장음표시 사용
461쪽
equales erunt, ut in ultima figura praecedentis propos ostendimus: ac proin de uterque angulus ad A, datus erit,cum dimidium sit anguli B AC, dati . Quyniam ergo in triangulo ABD, an in f ulum habente rectum D, datus est arcus A B, recto anguino sp positus, eum angulo BAD, nimirum eum dimidio dati anguli B A C ; cognitus erit arcus B D, dato angulo B A I , oppositus: qui duplicatus totum arcum BC,quaesturn reddet nctum Rursus quia in eodem triangulo ABD, rectum habente angulum D, datus est arcus AB, angulo rccto Opppositus, cum arcu B D, circa angulum rectum: VEL, quia datus est a reus A B, recto angulo op postus,& praeterea angulus non rectus BAD: UEL denique, quia datus est arcus B D, circa rectum angulum , una cum anpulo non recto BAD, qui dato arcui B D, opponitur, constatq; pryterea species reliqui anguli non recti B. Nam si A B, fuerit quadrante minor,erit angulus B, acutus, sicut& B A D, acuture sir Si vero A B, maior quadrante extiterit,erit angulus B, obtusus, quandoquidem B A D,acutus est; notul erit quoque, ex scholij s in margine adductis, angulus B, ideoq; & an ingui us C, illi aequalis .
P Me X I S petator ex scholiis in margine adductis. SOLIS 'ubus ita νtemur. Per praxim problematis a. scholii propos i. exquiremus arum B D; qui duplicatus totum B C, qui quaeritur, dabit. Deinde ex praxi problematis r. scholi, propos a. quaeremus an
gulum B; cui aequalis est alter angulus C.
DAT Is igitur duobus arcubus trianguli sphaerici non rectanguli , cum angulo ab ipsis comprehenso; reliquum arcum , cum reliquis angulis reperimus. Quod faciendum erat.
IIIC quoque potius uti voluimur theoremate sobolii 2.propos. 8 in demonstraostione secunda huius problematis, quam theoremate ei. em propos s. ut praxis mionus feret Iaboriosa . Nam cum sit, ut quadratum sinus totius ad rectangurum sub se 13. Iresi unu bus datorum arcuum in aqualium contentum , ita sus versus angula dati a dictis . arcubus eo rebmsi ad d/sserentiam intersinum versum arcus dato angulo oppositi, sinum versuin disserentiae duorum 'arcuum datorum inaequalium: si vellemus ut hoe theoremate propos. 38. molesta redderetur mu Itiplicatio in aurea regula , eum
sinus versus dati anguli misiιiplicandus esset per dictum rectangulum . At in nostras raxi multo breuiorst multiplicatio , ut patet, quamuis bis regulam auream adbι
DAT IS duobus angulis triaguli sphaerici non
462쪽
su i inaequales.& areus adiaces da
quadrante. Sehol. huius a s. huius. Schol. 4 I. huius.sehOl. . s . vel 42. hui'. Sehol. 4s. huius Sehol. r. huius a Sehol. 32. vel x. hui'.
rectanguli, una cum arcu ipsis adiacente; reliquos
arcus, cum reliquo angulo scrutari.
IN triangulo sphaerico A B C, non rectangulo dati sint duo anguli B,&B A C, eum arcu adiacente A B. Oportet ex his rei' uos arcus A C, B C, cum reliquo angulo C, scrutari. Sit primum datus arcus A B, non quadrans , sed vel maior,vel minor quadrante,& dati anguli B, B A C,inaequales, a quorum uno, nempe a B A C, ad arcum oppositum B C, arcus perpendicularis demit
latur A D: qui an intra triangulum , an vero extra cadat, calculus, atque operatio in adicabit. Nam cum in triangulo A B D,rectu habente angulum D, datus sit arcus A B, anis gulo recto oppositus, & angulus B; dabitur etiam angulus B A D : qui si minor repertus fuerit dato angulo B A C, cadet arcus A D, intra triangulum ; extra vero, si maior. Iam ablato angulo BAD, inuento , si minor est dato angusto B A C, ex angulo BAC; vel si maior est, subducto angulo dato BAC, ex inuento angulo B A D, notus euadet reliquus
angulus C A D . N V N QV A M vero inuentus angulus BAD, esse potest rectus r quia duo arcus A B, B D, essent quadrantes, ob an Eulos rectos B A D, A D B; eum
tamen A B, ponatur esse no quadrans: sed CAD, poterit ali Quando esse lectus.
