장음표시 사용
451쪽
utem , ut produceretur versus maiorem arcum, qui hie sit A C. Erunt au- eompreh&tem anguli D. E, recti, ob quadrantes A D, A E . Quoniam igitur duo maximi circuli B F, D F. st intersecant in F, S a punoctis B, C, a reus B F, ad areum D F, demissi
sunt perpendieulares arcus B D, C E; erit,ut sinus arcu a B F, ad sinum arcus B D, ita sinus ri .e. huiuα arcus C F, ad sinum arcus C E r Et permutarido,ut sinus a reus B F, ad sinum a reus C F,itasnus areus B D, ad sinum arcus C E. Est auistem proportio sinus arcus B D, ad sinum aris
utpote complementa datorum arcuum AB, t ΝAC. Igitur proportio sinus arcus B F, ad sis num arcus C F, data quoque erit, nempe in
sinu bus complementorum arcuum datorum
A B, AC: Sed & eorundem arcuum B F,C F,
quorum singuli semicirculo minores sunt, disserentia data est, nempe a reus . huius. v C. Vterque ergo arcus B F, C F, notus reddetur. Itaque quoniam in trian ali URS 'gulo BF D, habente angulum D,rectum,datus est arcus BF,recto angulo opinpositus eum arcu B D , complemento videlicet arcus A B, dati ; cognitus erit Sehol. 13ι& tertius arcus D F. Eadem ratione , cum in triangulo C F E, angulum ha- ves 3.hui'. bente rectuin E, datus sit a reus C F, angulo recto oppositus, cum arcu CE, complemento nimirum arcus dati A C;cognoscetur etia tertius arcus E F:qui 20'. svsubtractus ex inuento arcu DF,notum reddet arcum reliquum D E,anguli A; v, ac proinde angulus A, cognitus erit. Rursus in triangulo priore B F D, cuius Seh bl. 1 1. angulus D, reaus,cum datus sit arcus B F, recto angulo oppositus, cum arcu vςus, hui'. B D, complemento videlicet arcus dati A B:
VEL, eum duo arcus B D, D F, circa angulum re- .a . exctum dati sint: sA V T denique, cum datus sit areus B F,recto angu- Schol. sq. lo oppositus,& areus DF; ve larui'. inuenietur quoque, ex scholijs in margine eitatis,angulus D BF: ideoque &rpliquus duorum rectorum A B C, notus erit. Eadem ratione,cum in poste- Schol. r. riore triangulo C F E, angulum E ,habentere lum,datus sit arcus C F, angu io rςcto oppositus, eunt arcu C E, complemento nimirum arcus dati A C 'V E L, eum duo arcus C E, E F, circa rectum angulum dati sint: A U T denique, eum datus sit areus CF, recto angu lo oppositus & insuper arcus EF ;eognoscetur etiam,ex scholijs in margine positis,angulus ECFr ideoque de angulus AC B,qui ei ad verticem aequalis est,notus erit.Tres ergo anguli trianguli ABC, Omnes noti neu sunt. SINT deinde duo arcus inaequales A B, AC,maiores quadrante. Prodocantur,donec coeant in D. Erunt iu triangulo D B C, duo arcus D B, D C,quadrante minore , atq; adeo noti,cum reliqui sint ex arcubus ABD,
AC D,qui semicirculi sunt. Igitur, ut proxime demoa- . it. The a
452쪽
strauimus, omnes eius tres anguli noti fient, ae proinde & reliqui duorum reari .haius. ctorum A B C, A C B, necnon& angulus A, cum angulo D, sit aequalis. SIT tertio arcus quidem A B, quandrante minor, at AC,maior. Produ-- cto areu A B, ut fiat quadrans A D,& resecto quadrante A E, ex A C, ut in prima harum figurarum , ducatur per D, E, arcus circuli maximi DE, secansas .huiui. arcum BC, in F. Erunt anguli D, E, rccti , ob quadrantes A D, A E. Quia ergo duo maximi cire uti B C, D E secant se. se in F,&a punctis B, C, arcus B C, ad arcum DE, ducti sunt arcus perpendiculares BD. C E; erit, ut sinus a reus B F, ad sinum arcus B D, ita sinus a reus C F,ad sinum arcus C ErEt permutando, ut sinus arcus B F, ad sinum arcus C F, ita sinus arcus B D, ad sinum arcus C E. Est autem proportio sinus arcus BD, ad sin si arcus C Ε, cognita, quod arcus B D, C E,dati sint,eu sint complemeta dato ru ar eusi A B, AC. Igitur & proportio sinus arcus B F,ad sinu arcus C F, cognita erit,utpote iris nubus eomplementorum arcuum A B, A C, datorum : Sed & eorundem arcuum B F,C F, aggregatum datum nimirsi totus a reus BC. & minus semicirculo;quod
