장음표시 사용
441쪽
ri eiciem polis A. B. ad interualla AC, B C, delineentur cἰreuli non maximi Κ C N, O C ly, qui prioribus erunt paralleli. Descriptis deinde in alio circulo communibus iectionibus horum circulorum eum circulo ABGF, quae inter se parallele erunt, seseq; ad angulos rectos secabunt; Nam A X, ex A, polo circuli BF, in sphaerae centrum X, ea dens ad ipsum circulum recta est; ac propterea,ex defin. q. lib. I I. Eucl. anguli ad X, recti erunt. Ex quo fit,etiam
angulos ad R,S, Y, rectos esse,ob parallelas lineas B F,K N,& A G, OP. erit A v, sinus rectus quadrantis A B; Κ Y, sinus rectus arcus AC, sue arcus A K, illi, ex desin. poli, aequalis ; B R, sinus versus arcus BC, seu arcus B O, illi,ex post detin. aequalis , B ducta K ad B F, perpendiculari snus versus arcus B Κ, quo arcus A B, AC, inter se disserunt; Denique K S, sinus versus arcus K C .ltaque si sumatur D Z, sinus versus anguli A, siue arcus B L, qui arcui K C, limilis est, demonstrabimus, ut in primo casu, ita esse quadratum sinus totius, nempe rectangulum sub D X, X A, ad rectangulum sub A V,K Y, si nubus rectis arcuum A B, A C, ut est D Z, sinus versus anguli A, siue arcus B L, ad ΚΤ, siue ad QR, disterentiam sinuum versorum B R, BQ, arcuum BC,BK, nisi quAd hie non inueniuntur triangula aequi angula, sed R U, ab X A, non disteri, quemadmodum nec K S, a k T. it. SIT iterum AC, quadrante maior, at tam A B, quam BC, quadrans. Completo circulo A BGF , & resecto quadrante A E, ex AC, describantur ex polo A, ad interualla AE,
polo B, ad interuallum B C, circulus AEG, aliaque fiant, ut in
praecedenti casu . Ostendemus ergo, ut in primo casu, ita esse quadratum sinus totius, hoc est,
rectangui um sub D X, X A,ad reactangulum sub A V, Κ. Y, sinu. bus rectis arcuum A B, A C , ut est D Z, sinus versus anguli A,sue arcus B E, ad K T, seu Q R, disserentiam sinuum versorum B R,B Marcuum BC, BK, nisi quod hic nulla adsint aequi angula triangula,quemadmo dum nuc in praecedenti casu, atque A V, ab X A, & D Z, a B R, & K s, a KT, non dissere. I 2. SIT arcus A C, quadrante maior Α B, quadrans , sed B C, maior
etiam quadrante. Completo circulo A BG Fδε ablatis quadrantibus A L, B M,ex arcubus AC, B C, deseribantur circuli ex po- Iis A, B, ad interualla quadran tum A L, B M, & arcuum A C,
B C, caeteraque fiant, ut in praecedentibus. Erit ergo rursus,vein primo casu demonstratum est, ita quadratum sinus totius, id
est , rectanstulum sub D X, X A, ad rectangulum sub A vi K Υ, sinubui rectis arcuum A B, AC, ut est D Zi
442쪽
sinus versus anguli Α, siue arcus B L, ad K T, disserentiam sinuum versorum ' B R, B in arcuum BC, B Κ; quamuis nulla hic appareant triangula aequi angula, sed X A, A U, inter se non disserant, quemadmodum neque K S,KT. I. rasus. 13. SINT arcus AC, A B, quadrante maiores, at B C, minor quadrante . Completo circulo A B G F, S resecto quadrante AL, o AC, producto item arcu BC,ut fiat quadrans BM, reliqua fiant, ut in superioribus. Demoni strabimus iam, ut in primo casu,
B ata esse quadratum sinus totius, D. - - . nimirum rectangu lum sub DX,
Κ Y, si nubus rectis arcuum A B, A C,ut est D Z, sinus versus anaguli A, seu arcus D L, ad K. T,
dissi ren t ia in sinuum versorum