R V R S U S , quia in eodem triangulo A B D, rectum habente anstulum
D, datus est a reus A B, angulo recto oppositus,& angulus non rectus B: VEL, quia notus est uterque angulus non rectus
AVT denique, quoniam datus est arcus A B, recto
angulo oppositus, una cum angulo non recto BAD; eognoscetur quoque, per scholia adducta in margine, arcus A D. Eodemquε pacto, quia in eoclem triangulo BAD, cuius angulus D, rectus, datus est ariscus A B, recto angulo oppositus, una cum angulo BAD: VEL, quia cognitus est uterque angulus non rectu, B, & B AD: VEL, quoniam notus est arcus A B, angulo recto oppositus, una eum angulo non recto B : AUT, quia datus est arcus A B,angulo recto oppositus, & praeterea arcus A D, circa rectum angulum: UEL, quoniam notus est arcus A D , circa angulum rectum, una cum angulo non recto B,ei opposito; constatq; praeterea , an alter arcus B D, circa rectum
angulum sit maior, minorue quadrante. Nam si inuentus angulus B A D, est acutus,erit arcus B D, quadrati te minor; maior autem, si obtusus: VEL denique,quoniam notus est arcus A D, circa rectum angum, & praeterea angulus non rectra BAD, ei adiacen ieran
463쪽
eognoscetur quoque,ex scholijs in margine citatis, a reus B D. Praeterea,quia in triangulo A C B, habente rectum angulum D,cognitus est a reus AD, circa angulum rectum, una cum angulo non recto C A D, ei adiacente; inuenietur quoque arcus AC, recto angulo oppositus. Atque ita iam unus reliquorum SehoL 4 arcuum repertus eis A C. veus alui'. POST haee, quoniam in eodem triangulo AC D,cuius angulus D ,rectus, Sehes. ει. datus est arcus AC,recto angulo oppositus, una cum angulo non recto C AD: baius VEL, quia datus est arcus AC, recto angulo op- schol. 43. positus, & praeterea arcus AD, circa eundem anguis vel 1 .hui'. tum rectum: VEL denique,quia datus est arcus A D, eirca angu chol. alum rectum, una cum angulo non recto C A D, ei adia- hv v
notus quoque fiet, ex scholijs in margine descriptis , a reus C D: qui adiectus arcui inuento B D, quando perpendicularis arcus A D, intra triangulum cadit; vel, Ouando extra cadit, sublatus ex arcu inuento B D, notum exhibebit . arcum B c, qui est alter reliquorum arcuum,qui quaeruntur. A D extremum in eodem triangulo ACD,quoniam datus est arcus AC,re- Schol. r. o. angulo oppositus,eum arcu A D,circa rectum angulum: vel 3.hu1'. VEL, quia datus est arcus A D,circa angulum re- schol. 41.ctum, & angulus non rectus C A D, ei adiacens: buxus. UEL, quia datus est arcus A D, circa angulum rem Sehes.. chum,&angulus non rectus A C D, ei oppositus; con- vel 3.hui'. statq; praeterea,an reliquus arcus CD,circa rectum angulum inuentus sit maior quadrante, aut minor: A VT, quia datus est uterque arcus A DAD,Cir- schol. 48.
. ca angulum rectum e vel 44.hui'.
A V T, quia datus est arcus AC, angulo recto op schol. 4e. - positus, S insuper arcus C D,circa rectum angulum: vel 3 .hui'. A U T denique,quoniam datus est arcus A C,recto SchoL 47. angulo oppositus, cum angulo non rectOC A D; huriis. notus quoque fiet,ex scholijs in margine nominatis, angulus A CD, qui in priori triangulo est is , qui quaeritur ; in posteriori vero subductus ex duobus . rectis reliquum facit quaesitum angulum A C B. Atque ita iam Omnia, quae
DE praxi nihil noui praecipimussed recurrendum erit ad prans scho
sorum, qua in margine citata sunt. 'PER solos autem sinus ita propositum exequemur. Per praaim pro- P xia perblematis a. Abolis propos i. in triangulo A B D, rectariκlo i estiga- ous. d. Ibimaes arcum A D r Et per praxim problematis scholi, I. propos qs. ar- du anguli cum B D. Deinde per praxim problematis r. scholij propos q1. a'gulam BAD: quem, si minor ere dato angulo BA C, auferemus ex angulo prBAC, dato; vel, si maior est, ab eo datum angulum BA c, detris M, est quaesis.
