장음표시 사용
71쪽
quem tangit maximus in principio circulus, & eudem parallelus erit.
I N sphaera maximus circulus A B C D, euius polus E, tangat circulum A F, secet autem alium huic parallelum G BHD, positum inter spnaerae centrum. circulum A F , ita ut circulus G B H D, maior sit,quam A F ; sitque E, polus circuli maximi ABCD, inter utrumque circulum A F , G B H D. Quoniam vero maximus circulus ABCD, secat circulum G B H D, non bifariam,cum non transeat per eius polos,hoc est, per polos parallelorum, erit
segmen tum B H D , ad polum conspicuum, qui sit I, mai' semicirculo,& BGD, minus. Ducatur per E, PD-lum circuli A B C D, & Ii, potu paralleloru circulus max imus G A C, qui secabit sigmenta BGD, B H D,
bifariam: puncta autem M,N,aequaliter distent ab H; S O , magis distet ab H , quam N. Tangant autem parallelum G B H D, in punctis G, H, M,N,O, circuli maximi G L,H K,M P, N K,O L, qui quidem Omnes inclinati erunt ad maximum circulum ABC D, eum non transeant per E, polum ipsius. Cum enim E,
polus ponatur inter parallelos Α F, G B H D, non poterunt dili tangentes circulum G B H D, per E, transire, alias secarent apium, lus. Per quem etiam necessario transeunt, sit extra dictos parallelos, ut patet.
autem, id est, maxime inclinatum esse GL , At M P, ι ,
& O L, magis quam N K r Polos denique horum circulorum tangentium de in uno eodemque parallelo, qui minor sit,qvδm 6 i lest circuli A B C D , erit E A, quadrans maximi circuli 3 sumatur ei aequa Iis arcus PI Q ; eritque punctum PQ, inter puncta A,& I, cum arcu H ior sit ouadrante, quod E A, quadrans sit ostensus. & H I, quadrante mi-
porrectus sit quadrans. Si igitur ex polo I, ad interuat . scribatur QT R, erit Is ipsi AF, parallelus, & eo nun pr. In hoc erso p irallelo O TR ico esse polos omnium circulorum parallelum G B H U , taxentium. Per polum enim I,& puncta contactuum describantur circuli mixt- mi M I S, N IT, OI V; qui transibunt quoque per vero arcus HI, MI, NI, O I, GI, aequales sunt,quod ex definitione poli, rectae illis arcubus subtensae aequales sint,eadem ue ratione & arcus I
IT, I v , IR , aequales sunt;erunt toti arcus H in , M b , di 1,U ,
72쪽
aequales; atque adeo eum H sit quadrans,omnes illi a reus quadrantes erunt. Precum demonstratum sit eos transire per polos tangentium, erunt punct) , S, T, V , R , poli circulorum tangentium , quae quidem omnia Coroll. s. sunt in parallelo T R,quod ultimo loco proponebatur demonstrandum. hviv Iam vero quia arcus circulorum maximoru ex E polo circuli maximi ABCD, ad Q, S, T, V, R, polos tangentium ducti metiuntur distantias poli E, apolis tangentium aestque omnium maximus E minimus autem ER aeqvs schol. I . . les vero ES , ET ;& denique ET , maior, quam E V, quod omnes hi arcus huim sint semicirculo minores; est enim E Q , quadrante EA, minor; atque adeo reliqui eum non secabunt citra punctum in , ideoque semicirculo minores serunt. erit circulus PI K, minimo inclinatus ad circulum maximum ABCD; sehol. xi. SGL , maximῆ; at M P, NK , aequaliter, seu similiter;& o L , magis quam bui . NK, quod primo loco demon strandum proponebatur. QVocirca si in sphaera maximus circulus.&c. Quod erat demonstrandum.
IISDEM possitis, si circunferetiae circulorum
tangentium a contactibus ad nodos sint aequales; praedicti circuli maximi similiter inclinati crut.