ι. hului. latus quodlibet trianguli sphaerici semicirculo sit minus. Igitur uterque arcus o. itiant. B F,C F, cognitus erit. Quoniam ergo in triangulo B F D, euius angulus D, rectil. rectus, datus est arcus BF, angulo recto oppositus , eum arcu BD, qui Com Sehol. it. plementum est arcus A B, dati I notus erit quoque tertius arcus DF. Simili vel 3.huiri modo,quia in triangulo C F Ε, rectum habente angulum E, datus est arcus C F, angulo recto oppositus, & arcus CE, complementum scilicet arcus A in schol. 33. reperietur quoque tertius arcus E F r qui additus arcui D F, inuento, notum v hui'. essici et totum arcum D E, anguli A; proptereaq; angulus A, notus erit. Rursus in triangulo priori B F D, cuius angulus D, rectus, quoniam datus est ar-Mhol. 11. eus B F, recto angulo Oppositus, & arcus B D, complementum n I mirum da in vetas. hui'. ii arcus A Brsehol. 44. AVT quia duo arcus BD,DF, eirca rectum anguis veri .hui'. tum dati sunt: Sehol. 3 . VEL certe, quia datus est arcus B F, recto angulo
es 4 .hui'. oppositus, cum arcu DF;
notus efficietur quoque angulus D B F,ex scholijs in margine adductis;atque adeo & reliquus duorum rectorum ABC, notus erit. Pari ratione, cum in po hφ' steriori triangulo C F E cuius angulus E, rectus, datus sit arcus C F,recto an- 'μ ' gulo oppositus, eum arcu C E, eomplemento videlicet arcus A C, dati Schol. 44. V E L tum duo arcus CE, E F, circa angulum reves 82ui'. ctum dati sint r. VEL certe, eum datus sit arcus CF, recto angulo vetat .hui' oppositus, cum arcu E F dabitur etiam angulus C, per scholia in margine descripta. Atque ita omnes tres an culi ABC, noti facti sunt .sIT quarto arcus A B, quadrans, & AC, minor, ut in posteriore proximmarum figurarum. Producto arcu AC, ut fiat quadrans AD, ducatur per B, D, arcus
453쪽
D, areus et reuli maximi B D. Etuntq; anguli A B D, & D, recti, ob quadrantes A B, A D. Et quoniam in triangulo B C D,cuius angulus D, rectus,datus est arcus BC, angulo recto oppositus ,& insia per arcus C D, quippe qui complementum lit dati arcus AC ; dabitur quoque arcus tertius B D, anguli Α, ideoque angulus A,notus erit. Deinde quia in eodem triangulo B C D, habente angulum rectum D, datus est arcus BC, recto angulo oppositus , cum arcu C D, complemento scilicet arcus dati A C: VEL, quia duo arcus B D,C D, circa angulum re ctum dati sunt: UEL certe,quoniam datus est arcus B C,recto an-' gulo oppositus, cum arcu B D ;Inuenietur etiam ex scholijs notatis in margine, angulus B C D: ae proinde S duorum rectorum reliquus A C B, notus erit. Postremo,cum in eodem proximo triangulo BCD, angulum rectum habente D , datus sit arcus B C, angulo recto oppositus,& praeterea arcus C D,complemen in m videlicet dati arcus A CrA V T eum dati sint duo arcus B D, C D, circa angulum rectum:
VEL eum datus sit arcus B C, recto angulo oppositus, cum arcu B D; A UT cum datus sit angulus B C D, eum arcu C D, vel B D; Nam quando datur arcus B D, constat de al-lcro arcu CD, circa rectum angulum , cum datus sit, an sit maior quadrante,vel minor: VEL denique, quia datus est arcus B C, recto an ingulo oppositus , cum angulo BCD; notus fiet quoque ex scholijs in margine citatis, angulus C B D; atque adeo Seius complementum, angulus scilicet A BC,cognoscetur. Omnes ergo tres anguli trianguli ABC, cogniti sunt. SI T. quinto,& vltimo