장음표시 사용
111쪽
cta m1,ad rectos inpulos secans rectam ah, retarae semidiametrum, emicircumserentia vel omis. Et idcirco quotquot rectae lineae ductae suerint coni x eitice te, ad circumferentiam lqp. Solare corpus contingent in punctis eiusdem circumferentiae. sed globum terrenum secabutia puta ctis circumferentiae mis. Connectantur autem in Sole ipsa contactuum puncta cu eius ceu ro. 5 coiistituta erunt triangula aequitatera & aequi angula rectangulo triangulo K b I, rex octauam propositionem primi Euclidissiliniuinq- commune latus erit b Κ, reliquorum veto lateri iniquae aequalia sunt radio K l partes abscindantur: rectae K o aequales,& ab earum terminis ad punctum a, rectae ducantur litie.e. TQ angula itaque hac alte constitutaeini int ipsi mi angulo a ko,aequi latera atq; aequiar: la. Et propterea in omnibus locis positis ira semicirculo in t s, solares radii qui gnomo num umbras distinguunt. aequales distantias solis a verticibus coniniostrabunt,&concut-rerit ad K, commune coincidentiae punctum, quo a etiam reliquis locis alterius semicirculi accidere necesse est. Sic igitur patet quod sola te, radii vilibras distet minantes in illis locis
quorum vertices in uno atq; eodeni circulo mari inin per centrum solis veniente, vel ante ipsam solem, vel post eum positi fuerint, ad solis
partes concurrent. non autem in ipso sole. Sed in quibus ipsa vetticalia puncta aequalibus circum ferent i is distit et in t ab ipso Sole, sub cetro te tr. v coincident. Hinc fieri necesse est, ut cum radio quocunque qlii umbrani distinguit, in iumeti alij ladii concurrant apud Solem . de innumeri sub centro terrae. Pioinde qui neq; primi generis sunt, neq; secudi, quo niarii in uno plano non sunt, neque paralleli
ipsos autem solis radios apud terram parallelos apparere , demonstratum inuenimus a
Vitellione. & in libro de Compositione diuersorii tu speculorum incelli aut horis. Idipsum nos tamen multo exactius ostendemus in liunc modum. Duo solares radii aequalesla: a b dc a c, ad superficiem terrae venientes in puncto a concurrant , siue in sole, sue prope solem , siae sub centro terrae, quorum aequales partes b d&ce apud terram , in sen-sbilis sint quantitatis respectu longitudinis
eorundem radiorum a b dca c,&connectantur b c&de. Duae igitur tectae lineae be &d e, aequi distantes erunt, res secundam pro
Luclidis: Sc idcirco aeri qui angula erunt atque
Limilia duo triangula a b e& a de. Qua prompter scut ab ad adisie
cut a b ad b d , se b ead excessum quo ipsa
eadem b c , superat te- Oatn d e . Atqui im- rei certibilis quantitatis est ipsa bd, si conse Iatur cum a b vela di igitur imperceptibilis
erit quantitatis disset o tia rectatuni be& d e, si cum uti avis eat imconseratur. Aequales itaque apparent bc &d e ,&quia sunt aequidis ante, : duae igitur bd S c e , quae aequales positae sunt , aequi distantes apparebunt. Recta enim lineae aequi distantes annuere & quali concurrere videntur,quolido earum interuallum minui videtur, niagi sin alie sibi inuice videntur appropinquare: que admodum ostensum est ab ruiliis. 6. propositione Perspectivae, ct a Vitellione libio quarto..idcirco quando aequalia apparuerint coineurrentium linearum interualla, neq; annuere, neq: abnuere videbuntur ipsae concurrentes lineae,& omnino parallelae apparebunt. Et propterea b d Sc e, tectae lineae apud tetiam aequi distantes videbuntur. Nihil autem te .seit siue ipsas b c & d e, pro interuallis sumas rectarum b d & c e,siue perpendiculares ab earum terminis ductas. Concludes etiam si voles per 33. propositionem primi huc lidis veluti Vitellio, di in ipso Speculorum libro. Ide aliter experimento probatur in eodem libio. Radius enim a b, in Astrolabio cuius centrum est b, altitudinem solis demonstiat c d , horizontis linea b d in rectu producatur,& in eo de plano in quo est ipsa Astrolabij facies, aliud A stiolabium suspendatur,centrum e habens in eadem tecta linea. Itaq; radio solis e s per e centrum veniente in eodem instanti altitudinis arcus et K,aequalis ipsi ed apparebit:anguli igitur abd&s et aequales. apropter duo radii a b& e s paralleli apparebui per 28 .propostione ni primi lib. Eucli.quod erat demonstrandii. C sterimi hanc posterior Eostensione non probam'. Concurrant enim ipsi duo radi j in pucto i soli, L i ceu