ΠιNc per pratim problematis r. scholij propos At. eliciemus in
464쪽
triangul O rectangulo Ac D, angulum Ac D: qui erit quasitus Ac P, in triangulo ABC, si inuentus angulus BA D, fuerit minor angulo dato BA C: Si autem maior, idem angulus C D, ex duobua rectu demptus reliquhm faciet angulum qu itum AC B. IAM νero per praetim problematis 3. scholis propos. η i .inuenimus
in triangulo eodε A CD, arcum C,recto angulo oppositum. Datur enim arcus A D,circa angulum rectum, angulus no rectus C D, confiat fpraeterea, qualis sit alter angulus non rectus CAD, iamdudu inuentus:qtii quidem arcus A Ges νnus reliquor u,qui in triangulo A B C, quaeruntur.
PER proim tandem problematis a. fiboli' propos. I. reperietur arcus C D : Vel per praxim problematis I. scholi' propos q1. vel certe per pratim problematis scholij I. propos . s. evnsem arcum C D, crin scemus : qui additus inuento arcui B D, quando angulus BA D, inventus reisor fucrit dato angulo BA C; vel, quando maior stierit, ab ecd adicu B D, subtractus, notum oeciet arcam B C, qui es alter eorum in trian
gulo BC, qui inuestigari debent. QV O D si quando angulus inuentus cos D , fuerit rectus, cum O
is .hului. A D C,rcctus sit, erunt sic D,quadrantes; D, arcus anguli C; ait ilo duo ac proinde angulus C, ex arcu inuento D, cognitus erit. Reliquus autem'. 4bis: arcus B C, cognoscetur ea quadraule C D, ct arcu B D, inuento, ut prius. isiti di'. IA M ver sidatus arcus A B, sit quadrans,existentibus adhue angulis B,
quid ita. &B A C, inaequalibus,erit angulus B A D,rectus,& arcus etiam B D,quadras. Nam eum in triangulo rectangulo A B D, arcus A B, angulo recto oppositus ponatur quadrans , erit saltem alter reliquorum arcuum quadrans. Non potest autem A D, esse quadrans: quia duo anguli B, D, estent recti,ob quadrantes A B, A D, cum tamen triangulum A BC, ponatur non rectan ulum. Igitur B D, quadrans erit; ac propterea oppolitus angulus B A D, rectus. Polus quoque arcus A D , erit B, ob quadrantes B A, B D; ac proinde AD, arcus erit dati anguli B, ideoq; datus. Inuentis autem arcubus A D, B D,& angulo recto B A D,sine ullo labore,cum in eis inuestigandis nullo problemate exedi do duo praecedentibus egeamus, reliqua inueniemus, Ut prius .c qiiii. SINT demde in triangulo ABC, dati duo anguli B,&C, aequales, eum arcu B C, illis adiacente , siue quadrans is sit , siue quadrante maior, aut minor . Erunt arcus AB, A C, aequales ; ideoq; arcus perpendicularis A D, ad datum arcum BC,ex opposito angulo A,demissus intra triangulum cadet, secabitque& arcum datum BC, & angulum BAC, oppositum bifariam , ut in posteriore casu propos. 62. monstrauimus . Quoniam ergo in triangulo ABD, rectum habente angulum D, datus est arcus B D, circa rectum angulum, quippe qui dimidium sit dati arcus B C,&seho . 4s. insuper angulus B, ei adiacens; dabitur & arcus A B, reis vel ε.hui'. cto angulo oppositus,ideoq; & A Cylli aequalis datus erit. Atque ita duo ar- cui
465쪽
mareliqui Iam noti facti sunt. Rursus quia in eodem triangulo datus est, per sehol. inuentionem , arcus A B, recto angulo oppositus, eum arcu B D, circa re uis.hui'. ctum angulum: UEL, quia datus est arcus BD,circa angulum re sthoi. 41.ctum, una eum angulo non recto B, ei adiacente I huius. VEL certe,quia datus est arcus AB, angulo recto schol. 47. Oppositus,cum angulo non recto B; huius. reperietur , per scholia in margine adducta, angulus quoque B A D r qui duinplicatus totum angulum B AC, quae situm citi ciet cognitum .
