i exigente ero εMuso, quadrarere maior. Sic etiam sciret r, qMis' sit arcu
414쪽
si arcus A B, recta angulo oppositus , speciem quoque arcuν B C, ee sceremus. Na s ΑΗ, sis q.adrante minor, erit uterque AC, B C, vel
minor quadrante, vel maior : qualis ergo es datus arcus AC, talis quoque erit a reus BC . Sι vero A B, fuerit maior quadrante, . datus arcus A C, minor quidem quadrante,erit B C, quadrante maior; si vero datu ariseus AC, sit quadrante maior, erat B C, quadrante miae nor . Itaque non satu est ari arcum, eum angulo onoa
IN triangulo sphaerico rectangulo, datis duobus arcubus circa
rectum angulum, utrumlibet angulorum non re istorum, una cum a cu reliquo, qui angulo recto opponitur, explorare.
IN eodem triangulo dat sint duo arem A C, B C . Dico dari quoque utrumvis a uius. angulorum Α, Β, Ο arcum A B . Cum enim st, 'isu με tot tu ad linum areus Α c. ita tangens anguli Α, ad tangentem arcus B C I Et conuertendo, die sinus aress AC, ad suum totiam, ita tangens arcus B C, ad tengentem anguli Αν Eadem : ratione, visnus arcus B C, adsuum totum, ita tangens arcus Λ C, ad tangentem anguli minaxij. SI fiat, ri sinus Vtris suis arcuum circa angulum rectum ad suum totum, ita tangens alterius arcus ad asilid,inuenietur tangens anguli hiae posteriori arcui oppositi. Ex datis quoque duobus arcubus circa angulum rectum cognoscetur tertim arcus recto angulo oppositus,nis probi mate propos 4 3. traditum est. vel certe ea rato νno arcu, O alterutro amulorum inuento, Ni in problemate a. propos az. ostenim est.
Nu M autem angulas quaesitus si acutus, obtus me, docebit arcus ei oppositur. M. hui M. Ille enim se minor quadrante Der x , erat angului ei oppostuJ, acutus ,s vero motor, obtusus. Qv o N I A M vero in scholio a. propos preeedemis diximur, per I eas tangenates, ae secantes breuius nonnusta expediri,quam perseus intelligendum id os de j qisae primo loco in problematibus quaruntur , non autem, qua secundo Ioco inuesti .r a xantur. Quod ut plantur far, exponemus , quo pasti utrumque problema hie ρν positum absoluendumst persemui . Itaque, t ex areis circa angulum rectum dato,
. et cum alterutro angulorum ac torum, in ematur αἰter arcus circa angulum rectum;
qui primo loco in primo problcmate inWestiundu/ proponitur e ita progrediendum
erat. Si arcus circa re tum augurum detur cum avg lo opposto, inquirendus priomum erit arcus recto angulo oppostus, ex problemate 3. propos gr. Deinde ex hoe arcu invento, Cr dato a cμ, eliciendus erit,per problema propos. 3. alter arcus ei, ea angulum reflum, qui quaritur. S vero detur arcus ei rea angulum rectum eum angulo adiacente, quaerendus est primum per 'quema d. propos. 62. alter anguissacutus. Deinde per problema I . eiusdem propos 42. ex boe angulo inuenta, oe anguis dato, areus dato angulo opposii s elictentas. At, t ex duobωs arcubus ei rea anguis. Iam rectum datu, uterisu angulorμm ac torum er tur qui primo loco in secunis
415쪽
νοblema propos. 43. ex datu duobus arcubus . Deinde per problema I. propos 4r.
ex hoe arcis inuento, Ur glterutro circa avulum reflum dato , inueniendus angulus hine dato areia oppostus . vides Citur ,3 d, qMod prιmo loco in utroque problemataequaritisr,dupli et opere inuti,gara per μωs, quod simplici per tangentes nuemmus.
Eadem ratio est insequentib- problematibus , quodsemel lac monuisse satis sit.
THEOR. 43. PROPOS. 4 S.IN omni triangulo sphaerico rectangulo, cu
ius omnes arcus quadrante sint minores: sinus totus ad sinum complementi utriusvis angulorum acutorum eandem proportionem habet, quam tangens arcus recto angulo oppositi ad tangentem arcus dicto acuto angulo adiacentis.