B R, BQ arcuuin BC, B k;nisi quod tria gulum X A V, triangulo S Κ T, demonstrandum est ' primi. esse aequi angulum hac ratione . Quoniam angulus K S T, angulo opposito,&interno Y I X, aequalis est, erit in triangulis rectangulis S Κ I , I X Y , & re- . liquos angulus S Κ T reliquo angulo I X Y, hoc est,angulo opposito,& incerno V A X. cum parallelae sint AVO H. aequalis. Igitur in triangulis tectangulis S K T , X A V, anguli quoque reliqui K S T, A X V, aequales erun t , ae proinde aequi angula erunt triangula S K T X A V. r . SINT rursum AC, A B, maiores quadrante,at BC,quadrans. Completo circulo ABGF,& abscisso quadrante A L, ex A C, nec non descriptis eliculis D E F, Κ C N, ex polo A, ad interualla A L, A C, describatur quoq; ex polo B, ad interuallum quadrantis B C,circulus maximus G E H, atq; alia
fiant , ut supra . Demonstrandum Ergo est , ita esse quadratum sinus totius, id est, rectagulum i ub D X, XA, ad rectangulum sub AV, Κ Υ, si nubus arcuum A B, AC, ut est D Z linus verius anguli Α, arcu tave D L, ad Κ T, disterentiam inister linus versos B R , B in arcuum B C, B K . Quod quidem ostende inu , ut in ptimo casu . Solum triangula S Κ T,X A V, probabsitur aequi angula esse, hoc modo . Angulus S,eommunis est utrique triangulo rectangulo S K T,S R Y. Igias primi tui angulus reliquus S XT,reliquo angulo S R Υ, hoc eis, angulo opposito, Minterno V A X, cum parallelo sint A V,G H. aequalis erit. Quare rectangula triangula S K T, X A V, aequi angula erunt. s. rasus. StNT postremo omnes tres arcus trianguli ABC, quadrante maiore, Completo circulo A BG F, N resectis quadrantibus A L, B M, ex arcubu A C, BC, fiant omnia alia, ut prius. Ostendemus non secus, ae in primo casu, ita esse quadratum sinus totius, nempe rectangulum sub D X , X A,
ad rectangulum sub A V, K Υ, sinubus rectis arcuum A B, AC, ut est D Z, si
443쪽
Rut versus anguli Α, seu arcus DL, ad T T, disserentiam Inter sinus versos B R, B arcuum B C, B K; si modo triangula S K T, X A V,aequi angula esse
ne . Angulus Y I X , aequalis est interno re opposito K ST. Igitur a . primi. in triangulis rectangulis S K T,IX Υ,reliquus angulus S Κ T,reliquo angulo I X Y, hoc est . an stilo interno, & opposito X A U, cum parallelae sint A V, G H . aequalis erit; ac proinde tria gula rectangula S K T,X AV, aequi gula erunt. Quapropter in omni triangulo sphaerico, cuius duo arcus sint inaequales,&c. Quod demonstrandum erat.
F π omnibus quindecim eamus huisti demons rationis liquet, a reum B C, ans au A, sub arcisbus inequa tibvi comprehenso oppostum semper m4iorem esse arcu is C. hoe est, d Ferentia arcuum in aequilium . in omnibus en mlauru arius B C, per deos n. polι, areui Η Ο, uri arcui L G, quando B C, quadr m G, νε ιu eas. 2. s. η. I i. q. aequalis es . Consat autem arcum B O, vel arcum n H, in distis quinque robus maiorem esse arcu B Κ r quod tamen ita tise , facile sequens quoque ιbeor ea. ma demonstrabit.
IN omni triangulo sphaerico cuius duo arcus sint inaequales; ariscus reliquus maior est arcu, quo inaequales arcus intcr se differunt.1 N triangulo enim Aac, sit arens A B, maior arcu AC, ex toti Α, ad interuallum A C, arcus et riuit dea scribatur CD. E rit ergo ii reus AD, arcui AC, per dou. pol , aequalis , atque adeo arcus B D, disserentia arcu. naequalium AB, AC. Dico areum B C, arcis B D, matorem Uye . Quoniam enim duo a reus A C, C B, smul maiores suut arcu A B i ablatis aquatibus arcubu.