arcus A C, quadrans,& AB, maior, ut in eadem posteriore proximarum figurarum. Abscisso quadrante A E, ex A B, ducatur per C, E, arcus circuli maximi CE. Erunt di, anguli ACE,& E, rem,ob quadrantes A C, A E. Quia ergo in triangulo B C E, angulum rectum habente E,da intus est arcus B C, recto angulo oppositus,& praeterea arcus B E, nempe complementum dati a reus A B; dabitur quoque tertius arcus C E, anguli A; proindeq; & angulus A, cognitus fiet. Rursus , cum in eodem triangulo B C E, cuius angulus E, rectus, datus sit arcus BC, recto angulo oppositus, cum arcu B E, complemento nimirum dati arcus AB:
A V T cum dati sint duo arcus B E, C E, circa an .gulum rectum.
VEL denique, eum datus sit arcus BC, angulo recto oppositus, cum arcu C E ;dabitur etiam angulus CB E, ex scholijs in margine adductis. Denique auia In triangulo eodem BC E, angulum rectum habente E, datus est arcus BC, .ngulo recto oppositus, & arcus etiam BE, cum sit complementum arcus
AB, dati: VEL, quia duo a reus B E, C E, cIrca ansulum rectum dati sunt:
454쪽
quae si . eam angulum conti nentra sunt
Miaequale . Praxis per solos sinu . quando .arcus duo angula cillae
A V T. quonia m notus est a reus B C, recto angulo oppolitus, 3e arcus CE: UEL, quia datus est angulus C B E , & areus B E. vel C E; Nam quando datur arcus C E, constat etiam, a n alter areus BE, circa angulum rectum datus, maior sit quadrante, vel minore AVT denique, quia notus est arcus BC, angulo recto oppositus, cum angulo CBE; notus quoq; fiet, ex scholijs in margine citatis angulus B C E; atque idcirco, addito recto angulo A C E,totus angulus A C B,datus erit. Rursus ergo omnes tres anguli trianguli A B C, inuenti sunt.
P RA X IS huius problimatis petenda s ex scholijs in margine ei.
tatis. Solum, ut cognoscantur arcus BF ,c F, in primo casu, o tirtio, statuendi erunt sinus complementorum arcuum datoram B, A C, rot rminis proportioris sinus arcua B F, ad simum arcus C F, ct in primo quidem casu adhibenda vel prima praxis propos. 7. triangulorum rectilineorum , vel aliqua ex ali s eiusdem propos prout res ea stet; in tertia vero casu adducenda erit prima, τelsec da prois propos. 6. triangui rum rebilineorum, Oc.
LV o D si solis vii libeat sinubus inuestigandi erunt arcus B RC F,
in primo casu, pcr fecundam praxim proposT.triari. rectil. In tertio vero per prota tertiam propos 6. Deinde in triataulo B F D, per pruxim scholis i. propos. 3. eruendua arcua D F et Et eodem modo in triangula CF E, arcus E F ; ut reliquus arcua D E, is primo casu, vel totus arcus D E, in tertio casu babeatur, qui quidem es arcus anguli A. Post haec pirpratim problematis I .scholij propos 4I .inveniendus in triangulo B FD, angulus D B F: ex quo reliquus duorum rectorAm B C, notasset. Gque eod m pacto in triangulo CF E, elici dua anPlus E C F, ex quo in primo casu angulus quoque A c B,ad. νerticem cognitus erit. T vero in quarto casu ex praxi scholij I .propos q s. inueniendus est arcus B D, anguli Α, in triangulo B c D: Et eodem modo in quinto casu urcus C E,anguli eiusdem Α, in triangula B CE. Deinde in quarto casu, per praaim problimatu 1. schol propos ψ .m triangulo BC Rindagandus angulus B C D ; ex quo reliquus duorum rectoram ACB, notus fetr Atque eadem ratione in quinto casu, angulua E BC, in triangulo BC F, inueniendus. Ad extrimum in quarto casu,per praxim probit matis r. propos q2. in triangulo B C D, Pirendus angulus C B D; ex quo C,reliquus recti A B D,ηcrus erit: Et similiter in quinto casu, elsciendus urgulus B C E; ροι additus rccto arilito ACE, totum angulum AC B, notum exhibebit.