RURSVS in sphaera maximus circulus A B C D , cuius polus E,tangat circulum A F , secet autem alium huic parallelum G B H D , positum inter sphaerae centrum,& circulum A F , ita ut G B H D , maior sit, quam A F; sitque E, polus maximi circuli ABCD, inter utrumque circulum AFOBHD: Tangat deinde in punctix M , N , circuli maximi MO,NP,circulu GBHD, secantes ABCD , in O,
P , nodis , sintque arcus M O,NP, aequales. Diis eo circulos MO, NP, smiliter inclinari ad maximum circulum ABCD. Ducatur enim per E, 'Ο- Ium circuli A BC D, & I, polum parallelorum circulus maximus GA C:Ite per I,polum paralleloru,&puncta contactuum circuli maximi I M, I N,quiser pol os quoque circu-
sibiit;atque adeo ipsos adaneulos rectos secabunt. - . . . . Ouoniam igitur segmenta circulorum aequalia, nempe se circuli, qui ten-ddit ex M,&N, per l, donec iterum secent circulos tangentes MO ,N P, insistunt diametris circulorum MO,N P, est enim communis sectio circu-
73쪽
et. .huiv lorum maximorum IM, MO, diameter utriusque,cum se mutuo secent bis riam) ad angulos rectos, & diuiduntur non bisariam in I, quod I, polus parat telorum non sit polus tangentium ; ponunturque arcus MO, P, aequales; huius, erunt ductis rectae I O, I B , aequales. Si tetitur ex I, polo parallelus describa- I P tur OK, ad interuallum Io, transibit is quoque per I .. Et quia circulus maximus ira, transiens per polos circulorum M O , o Q , se secantium in ν huiu3. o, , secat eorum segmenta bifariam, aequales erunt arcus M O, M a,&SΟ,s α; Eodemque argumento aequalcs erunt arcus NP,NR,&T P, T R;nec non Κ O, K P,& C O,C P; propterea quod circulus maximus I kC,ν. huius. transiens per polos circulorum OKΡ, VCP, secat eorum segmenta bisariam in Κ,&C. Cum ergo arcus ΜO,N P, ponantur aequales, erunt & toti O M Q , I N R,quorum G , ipsi dimidi j sunt, aqua- s. tertii. les , atque adeo & rectae subtens; O PR,aequax s. reiiij. Z les erunt. Igitur & arcus
equales. Reliqui ergo ΚS, KT,aequales eruntiatque adco,cum sint unius eiusdemque circuli, similes int huius. ter icerunt. Quia vero ara
sunt arcus H M,H N;erut quoq; aquales arcus HM, H N . Itaque cum seg- .huius.. mentum B H D, bifariam secetur in II, sintque quales arcus HN,IIN; erunt circuli M O,N P,simili-- ter inclinati ad circulum A B CD. Quare ijsdem positis, si circunserentiae a contactibus,&c.Quod erat demonstrandum.
74쪽
I recta linea circulum in partes inae quales secet, super qua constituatur rectum circuli segmentum, quod non sit maius semicirculo ; dividatur aurem segmenti insistentis circunserentia in duas inaequales partes: Recta linea subtendens earum minorem , minima est linearum rectarum ductarum ab eodem puncto ad minorem partem circunse. rentiae primi circuli: Rectarum vero ductarum ab eo ipso puncto ad circunserentiam interceptam inter illam minimam rectam,& diametrum, inquam cadit perpendicularis deducta ab illo puncto semper minimae propior remotiore minor est. Umnium autem maxima est ea, quae ab illo eodepuncto ducitur ad extremitatem eiusdem diametri Item recta subtendens maiorem circunferentiam segmenti insistentis, minima est earum, qua cadunt in circunferentiam interceptam inter ipsam,& diametrum,semperque huic propior remo
75쪽
tiore minor est. Si vero recta linea subiectum circitium secans sit eius diameter, & reliqua omnia eadem sint, ut supra i recta linea subtende iis minorem partem circunferentiae segmenti insistentis, minima est rectarum ducta rutii ab illo codem
puncto ad primi, & subiecti circuli circunfercntiam; ea Vero, quae maiorem partem circunfercntiae segmenti insit stentis subtendit, maxima est.