A C, AD, reliqum quos C B, reliquo B D. maior erit. QMd est propositum . TA RV E in omnis baries triangulo, euius duo arc- inaequatis snt. tu verse reliqui arcus s Ner maior est sinis .erso da is renita arcuum inaequalism .'C. m vim a re s illa reliquus ostensus sit maior , quam ea disserentia , maior autem arens beat semper maiorem suum veUum, ut ex traἱ atronesin um constat, perspιcuumst , rei qu/ arcus sinum νersum ma ιorem esse suis verso disserentιa arcuum tua. qualium . HOC trii reo dixerim,ut rationem videas,qua re in praxi pretus. 64. disserentia i terso. versos, quo νωm vn- reliquo tertio arcur,alter vero disserenita ιnaqMa-ἰ reuum uehetiar, adjeienda praecipiatur sem verso differenti arcuum naquai M, Vt componatur mus versus reliqui tertii arcus, nunquam autem detrabenda a
ist lini et M u fierentiς arcuum inaequalia.
444쪽
IN omni triangulo sphaerico, cuius duo arcus sint inaequales: sinus totus ad quantitatem, quae sinui toti,& duobus si nubus arcuum inaequalium quarto loco proportionalis est, eandem proportionem habet, quam sinus versus anguli sub dictis arcubus comprehensi ad differentiam inter sinum versum reliqui terti j arcus, & sinum versum arcus, quo duo inaequales arcus inter se differunt.
I N triangulo sphaerico ABC, proxime anteeessent. st a reus A B, maror arcis A C,m ex polo Α, ad interualism AC, describatur arcus eirc.Iι C D, ut areus AC, A D. per de . pal3 ,sint aequales , atque adeo arcus B D, excellia sit ,seu differentia arcuum AB, AC. Fiat ram, ut sinus totvi ad sinum arcus A B, 1ia snus arcus Α C, ad aliud, quod quantitas quarta proportιonalis iscetur , ut hie vides rsinus arcus sinus arcus quantitas quarta A B. AC. proportionalis. Diea ita esse sinum tot δεο ad quantitatem quartam simul toti , duobus snubus aro. ruum inaequat um proportionalem, ut est sinus ersus angulι Α, ad disserentiam inter sinum vers m arcu. B C, σμum vers m arein B D , quo inter se areus a B, A C, . di ferunt. Quoniam enim proportio σιν totivi ad quantitatem illam quartam proin portionalem eomponitur posto sinu arcus Α B,medio ex proportione sinus totius ad num arcus A B, er ex proportione sinus arcus A B, ad quantitatem quartam prooportionalem: Et proportio quadrati sinus totius ad rec anguliam sub ubus r.esis araeuum Α Β, Α C, componitur ex eisdem proportionibus, mempe ex proportione suus tas I .seMi. tius adsuum arcus A B, σ ex proportione sinus ratius ad suum arcus AC, quae ea. dem est , qua proportio siuin arcus Α Β , ad quantitatem quartam proportionalem r Nam cum sit , ut sinus totus ad sinum areus a B,ita sinus arcus A C. ad quantita atem quartam proportionalem; erιι permutando , ut sinus totus adsuium arcωs AC, ita sinu. arcu. A B, ad quantitatem quartam proportionaIem.) erit , Ῥι sinus re tuo ad quantitatem quartam proportionalem , ita quadratum sinu. totius ad rectari ἰum sub ubm arcuum A B, A C, contentum. Cum ergo sit, t quadratum sinus to. t. hular. tius ad refctangulum sub sinubus arcuum Α Η, Α ta .s γersus angula A, ad diseferenι iam sinuum verserum arcuum B C, B D; erit quoque, t sinus totus ad 3- ιι talem quartam proportionalem, ita sinus versu. anguli Mad disserentiam inter soses versos arcuum B C, B D . quod est proposit m ,
a. i s I duo triangula sphaerica duos angulos duobus angulis aequales habeam, utrumque utrique
445쪽
s v Π Ag R.r e e. 41 serui sinus arcuum circa reliquum angulum Vnius
sinu bus arcuum circa reliquum angulum alterius proportionales, homologii erunt sinus arcuum aequales angulos subtendentium. Et si unus angulus unius uni angulo alterius sit aequalis, sinu si arcuum circa alium angulum unius sinu bus arcuum circa alium angulum alterius proportionales, ita ut sinus arcuum aequales angulos subtendentium sint homologi: erunt & anguli arcubus reliquo
rum sinuum homologorum oppositi interile aequales, vel aequales duobus rectis.