455쪽
areusq; AB, A C, angulum A, inquirendum eontinentes , inaequales. QMO- ulor. &perniam igitur est, ut sinus totus ad quantitatem quartam proportionalam sinui solo sim 3. toti, & duobus si nubus arcuum A B, A C, inaequalium , ita sinus versus anguli Α, ad differentiam inter sinum versum arcus BC, angulo A, oppositi,&
snum versum arcus, quo se mutuo excedunt arcus
inaequales A B. A C: Et conuertendo,ut dicta quantitas quarta proportionalis ad sinum totum, ita differentia inter sinu versum arcus B C, & sinum versum arcus, quo inter se arcus inaequales AB, AC, differunt, ad sinum versum anguli A, quaesiti:
S I fiat, ut sinus totus adsinum utriuslibet arcuum inaequalium qua- situm angulum comprehendentium, ita sinus alterius arcus circa eundem sola sinua. aTulam ad aliud, inuenietur numerus quartus proportionalis sinui toti, r'e' duabus sinubus dictorum duorum arcuum. Si ergo rursum fiat, i nu quaesitu an merus quartus proportionalis proxime inuentus ad sinum totum, ita disi h .s a ferentia inter sinum versum arcus quaesito angulo oppositi, O sinum Nem R Dm si cur,quo duo arcus quasitum angulum ambientes inter se disserunt, ' i'- 'ad aliud, producetur sinus versus anguli,qui quaeritur: Ex quo arcum an vli qua siti, atque adeo ipsum angulum, elicies, H in explicatione, atque u tabulae Sinuum docuimus .c ET ER V M disserentia inter sinum versum arcus quaesito angu d. dielo oppositi, ct sinum versum differentia arcuum eundem angulum conti- ThurinentiMm, ita facile reperietuir . Quando arcus angulo quaesito oppositus 'ς tW quadrante minor est, tetrabendus erit sinus eius complementi ex sinu com qu di io θplementi disseretia arcuum quaesitum angulum ambientium. Reliqua enim erit disserentia, qua inquiritur. Id quod liquido constat exsiguris caseu m distet enitae 3 4 T- O. O M. propos. 38. Quando vero arcus quaesito angulo oppo-- μ' situs quadrans est; dabit sinus complementi differentiae arcuum angulum tum baqux tum comprebendentium disserentiam inter dictos sinus versos quaes- μμ ' , ram: νt manifestum ex Duris capιum a. s. 8. I t. ct i . eivIdem pro pol 38. Q ando denique arcus quaesto angulo oppositus quadrante maior est; adiiciendus erit sinus eius complementi ad sinum complementi disse
rentia arcuum quaesitum angulum continentium. Compositus namque m
merus erit disserentia quaesta: Ut facile apparere potes ex Ru ris casum
. s. v. I 2. II. eiusdem propos 38.