112쪽
hetro.& sumantur radi j b l, duae aequales parte, im & m n,& a punctis in & ii ipsi tectae b e. duae excitetur aequi sistates lineae mo&n p. Dupla igitur et it n i ipsius m l.ct idcirco propter similitudine trianguloru I n p dc t m or dupla erit ii pipsius m o,& propterea ita aequales apparebunt: Do igitur videbuturaequi distare ipsae ii m S po.productis tamen p dc in o,vsque ad q& r angulus ὶ p q.aequalis reperietur per Astrolabili ansulol n p,& angulus t o r angulo i m o, 3pter insensibile disterentia: aequales sunt enim angulit ii p & l in o angulo a b d,aguli etia i o e dc l p q. aequales ipsi se g.Sed neq; li duae rectae lineae vise suerint aequi dillantes, coalterni anguli, aut exterior interiori, ob idipsuinaequales repertierunt per Astiolabili. In tria lo enim aequilatero logissimorumq; lateru a b c, aequales sumatur partes b d & e e imperceptibilis tame quatitatis,si cum ipsis a b ct a c coferatur, & csi nectatur d e. Disteretia igitur duaru rectarii b c & d e imperceptibilis erit,si cu utra uis earum conseratur,& idcirco equales apparebunt eaede b c &d e,rectae lineae,& quia sunt aequi distantes.duas igitur b d & c e aequi distantes apparere,quem admodu in prima figura cocludes. Constat tamen quod producta b c ad ii, & Astrolabi j centro posito t u ad b i uni ad c multo maior inuent' erit exterior angui' a c h, ipso interiore a b eduplus enim est ad eis. Qirare no Spterea quod radi j solares aequi dis te, apparet aequos augulos ei licere videtur in cetro A stiolabit, exterio te interiori cultorizoti linea, neq; c cc
Iahumlinodi anguli aequales repetititur per Astiolabiu, ipsi solare radij paralleli apparebsit.
Propterea verbaguli aquales apparet in Antolabi j, aut sciothetis ist meris, tametsi inaequae les sint quonia angulus que iideri, radi, vel iα sole vel prope solena reficiunt,quo quide ext f rior interiorem super x, propter sui paruitate 'imperceptibilis est. λnqiram vero Erat hostones supposuerit radios solis aequi distantes, ct iacirco coalternos angulos ad gnomonis vertice, ct ad centrum terrae, aequales esse concluserit,
in obseruatione illa quam in Alexandita secit, ad inueniendum quantus esset totus terreni globi circuitus secundum maximum circulum .mahilominus vera est demonstratio nostra,ex qua . colligitur radios solis in ipsa Erathonenis ob siluatione sub cenim terrae coincidere, angui averδs ictum ad gnomonis verticem,coalterr loqui a s centium terrae quarta circiter patre uv. i' gradus notem es e,&proinde arcus ipsius anguli qui in centro terrae, graduum erit septem cummim.27. Quare sintvr Syene&Alax .dria quina: millia stadia sunt in toto igitur terteis ni globi circuitu stadia erunt dii taxat et i 61o non et socco. sit enim meridies ad v iguem ijs sui sunt in Syene, leNandria haec enim duo loca sub uno atque eode meridiano i insta sunt, comunes vero sectiones ipsius mer diani ct solaris corporis,necno S Terreni, circuli sint a b eci d e Leentiu solisntosae vero h 2 cdnectat urgh.Sitq; in Syene gnomon d i, rectus ad liorizoniem, verticale punctum a. sit Alexandria ubi est Κ gai urq; recta linea per l, & h. v i ad meridianu ubi est runciam liquod supra verticem est gnomon vero ad horizotem rectus Kni. Ex magnitudine itaq; adguli d Ii K. concluditur ratio sinitium arcuum d K. at ad suos circulos: ipsus vero a iguli magnitudo ex binis radiis solaribus deprehendi iur, quoium alter qui est g i a centro Solis mitas unam rectam lineam efficit cum gnomone di, ac terrae semidiametro d h: incidit enim ad perpendiculu.