SINT in duobus triangulis sphaerieis ABC, D E F, duo anguli inter se
aequales B, E,necnon duo C, F. Dico ita esse linum arcus A B,ad linum arcus A C, ut est sinus arcus D E, ad sinum arcus D F. Quia enim est, ut sinus arcus A B, ad sinum anguli C, ita sinus arcns A C,ad sinum anguli B; erit permutando, ut sinus arcus A B, ad sinum arcus A C,ita sinus anguli C,ad sinum anguli B, hoc est, ita sinus anguli F, ad sinum anguli E. cum hi anguli illis ponantur aequales. Item quia est, ut sinus arcus D E, ad sinum anguli F,ita sinus arcus D F, ad sinum anguli E ; erit permutando, ut sinus arcus D E, ad sinum arcus D F, ita sinus anguli F, ad sinum anguli E. Ostensum autem est, ita etiam esse sinum arcui A B, ad sinum arcus A C, ut est sinus anguli F, ad sinum anguli E. Igitur erit, ut sinus arcus A B, ad sinum arcus AC,ita sinus arcus ti E,ad sinum arcus D F.Quod est propositu. SED sint iam anguli B, E, aequales, & ita sit sinus arcus A B, a a sinum areus A C, ut est sinus arcus D E, ad sinum arcus D F . Dico angulos quoq; C, F, aequales esse , vel certe duobus rectis aequales. Ostendemus enim,ut trius, ita esse sinum arcus A B. ad sinum arcus A C, ut est sinus anguli C, ad sinum anguli B. Item ita esse sinum arcus D E, ad sinum arcus D F, ut est sinus anguli F, ad sinum anguli E. Quare cuin ponatur, ut sinus arcus A B, ad sinum ar-c3s A C, ita sinus arcus D ii,ad sinum arcus D F; erit,ut sinus anguli C,ad si num anguli B, ita sinus anguli F, ad sinum anguli E : Et conuertendo,ut sinus anguli B, ad sinum anguli C, ita sinus anguli E, ad sinum anguli F. Cum ergo sinus aequalium angulorum B , E, aequales sint, erunt S sinus angulorum C, F, aequales; ac proinde vel anguli C, F,aequales erunt et duobus rectis aequa Ies . Quod est propolitum. Itaque si duo triangula sphaerica duos angulos, ecci . Quod erat demon lirandum .
446쪽
o D si anguli B, T, vel C, F, non forent aquales, sed stum aquatis duobus
aequales simus rectos babent , siue in inter se aequales sint , sue aequales duobus reactu . quod etiam de angulis C. F. dieeod.m est. id quod perspicue constare potes eae .li, qua in tractationesnuum traridimus.
THEOR. 18. PROPOS. 6O. SI ab angulo sphaerici trianguli ad basim arcus
maximi circuli demittatur diuidens angulum bifariam : habebunt sinus segmentorum basis candem proportionem, quam sinus reliquorum duorum arcuum. Et si sinus segmentorum basis eandem proportionem habeant, quam sinus reliquorum duorum arcuum: diuidet arcus demisias an-
IN triangulo sphaerἰeo ABC, seeet a reus A D,angulum A, bifariam. Di- eo it esse sinum arcus Α Β, ad sinum a reus A C, ut est, sinus arcus B D,ad si- s. huius. num arcus DC. Quia enim triangula A B D, A CD, angulos ad A, habent Rho a quales,&angulos ad D, aequales duobus rectis erit, ut sinus arcus A B, ad sinum arcus B D, ita sinus arcus A C,ad sinum arcus C DrEt permutando, ut sinus arcus A B, ad sinum aicus A C, ita sinus arcus B D, ad sinum arcus D C. quod est propositum. SED iam sit, vi sinus arcus A B, ad sinum arcus AC, ita sinus arcus B D , ad sinum arcus D C. Dico angulum A, sectum esse bifariam . Erit enim permutando quoque. ut sinus arcus A is, ad sinum arcus BD,ita sinus arcus AC, ad sinu arcus C D. Habent igitur triangula A B D,ACD, angulos ad D,equales duobus rectis,& sinus arcuum circa angulos B,C, proportionales,homologiq; sunt sinus arcuu angulis ad DOD .hutu . positoru. Igitur & anguli ad A,vel aequales erunt inter se,vel duobus rectis ae-ι. ἡ ' quales: Non possunt a ut ε duobus rectis esse aequa les, quod angulus A, sit duobus rectis minor. Igitur aequales inter se erunt. quod est propositum.Si igitur ab angulo sphaerici trianguli ad basim,&c. Quod ostendendum erat.
