장음표시 사용
421쪽
INFERTUR. ex theoνemate hoe sequens problemar quod Ileet demonstratum quoque sit problemate 2. propos qq. facilius tamen bre absoluιtur, cum in aurea res aula sinus totus primum oblineat locum .
I N triangulo sphaerico rectangulo, datis duobus arcubus circa angulum rectum , utrumlibet angulorum non rectorum , una cum arcu reliquo, qui angulo recto opponitur, indagare.
I N triangulo ABC, cuius angulus C, rectus , sint data duo arcus A C, C B. Dιco trumuis angulas rum A, B, C arcism A s, quoque darν. Nam eum sit, ut sinus totus adsimum arcus A C,sta tangens eomples menti arcus C B, ad tangentem complement/ anguli A. item ut sinus totus ad simum arciss C B, ιιatana gens complementι arcus Λ C,ad tangentem complemensi angulι B rS I fiat, ut sinus totus ad sinum utriusvis arcuum circa angulum rectum, ita tangens complementi alterius arcus circa rectum angulum ad aliud, reperietur tangens complementi anguli bule posteriori arcui πρ siti. Ex datis quoque duobus arcubra circa amgulum rectum cognoscetur tertius arcus angulo recto oppositus,νt in problemate propos s. ostendimus. Vel certe ex dato utrolibet arcu, o angulo, qui ei opponitur, i uento, H in problemate 3. propos qI. traditum est.
V T R. V M autem angulus quouus sit aeutu , obtususve . doeebit areat εἰ oppositus. Hic enim si minor fuerιt quadrante, erit anguluι e3 oppositus , aestus ; si vero maior, obtusus.
IN omni triangulo sphaerico rectangulo, cuius omnes arcus sint minores quadrante: sit nus to ius ad tangentem utriusvis arcuum circa angulum rectu in eandem proportionem habet, quam tangens complementi anguli oppositi ad sinum ait
rius arcus circa rectum ain illum .
IN sphaerico triangulo ADE, euius a reus omnex quadrante minoreς, sse angulus D, rectus . Dico ita esse siauri totum ad tangentem arcus D E,ut est
422쪽
tangens eomplementi anguli Α, ad sinum arcus Α D. Repetita enIm eonstruis ctione figurae propos. qs. erunt A B, AC, quadrantes, & C F, complementum arcus B C, id est , anguli A , ut ibi ostensum est. Igitur quoniam quadrantes sunt A B, A G& arcus E D, ad A B, perpendicularis; erit,
ut sinus totus ad tangentem arcus E D, ita tangens complementi arcus CB, hoc est, anguli Α, ad sinum arcus A D. Eodem modo ostendetur, ita esse sinum totum ad tacigentem arcus A D, ut est tangens complementi anguli E,ad sinum arcus DE: si nimirum aliter figura construatur . In omni ergo triangulo sphaerico rectangulo, &c. Quod erat demonstrandum.
HINC ta Ie problema colligitur,quod per problema I. propos . alio modo a frui quoque potes .
I N triangulo sphaerico rectangulo, dato alterutro arcuum circa angulum rectum, cum angulo opposito, reliquum arcum circa minetum angulum, & arcum recto angulo oppositum, cum reliquo an gulo non recto inquirere: si modo constet, num arcus quaesitus sit maior quadrante, minorve: Vel an reliquus angulus non rectus sit
aclitus, obtususve . I N triangulo a B C, cuius angulus C, rectus , datus sit arcus A C, cum anguis opposivo B . Dico dari quoque arcum B C, me. Cum enim A si, ut sinus totus ad tangentem are.s A C, ta tangens complement3 ang.lι B, ad sinum arcus B C :
S I fiat, ut suus totus ad tangentem dati a cusura tangens complemeti anguli dati ad aliud, producetur sinus arcus quasiti. Ex ductua pom
ro arcubus circa rectum angulum cognitis in cognitionem reliqui arcus, ct reliqui anguli irim re m perueniemur, H in problemate propos s. demonstrauimus; Nel cedite ex alterutro arcuum circa angulum rectum, dato angulo, νr in problemate et . propos 42. docMimus.
THEOR. 48. PROPOS. IO. IN omni triangulo sphaerico rectangulo,cuius
423쪽
omnes arcus quadrante sint minores: sinus totus ad tangentem complementi utriusvis angulorum non rectorum habet proportionem eadem, quam tangens complemeti reliqui anguli ad sinum complementi arcus recto angulo oppositi.