114쪽
ct propterea nullam admittit umbram ide gnS
mori meridiano tempore. Alter Solis radius est qui ad Alea andriatii missus per runcium in trast. qiodest gnomonis fastigiu. umbraq; dister minat hii in ea uita telisini cycli, solare ci; cor-Pus contigit in punctob cum recta vero g h cocurrit in puncia r. Cocurrere enim necesse est irropterea quod angulus bgh in centro solis acutus est. In triangulo porro in g li, inter ior angui' g lim .exteriori g m l aequalis cuseturi propterea qrio langulus ligni, diuersitatis aspectus solis,qui in solum duorum angulora disserentia est, in eo litu insens bilis quantitatis est. At ve-io Mem exterior angulus g m l .angulum superat b m l angulo g m b: an ulus igitur g h m, eodem b in t maior erit ipsa diuerentia g in b. Aequali se It autem angulus Κ m n contrapositob in i angulus itaque s h m angulum Em ii ipsa eadem disserentia superabit, quae est angulus sin b. tqui ipse angulus K m n,quinquagesi ii iam sui circuli partem subi edere repertus sui tab Erat hostene, idest Gra. .minu. 12. angulus yeros in b,quarta circiter pars viii' gradus est, per ea quae Ptol in quinto libro magnae composi ionis demonstrauit, quod etiam statim concludere poteris in triangulo rectangulo b g m, ex rat ione b g adg in cognita, nempe sicut s.cusent ille adirio. Et idcirco ipse idem angulus ghm.angulum superat li m n, ipsa quarta parte unius gradus,&proinde gradus septem continebit idem ansul iis g h m,curnin. 27.totq; erutin arcu d K., sine in a l. Et quia ur Erathon. ait
ipsa distantia d lc, quinq: millium est stadioruierunt igitur in toto rerreno circuitu stadia et l6lo. quod elat ostendendum. At si non ex umbra gnomonis, sed ex radio Solis perforamina tabebatum diopi tae Astrolibi j, aut quadrantis ingrediente distantiam verticis a sole Era thos .eκ plorasset,inaiorem sateor reperisset huiusmo di distantiam ipsa quinquagesima sui circuli parte,stus ira tante postulasset ad suam de- ninnstrationem dimissos radiosa disserentibus panibus solis parallelos esse, a centro enim ips veniunt eiusmodi radi j,eκ quibus in Astrola-bijs altitudinem solis deprehendimus, no a disserentibus partibus. Deducantur autem a cetro terrae duae rectae lineae solem cotingentes in pu- iis o Sc p. terram vero secantes in s & Dangulus
igitur p ii o,diametri solis visualis dimidiu circiter v mii, gradus continebit: ct idcirco in toto tetrae spar io s t,gnomones meridiano tepore sine vilibris videbutur,&ob ea causam Erat host.
dixisse puto, Cleomede reserἴte, Sole In Syene
ad per diculu posito, immune esse gnomones ab umbra, ad terceta stadia. EX bis etia pala est, altitudinem solis per Astrolabili deprehensam,
ea minore esse quae eae ratione umbrae ad sui amgnomonem concluditur,tantam vero esse ipsarum altitud inum disserentiam,quantum est id quod relinquitur, detracta diuersitate aspectus solis a semidiametro eiusdem visuali. Cuius reicquidcm miror Ptol. minime nos adnaonuisse, cum i ii libro secudo magnae copositionis astrorum ex ratione umbrae ad omonem,solis altitudinena inuenire docuit. Nunc vero post tractationem de radiis, gnomonum umbras in terreni globi superficie proiectas ostendemus parallelas non eue,sed videri, propositis enim duabus umbris duorum gno Inonum ad perpendiculum positorum, ii radii solares ipsas umbras distinguentes prinii generis sunt hoc est, si verticalia pucta gnomonum in uno sunt plano maxinii cuiusda circuli per centrum solis venient is, nec concurret aps bruuignomonia umbrae e m parallelae eruiit, sed fiet ex eis in longitudinem produdiis vi a d taxat linea circularis,i:, non duae. A t vero si radii solares propositas umbras distinguentes secundi generis suerint,eas cocurrere olicdemus, paralis telas tamen apparere. Sint enim ad perpe ridiculii positi super terreni globi supciscie duo gnomones aequales a b, c d, quorum vert icalia puniacta aequalibus distent interualli a sole, raclij Ω- rares umbras distinguentes sint a e, e Cproiectae vero umbrae interreni globi superscie b dc Dico ipsas umbras b e,di,vherius productas in utrasque palles concurrere, sed tame parallelas apparete. ausia iam enim radi j a c, cs secundi aeneris sunt in planis igitur eruntmaximoruuici circulorum per verticalia puncta gnomonum ci centrum solatis corporis, ict centrum terraevenientium quapropter umbrae b e. d s in communibus erunt sectionibus eorundem planorum cum globo terrae:&idcirco ipsae umbrs b ed arcus erunt niaximorum circulotu rei reni
globi per primam propositionem atque seX- tam riuui libri Theod. Et proinde si eaede um-
115쪽
bde b e, d sin cotInuuin producantur ad virataque partes concurrent, quod in primis ostende dum erat. Caeterum quod parallelae appareant, in hune modum demonstrabimus. Quoniam enim gnomonum umbrae dc earum interualla