RECTA linea AB, secet circulum A C B D, cuius centrum si, in partes inaequa les , quarum maior sit A CB: Iu sistat
autem ipsi AB, rectum circuli scgmentum AFB,semicircuibno maius,quod in partes inaaequales diuidatur in F iique minor pars BF: Ex F , demittatur in circulum AC B D, per pendicularis F L, quae in A B, communem iectionem cadet: Per E, autem, S L , diameter agat ut CD;& ex F, in circunserentiam ACB,
maioris segmenti circuli ACBD, plurim rectae cadat F B, F G, F H, F C, F A, FI, F K.
Dico omnium minimam esse F B,& FG,minorem, quam F H; Omnium autem maximam esse FC. item F A, esse omnium minimam, quae
ex F, in portionem A C, cadent; & F I, minorem, quam E K. Ducantur ex L, lineae rect LG, L H, L I, LK; cruntque ex desin. 3. lib. I I. Eucl. omnes anguli ad L, quos recta F L, facit, recti . Quoniam igitur recta L D, est omnium rectarum ex L, cadentium minima,& L B, minor,quam L G, L H, I . C'. L K, L I, L A; erunt quadrata ex F L, L B, minora quadratis ex F L, L G t Est autem tam quadratum ex F B, quadratis ex F L, L B, quam quadratum ex F G, quadratis ex F L LG,aequale. Igitur erit quoq; quadratum ex F B,minus quaadrato ex FG atq; adeo & recta sB,minor erit quam FG.No aliter ostedemus, recta F B,minord esse,quam F H,sC,F K,F I,FA.Quare FB omni u minima est. RURSUS quia L G,minor est,quam L H, erunt quadrata ex F L,L G, minora quadratis ex F L, L H: Est autem tam quadratum ex F G , quadratis ex F L, L G,quam quadratum ex F H, quadratis ex F L, L H, aequale. Igitur& quadratum ex F G, quadrato ex F H,minus erit; atq; adeo & recta F G, --nor erit, quam recta F H. i P si iAMPLI US quia L C, omnium ex L,cadςntium maxima est; erunt quadrata ex F L, L C, maiora quadratis ex F L , L Κ r Est autem tam quadratum ex FC, quadratis ex F L,LC, quam quadratum ex F le, quadratis ex FL,Lk, aequale. Igitur & qua dratum ex F C,maius erit quadrato ex F Κ ac proinὸe se recta F C, maior erit,quam rina F K. Non aliter demonstrabimus rectam FC, maioremxste,quina FI, & F A.Est ergo recta F C, omnium maxima.
76쪽
ITEM quia L A, minor est, quam L I, L h, L C; erunt quadrata ex TL,L A, minora quadratis ex F L , LI: Est autem tam quadratum ex F A , quadratis ex FL, L A , quam quadratum ex FI , quadratis ex F L , LI, aequa Ie . igitur & quadratum ex F A , minus erit quadrato ex F I; atque ob id recta quoque F A, minor erit,quam recta FI. Eodem modo ostendemus, rectam E A, maiorem esse,quam F Κ, F C . Est ergo F A , omnium rectarum ex F , in arcum A c, c adentium minima. DENIQVE quia LI, minor est,quam L Κ; erunt quadrata ex F L,LI, minora quadratis ex FL, L Κ: Est autem tam quadratum ex F I, quadratis ex F L, L I, quam quadratum ex F K , quadratis ex F L,LΚ, aequale. Igi-itur & quadratum ex F I,minus erit quadrato ex F K,ideoque & recta F Ι,mi, nor erit,quam recta F K. OD si recta AB, secet cireulum A C B D, bifariam , ita ut sit eius diameter emonstratum a nobis iam est theoremate tertio scholij propos 2 r. praecedentis libri, rectam F B, minimam esse,& F A, maximam. Vnde non est necesse,idem hoc loco demonstrare. Immo plura ibi sunt demonstrata , quam hic proponuntur.Si recta igitur linea circulum in partes inaequales secet Me. Quod ostendendum erat.