EODEM modo inuestigabimus angulos B, C, si arcus illos continentes .
fuerint inaequales. PORRO, inuento uno angulo,nullo sere negotio reliqui duo inuenirentur,si constaret,qualis quisque eorum sit, acutulae,an obtutus.Nam inuento . g. angulo A, si esset inueniendus angulus B, sumeremus pro eius sinu nume
um , qui quartus proportionalis est siaut arcus B C, inuento angulo Α, Pp
456쪽
positi; sinui anguli inuenti A; S sinui arcus A C, quaesito angulo B,oppositi:
Si autem quaerendus esset angulus C, acclieremus pro eius sinu numerum, quiquartus proportionalis est sit nul arcus BC, inuento angulo A, oppositi; sin uianguli inuenti A ; & sinui arcus A B, angulo quaesto C, oppositi: proptet ea , . huiu . quod est, ut sinus arcus B C, ad sinum anguli A , ita tam lanus arcus A C, ad uu do oes sinum anguli. B, quam sinus arcus A B, ad sinum anguli C . Quocirca si con- i staret , qualis sit tam angulus B, quam angulus C, illico ex sinu illo quarto id instui I proportionali angulum quaesitum in tabula sinuum reperiremus. ptimo loeo IAM vero si omnes tres arcus dati, vel duo tantum A B, AC, angulumi nuestigan A, complectentes, aequales sint, quicquid sit de reliquo arcu B C,longe facidum φQR i iiu, angulum A. S reliquos duos B,C nquiremus. Quoniam duo arcus A B,' ' Ρ' A C aequales sunt, erunt & duo anguli B,C,aequales inter se: propterea quod Jhuiuia Isoscelium triangulorum sphaericorum, qui ad basin sunt, anguli inter se sunt
aequales. Cum ergo triangulum A BC,ponatur non rectangulum,neuter an- I huius. gulorum B,C, rectus erit, ac proinde neuter arcuum A B, A C, quadrans quia
alias duo anguli B,C, essent recti. Erit igitur uterque angulus B, C, vel acutus, vel obtusus. De missus ergo ex Α, ad arcum B C,areus perpendicularis A D, intra triangulum cadet. Duo
ergo triangula A B D, A C D, angulos ad D, rectos habent,& angulos B, C, non rectos aequales, necnon & a
cus A B, AC, rectis oppositos angulis aequales. Quare Marcus B D, C D, & anguli ad A, inter se aequales erunt. Itaque quoniam in triangulo A B D, cuius angulus D,rectus est,arcus A B, recto angulo oppositus datus cst,& praeterea arcus BD,quippe qui dimidium sit dati arcui B C; dabitur quoque angulus B A D,arcui B D,circa angulum rectum dato oppositus: qui duplicatus totum an is ulum quaesitum B AC, notum efficiet i, cum anguli ad A, ostensi sint aequa es. Rursus, quia in codem triangulo A B D,angulum rectum habente D,at Schol. uer. eus A B, angulo recto oppositus datus est, cum arcu BD, nempe cum dimi-ve I. hui'. duoedati arcus BC: VEL, quia datus est angulus non rectus BAD,cum arcu opposito B D, circa angulum rectum I consatq; i . praeterea species reliqui anguli no recti B. Nam si A B, ruadra te minor sit, erit angulus B,acutus,quemadmoaum,S BAD,aeutus est: Si vero A B, sit maior quadrante,erit idem angulus B,obtusus, cum B A D acutus si te VEL certe,quoniam datus est arcus A B,recto an .gulo Oppositus, cum a neu lo non recto B A D; datus quoque erit angulus B; ac proinde Sc reliquus angulus C. ipsi B, aequalis notus erit. Atq; ita omnes tres anguli in triangulo A B C, inuenti sunt.
N D O ergo duo arcus Iuni icivatis,cohibenda erit praxis scholis propos 3 s. vel problinaris i . propos. sit. H ea altero arcti m aquai. - .HMi lium , O ca Zmidio terti1 arcus eliciatur angvlus, qui duplicatus angui sunt x. tum tertio arcui opposit m exhibeat . Dcinde adhibenda pro is scholis propos 1 i. Nel ψ . xl l x Urim arcubus inueniatur alacr angulorum in qualia supra tertiam arcum. Uel aduocanda pro is problematis a. scho
schol. 42. vel 16. hui'. 38. huius. Schol. 47.