IN triangulo sphaerico ABC, cuius omnes arcus quadrante minores, sit angulus B,rectus. Dico ita esse sinum totum ad sinum com nlementi anguli A, ut est tangens arcus AC, ad tangentem arcus AB . Productis enim arcubus A B, A C, dictum angulum comprehendenti bus, donec quadrantes fiant AD, AE; de scriptoq; per D, E,arcu circuli maximi D E, productoque, donec cum arcu BC, producto coeat in Fr erit uterque angulus D, E, rectus, ob quadrantes A D, A E; & D E, arebis erit anguli A, eum A sit polus arcus D E. Item arcus D F, B F,quadrantes erunt,ob rectos angulos B, D; ac proinde arcus E F,complementum anguli A. Quoniam igitur duo circuli maximi in sphaera B F,DF, se intersecant in F; ductiq; sunt ex punctis B, C, arcus BF,ad areum D F,areus perpεdiculares B D, C E; erit ut sinus totus quadrantis DF, ad tangentem areus BD,ita sinus ar- Thm cus E F, hQc est, sinus complementi anguli Α, ad tangentem arcus C E : Et permutando , ut sinus totus ad sinum complementi anguli Α, ita tangens arcus B D, ad taneentem arcus C E. Est autem eum AC, AB,sint complementa areuum C E. B D. ut tangens arcus B D, ad tangentem arcus C E, ita tan ii. sinue. gens arcus AC, ad tangentem arcus A B. Igitur erit quoque, ut sinus totus ad sinum complementi anguli A,ita tangens arcus A C, recto angulo oppositi ad tangentem a reus A B, acuto angulo A, adiacentis. Eodem modo ostendemus. ita esse sinum totum ad sinum complementi anguli C, ut est tangens arcus AC, recto angulo oppositi ad tangentem areus BC, angulo acuto C, adiacentis,si nimirum arcus C AC B, angulum C, continentes producantur,
ς. In omni ergo triangulo sphaerico rectangulo,&c. Quod ostendendu erat.
416쪽
E X hoe theoremate absolvemin sequentia tria problemata . I.
IN triang ilo sphaerico rectangulo, dato alterutro arcuum circa angulum rectum, cum angulo non recto adiacente, inuenire arcum recto angulo oppositum,& reliquum arcum circa angulum rectum, cum reliquo angulo non recto.
S I fiat, vi sinus complementi anguli dati
adsentim totum ta tangens arcus dati ad aliud, reperit tur largens arcus recto angulo oppositi, qui qumtur. Ex arcu vero A L , ct angulo A, inuenietur arcua BC, per problema a. proposqI. Et ex arcubus B, A C, angulus B, arcui
I TA autem siem-,an arcus qMasitvi Assis q.adrante maior,an minor. Si dat angulus Assuersi acutus,erat arcu B C,quadrante minor. Si ergo datus arcu. A c. sit quoq; minor rat Ur arcus Α B,m nor quadrante,S ero A C sit quadrante nia. ior,erit . A B, maior. At si datvi angulus fuerit, obι - , erata rem B C, q. drante maior: Sι ergo datin areM AC, si quoque ma or,erit arc- Α B,minor quaadrantesia vero A C dis minor quadrante, erιι Λ B, maror.
II. IN triangulo sphqrico rectangulo, dato alterutro arcuum circa angulum rectum, cum arcu, qui recto angulo opponatur, inuestigare angulum a dictis arcubus comprehensum, hoc est, arcui, qui circa angulum rectam datus est,adiacentem, cum reliquo arcu,& angulo.
I N eodem triangulo dati sint arcM A C , A B. Dico dari etiam angulum A, eis arcu B C, er angulo B.Quoniam enim est, ut sinus totus ad sinum complementi angoti A,ita tantent arcus A B, ad tangentem arcM A C: Hoc est, γι tangens areus a B, ad tangentem arcus A C, ta sinus toι- ad sinum complementi anguli ArS I fiat, ut tangens arcus recto angulo oppositi ad tangentem dati arcus circa rectum angulum, ita sinus totus ad aliud, procreabitur sinus complementi anguli quaesiti. Hinc reliqua inuenientur , H in praecedenti problemate.
417쪽
V T R V M vera angulus A , quaestussit aeutiti obtususue , ἰta di semus. I; areust
A B, recto angulo oppuptus fuerit quadrante minor, erit uteret: arcus Α C, B C. et I 6.huius. minor quadrante et maior. Si ergo datus arcus A C, si minor,erat quoque B C,mιο nor. ae proinde angislus A , acutust si vero A C, sit quadrante maior, erιt BC, 34. huius. maior e propterea angulus A,obtusus. At si arcus A BJ-υν quadrantemator, rit huius. alter relιquorum arcuum maior , . alter minor : D igitur datus arcus A Coit mas 3 . hui .eor,er ι BC, mrnor,proptereas angulus Α, acutus 3 53 vero AC, sit quadrante nusnor,erit B C, maιor, angulus Α, obtusus et
in. I N triangulo sphaerico rectangulo, dato arcu, qui recto angulo
opponitur, cum alterutro angulorum non rectorum, inuenire arcumhnic angulo adiacententiciam reliquo arcu, S angulo.