SI recta linea secans circulum segmentum auserat, quod semicirculo minus non sit, super ipsa autem recta linea statuatur aliud circuli segmentum , quod & semicirculo maius non sit, & inclinatum sit ad alterum segmentum, quod semicirculo maius non es diuidatur vero insistentis seg
menti circunferentia in partes inaequales: Recta linea subtendens minorem circunferentiae partem minima est rectarum omnium ductarum ab illo
puncto, a quo ipsa ducitur, ad subiecti circuli circunferentiam illam, quae semicirculo minor non est:& reliqua omnia, quae in praecedet i, sequuntur.
RECTA linea A B, a circulo ACB D, euius centrum E , auserat segmentum A C B, semicirculo non minus, sed vel semicirculo aequale,v t in prima figura,vel maius,ut in aliis figuris; Muper recta A B, statuatur segmentum aliud circuli A F B, semicirculo non maius, sed vel semicirculo aequale, ut in postrema trium figurarum, vel minus, ut in primis duabus figuris,& inclinatum ad segmentum alterum A D B,quod semicirculo maius non ellum A CB. vel semicirculo aequale, vel maius ponatur . Diuidatur quoque cir-1 1 cun-
77쪽
cun serentia A FB, in F, in partes inaequales , & sit F B, minor. Ex F,dc mittatur in planum circuli ACBD, perpendicularis F L, quae ad partes segmenti A D B, cadet,propterea quod segmentum A F B , ad segmentum A D C, est inclinatum,ita ut punctum L, sit vel intra segmentum A D B , vel extra , vel certe in ipsa circunferentia A D B. Per centrum autem E,& punctum L,dia meter asatur C D , & ex F, in circunferentiam A C B , plurimae rectae cadant F B, FG, &c. Dico omnium minimam esse F B; & F G , minorem quam F H: omnium autern maximam esse F C : Item F A, esse omnium minimam, quae ex F, in circunserentiam A C , cadunt; & F I, minorem quam Ii K. Ducantur ex L,rectae lineae L B, I. G, L H, L A, LI, L K , eruntque omnes anguli ad L, quos facit perpendicularis F L, recti, ex desin. 3. lib. H. Luci. . vel g.ves Quoniam igitur recta L D, est omnium minima, haec autem linea nihil est om I x xit. nino in ea fgura , ubi punctum L , cadit in D. & L B, minor,quam L G,LH, L C, L K , L I, L A,& omnium maxima L C,& c. demonstrabimus,ut in prae- i. i. at codenti, roctam F B, esse omnium minimam, & F G, minorem quam F Η: Item . primi. F C, Omnium maximam , es F A, minimam omnium ex F , in circunserentiam A C, cadentium ;& FI minorem quam F Κ. Si igitur recta linea secans circulum, Sc. Quod erat ostendendum.
SI in sphaera duo circuli maximi se mutuo secent, ab eorum Vero Vtroque aequales circunse
rentiae sumantur utrinque a puncto, in quo se se-icant: Rech lineae, quae extrema puncta circunserentiarum connectunt ad easdem partes, aequales 'inter se sunt.