457쪽
PER flos sinuus ita rem peragemus. Expraxi probi malis i. proposqi. inueniemus ahgulum BA D; qui duplicatus totum BA C, dabit. De- qudido duo p r praxim problematis a. soboli1 propos 42. reperiemus angula B. qui ipsi C, aequalis est . mise
I O A N N E s R diom. er Nicolaus Coperuleias alio etiam modo, datis omnibo arcubus trianguIι sphaerici , omnes tres angulos inquirunt , nuutigantes uιmrrum angulωm quendam rectilineum ιn centro sphaerae , cuius arcus angulum obaraeum quaesitum exbibet notum . Sed eam rationem,q.amisis acutam,m subi lem, quoniam
obscurι or est , m longior , dedita opera hic omismiss : praesertim, cum eam quilibeνv d RV om. propos I 4. lib. q. triangulorum, er v per ut eum lib. I. Reuos Iutionumpropos II. de triangulis spbaricis, legere possit. MALVIMVS in secunda demo ratione talus problematis usurpare theorema schol, 2. propos. 8. q.am cum Ioan. Regiom. tbeorema eiusdem propos s 8γt Iabooris coicultatem Quaeremus . Nam cum sit, ut rectangulum s suisb.3 arcuum no 3 8 .huluti AEq- lium angulum quaesitum ambientium ad q-adrat .m sinus totius , ita disseren- dc permuria ι tersimum versum arcus eidem angulo oppositi , ersivum versum differentia ara iψ coum 3siorum mequatium . ad simum versum anguli quaesiti: si vestemus hoe theoreo mate propos 1 8. vir, obtaueret rectangulum ι .d prιmum aurea regula locum Q are laiamosa redderetur diuiso,ut patet. Facilior autemst diuisio secundum theore-mμ scholis a. et Iem propos s8. eum primum locum a.rea regislκ quantitas 'maria propori onalis occupet, qu a multo minor est illo rectangulo , facile j: inuenitur per . btectionem solam tot figurarum ad dexteram ex eo rectangulo, quot et fra in sinu to 'to comι nentur;propterea quod dictum rectangulum per Dum totum sit diuidendum , t illa quantitas quarta proport3onatu producatur.
PROBL. 1. PROPUS. 64. DATl S duobus arcubus trianguli sphaerici
non rectanguli, cum angulo ab ipsis comprehenso; reliquum arcum, cum reliquis angulis reperire.
I N 0li aerieo triangulo A B C,non recta gulo dati sint duo a reus AB, B C,
eum angulo R. Oportet cx his & reliquum arcum A C, & reliquos angulos BAC, N ACB, exquirere. Sint primum dati arcus inaequales, Sex termino Vnius eorum,nempe ex termino A,arcus A B,ad alterum arcum BC, demit latur arcus perpendicularis A D: qui an intra triangulum , an vero extra cadat , calcylus, & operatio docebit. Quoniam enim in triangulo A B D, cuinius angulus D, rectuς, datus est arcus A B, recto angulo oppositus , cum angulo B; dabitur quoque arcus perpendicularis A D, dato angulo B, oppositus. Rursus,quia in eodem triangulo datus est arcus A B, recto angulo oppostus. cum augulo B τ .
a eus dati inaequales sunt,de neu
458쪽
schol. IVEL, quia eognitus est arcus AD,&praeterea an opulus B, datus: constatq; species alterius arcus BD, circa angulum rectum. Nam quando arcus A B,est minor quadrante , si quidem & inuentus A D, sit minor, erit S B D minor Si vero AD,st quadrante maior,erit& BD,maior: At si A B est maior quadrante,si quidem l . ..& inuentus A D, sit maior , erit B D, minor; si autem A D, sit minor, erit BD, maiore UEL denique, quia datus est arcus A B, recto anguIo oppositus ,&arcus AD, circa rectum angulum Iinuenietur quoq; ,ex scholijs in margIne adductis,arcus B D. Si igitur arcus hic B D,inuentus fuerit minor dato arcu B C, argumento est, arcum perpendicularem AD, intra triangulum cecidisse; extra vero, si maior. Et quoniam ad utramque partem arcus A B,duci potest arcus perpendicularis ad B C, nos, qua do is extra triangulum cadit, eum in hac,& sequentibus propositionibus eligimus, qui angulum A B C, subtendit. Iam ablato arcu in uento B D, si minor est, quam datus arcus B C, ex arcu B C; vel si maior est, sublato arcu dato B C. ex inuento arcu B D, notus fiet reliquus areus C D. Quare eum in triangulo A D C,angulum habente rectum D,arcus duo A DG D,circa rectum angulum cogniti sint Idabitur quoque aseΑ - hvi V eu's AC, recto a neu lo oppositus, qui in triangulo A BC, quaerebatur.