cum amplitudine superficiei globi terreni collata rectae apparent lineae,& in plana superficie existentessumantur itaq; ipsae eb & d C pro rectis lineis,& connetiatur b d,e fct a c. At aequa Ies sunt gnomones ab, cd per hypothesin,&producti concurrunt in centro terrae: igitur ob
angulorum aequalitatem,& similitudinem tria Iorum, communem angulum habentium in ipso centro terrae, recta a c basis unius rectam bo,basim alterius insensibiliter superabit:quemadmodum de solaribus radijs superius demonstrauimus. In duobus autem triangulis a e b, c sd, duo anguli a b e,c d saequales sunt ad inuicet duo praeterea anguli bae,des, iis contrapositi aequales etiam sunt: igitur reliqua ipsorum triangulorum latera, alterum alteri cu reliquis angulis aequalia erunt per 26. propositione pri
mi libri Euclidis. Et proinde radi j a e, e s aequales sunt, qui si ulterius producti fuerint,sub cenatro terrae concurrent in cuiusdam coni vertice,
velut superius suit ostensum. Ob angulorum igitue aequalitatem & similitudinem triangulorum communem habentium angulum ad idem pactum, verticem ipsius coni, recta a c basis v-nius insensibilitet superabit rectam e s basim alterius: aequales igitur apparebunt ipsae b d, ef
per communem sententiam: insensibili enim disserentia a recta a c superantur. Connectatur
autem d e,& per s. propositionem, & et . primi libri Euelidis, ipsas e b, s d ostendes parallelas
apparere.Melius tamen meo iudicio id eκ eo
inseres, quod ipsae aequales rectae lineae e b di s d paribus videantur distare interuallis,nempe e fci b d, quemadmodum superius de radijs solis
e,nclusimus. Et non solum gnomonum umbae quae in conexa superficie terreni globi extensae sunt: sed etiam quae in una plana supersicie iaciuntur, parallelae videbuntur, si modo ipsi gnomones a ratione perpendiculi parum di institerint.Quoniam enim in recta in lineam producti in centro terrae coincidunt: no potest igitur uterq; eorum ad unum idemq; planum ad rectos angulos esse. Repetatur itaq: praecedens figura,& ponamus gnomonem a b,ad rectos angulos super superficie aequi distante horizonti loci b,gnomonem vero e d,ei dem plano incumbere, sed tamen a rectitudine insensibili cissetelia declinare, item paribus in mundo interuallis eorsidem gnomorum vertie es a Sole distare. Recta igitur e d v ad centrum terrae extensa maior erit ipsa ab.ad idem centrum perducta, insensibili tamen disseretia: rectae autem a b&e d aequales positae sunt duae igitur rectae lineaea e & b d pro parallelis habebuntur, per t. pro positionem 6. Euclidis. Iam igitur in similibus triangulis quemadmodum de radius solaribus
ratiocinati sumus, rectam a c concludemus in
sensibili differentia superare rectam b d. In duobus porro triangulis a b e S c d si quoniam anguli ad b & d, puncta, propter insensibilem declinationem gnomonis e ri a rectitudine, aequales sup ponuntur: duo item a liguli b a e & d e cijs contrapositi qui pares distantias subtendite inter vertices & solem,aequales sunt, ipsi etiam gnomones a b & c d, aequales politi sunt reliqua
igitur latera eorundem triangulorum reliquisiateribus aequalia erunt. alterum alteri per 26.
propositionem primi libri Euclidis :& idcirco duo radii a e & e i aequales erunt. At hos sub cetro terrae concurrere ad vert icem cuiuida corii
basim habentis in solaris corporis superficie superius ostentum fuit: igitur propter interuallorum immensam longitudinem, ipsi a e & e s cueisdem collati insensibilis quantitatis existimabuntur:& idcirco in similibus t riagulis quorum bases a e & e s, rectam a c concludemus sicut antea insensibili disseretia superate rectam
effostensum porro fuit ipsani quoq; recta b d, insensibiliter superare: duae igitur b d & e s pro aequalibus habebuntur. Et idcirco duo b e S ds,quoniam paribus distant interuallis parallelae apparebunt. Vel f inauis id inferre ex elementis Geometricis primi libri Euclidis, connectatur b s aut e di& quonia b e & d s aequales oste-sae sunt:per 8. igitur propositionem di et r. ipsus primi libit,duas rectas lineas be& d s, rarallela
116쪽
Ias apparere concludes. At concurrere necesse est ad partem b d si in rectu producantur, quod quidem non erit difficile demonstrare. Radius enim a e, si ad verticem usq; concepti coni productus intelligatur, maiorem ratione habebit ad a e,quain recta a b, usque ad centrum terrae extensa habet ad ipsam a bi & idcirco in duobus illis triangulis quorum communis basis esta c,opposit us vero angulus in uno eoru ad verticem coni est:in altero autem ad centrum terrae, maiorem ratione habebit a c,ad eum excessuna