THEOR. 19. PROPOS. 6L SI ab angulo sphaetici triaguli ad basim, etiam
447쪽
productam, arcus perpendicularis deducatur: h bebunt stinus angulorum, quos arcus perpendicularis cum duobus arcubus dictum angulum com-hrehendentibus facit, eandem proportione, quam
sinus complemetorum reliquorum duorum trianguli angulorum .
IN tria neu lo A B C, deducatur ex angulo A, ad basin BC, arcus perpendicularis A D, cadens siue intra triangulum, siue extra. Dico ita esse sinum anguli BAD, ad sinum anguli DA C, ut est sinus complementi anguli B, ad sinum complementi anguad sinum anguli D AC, ut est sinus complementi anguli B, ad sinum complementi anguli C . Nam in triangulo A B D,cuius angulus D, rectus, erit, ut sinus anguli BAD, ad sinum totum, ita sinus complementi anguli B, ad linum complementi arcus A D. Item in triangulo CA D,habente angulum D,rectum, erit, ut sinus anguli D A C, ad sinum totum, ita snus complementi anguli C, habent autem duo anguli ad C, in secundo triangulo eundem sinum ad sinum complementi arcus A D: Et conuertendo, ut sinus totus ad sinum anguli D AC, Ita sinus eomplementi arcus A D, ad sinum com-
plementi anguli C . Ex aequalitate ergo ut in apposita formula vides erit, ut sinus anguli B A D, ad sinum anguli D A C, ita sinus complementi anguli B, ad sinum complementi anguli C. Si igitur ab angulo sphaericltrianguli ad. basin, &c. Quod ostendendum erat.
PROBL. 3. PROP. 62. DATIS omnibus angulis trianguli sphaerici
non rectanguli, omnes tres arcus essicere notos.
I N triangulo sphaerico non rectangulo A BC,
dati sint omnes anguli A, B, C: sin tq; primum omnes tres anguli inaequales. Oportet ex his tres eius arcus perscrutari.Q Nniam nullus angulus ponitur rectus, erunt saltem duos vel acuti, vel obtuli: sint B, C, vel ambo acuti, vel obtusi , quicquid sit de reliquo A, a quo ad arcum B C,a reus perpendicularis ducatur,qui necessario cadet intra triangulum . Et quia est , ut si- 'iulus.
448쪽
sehol. 42. vel si hui'. huius. Sehol. 4 .
sinum eomplementi anguli C: proportio autem haec posterior data est in sinu bus complementorum angulorum B, C, datorum I erit quoque proportio sinus anguli B A D,ad sinum anguli D A C, data, nempe in sinu bus complementorum angulorum B, C: sed & aggregatum eorundem duorum angulorum B A D, D A C, datum est,&minus semicirculo, neispe totus angulus B A C, qui duobus rectis minor est. Sigillatim igitur uterque angulorum B A D, D A C,cognitus erit. Quoniam ergo in triangulo A B D,cuius angulus D, rectus,dati sunt duo anguli non recti B, & B AD; dabitur quoque arcus AB, recto angulo oppositus. Hinc, quia in e
dem triangulo A B D, angulum habente rcctum D,cognitus est arcus A B, recto angulo oppositus , & insuper angulus non rectus B A D :VEL eerte , quoniam dati sunt duo anguli non
notus quoque fiet,ex scholijs in margine citatis, arcus BD, circa angulum reis ctum angulo B A D, oppositus. Eadem ratione, quia in triangu lo A C D, cu-Sehol. so. ius angulus D ,rectus,dati sunt duo anguli non recti C,& C A D;dabitur quoque arcus A C, angulo recto oppositus . Hinc , quoniam in eodem triangulo A C D, habente rectum angulum D,cognitus iam est arcus A C, recto angulo Oppositus, eum angulo non recto C A D :A V T certe, quia dati sunt duo anguli non re
cognoscetur etiam, ex elidem scholiis in margine adductis , arcus C D, ei rea angulum rectum angulo C A D,oppositus. Atque ita ia in duo arcus A B, AC, cogniti sunt: Aggregatum vero duorum arcuum B D, CD, inuentorum tertium arcum B C , notum etiam efficiet. QS O D si quando alter angulorum ad A, nempe B A D, inuentus fuerit rectus, cum & D, rectus sit, erit uterque arcus A B, B D, quadrans ratque ita sine ulla molestia inuenti erunt dicti arcus. Pari ratione , si angulus C AD, deprehensus fuerit rectus , non autem B A D, fieri enim non potest, ut uterisque angulus ad A , rectus sit, cum angulus B A D, duobus rectis sit minor. erunt arcus A C, C D, quadrantes; atque adeo noti, sine alio labore.