SED persolos sinus ita praxis se habet. Per praxim problematis a. scholis propos 4r. ex arcu B D, circa angulum rectu dato, o exangu quado duolo B, ei adiacente dato,inueniemus angulum BA o, qui duplicatus totum angulum quasitum BA C, dabit. Deinde per praxim problematis 3 scho ira. by propos 4 I, ex arcu B D, circa rectum angulum, in angulo BA D, ορ- posito iam inuento , eruemus arcum A s, recto angulo oppositum, ideo , O arcum A c, illi aequalem. Nam praeter data constat etiara steries reliqui anguli B, dati non recti.
DATIS igitur duobus angulis trianguli sphaerici non rectanguli, una .. eum arcu ipsis adiacente; reliquos arcus, cum reliquo angulo scru ti sumus. Quod faciendum erat.
I N triangulis rectilineis non rectetulis problema bule simile propositum non fuit:
propterea quod, datia duobus angulis , datis r er tertiuer qvi nimirum relinquitur, 3 3. primi si duo illι ex duobias rectw tollantur . Quare eum unum etiam latus δειur, duo relis ff. Iatera per propoI. IO. triang. rectit. effeιentur nota.
PROBL. . PROPOS. 66. DATl S duobus angulis triaguli sphaerici non
rectanguli, cum arcu, qui alteri illorum opponitur ; rc liquos arcus, cum reliquo angulo indagare.
Oportet autem constare, num arcus alteri angulo dato oppositus maior sit quadrante, an minor, aut certe quadrans.
IN triangulo A BC, non rectangulo dati sint duo anguli B, C, cum ar-eu A B, qui angulo C,opponitur, constetque,an arcus A C, maior quadrantest,minorve,an quadrans. Oportet ex his S reliquos arcus AC, B C,S reliqud angulum B AC, inuenire. Sint primum dati duo anguli B, C, inaequales, &Nnn 1 datus
inaequales issi.& atens dat' qui πω meo in opinponitur,no quadrans.
466쪽
datus a reus A B, non quadrans.
. Ducatur ex angulo Α, ad areum B C , datIstangulis adiacente arcus perpendicularis AD: ' .hui . A qui intra triangulum cadet, si uterque angu lorum B, C, datorum suerit acutus, vel obtusus; ext ra vero, si unus fuerit acutus, S obtusus alter. Quia ergo in triangulo ABD, rectum habete angulum D,datus est arcus A B, angulo recto oppositus , cum angulo non recto B; notus fiet arcus AD, circa angulum rectum dato angulo B , oppositus. Hi ne in eodem triangulo ABD, quoniam datus est arcus A B, recto angulo oppositus , cum arcu A D, circa angulum rectum e
V E L, quia datus est arcus A B, angulo recto op-- positus,& praeterea angulus B, non rectus: VEL denique, quoniam datus est arcus A D, circa rectum angulum,cum angulo B,non recto ei opposito; constatq; praeterea species arcus B D. Nam si A B, datus fuerit minor quadrante; si quidem & A D, inuentus sit minor,erit quoque B D,minor; si autem maior, ma- ior. Si vero A B, datus fuerit quadrante maior ; s quidem & A D, inuentus sit maior, erit B Doninor; si vero A D, sit minor, erit B D, maior 3 reperietur quoque , ex scholiis in margine citatis , alter arcus B D, eirea angulum rectum . Hinc rursus in eodem triangulo A B D,quoniam datus est arcus A B, recto angulo oppositus, & praeterea arcus B D, circa angulu rectum: AVT, quia latus est uterque arcus A D, B incir-
UEL, quia datus est a reus A B, recto angulo Oppo . . - situs, eum arcu A D, circa angulum rectum: VEL, quia datus est arcus A D,circa rectum angulum δε insuper angulus non rectus B, ei oppositus; constatq; praeterea species anguli B AD. Nam si BD,arcus inuentus sit quadrante maior, erit angulus B A D, obtusus; si vero minor, acutus. UEL denique, quia datus est arcus AD, angulo recto oppositus, cum angulo non recto B ; notus siet quoq; angulus non rectus B A D, ex scholijs in margine appositis. DEINDE in triangulo A C D, rectum habente angulum D, quoniam datus est arcus A D , circa rectum angulum , cum angulo C, opposito; Nam quando perpendicularis arcus A D, extra triangulum cadit, dabitur angulus A C D, si datus angulus AC B, ex duobus rectis subducatur. poniturq; prae terea constare species arcus A C, qui in proposito triangulo A BC,alteri dato angulo B, opponitur, in hoc vero triangulo A C D, recto angulo D; op-x hol. t. positus est; notus quoque euadet arcus A C; qui unus est reliquorum arcuum, vel f hui'. qui in uestigandi proponuntur in triangulo ABC. Hinc quia in eodem trianxhoc . i. gulo AC D, datus est arcus AC, recto angul0 oppositus, & arcus A D, circa
467쪽
VEL, quia datus est arcus A C, angulo recto opopositus, cum angulo non recto C rVEL denique, quoniam datus est a reus A D, circo angulum rectum,cum angulo C, ei opposito eois atq; praeterea species arcus C o. Nam si arcus AC, recto an gulo oppositus, inuentus fuerit minor quadrante,erie- uterque arcus A D, C D, vel minor etiam , vel maior; atque ita ex cognito arcu A D. emus,an C D mino est, vel maior quadrante: si vero inuentus arcus A C, . . fuerit quadrante maior, e AD, minor,erit C D. maior
at si A D, maior fuerit. erit C D, minor; cognoscetur etiam, per scholia in margine posita, areus C D: qui additu aris cui iamdudum inuento B D, si perpendicularis arcus A D, intra triangulum cadit; vel, si extra, ablatus ex arcu B D, inuento , notum ess ciet arcum B C, quaesitum . Atque ita iam reliqui duo arcus A C, B C, inuenti erunt. POSTREMO, quia in eodem proximo triangulo AC D,datus est ar- sehol. e.
eus AC, angulo recto oppositus, cum arcu CD, circa rectum angulum: VEL, quoniam datus est arcus C D, circa rectum angulum,S praeterea angulus non rectus C: VEL, quia datus est arcus A D,circa angulum re ctum, una cum angulo non recto C,opposito;constatq; praeterea species alterius anguli C A D. Nam si a reusi inuentus C D, minor est quadrante,erit angulus C AD, acutus; obtusus vero, si V D, quadrante maior est:
c VEL, quia datus est uterq; arcus AD, CD, circa
VEL , quoniam datus est a reus AC, recto angulo oppositus, & arcus A D, circa rectum angulum; UEL denique,quia datus est a reus A C,angulo recto oppositus, una cum angulo C, non recto; et quoque notus angulus C A D, ex scholijs in margine adductis. Hae autem angulus C A D, additus angulo B A D, iam antea inuento, si arcus perpendi incularis A D, intra triangulum cadit; vel si extra , ablatus ex inuento angulo B A D, cognitum exhibebit angulum B A C, quaesitum. C AET E R V M nullo modo alteruter arcuum AD, B D, quadrans esse potest in hoc casu: quia si alter illorum esset quadrans,esset quoq; arcus A B, 3 3.hui . ngulo recto oppositus, quadrans. quod est contra hypothesim . .
P R. A XI S huius probleniat is pendet ex schol: s in mardine notatis. SOL Is autem sinubus ita rem perficiemus. Perproim problem, Proia petris i. scholij pro OL qi. inuenic mus arcum D ς Et per pra im problγ qu, sis di imatis sobolis i. propos . s. arcum B D : Et per praxim problematis 1. illuscholi, propos qι. angi lum Bias D . 5c datus at
DEINDE per praxim problematis 3. scholii propos 4r. cognos mus arcum C, cam constet ex bypothesi eius species. Hinc per praxim pomiui noproblematis scholis i. propos. 43. arcus C D, noti fiet; ex quo, si add, ' si M.tur arcui inuιαρ Γ D, Hl ab e sim subtrabatur, prout perpendicularis
468쪽
arcita D, Intra, dies extra triangulum ceciderit, cognitin fiet arcus B c. A D ext remum, per proxim problι matis r. scholi1 propo i. erus': mus angulum C A D; qui additus angulo inuento B A D,vel ab eo subtraditas, prout arcus perpendicularis D, intra triangulum cecidcris , νι leatra, notum faciet angulum C.