POST haec, quoniam in triangulo A B D, rectum habente angulum D, datus est arcus A B,recto angulo Oppositus, cum angulo BrV E L, quia notus est a reus A D,ci rea angulum rectum, cum angulo B, non recto; constatq; praeterea dereliquo arcu B D, circa rectum angulum inuento, an maior sit quadrante, minorue.
AV T quia datus est arcus A B,recto angulo oppo situs, Sinsuper arcus A D, circa rectum angulum: VEL deniq;,quia datus est arcus AB, oppositus angulo recto,& praeterea arcus B D,circa rectum angula; cognitus quoque erit, per scholia in margine notata,angulus B A D. Sie quoque , quia in triangulo A C D, rectum habente angulum D, datus est arcusve s .hui'. A C, recto angulo oppositus, cum arcu A D, circa rectum angulum r
VEL certe,quia datur arcus A C, recto angulo oppositus,& praeterea arcus C D, circa angulum rectum; notus efficietur etiam, per scholia in margine apposita, angulus C A D. Additus autem angulus C A D, proxime inuentus angulo B A D, nuper etiam inuento, quando arcus A D, intra triangulum cadit; vel quando cadit extra, ablatus angulus C A D, ex angulo B A D, notum esset et angulum B AC, qui in triangulo ABC, quaerebatur.
Λ D extremum,cum in triangul0 A C D, rectum habente angulum D, d tus st
459쪽
tus sit areus A C, angulo recto oppositu ,& angulus C A D,lam inuentus: V E L cum sit eognitus arcus C D, circa angulum Misi s rectum,ac praeterea angulus C R D ; eonstetq; de re- vera hui'.
liquo arcu A D,circa rectum angulum noto iam facto, an minor quadrante sit, an maior: a Α V T, cum datus sit arcus AC,angulo recto oppo- s. situs, eum arcu C D, circa angulum rectum : e 4 .nu, a UEL denique, quoniam notus est arcus A C,recto schol. y . ngulo oppotitus, una cum arcu AD, eirea anguis vcl .livi'. tum rectum ;e gnitus quoque fiet, per scholia in margine adducta,angulus A C D;quI qu dem in priori triangulo, ubi arcus A D, intra triangulum cadit , quaerebatur: in posteriori autem , ubi arcus AD, extra triangulum eadit, idem angulus A C D, ex duobus rectis ablatus, notum relinquit quaesitum angulum AC B. Atque ita inuentus est & arcus reliquus A C,& reliqui anguli B AC, A C B. . N V LLA porro ratione alteruter arcuum A D,B D,esse potest quadransequia alias & arcus A B, recto angulo oppositus Quadrans foret: quod est con 3 s. hulatitra hypothesim . QV OD si quando a reus C D, deprehensiis fueris quadrans ς erit & arcus A C, quaesi tus, & recto angulo oppositus,quadrans; & angulus C A D,rectus. I s.huius. Atque ita sine ullo labore inuentus erit & arcus A C,qui quaeritur,ct angulus ι - hviv C AD. Reliqua reperientur, ut prius.
PRAX IS ad enodandum hoc problema petenda es ex schesiis in
V E R V M per solos sinus ita progrediendum erit. Ex praes proble- p r
matis a scholis propos. I. inquirendus erit arcus D. 'uado duci DEINDE ex proi scholij i .propos q s. arcus B D lex quo arcus C D, φ IV notus efficiettir, auferendo inuentum arcum B D, ex dato arcu BC , et quales. oedatum arcum B C, ex ipso inuento arcu B D, prout minor inuentus fuerit, quam datus arcus B C, aut maior.