rta xli. qus P RA XI S huius problematis, cum ex propos. 6. triang. rectit. O ex se .. . ' ιη margine scriptis petera si no est,qu)d hic pluribus explicetur. xuli ἱh Nams statuatur duo sinus complementorum ataulorum B, C, acutorum, 'R in vel obtuloru, ro terminis proportionis sinus anguli Biar D,ad sinit anguli CA D, inveniemus utrumq; angulu B AE D, Cias D,per prima, Nel secumdam praxim propos. 6. triangulorum rectilineorum, quod hae expeditiores sint, quam tertia. Nam licet propositio illa 6. de arcubus, ct angulis ctil. inihili. rectilineis tantum proposita sit, intelligeda tamen etia est de angulis lybala ἡ .hi. ricis, cum illarum sinus asinubus arcuum eo dem angulorum non discrevi sphaeri. pent. Iuvento autem viroque angulo B D, c D, adhibenda erit pra At problematuschol3 propos 3 o. huius, H tam arcus iae B, recto anguli in
449쪽
is D, in triangula A B D, oppositus, quam arcus A C, angulo recto D,in triangulo AC D, o positus inueniatur. Postremo adducenda en praxis
problematis r. s otii propos r. vel problematis r. scholis propos qt.
vel certe praxis schol propos 3 1. ad eruendum tam arcum B D, angulo non recto BA D, in triangulo AB D, oppositum, quam arcum c D, a gulo non recto CA D, oppositum in triangulo AC D. QV O D si in hoc problemate enodando solis sinubus vii libeat, inueniendus erit uterque angulus B AD, CA D, per praxim tertiam propos quado om-6. triang. rectit. non autem per primam, vel fecundam. Deinde ex praxi problematis r. scholi, propos 41, huius, Hiciendus tam arcus B D,angm sunt inae tonon recto BA D, oppositus in triangulo AB D, quam arcus C D, au- 'μ' 'gulo non recto CA D, in triangulo A C D,oppositus. Ad extremum,per prψxim problematis 3. scholis propos i. inueIIigandus tam arcus A P, Pam arcus A C, recto angulo D, quilibet in suo triangulo oppositus:quia praeter inuentum arιum B D, ct oppositum angulum BA D; necnon prae ter arcum inuentum C D, O angulum cA D, oppositum, constat etiam in species tam anguli B, quam anguli C, cum uterque datus sit. tres anguli
LONGE facilius fit hoe problema, quando omnes tres anguli dati, vel ς' duo se item, sunt aequales. Nain si sint duo v. g. anguli B, C, aequ/lς , quiς ni equileia quid sit de reliquo A; erunt & areus AB, AC, aequales . Et quoniam trian s.hui uti gulum A B C, ponitur non rectangulum, erit uterque an gulorum aequalium B, C, vel aeuiux, vel obtusus. Quare reus perpendicularis A D, ex tertio angulo A, ad arcum B C,demissus intra triangulum ea det. Quia ergo triangu la A B D, A C D, angulos ad D, rectos habent, & angulos B, C , non rectos, aequales; neenon & arcus A B, A C,rectis ngulis oppositos, aequales, ut ostendimus; erunt & arcus B D, C D , & anstuli B AD, CAD, aequales; ac proinde uterque angulus B A D, C A D, eum dimidium sit dati annuli BAC, notus erIt. Post haec , quoniam in triangulo Α Β D, rectum habente angulum D, datus est uterque annulus non restias B, & B A D; dabitur quoque arcus A B, recto angulo oppo- Sehes. sa. situs; proptereaque R illi aequalis AC, notus erit. Atque ita iam duo arcus A B, AC, noti facti sunt. Rursus quia in eodem triangulo A B D. dati sunt *' uduo anguli non recti B, R B A De vel si lini UEL, quoniam datus est arcus Α B,angulo recto op Sehol. 4e.