IN sphaera duo cireuli maximi A BC, D B E , se mutuo secent in B,&in uno quoquo utrinque a B, sumantur duo arcus aequales B A, B C ,S BD,BE,
78쪽
iunganturque rectae A D, C E. Dico rectas A D, C E,aequites esse. Poto enim B,&interuallo B A,circulus describatur,qui etiam per C, transibit,ob aequalitatem arcuum B A, B C. Aut igitur idem circulus transit etiam per D,atque adeo & per E, ob aequalitatem arcuum BD, BE, λ- λ
figura;sintque communes sectiones circulorum ma
ximorun circuli ADCE, rectae A C , D E. Et quonia circuli maximi ABC, D B E, per B, polum cireuli AD CE , transeuntes secant ipsum bifaria, erunt A C, D E, diametri ei reuli AD CE , & F , centrum ; ac proinde rectae FA, F D , rectis F C, F E, aequales. Cum csso S angulos 2quales comprehendant ad verticem F; erunt & rectae A D, C E, aequales. SED non transeat iam eirculus ex B,polo dcscriptus ad interuallum BA, per D, sed ultra punctum D,atque adeo & vltra punctum E,excurrat. Producantur arcus B D, B E , ad G, H . Quoniam igitur arcus B G, B H, aequales sunt,quod ex des n. poli ,rectae subtensae BG, B H, aequales sint: Sunt autem&BD, B E, ex hypothesi, aequales ; erunt & reliqui D G , E H, aequales. Et quoniam rectae dilatae A G, C H, aequales sunt, ut proxime demonstratum est in prima parte huius propos. erunt & arcus A G, C H, aequales. Quia te itur circulus maximus G B H, per polum B, ductus secat circulum A G C H, bifariam,& ad angulos rectos, insistet Dementum G H , reetiam diametro circuli A G C H. Cum ergo arcus D G, E H, aequales sint , & minores dimidio arcu GDH; sintque arcus G A', H C , ostensi quoque aequales ; erunt recte D A, E C, inter se aequales. Si igitur in sphaera duo maximi circuli te mutuo secent, a ciuili Re. Quod erat demonstrandum.
Si in sphaera duo maximi circuli se mutuo secent , ab eorum que altero aequales circunferen
tiae sumantur utrinque a puncto, in quo se inter secant, & per puncta terminantia aequales circunferentias ducantur duo plana parallela, quorum alterum conueniat cum communi sectione ipsorum circulorum cxtra sphaeram versus praedictum punctum, sit vero una illarum aequalium circunfercntiarum maior utralibet circunferentiarum in alte -
79쪽
ro maximo circulo ita terceptarum inter prie di ctu punctum, &Vtrumque planorum parallelorum: Ea circunferentia, quae est inter illud punctum, &
planum, quod non conuenit cum communi s istione ipsorum circulorum, maior est, quam ea eiusdem circuli circunferentia, quae est inter idem puri lum, & planum, quod conuenit cum communi sectione circulorum.
IN sphaera duo maximi circuli A B C, D B E, se mutuo secent in B , R in ' ABC, sumantur arcus B A, B C, aequales,& per A, C, puncta duo plana pa-3.r. haluti rallela inter se ducantur faeientia in superficie sphaerae circunferentias circulorum A F G,C H I, quae secent circunierentiam D B E, in punctis F, H ; sit vero arcus B A, vel B C, maior utra libet circunferentiarum B F, B H,ihter I unctum D, & plana parallela interceptarum. Ex polo deinde B, & interualo B A , vel BC , circulus describatur A DC E, qui puncta F, H , transcendet, propterea quod arcus B F , B H, minores ponuntur arcubus B A , BC. Producantur arcus B F , B H, vsque ad circunferentiam circuli ADCE, ad puncta D, E; sintque eommunes sectiones circuli A D C E, Scirculorum A FG, CHI, rectae A G, C I ; communes autem sectiones circulorum maximorum , 9 circuli ADCE, rectae AC,