IN triangulo A B C, cuius omnes arcus quadrante minores, sit angulus B, rectus. Dico ita esse sinum totum ad tangentem complementi anguli A,ut est tangens complementi anguli C, ad sinum complementi arcus A C. Reyetita na m q; figura propos. I. cum C G,C I,quadrates sint se interiecates in C, & arcus I G,F E, ad C G, perpendiculares v t ex constructione ibi. dem facta perspicuum est; erit, ut sinus totus ad tangentem arcus EF,qui complementu est arcus D E,hoe est, anguli A,ita tangens complementi arcus I G, id est, anguli C, ad sinum arcus C E, hoc est, complementi arcus AC, recto angulo oppositi. Simili ratione ostendemus, si aliter figurae constructio instituatur, ita esse sinum totum ad tangentem complementi anguli C,ut est tangens complementi anguli A. ad sinum complementi arcus A C . Quam ob rem in omni triavgulo spinetico rectangulo, Sc. Quod demonstrandum erat.
INFERE M us ex liae propos theorema sequens.
I N triangulo sphaerico rectangulo, datis duobus angulis non re ctis, inquirere arcum angulo recto oppositum, & reliquos duos a
I N triangulo Aa C, emus angulus C, rectus , dati sui duo anguli non rem A, B . Dico dari quoque arcum a B, una cum arcubus A c, B C . Quontam enim est , γνHus totus ad tangentemcomplementi angulι A, ita tauo genι complementι anguli B, ad sinum complementi a
S I fiat, ut sinus totus ad tangentem compi menti viriusvis angulorum datorum, ita tangens complementi alterius dati anguli ad aliud, procreabitur sinus complementi arcus recto angulo oppositi . Iam ex arcu, qui recto angulo opponitur, O virolibet angulorum non rectorum, inuenietur arcus ei oppositus, Nin a. problemate propos 4 i. monstrauimus.
PORRO an areus quaesitus q adrante sit maior, aut minor , ita discemus. Sν ters angularum A, B diserit obtusus, et acutus, erit arcus A B, quadrante minor 37. hula s ν r. Mur eorum acutus fuerit,et alur obιU Hritidem areos quadrante maior.
424쪽
THEOR. 49. PROPOS. II. IN omni triangulo sphaerico rectangulo, cuius
arcus omnes sint minores quadranse: unu S totus ad tangentem complementi arcus recto angulo oppositi proportionem habet eandem, quam tangens Vtriusvis arcuum circa angulum rectum ad sinum complementi anguli non recti adiacentis.
IN triangulo sphaerico ABC, cuius omnes arcus quadrante minores, rectus sit angulus B. Dico ita esse sinum totum ad tangentem complementi aris
cus A C, ut est tangens arcus AB, ad sinum
BF, DF, quadrantes, ut ibi est ostensum. Quia igitur in sphaera arcus D B,per extremitates quadrantum B F, D F, sese in F, secantium ducitur, &C E, ad D F, perpendicularis est;erit ut sinus totus ad tangent ε arcus C E,
cus E F , qui complementum est arcus DE, seu a nouli A . Non aliter demonstrabitur, ita esse sinum totum ad tangetitem complementi arcus A C,ut est tangens arcus B C, ad linum complementi anguli C, ii aliter instituatur constructio figurae. Quocirca in omni triangulo sphaerico rectangulo, Sc. Quod erat ostendendum.
R. IYVR eae hoe theoremate problema huiusmodi , quod problemate 2. propos 4s. deesaratum quoque fuit.
IN triangulo sphaerico rectangulo, dato arcu, qui recto angulo opponitur, cum alterutro arcuum circa eundem rectum angulum, reperire angulum non rectum huic arcui adiaceniem , hoc elf, a datis arcubus comprehensum, cum reliquo arcu &angulo non recto.
. I M triangulo ABC, cuius angulus C, rectus, datur A sit a=eus A B, cum arcu A C . Dieo dari quoque a gulum A, cum arcis B C, Ur angulo B . QMoniam enim est, me sinus totus ad tangentem complemenιν AcsM A B,ita iano gens arcus A C, ad sinum complementi anguli ArS I fiat, ut sinus totus ad tangentem compi menti arcus recto anulo oppossiti, ita tangens da-
425쪽
t7 recus circa rectum angulum ad aliud, inuenietur sinus complementi an- ι ι adiacentis, qui qurritur. Hinc rc liqua inuenisntur, H ιn problema- ιι i. oropos. 43. traditum est.