quo rectam superate quam ad eum quo recta excedit b d , per conuersione in rationis ' ia. quinti,& proinde minori differentia superabit ipsa eadem ac, rectam es quam rectam b d. &propterea maior erit e squam b d. Ex quo quidem flati in concludes ipsas b e & d s.concurrere ad partem b d. Connectat ut enim d e,ct quo ii iam in duobus triangulis es d&ebis, duo latera b e & d s aequalia ollensa sunt: latus autemd e coniune est viriq; triangulo,sed ba siis e si riasuli ei d maior est bala b d trianguli e b changuius igitur ed s ipsius tri anguli e id maior erit angulo bed trianguli ebd, per et s. primi Euclidis. Ad punctum itaq; e terminum rectae e d, siciemus cum ipsa e d angulum d e g.aequalem ipsi an ulo e d f. per ra. propositionem ipsius primi libri Euclidi si & idcirco duae rectae lineae d s& e g.parallelae erunt per tr. propositione eiusdem primi libri huclidis,& proinde duo anguli ei d&i eg duobus tectis aequales erunt per 29. Atqui angulus f e b, minor est ipso angulos es duo igitur anguli e s d&s e b minore erunt duobus rectis,ct idcirco ipsae duae rectae li- . neae sit & eb.cocurrent ad partes b d. per quin xum postulatum, quod quidem demonstrandum suscepimus. Supposta pol id sententia Erathos leti is de ambitu erient globi. I Aichimedis dentonstratione de circuri demensione quado gnomon c d a rectitudine discesserit decima parte unius grad',idest minutis 6. interualluml, d.int et duas umbra b e S d cnouem sere millia passuum contin bit: quando verb uno dumtaxat minuto 2 rectitudine declinauerIt,etit ipsum interuallum passuunt seic imo. Angulus enim quem duo gnomones a b & c d, in centro terrae coincidentes efficiunt, ipsi declinationi gnomonis edaequalis existit Psan xαMagum distantiani subtendit. Lemma
SVmpsimus autem ad ostendedum umbras
be&dsconcurrere ad partem b d, quod maiorem rationeiti habet recta a e, usque ad verticem concepit contextissa, ad radium a e quam recta abiv sque ad centrum terrae perdueia,ad gnomonem a b. Hoc autem in subie- Oa figura oli endemus. centrum enim terrast Κ, Solis vero I gnomon a b S connectatur K i, quae in rectum producatur ad partem E adiusia p. in utramq; partem piodii ius,Solem continsat in na, ct cum reeia K et sub centra terrae coincidat in i , v bremque distinguat be,in plaria supersicis aequi. distante horizonti
loci P. ct ipsus gnomoni ab, longitudo producta intelligatur usq; ad K. Dixo quod maiorem rationem habet anodae, quam a N ad ab .Quoniani enim angulus bk l, arcu subiendit cornple
lis supra horizonteracutus igitur est, dereliquus idcirco bk n obtusus erit. A
ad rectos angulos excitetur. igitur propter aequalitate
angulorum es smilitudinem triangu
117쪽
scut est a K ad a b sie est a I ad a rimator est ad
ema n ipsa a i: maiorem igitur ratione habebit, ii ad a e quam ipsa a i ad eandem a e: ct idcir- eo maiorem habebit rationem a n ad a e, quam a Icad a b periet.propositionem quinti libri Euclidis ex Campano,quod erat allium plum. Et in hac quoque figura poteris alio modo ostendere rectam b d.minorem ei retectae s. Nam sicut est a bad b Κ.sie a e ad e i atqui a e ad e i, maiore habet rationem, quam ad e ni igitur a b ad bli, maiorem rationem habet quam a e ad e nr igitur tota a K ad b P, maiorem habebit rationem 2uam an den. At vetb sicut a Radb Κ, se in milibus triangulis a e ad b d,Sc sicut a n ad en, sic in alijssimilibus tri sulis a ead e si igitur maiore ratione habebit a d ad b d quam ad e L&proinde minor erit b d ipsa e s. Et reliquas quoque umbras quas caeteri radi j distinguul,qui neque primigeneris sunt. neque secundi parallelas non else,sed videri, eadem methodo osten- dein'. In locis enim a & b.gnomones a e & b d, umbras proi icianta e dc b L radii veto c e ct d L, qui eas distinguunt neq; primi generis sint, ne que secundi,ides neque exist ant in plano viii 'maximi circuli per verticalia puncta eorunde
locorum,& centrum solaris corporis, atque .lerreni globi venientis, nec aequales distantias averticibus ostendant sed angulus ace quem radius ce,cum gnomone efficit a c angulo b d fquem radi' d i eum gnomone efficit b d minor sit. Dico ipsas umbras a e & b L patallelas non esse. sed videri.Nam quoniam a e marii mi circuli terrae segmentum et se superiusostensum suit: extendatu. igitur ad partem Soli oppositam,&in eodem maκ imo circulo locus g,intelligatur, a cuius vertice tanto interuallo Sol distet,quanto secedit a vertice loci b. Gnomo igitur g si in ipso loco a vilibram proiiciat g Κ in eodem instanti, radius vero S ,lis ipsam distinguens umbram,etit ii K. At ex his quae a nobis supelius
bstensa sunt, ipsos radios d s& h Κ, secundi s neris esse costat:duae igitur unibrae b s& g Κ parallelae apparebunt: sed si in continuum producantur concurrent.Ipsa porro umbra a e, in maximo circulo est in quo gK: cocurret igitur cab s & e i parallela apparebit,quod erat ostende-dum. A dueri edum cst autem, quod quae de umbris gnomonum aequalium ostendimus, demonstrari etiam possunt de umbris gnomonum inaequalium: maioris enim suomonis di minoris umbrae in eadem linea extensae sunt.