QVOD siquandoareus AC, alteri angulo B, dato oppositu , sit quadrans, quod euenire potest , non existente quadrante A B; erit alter saltem 36-huiu reliquorum quoque arcuum A D, C D, in triangulo A C D, quadrans . Cum hRiv e-A D esse non possit quadrans, erit C D, quadrans; ac proinde angulus tu ei oppositus C A D, rectus. Itaque tunc inuentus erit & arcus C D,& anguinaequale, lys C A D, sine ullo alio labore : ex quibus & arcus B C,& angulus B A C,de
sui.&daius prehendentur, ut dictum est . . - -
:*' Q' ' SIT iam a ictis datus A B, quadrans,& adhuc duo anguli dati B, C, in se ouadetu,' ' quales. Erit arcus B D, Quadrans etiam, & angulus B A D, rectus. Cum enim his iti. in triangulo A B D, arcus A B,angulo recto oppositus quadrans ponatur;erit saltem S alter reliquorum arcuum A D, BD,quadrans. Non potest aute A DP esse quadrans r quia duo anguli B, D, ob quadrantes A B, A D, recti essent, ideoq; triangulum ABC, rectangulum , quod non ponitur. Erit ergo D D, quadrans, ac proinde angulus oppositus B A D, rectus . Erit quoque Β, polus arcus A D, ob quadrantes A B, BD i, proptereaq; datus angulus B, arcum B D, notum eiu ciet. Inuetis autem arcubus A D,B D,cum angulo recto BAD, sne ulla multiplicationis molestia, inuenientur reliqua, ut prius. In hoc ta- , men casu arcu: A C, nullo pacto quadrans erit, ne duo quadrantes sint A B, . A C, in triangulo A B C,ac proinde duo anguli B, C, recti . Quod esset contra
hυpothesim, cum triangulum ponatur non Icctangulum.
RH qφημ' vΕRVM sint iam in trian puto A B C, dati duo anguli B, C, aequaleς
Erunt duo arcus A B, AC, aequales;atq; adeo neuter eorum quadrans , ne duo anguli B, C, recti existant. Demissus igitur arcus perpendicularis A D, ex tertio angulo A,intra triangulum cadet, diuidetq; tam arcum BC,quam angulum B AC, bifariam,ut supra in secundo casu propos. z. ostendimus. Igitur quia in triangulo A B D, rectum habente angulum D, datur est arcus AB, angulo recto oppositus , cum angulo B; cognitus erit & arcus B D r qui duplicatus totum arcum BC, notum efficiet: Sed Se AC, notus est, cum dato a reui AB, aequalis sit. Deinde quoniam in eodem triangulo ABD,
datus est arcus A B, angulo recto oppositus,cum arcu B D,circa angulum rectum proxime inuento I VEL, quia datus est arcus BD, circa angulum rectum, eum angulo non recto adiacente B:
VEL denique, quoniam datus est arcus AB, recto angulo oppositus, cum angulo non recto B ; dabitur quoque, per scholia in margine adducta,angulus L AD: qui duplica tus totum B AC, quaesitum praebebit.
dati anguli squalta sint. se l.
schol. 4 vel F F. hui'. Sehol. 4 a
469쪽
matis i. scholij propos i. reperiemus arcum A D r Et bine per pra- P i xim problematis scholij i. propos 4 s. arcum E D; qui duplicatus totum quido dati arcum B C, dabit notum . Deinde per praxim problematis i. scholij pro qμ' 's' ms 4 - ἰρζr praaim problematis i. schesti propos Ar . inueniemus an '' - ' '
gulum BA D, ac proinde eius duplum BA C, qui quaeritur . Tertius a tem arcus A C, dato arcui A B, aequalis est, atque adeo cognitus.
- DATIS'igitur duobus angulis trianguli sphaeriei non rectanguli, eum vno arcu, qui alteri illorum opponitur, &c. Quod erat faciendum.