. THEOR. ueo. PROPOS 3 α.IN omni triangulo sphaerico rectangulo, cuius omnes arcus quadrante sint minores: sinus totus ad sinum uti ius vis angulorum non rectorum
habet proportionem eandem , quam secans alterius anguli non recti ad secantem arcus huic angulo oppositi.
IN triangulo sphaerico ABC, euius omnes arcus quadrante minores, sit angulus B, rectus. Dico ita esse sinum totum ad sinum anguli A, ut est secansanetuli C, ad secantem arcus A B. Facta constructione,ut in propos. 47. erunt G H, H E, A E, AD, DF, quadrantes, & GI, arcus anguli C,&DE, ar cui anguli A, ut partim in propos s. partim vero in q7. ostensum est. Item angulus.Ι,restus erit, propterea quod arcus CI, transiens per C, polum arcus G H, rectus est ad G H. Itaque quoniam duo circuli maximi BI, D H. in sphaera se mutuo secant in F,& expunctii in H, arcus D H, ad arcum B I, ducti sunt arcus perpendiculares D B, H I; erit,ut sInus totus quadrantis D F , ad secantem arcussis,qui complementum est arcus H I, ita sinus arcus F H, ad secantem arcus A B,qui complementum est arcus D B: Et pe mutando, ut sinus totus ad sinum arcus F H, vel arcus D E, sunt enim arcus y H, D E, aequales , quod & toti quadrantes E H, D F, aequales sint hoc est, anguli Α, ita secans arcus G I, id est, anguli C, ad secantem arcus A B, anetu- . Io C, oppositi. Pari ratione , si aliter construatur figura,demon strabimus, itae me sinum totum ad sinum anguli C, ut est secans anguli A,ad secantem arcus B C.In omni ergo triangulo sphaerico rectangulo,&c. Quod erat ostendendu.
ELI CITVR bine seruens problema , quod aliter etiam tu probi. I. schol. Propos q2. solutum fuit.
I N triangulo sphaerico rectangulo, datis duobus angulis non re Ais, elicere arcum virilibet eorum oppositum, uni cum arcu, qui recto angulo Opponitur.
426쪽
IN triauuti a 3 e, euius angulus C, νε Ius , dati sint duo anguli A, 2 . ni odari quoque utrumuis arcuum B C, A C, una cum arcina Ε . Nam cum sit . ut Iinus totus ad sinum angulι A, ita secans angulι B , ad secantem arcus A C r Item , ut sinus totus ad sinum angulι B, ita secans anguli Α, ad sca em arcus B C a
Si fit, visimus totus ad sinum anguli non recti quaesito laterι adiacentis, ita secans alterius amuli on micti ad aliud, reptrietur sicans arcus huic posteri iri angulo opposivi, qui quaeritur. I Dento autem utroque arcu circa angulhm recti , reperietur ea ipsis temtius arcus recto anulo opposivus, νt in probi mate propos 43. ostendis mus: Vel certe ex inuento alterutro arcu, ct angulo dato, qui ei opponitur, ut in problemate 3. propos. ε . dia imus.
N v M vero duo arcus quaesiιι eirea angulum rect-m minores quadrante sint avitore/M, sciemus, ut in problemate I. propos 41. docuimus.
THEOR. uet. PROPOS. J3. IN omni triangulo sphaerico rectangulo, cuius
omnes arcus quadrante minores sint: sinus totus . ad sit num complementi Vtriusvis arcuum circa angulum rectum habet eandem proportione, quam secans arcus recto angulo oppositi ad secantem reliqui arcus.
IN triangulo sphaerico ABC, cuius omnes a reus quadrante minores, sit angulus B, rectus . Dico ita esse sinum totum ad sinum complementi arcus B C, v t est secans a reus A C, ad secantem a cus A B . Facta namque constructione figurae, ut in propos. s. erit B F,quadrans; C EAE ad D F, perpendiculares , ut ibi est demonstratum. Q aia ergo in sphaera duo circuli maximi B F, D F, se mutuo secant in F, ductiq; sunt ex puncti, BG, ad D F, perpendiculares arcus B D, C E; erit, ut linus totus quadrantis B F, ad secantem complementi arcus C E, hoc est , ad secantem arcus A C, ita sinus ar-eusF C, qui complementum est a reus B C,ad secantem complementi arcus BD, hoc est, ad secantem arcus A B: Et pern utando, ut si
us totus ad sinum eomplementi arcus BC, ita secans arcus A C, ad secantem, arcu1
427쪽
.reux AB. simili modo ostendemut , ita esse sinum totum ad sinum eomplementi arcus A B, ut est iecans arcus A C, ad recantem arcus B C, si nimirum figura paulo aliter construatur. In omni ergo triangulo sphaerico rectanguinto,&e. Quod erat demonstrandum.