mrrorum tabulis corda tque I xus d
irrum arcuum, ne non Gratime aequinoctialis ad quemvis aequi Asia tinn, in
Cap. 32. N plana quavis tabula stinii circulus describat ur a b c. ct
a diui datur. hi super iuncto cytermino diametri ac, regula
quaeda volvatur ipsi diame . troa c aqualis, cui' ea facies quae ad punctum e,dirigitur in 6o. aequales patres diuisa sit. Igitur cuni dati arcus sinum recta inuenire libuerit,numerum graduum qui in eo
fuerit in semicirculo supputabunus ii puncto e in a. Sit exempli gratia finis ubi b Regulam idcirco traducem' ad ipsum b in situ e f. Na quoesexagesimae fuerint in c b, to habebit sitius te- Eius dati arcus. Huius demonstratio facissis est. Super pucio enim a interuallo a e,circulus quidam descriptus intelligatur qui si e s t.& ab ipso centro a tecta linea ducatur per b,quae ipsius concepti circuli circumferentiam attingat in runcto li. Et quoniam angulus a b e,in semicitisculo rectus est recta igitur linea b eisnus tecto erit arcus e h. At vero sicut remis angulus a b c, ad acutum b a c sic semicirculus a b c ad arcumb e. Item sicut rectus angulus qui in centio a,c5 stitutus fuerit ad ipsum acutum b a c. sic va-drans circuli c se ad arcum c h:omnes porro anguli recti aequales iii uicem sunt. Igitur sic semicirculus a lic, ad arcum b et sic quadrans circuli c fg, ad arcum ch. Et idcirco quot s inicirculi a b e, nonagesniae in arcu bc sunt, tot quadrantis circuli si s si erunt in arcu e h.
118쪽
Tot autem supputauimus in semicirculo , quot erant in propolito arcu: igitur in uetus est ea arte dat i arcus sinus rectus, quod erat ostedenda . Concludere etiam poteris duos arcus c b & e h. aequales esse. Nam sicut circulus ad circulum. sic diameter ad diametrum: quadrans igitur circuli c0.Si semicirculus abc aequales erunt. Milesi sum est autem semicirculum a be ad a cum be.& quadrantem circuli e f g, ad arcu nic si in eadem esse ratione: igitur sicut semicircurus ad quadrante. se b e ad c h per permutata, o proinde aequales erunt ipsi arcus eb & c h.
quod ostendere voluimus. Aduellendum est .utem, quod hae arte inuenitur sinus rectus dati arcus uno quadrante minoris. At vero si pro-
postus arcus maior quadrante fuerit, auserendus erit ex iῖο.&residui sinum rectum inueniemus. Nam una& eadem recta linea detracti &relicti sinus restus existit. Et quoniam semidiameter cuiusuis circuli aequinoctiali aequidi santis sinus tectus est di stantiae eiusdem a polo mundi viciniore: cum igitur rationem aequino etialiri circuli ad quem uis aequi distantium coario cere operaepletium fuerit, sinum rectum inueniemus illius arcus.quo datus circulus a qui-
Doctiali aequi distans a polo viciniore abest. Nasicut numerus partium qui in inuento snu repertus tuerit ad Q. sc se habebit datus aequi distans a d. xquinoctialerii. Praeterea quoniam
eadem est ratio duorum quorumcunq; circulo Tuiri.& sint ilium paritum: quonam igil ur modo gradus cilculatum aequinoctiali aequi distanta viii in adus maximi circuli sitit conuerten
E non elli dissicile invenlie. Nam dIametruma ei unum est gradum aequinoctialis ponemusici erit idcirco quaelibet ipsus diameiti sexagesima minutum unum . Uropter quot se in resinae repeliae fuerint in sinu recto distaritiae
dati paralleli a polo viciniole, idcii quot habuerit sexagesimas semidianaeter dati patalleli,tot minuta , nius gradus aequinoctialis gracdus unus dati paralleli cottitebit. Deinde verbeadem minuta multiplicando in numerum graduum qui in proposito arcu dati paralleli sunt.