positus,& angulus non rectus B: huiuia UEL denique, quia datus est arcus A B,recto angulo schol. t. oppositus, cum angulo non recto B A D; huius. cognitus etiam erit arcus BD, circa angulum rectum e qui duplicatus totum tertium arcum B C,notum exhibebit. Omnes ergo tres arcus,qui quaeruntur, noti essecti sunt.
2 O N en obscura naris huius rei. Pendet enim ex soboliis in mar-LII a glae
450쪽
I n statis. AT si solis sinubus quis uti velit,inquirendus eris per pret,
'n do om-blema I. scholis propos 4r . arcus B D, in triangulo A BD, in quo da i , ἡ '' ius en angulus B, o angulus B A D, nempe dimidium anguli dati BA C: vri duo sit qui arcui B D, duplicatus dabit totum arcum B c. Deinde pcr problema qu ita ' 3 . scholps propos qI . in eodem triangulo, in quo repertus es arcus B D, er angulus oppositus BA D, conctatispecies alterius anguli non recti B, dati,eliciendus erit arcus A B, angulo recto oppositus: quo inuento , in
uentus quoque erit ei aequalis A C. DATIS igitur omnibus angulis trianguli sphaerici non rectanguli , em
nes tres arcus effecimus notos. Quod iaciendum erat. DIFFERT ergo , ut vides , pharitum triangulum non ree3angulum a remita meo non rectangulo a quod in sphaeraeo ex solis angulis datis inueni tur omnes arcus, i 3n hoe problemate ostensum est 3 in rem linea vero eae datis solis anaMIis latera eo. Inosci nequeunt, nisi unum saltem latin etiam detur . Cuius rei causa haec est, quἡδώο triangula recti tinea smilia, quamsis latera dimus lateribus alterius valde sint inαquatia ,singula singulu, angulos tamen habeant angulιs aequales,singulos sita lisi ita ut dari possint duo triangula rectilinea interse quidem aquiangula , nou ra p. huiu34 meu aqua latera r At vero duo triangula sphaerica inter se aequiariola esse non pos sunt, quin etiam aequilatera exi Itant. Ex quo fit, in sphaerire triangula ex datis an gul/s dari etiam arcus, eum angulis determinati respondeant arciss , in remtineo aro ex datis angulis latera dars non posse, eum angulis determinata latera non resto. Lant, sedpusint eisdem maiora, vel minora latera subtendi.
PROBL. 4..PROPOS. 63. DATIS omnibus arcubus trianguli sphaer,
ci non rectanguli, omnes tres eius angulos inue-
IN triangulo sphaerico non rectangulo A BC, dati sint omnes tres arcus.
Oportet ex ipsis omnes tres angulos raperire. Sit primo loco quaerendus an- .gulus A : Neque enim semper omnibus angulis indigemus; sed saepenumero unus , aut alter ex datis arcubus inquirendus est . Aut igitur duo arcus A B, A C, angulum A, qui quaeritur, complectentes, sunt in quales, aut aequales: Si inaequales,aut ambo sunt quadrante minores;aut maiores;aut unus maior,& alter minor; aut unus quadrans, & alter quadrante minor; aut deniq; unus quadrans, & alter maior quadrante. Neque enim ambo esse possunt quadraris .huiu . tes:quia duo anguli ipsis oppositi essent recti. quod esset absurdum,cum triari Quuando gulum ponatur non rectangulum. Sint primum duo arcus A B,AC, inaequa-
....ia' le , qu drantς minores, quicquid sit de arcu BC . Productis arcubus A rimo iis otti A C, ut fiant quadrantes A D, A E, describatur per D, E, arcus circuli maxia amiedum mi DE, Occurrens arcui BC, in utramuis partem producto in F : Hortarer autem