I N trianstulo sphaerico rectangis o . dato arcu, qui recto angulo
opponitur, cum alterutro arcuum circa rectum angulum, inuestigare tertium arcum, cum duobus angulis non rectis. IN triangulo A B C, euius angulis 3 C, rectus, datus sit arcus A B, una eum arc
e. A C . Dico dara quoque arcum B C. cum ara lis A. B. C-m enim sit, M senos totus adfnωm complemniι a cur A C, ita secans arcus A B, adsecantem arcus BC I
S I pa , vi sinus totus ad sinum cotopi menti. datι arcus circa a Mulum rectum, ita sectans arcus' angulerecto oppositι ad aliud, producethr secans tertii arcus, qVi inquiritur . Hinc ex duobus arcubus circa rectum angulum cognitis, utcrlibet
angulorum non rectorum cogno cetur, ut in s problemate Aselli prans q. vel in problemate scholis propos 8. docuimus.
v T λ v Μ vero quaesitus areus 2 C, sit quadrante maior , minorve , discemus eae data duobus arcubus, ut ad finem problomati Fboti, ι. propos. 43. tradιιum est. .
IN omni triangulo sphaerico rectangulo, cuius omnes arcus quadrante sint minores: sinus totus ad sinum utriuslibet angulorum non rectorum proportionem habet eandem, quam secans com
plementi arcus illi angulo oppositi ad secantem
complementi arcus recto angulo oppositi.
IN triangulo ABC, cui ur arcus omnes sint minores quadrante,sit angulus B, rectus . Dico ita esse sinum totum ad sinum anguli A,ut est secans eomplementi arcus BC, ad secantem complementi arcus AC. Repetita enim constructione figurae propoc q7. erit angulus I, rectu , ut i propos. e monstratum est; necnon&apgulus G. item GH, EH, DF, BF, A E, quadrantes,ut ex demonstratis in propos.qs.&47. conssat. Quia igitur in sphaera
428쪽
dune imi limo imi EH. GH, se mutuo sce ni In H, D ex punctis E, T. arcu EH; ad arcum GH, ducti sunt arcus perpendiculares EG, FI; erit, ut sinus totus quadrantis E id ad secantu complementi arcus F l,hoc est,ad secatem arcus C F,qui comiplementum etiam est arcus B C, ita sinus arcus T H hoc est,arcus la E, est enim arcus F H,a cui D E aequa lis, ob quadrantes F. H,D F aequales qui arcus est anguli A,ad secantem compte. menti arcus E G, id est,ad secantem arcus E C, qui complementum quoque est a reus AC: Et permuta do, ut sinus totus ad linum arcus D E, hoe est . anguli Α, ita secans complementi arcus B C, ad secantem complementi arcus A C. Non secus ostendemus, si aliter figura construatur , ita esse sinum totum ad sinum anguli C, ut est secans com sementi arcus A B, ad ... secantem complementi arcus A C. In omni igitur triangulo sphaerico rectangulo, &c. Quod erat dembnstrandum.
S E Q V I T V R. ex bae theoremate sequens problema , quod aliter etiar absit. nimiam problemate I. prvos I.
IN triangulo sphqrico rectangulo dato utrolibet angulorum non
rectorum, cum arcu opposito, inuestigare arcum recto angulo Op positum, una cum tertio arcu,& reliquo angulo non recto: dummo do constet , num arcus angulo secto oppositus sit maior quadrante , minorve: aut an alter angulus non rectus sit acutus,obtususve.
I N triangulo ABC, rectum habente angulum C, datus si angulus B , cum arocu A C. Dico dari quoque arcum A B, na cum arcis B C, cr angulo A . Cum namque', ut sinus totus adso manguli B, dati, ita secans complementi arcus Dat A C, ad secantem complement arcus A 2
b I fiat, vi sinus totus ad sinum dati anguli, ita secans comptime et a tali arcus ad aliud,prorducetur secans complementi arcus recto angulos positi,qui isquiritzr. Ex arcubus Nero A M.A Q cognitis notus fiet tertius arcus B C, ex problemate propos 3. Item ex recubus B, B C, notis cognitus fici angulus M, ea problem
429쪽
IN omni triangulo sphaerico rectangulo, cuius omnes arcus minores quadrante sint: sinus to
tus ad sinum arcus recto angulo oppositi eandem proportionem habet, quam secans complementi utriuslibet arcuum circa angulum rectum ad secatem complementi anguli huic arcui oppositi.