summam colli emus graduum di minuto tum
maximi circuli qui in ipso arcu dati paralleli
sunt. Et eadem prorsus arte cognosci poteriti quot lialica milliaria in terrena superficie uni gradui respondeant, dati circuli aequinoctiali
aequi distantis. Ponemus eniim ut supra) diametrum a c, via uesse graduum maximi circuli : deerit idcirco una totius sexagesima unum Italicum milliare ut sint in uno gradu milliatia 6o. ita enim receptum videnru .Quapropter quot sexages maerepertae fuerint i seim diametro dati paralleli,tot Italica milliaria grad' unus eiusdem paralleli continebit. Qudd si aliis mensuris praeter milliaria uti libuerit, dimidenda erit
diametet ac .regulaeue longitudo in eum numerum partium , qui viii gradui maximi circuli secundum datam mensuram respotidet: deindeven, ut antea, operabimur. Iam vero si sinus rectus detur cognitus, sed arcus ille cui respondet ignoretur , numerinii sexagesimarum datistius lecti in regula inuruincti supputabimus, initium sumendo ab ipsoc puncto, sinem velό nota aliqua signabimus,' deinde regula ipsam
tamdiu circumducenam, donec imposta nota
ad semicirculi circumferentiam veniat. Nam arcus inter ipsam notam Spunctum c , quot Padus arcus ille qui quaerebatur comprehedat, nobis ostendet. Poriosi accus detur cognitus, sinus ver 5 vola ignotetur , minor quadrante si fuerit, sinum remini coplementi inuenies uequidem auferes eκ 6 & snus versus dati arcus cognitus relinquetur Sed si maior quadrate suetit, illius arcus quo quadrantem luperat, sinum rectum inuenies, quem partibus f . ad des, ct costabitur umerus partium sinus vel si, qui proposito arcui respondet. Igitur si situs versus detur cognitus, armautem cui respondet i mei ur,ipsum sinu versum auferes a . si sexagesimatu numerus qui
in eo sunt minor fuerit quam cc. sitius enim
119쪽
rectus teIInquetur qui complemeto quaesti arcus respodet.Cum igitur arcus ipsus sinus recti modo supradicto inuentus fuerit, eum ausere mus a gradib' so.& cognitus relinquetur arcus
ille qui dato sinui verso respondet. Sed si datus
situs versus maior fuerit quam εο .auseratur ab eo 6 .de relinquetur sinus rectus cuiusdam arcus,quo quidem quaesitus arcus quadrantem superat. Inueniatur igitur arcus qui eidem silui recto respondet,& quadrati ad ijciatur, arcusqs conflabitur. qui quatiebatur. Atti arcus suerit cognitus . corda autem ignoretur, dimidi j propositi arcus sinum rectum inquiremus, quo seminato ipsius propositi arcus corda patefiet.' Sed si eorda cognita fuerit, arcus vero ignoretur,eum inueniemus arcum, cui quidem propositae cordae dimidium tanquam sinus rectus respondeat.Quo geminato, arcus qui quaerebatur,innotescet e spondet autem una atq; eadecorda duabus circumsesent ijs,quarum una es hsemicirculo minor,altera vero maior quae circulum complet. Regulae porro longitudinem circuliue maximi sein idiametru in hoc insitumento in 6o. aequales partes secauimus mole Ptolemaei. Sed quia recentiores Mathematici complura problemata multo faciliusquam Ptolamae' absoluunt,sol a videlicet multiplicationeae diuisione .quantitatum proportionalium, quarum una sinus totus semper est i semidiametrum igitur circuli repulaeue longitudinem in Ioo. partes aut mille li diuiseris,citius ipsas mestiplicationes ac diuisiones pelages.
gustrum locorum eorum intercaria; n m metiri p.ro. .Vobus modis hoc cognosci
l illumeto.Nunieris veto haci arte. Vel enim data loca sub' uno meridiano posita sunt, vel sub uno patallelo, veI; sub diuersis meridianis cipatallelis. Si sub uno meridiano, & vel ambo sunt Borealia, vel ambo Australia,sublata minori latitudine a maiori, arcus meridiani qui relictus fuerit, distantia erit viatoria inter ipsa data loca. Sed si iube
idem ni exidiano posita sunt, unus tamen A
stralis vi, alter vero Bore Iis, ipsas duas latis dines In unam summam colligemus, ct diastantia viatoria prodibit nota. At si sub um, parallelo posita sunt, disserunt autem mei idia nis, corda differentiae longitudinis ipsorum Ioincorum in sinum tectum complementi altitudinis poli multiplicetur, productum vero di uidatur in Oo. ct venient in quotiente numer' partium quem chorda arcus circuli maximi per ipsa data loca venientis continet. Maximi enim circuli semidiametrum 6o. aequalia patitu subiicimus. Chorda porro cognita extilente arcus ignorari non potest idc idcirco ipse maximi circuli arcus, qui per eadem loca scribitur, cognitus erit. Demonstratio huius
facilis est. Nam sicut se habet aequinoctialis semidiameter ad propositi paralleli semidiam eistrum, se tecta subtendens arcum disseientiae
longitudinis in equinoctiali, ad rectam subtendentem arcum disserentiae longitudinis in eodem parallelo, quod quidem per i . secvn. Tlieod. 2 quartam 6. huclidis concludes. At sirus rectus complementi altitudinis poli corn. plementive declinationis dati paralleli, semidiamete. Ileius deni parallelit igitur shaium quar uor quantitatum proportionalium secundam in tertiam multiplicaueris, productum veid per primam diuiseris, quarta illico nota prodibit. Et quia una atque ea dem tecta linea a cum disserentiae longitudinis in dato parallelo subtendens, arcum etiam subtendit maκimi circuli per eadem loca venientis: idcirco cum ea cognita fuerit in partibus semidia me tri maximi circuli, arcus ille cui respondet ignorati non poterit, di proinde distantia viatoria inter eadem loca patefiet. Petius Appianus &Stofletus& quidam alij hoc putant absoluisse, cum gradus disseientiae longitudinis qui in ipso parallelo inter data loca sunt, in gradus maximi circuli conuerterint, ct ipsos denique gradus maximi circuli in milliaria, aut sadia , aut ali s qua suis mensuras . At non ad- vellunt quod eo modo distantiam viatoriam quae quidem segmentum maximi circuli .elle debet non inueniunt, sed tantum quot milliaria aut stadia paralleli arcus inter eadem loca
Quando vero duo data loca diuersos habξemeridianos, &diuersos parallelos, maiori negotio praesens problema absoluitur . Quidam enim in sphaerico rectantuloq; triangulo datorum locorum intercape linem perinde nietum
tur, atq; in rectilineo .sumptisvidelicet radic ib
120쪽
sa , . quadratorum duorum laterum rectum angula ambientium.Alij hoc idem eade methodo inuestigant,sed exactius,conuerso imprimis uno latere trianguli quod paralleli segmentum existit , in partes inaximi circuli. His aute duobus modis sine sentibili errore uti possumus in exiguis distantiis, in magnis vero alia arte utenduerit .Quare Ioannes Vernerus ct Ioanes de Moteregio ut certissimis numeris locorum distantias inuenirent, multo aliter rem hac tractaturi
Verneti modus hie est. Sint duo data loca sub diuersis meridianis a b c & a d e posita, vertex ioci a circulo aequinoctiali distantioris sit b,vertex vero loci qui ab ipso aequinoctiali minus tecedit, sit d, segmentum paralleli loci b inter ipsos meridianos sit b e, segmentum vero paralleli loci d inter eosdem meridianos sit d f, areus maximi circuli inter b & d,culus quantitatem cognoscere volumus sit bg d, ct recta subtensa b d, rectae vero b e & d c datorum parallelorum segmenta subtendant i at duae recta: b f & e d.