I N eodem triangulo datus sit arcus A n , eiam angulo A . Dro dari quoq3 areum AC, c, N/m cum sit, ut sinus totus adsnum complements anguti Α , ita tangens hvi arcus AB, ad tangentem arcus ΑCr
S I fat, ut sera totus ad sinum complementi anguli dati, ita tangens arcus recto angulo oppositi ad aliud, producetur tangens arcus quasiti. Reliqua inuenientur, vi in primo problemate huius propos 'Nu Μ autem quaesitus areus A C, sit minor quadrante, maiorue, hine eetuo eomus. Si arcus A B, angulo recto oppostus fuerit m nor qua rante,erat uterqr anguolus A. B, vel acutus , et obtusus . Quare si datus angulus A, sit acutus,erit quoque 33 huiuRB, acutus, atque adeo arcus A C, quadrante minora si vero Α , sit obtusus, erit in huius. B, obtusus, deos a reus A C. quadrante maior . At si arems A B, seuerat maior quasdrauιe, erιt alter reliquorum anguloriam acutus,m alter obtusus. Si ergo A, datus 3 ' hv v si acutus, erit B, obtusos , e dcirco a re s AC, quadrante maior δ Sι vero A, mobι - , erat B, acutus, arcus A C, quadranιe minor.
IN omni triangulo sph co rectangulo, cu
ius omnes arcus Quadrante sint minores: sinus totus ad sinum complementi utriusvis angulorum acutorum eandem proportionem habet, quam rangens complementi arcus circa angulum rectit dicto angulo adiacentis ad tangentem complementi arcus recto angulo oppositi.
IN triangulo ABC, euius omnes arcus quadrante minores,sit angulus B, rectus. Dico ita esse sinum totum ad sinu complevieti anguli A, ut est tangens - 2 Ggg a cUM
418쪽
complementi areus A B, ad tangentem complementi arcus A C.racta namque tonitructione ut in pretcedeti propos. quoniam duo circuli maximi in sphaera B F,D F se mutuo secat in F, productiq; sunt ex puctis B,C,areus B F, ad arcum D F, arcus perpendiculares B D,C E;erit,ut sinus totus quadrantis D F, ad tangentem arcus B D, itainus arcus E F, ad tangentem a reus C E: Et Iermutando ut sinus totus ad sinu arcus E F, oe est , ad sinum complementi anguli Α, ita tangens arcus B D, hoc est, ita tangens com-Ilementi arcus A B ad tangentem arcus C E, Oe est,ad tangente complementi arcus A C. Non aliter demonstrabimus,lta esse sinum totum ad sinum complementi anguli C , ut est tangens eomplementi arcus B C, ad tangentem complementi arcus A C si nimirum arcus C B, C A, angulum C , continentes producantur,&c. In omni igitur triangulo sphaerico rectangulo,&c. Quod Qemonstrandum erat.
INFERE M Us bine problema sequens, quodqoamuis in proἷIemate primo
autecedentis propos demonstratum quoquesit, facitius tamen hic absolisitur, eum in AEurea regula pysmum Ioeum seratatur mus totus.
IN triangulo sphaerico rectangulo, dato alterutro arcuum ci in angulum rectum , cum angulo non recto adiacente, inuenire a cum recto angulo oppositum, uni cum reliquo arcu circa angulum rectum,& reliquo angulo non recto.
l N triangulo ABC, euias angulus C, rectus, datu sit arcus A C, eum angulo A, Fbs adiacente. Drio dari
quoque arcum AB, una cum arcis B C, CT angu Io B. Nam eum sit, ut sinus totus adsimum complementν angu D A, ita tangens complementa arcus AC, ad tangentem complementi arcos A B rS I fiat, ut sinus totus adsimum complemen ii anguli dati ita tangens complementi arcus da ri ad aliud, producetur tangens complementiar res recto angulo oppositi, qui 'aeritur. Reliqu et inuenientur, H in problemate i. stropo sitionis antecedentis dictum est.
A R C V M autem A B, qu situm esse quadrante minorem, maioremve, estgnoscemur, ut in dicto problemate I .s perioris propos ostendimus .