I N sphaerico triangulo A BC, cuius omnes arcus sint minores quadrante, angulus B, rectus sit. Dico ita e sse sinum totum ad sinum arcus A C,ut est secans complementi arcus BC, ad secantem complementi anguli Α, arcui BC, oppositi. Repetita enim constructione figurae propos. s. erit A E, quadrans; D E, arcus anguli A, N E F, eius complementum; atqueC F, complementum arcus B C, ut ibi demonstratum est. Quia ergo in sphaera duo maximi circuli A E, AD, se intersecant in A, & ex punctis C, E, rcus A E,ad arcum A D,ducti sunt per pendiculares arcus C B, E D: erit ut sinus totus quadrantis A E, ad secantem complementi arcus C B, hoc est, ad secantem arcus C F, Ita linus arcus A C, ad secantem complementi arcus D E, siue anguli A, id est , ad secantem arcus E F : Et permutando, ut sinus totus ad sinum a reus A C,ita secans complementi arcus B C, ad secantem compunienti anguli A. Pari ratione, si aliter figura extruatur, erit, ut sinus totus ad sinum arcus A C,ita secans complementi arcus A B, ad secantem complementi anguli C. Quare in omni triangulo sphaerico rectangulo,&c. Quod erat ostendendum.
E X his secuens problema dissolvemus . quod alio quoque modo in problemate ritrvos qI. absolutum fuἰt.
IN triangulo sphaerico rectangulo, dato arcu, qui recto angulo
Opponitur, cum alterutro arcuum circa rectum angulum, inuenire angulum huic arcui oppol mim, cum reliquo arcu,& angulo.
430쪽
SI fiat,ut sinus totus ad sinum arcus angulo recto oppositi ta strans complementi arcus circa rectum angulum dati ad aliud, producetur sorans complementi anguli quaesiti, qui dicto arcui opponitur. Iam ex datis duobus arcubus tertium inueniemus, H in problemate propos 43 .νet in problemate propos. 13. tradidimus. Item ex arcu, qui recto angulo opponitur hoc arcu inuento, reperiemus reliquum angulum huic inumto arcui oppositum, ut dictum est iu boc problemate, vel certe,νt in problemate i. pro os 4 I. ostendim .
Α N vero qMaesitus angulώs B cutus sit, an obt .s, docebit areus A C.eirea an. aulum rectum datus, ut in problemate I. PropU. Α . praecepimus.
THEOR. 14. PROPOS. 36. IN omni triangulo sphaerico rectangulo, c
ius arcus. sint omnes quadrante minores: sinus to
tus ad sinum complementi utriuslibet arcuum circa rectum angulum eradem proportionem habet, quam secans anguli huic arcui oppositi ad secantem complementi reliqui anguli non et ceti.
IN triangulo sphaerico A BC,angulum B, rectum habente, sint omnes a eus quadrante minores. Dico ita esse sinum totum ad sinu complementi a cus B C, ut est secans anguli non recti A , ad secantem complementi anguli C. Repetita enim constructione figurae propos. q7. erunt anguli G, E, rei cti, & arcus BF, DF, CI, E H G H, quadra n- te D E, arcus anguli A, S G I, arcus angustC,ut ex demostrati, in propocqu& 47. liquet. Igitur quia duo maximi in sphaera circu i C G, CI. se in C, intersecant, ductiq; sunt ex punctis F, I, arcus C I, ad arcum C G, arcus perperiis diculares F E,l G; erit, ut sinus totus quadratitis CI, ad secantem complementi arcus FE hoe est, ad secantem arcus D E, anguli Α, ita sinus areus C F, qui complementum est arcus B C,ad secantem complementi arcus G I anguli C: Et permutando , ut sinus totus ad sinum complementi arcus BC, ita secans anguli Α, ad secantem complementi anguli C. Non secus siendemus, si aliter construatur figura. ita esse sinum totum ad sinum complementi areus A B, ut est secans anguli C, ad secantem complementi anguli A. Quapropter in omni triangulo sphaerico rectangulo,&c. Quod demonstra