duos aequales arcus meridianorum inter eosdeparallelos. Et quoniam ipsae tectie lineae b s cie d aequales,cognitos arcus subtendunt: per tabulam igit ut de arcu & corda innotescent .Paralleli porro cogniti sunt,dc eotii segmenta inter meridianos comprehela etiam cognita duae
idcirco rectae lineae b e S sd in partibus qualia
aequinoctialis aut meridiani diameter est i et O. arte paulo ante tradita cognitae erunt. Deinde
a punctis b ct e,super rectam i d perpendiculares sint b h S e i i recta igitur b e rectae i h aequalis erit,dc recta bli rectae ei aequalis in parallelogramo b e i h per 3 .pt imi libri huclidi .Quare in duobus triangulis rectangulis b s h ct e t d, duo latera s h ct I d aequalia erunt, per pr
positionem eiusdem primi libri, ct communε sentent ia m si ab aequalibus aequalia aulerantur.
Igitur utraq; ipsarum s h S i d, dimidium erit disserentiae duarum rectarum d s& b e. Cognitae sunt autem ipsae d s ct b e t igitur dimidia disserentia cognita erit . qua subtracta a tecta s drecta dii, cognita relinquetur. In rectangulo autem triangulo b f h det iacto quadrato tectae s li, quae ia innotuit ex quadrato recta b s,qua αdratum rectae b li,cognitum relinquetur. Simi, liter quadratum rectae d h,notum existi trigitur in rectangula triangulo b d h, quadratu latet is b d rectum angulum subtendentis, quod quiderer ε .propontionem primi libri Euclidis,etsi dem duobus quadratis aequum eis, cognitum erit .ct proinde ipsum latus b d, ignorari non poterit. Quare per tabulam Ptol. de arcu & corda, b g d maximi circuli segmentum inter data loca coinprehensum patefiet, quod erat ostende dum. Caeterum in hac demonstratione, quod praecipuum erat,& imprimis ostendendum, sine quo reliqua constare non possunt, id a Ver nero praetermissum est. Operaepraetium eniim
aerat demonstrare duas rectas lineas b e ct s d parallelas esse, quod quidem per i 6. propositioneri. libri Euclidis illico concludes, si modo ostensum fuerit, easdem tecta, b ectia, in uno plano positas esse, sed non liquet. Quare ut hoc ipsum dentonstremus,centrum sphaerae ponemus x, ipsorum vero meridianorum comunem sectionem rectam a c. mundanum axem,S in plano meridiani a b c tecta Κ I. rectos angulos esticiat cum ipsoaκeae, item recta E m, in I uno meridiani a d e: rectos quoq; angulos cum ipsa a G2 verticale punctum b, vergat ad pariis rolia,verticale vel δ dod oppositum potu qui est C: caeterum magis recedat b, ab aequinoctialis punctos quamdabni tua enim modo ponim'. Esto porro arcus I ri,aequalis ipsi s i aut d tu, de connectatur s n,quae testam Κl secet in o,item connectantur f Κ&d K. Quapropter rectili
neu angulus no Κ rectus erit, rectus etiam esta Ko: igitur parallelae sunt duae rectae s n a P. In has autem incidit recta s K. Quare duo anguli Κf n , a Ks duobus rectis erunt aequales, Per 29. propositione primi libri Euclidis. Duo igitur anguli b sh ct a k f, duobus rectis mino reserunt: & idcirco duae rectae b s, a X concuserent ad partes a b, per quintum posulatum. i- militer demonstrabitur duas rectas d e, a K concurrere ad partes a e. Concavrant autem bLah