THEOR. 41. PROPOS. 47. IN omni triangulo sphaerico rectangulo, cuius
omnes arcus quadrante sint minores: sinus totus
419쪽
ad sinum complementi arcus recto angulo oppositi eandem proportionem habet, quam tangens
utriusvis angulorum non rectorum ad tangentem
IN triangulo ABC, euius omnes arcus quadrante minores, sit angulus B, rectus. Dico, ita esse sinum totum ad linum complementi arcus A C , ut est tangens anguli C , ad tangentem complementi anguli A. Facta constructione, ut in propos qs. productoq; arcu C E, ad G, ut C G, sit quadrans, describatur ex polo C,ad interuallum quadrantis C G, a reus circuli maximi G H. secans arcus C F, E F, productos in I,H: erit* C l qua drans quoque; cum circulus G H,a polo C,ab-st quadrante. Areus item G H.E H, quadrantes erunt,propter rectos angulos G,E. Est enim angulus E, reaus, ut propos. 4s. ostensum est;
at G, rectus est, propterea quod circulus C G, ad circulum GH, rectus est. Rursus I G, ariscus est anguli C;& C E, complementum arcus AC, recto angulo oppositi; N F E, complementum arcus D E, id est, anguli A. Quoniam igitur duo eirculi maximi C G,C I,in sphaera se intersecant in C,ductiq; sunt ex arcus CI, punctis F, I, ad arcum CG, arcus perpendiculares F E,IG; erit , ut sinus to Theor. Qtus quadrantis CG, ad tangentem arcus I G, hoe est , anguli C, ita sinus aria Rhotii 4 .cus CE, hoc est, complementi arcus AC, ad Plangentem a reui F E, hoe eq. hR, 'complementi anguli A: Et permutando erit, ut sinus totus ad sinum complementi arcus A C, recto angulo oppositi, ita tangens anguli C, ad tangentem complementi anguli A. Simili modo, aliter constructa figura, demonstrabimus, ita esse sinum totum ad sinum complementi arcus A C. ut est tangens anguli Α, ad tancentem complementi anguli C. In omni igitur triangulo sphaerico rectangulo, M. Quod ostendendum erat.
E X hoe theoremate sequens problema colligitur .
IN triangulo sphaerico rectangulo, dato arcu, qui recto angulo
opponitur, cum alterutro angulorum non rectorum, inuenire ait rum angulum non rectum,& duos arcus circa angulum rectum.
I N triangulo ABC, euriss angulas C, rectus , datus αst arcus AB, eum angislo B . Diea dari quoque reliquum ngulum A, er duos arcus A C, C B . Cum enim sit, ut Q.hulus. suos totus ad suom eomplementi areus A B, ata tariens AEnguli B, ad tangentem complementι angulι A e
s I fiat, ut secus totus ad sinum complementi Piris,. arcus recto angulo oppositi, c, dati, ita tangens anguli dati ad aliud, reperietur tangens comple
420쪽
menti anguli quaesiti. Hinc ex arcu AB, ct utroque angulo P, temu que arcus C, B, inuenietur, νt ia r. problemate propos qI. ostendimus.
A N vero angulus quaesitus A, acutus sit, obtusus e discemus ex areis dato A B,υε dato angulo n. Namsi AB, est quadrante minor, er angulus B, acutus quidem, eriem Α, acutus; s autem Β, est obtusus, eriter A, obtus. . at s A B, est maior quadrante, . B, quιdem acutus,erista, obtusus; si vero B, est obι .s, er ι As acutuse
EOR. 46. PROPOS. 48. IN omni triangulo sphaerico rectangulo,cuius
omnes arcus quadrante sint minores: Sinus totus ad sinum utriusvis arcuum circa angulum rectum eandem habet proportionem, quam tangens complementi alterius arcus circa angulum rectum ad
tangentem complementi anguli oppositi.
IN triangulo sphaerico A B C, cuius omnes arcus minores quadrante . sierectus angulus B. Dico ita esse sinum totum ad sinum arcus A B,ut est tangens complementi arcus B C, ad tangentem complementi anguli A . Facta enim constructione, ut in propos. s. erit angulus D, rectus, S C F, complementum arcus B C; sc E F, complementum anguli A;& A D quadrans,ut ibi ostensum est.Quoniam igitur duo circuli maximi A D, R E,in sphaera se mutuo secat in A, ductiq; sunt ex punctis C. E, ad arcum AD, arcus perpendiculares C B, E D; erit,ut sinus
totus quadrantis A D, ad tangentem arcus D E, ita sinus arcus A B, ad tangentem arcus BC: Et permutando,ut sinu totus ad sinum arcus A B, ita tangens arcus D E, ad tangentem arcus B C. Est autem, eum C F, E F,sint complementa arcuum B C,I, E, ut tangens arcus D E, ad tangentem arcus BC, ita tangens arcus C F, ad tari gentem arcus E F . Igitur erit quoque, ut sinus totus ad sinum arcus A B. ita tangens arcus C F, hoc est, complementi arcus B C,ad tangentem arcus E F, hoc est, complementi anguli Α, arcui BC, oppositi. Non aliter ostendemus, si aliter figura construatur,ita e ste sinum totum ad sinum arcus BC,ut est tangens complementi arcus A B, ad tangentem complementi anguli C. In omni triangulo ergo sphaerico rectangulo, &c. Quod demonstrandum erat.