AD bat,in triagulo BAD,exploratos erit angulus BAD, per praaim problematis i. propos. I. Avel per praxim problematis a dctolij propos. 1. Similiter in triangulo AC D, eliciendus angulus CA D, ex proiproblematis i .sboli, propos i. Ex duobus autem angulis BA D, CAD, , i inuentis notus euadet angulus B AC, trianguli propositi; addendo sciliacet unum alteri ut in priori triangulo, vel auferendo angulum cias D, ex angulo D, vi in triangulo posteriori.
PER. praxim denique problematis i fraesii propos i .vel problematis a. sibo ij propos qr. in triangulo AC D, eodem indagandus angulus C D. Hic enim in priori triangulo proposito es quaesitus, is posteriori
xero reliquus duorum rectorum est is, qui Paritur. iA L IT E R, & quidem magis expedite. Sint rursus in triangulo ABC,dat duo arcus inaequales AB, A C, cum angulo A, Quoniam igitur est, ut sinus
460쪽
huius. Praxit bre uior. per solo. linus
totus ad quantitatem quartam proportionalem sinui toti, 8e duobu, sinubus arcuum inaequalium AB, AC, ita sinus verius anguli A ad dister etiam inter sinum versum arcus B C, angulo A, oppositi,& sinum versum differentiae arcuum AB, AC:
S I fui, ut simus totus ad setim viri stibit
arcuum inaequalium datorem, ita simus alterius arcus dati ad aliud, producetur numerus quartus, proportionalis sinui toti, duobus sinabus dicto- ita. k nez rum duorum arcuum. Si ergo rursus fat, Ni simus totus ad num ram quaraiah tum proportionalem proxime inuentum, ita simus versus anguli A, dati ad aliud, reperietur differentia intersimum versum tertis arcus, qui quae- . ritur, O simum versum disserentiae arcuum datorum inaequalium. Et quia,LMi... supra monstraui ηs, ersum tertis arcus maiorem siemper esse sinu verso differentia duorum arcuum inaequalium ; si disserentia nuper inue tu adiiciatur ad simum versum differentia datorum arcuum inaequalium componetur sinus versus tertii arcus dato angulo oppositi, qui quaeritur. ex quo arcum ipsum eliciemus,νt in explication atque vis tabula mutim dictum est. Angulum porro C, inuememus ex cognitis arcubus A c, CRey angulum B , ex notis arcubus B, BC, ut in praxi secunda demon-nrationis praecedentis propos. praecepimus , si duo arcus angulum quemlibet quaesitum continentes fuerint inaequales . Nam si aliquando aequalesset, adhibenda erit praxis postremae demonBrationis eiusdem propositi . mando nis antecedentis. Quod si sciremus, an anguli B, C, sint acuti, vel obtusi,1 2ἴ ' fusi negotio , inuento arcu B C, imos muniremus, vi ad finem secunda ' dem Iirationis antecedentis propos monuimus. QVO D si alter inaequalium arcuum datorusit quadrans,nempe AB,
ducemus ab eius extremo is , ad alterum arcum B C, arcum perpendicu 36.bui . larem A D. Erit' alter saltem arcuum AD, B D,quadrans quoque. Non potest autem A D,esse quadraus; quia alio, cum ιν A B, quadram ρο- h iv natur, essent anguli B, D, recti,atq; adeo triangulum B C, esset rectan 34. huiM. Iulum. quod non pontitur. Erit ergo B D, quadrans, ideo , angulus προι huius. siIus BA D, rectus. Polus quoq; arcus A D, erit B, ob quadrantes A GL D : proptercal arcus M D, ex angulo ipso R, dato cognitus erit. Atq; ita duo arcus A D, B D, cum angulo BA D, facti erunt noti sine ullo negotio multiplicationis. Reliqua inuenientur, Ni prius.. S. 'φ: S E D sint iam dati arcus A B, A C,datum angulum A, comprehendenter, uti: ὰqua. aequale . Erunt igitur duo anguli BC, aequales, nempe vel acuti, vel obtusi,us. Ae neuter arcuu A B,AC,quadrans; arcus q; perpendicularis A D,ex A in B C, demissus intra triangulum cadet, necnon Sarcus BD, CD, & anguli ad A, acquales