D E ; quae ipsius diametri erunt, atque adeo eiusdem centrum K , cum circuli maximi ipsum per B, polum bifariam secent z.Secet autem recta DE, restas AG, C I, in M, N. Sit quoque maotimorum circulorum communis sectio K B, recta,cum qua producta ad partes B, conueniat planum A FG, productum extra sphaeram in puncto L.Quo posito, non conueniet alterum planum C HI , cum recta ΚΒ, ad partes B, ne cum sibi parallelo plano A F G, conueniat. Dico arcum B H, maiorem esse arcu B F . Sint enim rectae F M, H N, communes sectiones circuli D B E, &circulorum A F G, C HI. Et quoniam planum A FC , conuenie productum cum recta KB, producta in L , erit L, punctum tam in
plano D lue E , quam in plano A F G; atqiis
adeo in comuni eorum sectione,nempe in recta M F. Producta ergo M F,eoibit cum Κ Β , producta in L. Quoniam vero planum D B E, secat plana pax ε.vndec. rallela A FG, CH I, erunt sectiones factae M F, NH,parallelae.Rursus quia .vodee. planum ADCE, eadem plana parallela secat, erunt quoque sectiones factae ν pximi, A G, CI, parallelae . Anguli ergo alterni Κ A M, K. C N, aequales sunt ianv
80쪽
sunt autem S: anguli A K M, CK N, ad verticem aequales,& latera K Α, KC, ε .primi. aequalia, cum sint semidiametri circuli A D C E . Igitur & latera K M , K N, Pxx aequalia erunt: sunt autem & semidiametri Κ D, K E , aequales. Reliquae ergo rectae D M, E N, aequales erunt. Rursus quoniam recta B K,ex B, polo circuli A DC E, ad eiusdem centrum K ducta , recta est ad planum circuli , urit an gulus M K L, in triangulci K. L M,rectus,ex desin. R. lib. i l. Euel. Angulus ist-tur K M L, acutus erit. Cum ergo duo anguli F M N,HNM, duobus lintrectis aequales;erit angulus II M M, tui iis Quare,ut mox,lcmmate sequenti ostendemus , arcus E FI, minor crit, arcu D F; atque adeo , cum aequales sint arcus B D, BE , quod rectae subtensae BD, B E, ex desin. poli, sint aequa - - ςΠ3Iles,maior erit arcus B H, arcu B F . Si igitur in sphaera duo maximi circuli se mutuo secent,&c. Quod erat demonstrandum.
V o D autem arcus EII,arcu DF, minor sit, faciti demonstrabimus,Me preposia νo theoremateprius demonstrato.
SI arcui circuli tecta subtendatur, ad quam ex arcu duae perpendiculares demittantur auferentes versus terminos arcus duos arcus aequales; auserent eaedem duas rectas ex recta subtensa aequales. Et si duae perpendiculares ad rectam subtensam ducantur auferetes duas rectas aequales;auserent eaedem duos arcus aequales.
A RCU I circuli ABC D, subtendatur recta AD, ad quam ex arcu demittantur duae perpendis utares B E, C F, auferentes duos arcus A B, D C, aequales. Dico easdem auferre aquales rectas A E , D F. Ducta enim recta B C, erunt AD , B C, parallelae, ob aequalitatem arcuum A B, D Cr fiunt aut B F, C F, parallelae. Parallelo. grammum igitur es B E F C, atque ad δσ recta B E, C F,squales. F t quoniam aequalibus arcubus A B, D c, re nisubtensae A B, D C. quales sunt Seror quadrata ex A B, D Gaqua- 1m iertii. lia. Cum ergo tam illud aequale sit quadratis ex A E, B F, quam hoc qua- 41.ptimidiatis ex D F, C F; si auferantur squalia quadrata rectarum B E, C F, aequalia erunt quadrata rectarum F, D F; ac proinde oe rectae A GD F,aequales erunt. quod primo loco proponebatur.
SED iam pirpendiculares B E, C F, auferant aequales rectas AT, D F. Dico easdem auferre aequales arcus A B, D C. Si enim non sunt aequales , sit, si feri poten, maior arcus A B, a quo aequalis abscindatur G, ex G, ad A D, perpendicularis ducatur G H . Erit igitur, ut proxime demonstratum est, recta A II, recta D F, aequalis, atque adeo est rectae A E, pars toti: Quod est absurdum. Non est ergo arcus A B, maior arcu D cet eademque ratione neque minor erit . Aequa is ergo est.