II v I c etiam problimati nullam propositionem respondentem attulimus ἰn trianguli
rectilineis, propter causem in scholio autecedentis propos allatam. OPORTET autem in primo eas. bmuse problema ιιι dari etram nereprio spe ciem arcus A C, alteri angulo dato B,oppo*3. Alioquin νυ irrangulo Α C D, ex da. to arc. AD, tr angulo C, opposito, cum nihil cerιι adhue exploratum taleamus de . arcu C D,Hiangulo C A D, qualema sint. non inuem retisr arcus AC,recta anguinto Oppositus, cum is possit e se vel mator quadrame, et minor, Cr nondum ex .at x, et demonstratis eonpet, qualis futurus sit. Ccrerum non satu esse, si dentur anguli
23. huius. Quod tamen hic breuiter ita rursum demonstrabimus Sint duo arcus inaequales Α B. A C, angulum B A C, eo tinenter,e semicareulo simul aequales; atque adeo unus quadrante maior , . alter minor . Dudio autem per R, C, arcu circulι maximι B C, ducatur ad eum productum ex Α, altu3 arcus A D, neque per polos arcus A C, Nequonr polos arcus B C; ita ut angulι D,-C A D,sm non rectι . Sed neque angulus Α C D, rectus est. Namsi foret rectus,esset angorus ABC,cui ille aequalιs est, rectus quoquet atque ιta duo arcus Α Β, Α C,propter recus ango. isti B, C, aequales essent, quadrantes . Quod est contra Dpothesim . Triangulum ergo A C D. non reflangulum est in quo licet duo anguis A C D, π D. dentur,cum 'AErcu A D, qu 3 iangulo ACD, opponitur; non tamen ιnde eolligeses arcum A C,alteari dato angulo .D, Ursitum, cum eidem opponatur in triangulo A B D, et ram arcus A B, Vs A C,inaequat sipropterea quod eadem Iis thesis manet in triangulo A B D, empe anguli Otι B, D, cum angulus B, angulo A C D AEqualis sit, ut Uendimus Q arcus da tws A D,angulo B, oppositus . Necessa es ergo. ut detur species arcus ansa ta D, oppositi, ν sciamus, num maior quadrante is sit, an m nor, hoc est, num arae ς Aa, an A c, sume das sit, eum dium eorum maior qoadrantem , alter mιο
470쪽
DATIS duobus arcubus trianguli sphaerici
non rectanguli, cum angulo, qui alteri eorum O ponitur; reliquos angulos, cum reliquo arcu in uenire. Oportet autem Constare, num angulus alteri arcui dato oppositus acutus sit, an obtusus.
IN triangulo sphaerico non rectangulo A B C,dati sint duo areus AB, AC,
eum angulo B, qui arcui A C, opponitur x constetq; , an angulus C, acutus sit,an obtusus. Oportet ex his & reliquos angulos C, B R C,& reliquum arcum BC scrutari. Sint primum dati duo arcus A B, AC, inaequales,&neuter eorum quadrans.Ducantur ab angulo A, tertio arcui opposito ad ipsum arcum tertium BC, arcus perpendicularis A De qui intra triangulum cadet, si uterque angulus B, C, acutus est, vel obtusus; extra vero,si unus acutus S alter obtusus fuerit: constat autem ex datis,an uterque angulux acutus sit,obtususve, an unus acutus, & obtusus alter ; cumdatus sit angulus B,eum specie anguli C. Itaque quon Iam In triangulo A BD,rectum habente angulum D,datus est arcus A B,angulo recto oppositus, eum angulo B; datus etiam erit arcus A D circa rectum angulum dato angulo B, oppositus . Hi ne in eodem triangulo ABD, quia datus est arcus A B, recto angulo oppositus, & insuper arcus AD, circa eundem angulum rectum: VEL, quia datus est a reus A B, recto angulo oppositus, & praeterea angulus non rectus B : UEL denique, quia datus est arcus A D, circa an- .pulum re tum,cum angulo B,opposito; constatq; spe- - cies praeterea arcus B D. Nam si AB, datus fuerit minor quadrante ; si quidem & A D, inuentus minor sit, erit quoque B D, minor; si autem maior , maior . At si A B, datus fuerit maior quadrante ; si quidem & A D, inuentus maior sit, erit BD, minor; si autem A D, minor sit, erit B D, maior Iemnitus etiam erit, ex adductis scholijs in margine alter arcus B D, eirea angulum rectum. Hinc rursus in eodem triangulo ABD, quia datus est arcus Λ s, angulo recto oppositus, cum arcu B D, circa eundem recitam angulum: V E L quia da tus est uterque arcus A D. BD, circa angulum rectum: