장음표시 사용
121쪽
lii puncto r, di eo duas rectas a e,- Π Iplia quo me punctor concurrere. Quoniam enim duo arca a L ad aequales inuice sunt .duo igitur annuli a K f S a K d, aequales erunt. Duo vero acuti anguli b sh ct e d Κ, aequales sunt inter se. Nam angulus b f Κ, in eo minori segmento es , qui relinquit ut detracta circumlitentia b Lex semicirculo. At aequales ostentae sunt b s & edi igitur in segmentis aequalibus sunt ipsi duo an is soli b.s k ct e d k: & idcirco aequales erunt per e propositionem tertii libri Euclidis.Cum igitur superaequales rectas lineas s K ct d k, duae
b s & de, aequites emciant angulos ad p si
& di tecta praeterea a K ad punctum E a quales efficiat angulos cum eisdem,nisi fatearisb f S de, ad idem punetiam concurrere quod est r, in impossibile incides per 26. proposit iocem primi libri Euclidis: totum enim S pals aequalia erunt. Quapropter in ipso punitor cocurrunt.Qup ndo autem duae tectae lineae se in--m secant, in uno sunt plano,& omne triansulum in uno existit plano per secundam propositionem H libri huc lidis: recta igitur d si basis est trianguli i d r. oc in eodem plano recta b e existit,quod erat demonstrandum. Simul auteconcludes per secundam sexti be& sd parallelas esse. Idem autem ostendemus.& simili omnino syllogismo, si uterq; locus ad eundem polum vergat, aut Borealem,aut Australem.Nam in uno atq; eodem puncto concurrent. Itaque
modus ille quo usus est Vernetus ad inueniendum interuallii inter duo loca, certior est alijs. opus tame valde prolixum, quippe in quo qua plures fiant multiplicationes, diuisiones, atque subtractiones, quanquam semel tantum radi κquadrata extrahatur. Caeterum si secundum librum Elementorum Euclidis consulas, multo breuiori calculo idipsum pioblema absolues. Postquam enim rectas lineas be,s d in partes. diametri maXimi circuli conuerteris, unam in alteram multiplicabis.producto veto quadratu
addes rectae b s aut e d. nam collecti radix qua drata ipsa recta erit b d: quare arcus b g d, per tabulam de arcu & chorda cognitus erit. Demostratio facillima est. Nam duarum rectarum s d& b e, disserentia in duas aequales lineas diuisa est sh&di, quibus adiectam intelligas h i. Quapropter quod eκ ductu totius d f, in adiectam fit, una cum quadrato i ii aut d i, aequum erit ei quadrato quod exd h. per 6. propositionem ipsius 2. libri Euclidis. In rectangulo vero triangulo blid,quadratum rectae b d, aequum
positionem primi libit. Quadiatum igitur ex bd. aequum erit ei quod fit ex d s in i, i, una cum quadratis eκ sh&bh. At ipsis duobus quadratis exfh&b h, aequum est quadratum ex b si igitur qua diatum ex b d aequum est ei quod fit ex d s in ii l. sue b e, cum quadrato ex b f. Et proinde multiplicabis b s in seipsam producto. vero ad desid quod fit ex d s in eb: colle dii enim ladi κ quadrata erit recta b d. . Illud autem relinquitur in destigandu: quonam videlicet pacto distantia viatoria sit inuenienda,
122쪽
hienda ,quando data loca diuersosliabent meridianos,& oppositos parallelos, quod quide omnium sicillimum est. Nam rectam lineam arcum paralleli subtendentem,qui inter datorum iocorum meridianos est,in partes diametri maximi circuli conuertemus, ct in seipsam multiplicabimus,producto vero addemus quadratum rectae subtendentis arcum meridiani inter eosde parallelos interclusit collecti enim radix quadrata,ea erit rectalinea quae arcum maximi
circuli subtendit inter eadem duo loca. Meridianus loci o sit a o et at loci p in opposito parallelo constitui i meridianus sit a p c, segmentum paralleli loci o,int et ipsos meridianos sit o q s, recta subteia o s.Segmentu paralleli loci p,inter eosdem meridianos sit p Z u,recta subtensa p v,
arcus velo o u,inter eosde parallelos tecta subiesa sit ou, haetae axis sit recta a c, meridia nota com unis I ctio. Et quoniam ipse axis a e,ad plana omnium parallelorum rectus existit, de per eorum centra i ransit per ra. pyopositionem prinii libri Theodo iij sit igitur punctum t, centruillius paralleli, qui vergit ad polum a. punctum vero x centrum illius qui vergit ad polum C comunes porro sectiones meridiani a oc S eotitiadem parallelorum usq; ad centra t&x sint otctu κ. ina propter ipsae rectae lineae oldc ux, Parallelae erunt per i 6. propositionem M. Eucl. Et quoniam rectae lineae aequas & patallelas coiungentes. aequales sunt di ipsae, atq; parallelae,rςx 33. propositionem libri primi Euclidis:duae igitur o u & t X, aequales sunt S parallelae. Qua
rectarumparallellarii ad rectos angulos siuerit alicui plano, altera quoque ad rectose angulos erit ei de pla ' no per 3. propositione ii. libri huc lidis. Rectus aute est axis ac, parallelorum planis: igitur recta O u,
plano paralleli centrum habentis ad pactum X, ad rectos anpsulos erit. Et idcirco
rectilineus angulus oup, rectus erit reret. diis nitionem unde in
cimi libri. Quaprop- ται quadratum rectaeo p, duobus quadratis ex o u ' u p, ae I erit.
cognita autem sunt ipsa quadratar igitur quo dratum eκ op cognitum erit, ct proinde ipsa recta linea cognita,& arcu op per tabula Ptolemaei de arcu ct chorda cognitu quoque erit,
Ioannes de Monteretio problemate s. ea bulae primi mobilis ex proportione sinuum in triangulis sphaelicis, datorum locorum intercapedinem deprehendit. Quilibet enim ingres
ius siue lateralis, sue arealis, quatuor numeros proportionales complectitur,quorum maxim qui est sinus totus, eam habet rationem ad sinu rectum arcus numeri transuersalis, quam sinus arcus numeri lateralis, ad sinum arcus illius nu4.meri arealis qui deAtro sum tutata eundem uinteralem collocatur. Quare nil refert sue secundum regulam numerotum proportionalium. numeros multiplices atque diuidas, a quotientis arcum ex tabula sinuunt rectosum elicias sue tabulam ipsi primi mobilis ingrediaris. Sint
igitur duo loca quorum vertices a dc b, in melidianis c a d & c b d , latitudinum inaequalium. Caeterum vel ambo Borealia, vel ambo Austialia. diiseientia longitudinis eorum si arcus arquinoctiali si g, polus vero nianifestus c. Igitur cum disseientia lotisitudinis cognita ilippo natur, angulus a c b, dabitur notus. Item quio latitudino dantur cognitae, earum complementa a e & b e, cognita erunt. Quare in imagulo a b c bas, a b locorum im cI capedo iii hunc modum pate
fiet. A puncto a , latitudinis minoris in meridianac b d, maximi circuli seg
gulos veniat. Igitur sicut sinus totus ad sinum rectuanguli e disserentiae lonissitudinis : sic sinus revius arcus a c, comple metimia noris latitudinis adsciuna rectum artus a e, ct permutarim sicut sinus totus ad sinum rectum ac,complementi latitudinis minoris i se sinus angulic di iterentiae longitudinis datorum locotum. ad snum rectum arcus a e. Qua propter arcus ipse a e, notus prodibit in area tabulae, quem quidem inuentum primum appellat: Repertus enim erit iuxta la teralem a c, li transuersalem acceperis ipsam lositudinis disserentiam. At iuxta lateralem at-
123쪽
in Ollona tu lini, est digerentia, si tantiet italem tute texetis minoris latitudinis completnent.. Na vltouis eorum licebit uti pro trans- iet sali qua nqua admoneat idem author,duora numeroru maiore semperqMeredum esse in fr5 re tabul monia vero scut sinus totus ad sua .coplementi arcus a e. sic sinus coplemeti arcuse e ad sinit copleuieti arcus a c: tertius aute pro portionalis tei minus ignotus existit, tabula igitur intrabimus area tini cu coplemento inuenti primi & minori latitudine: cople metum enim arcus c e quod est e g. in lateretabulae offendes:
igitur subtracto e g ex b g latitudine maiori notiis relinquet ut be,que inuentum secundu ag nominat.Qua res ipse numerus in descendenti repetius latere aequalis inuentus fuerit maiori latitudini, scito inuentum primu distantia esse viatoria inter duo data loea, arcumq: deductu ad te hos angulos ex a, in meridianum c b d incidissu in b, vertice loci maioris latitudinis, in e inter b & g. Accidet etiam aliquando ut cadat inter b &c:tunc vero quod in laterae tabulae repetitur natus est latitudine maiori. Quapropter semper minus a maiori auferendu est, ut inuentu secundu telinquatur. At quonia ut cum cadat ipse arcus rectos angulos faciens cucsiue supra b,siue insta sicut se habet sinus tot usad sinu complementi inuenti primi sic sinus corte ruenti inuenti secundi ad sinu copleuieti arcus a b. Quartus vero proportionis terminus ignotus existit: ipsa igitur c5plemeta lateraliter in tabula mittemus,& in area ipsius iuκta numerum laterale complementum eiusdem arcus
a b o. fetidemus .Qus quide ex so. gradibus subtracto, nota relinquetur a b, datorum locotu intercapedo, quando longitudinis dissetentia minor fuerit quadrante. Ita enim authoris praeceptum intelligere opportet. teris aure si vis sinpliciore methodo uti ad illic modii. Apuncto bIatitudio is maioris arc' b h, maximi circuli ad .rectos angulos deducatur in a c. Quapropter in trian illo rectangulo sp rjeoq; b, c, sicut sinus totus ad sinum rectit i acuti angincidisserentiae longitudinis, sis sinus rectus a scus b e, complementi latitudinis maioris ad situm re- . ctu in arcus bii. lnt rasimus igitur tabulatis lateraliter cuin dii serenti Mongitudinis, ct coinplement latitudinis maioris.& in area ipsiu3 tabuIae mireniemus arcum sh, quem inuentum pri , mu appellabimus. Et quonia in eode triangulo. sicut te liabet sinus totus ad sinu c*mplementi inuenti pi iuuisla sinus cortemetiti arcus e niad
tjb c, tertius vero proportionis terminus est ignotus,ct reliqui
Ipsam igitur tabulam aleatim ingrediemur cusecundo Squarto, ct in latere
tabulae tertium reperiem', quo
quidem subtia iacto ex quadrate: arcus igitur e h. not ' relinquetur. Ipsum itaq; c hiausereni' eκ a e, minoris lar itudinis coplemento,& relinquet ur at cus a b, que inuentum secundu appellamus. Deniq; in rectangulo sphaericoq; triangulo a b b, cum cortementis inuenti primi atq; iecudi , lateralitert bula in rediaris, ct inuenies in area ipsusta bulae coplementum arcus ab, quo subtracto ex vo. ipse arcus a b cognitus relinquetur. Ex quibus habes quod si ambo loca, vel Boicalia sunt, et Australia, ct longitudinis disserentia qua
drante minor, datorum locorum intercapedo quadrate mitior erit. Sed ponamus rursum di serentiam longitudinis minore esse quadrante. locu vero qui verticem habet ad a, Boi eale esse,
exi vero qui ad b Australe,& arcus a li, ad rectos ansulos incidat in cb. Igitur tabulam ingredie
liter cu dissetentia logitudinista arcta a
area taliuiae reperietur 'rcusa Ic . quci tantum
124쪽
rlementum intri complemento arcus a e, idest cum latitudine Boreali,areatim in tabula mitistemus . numerus enim qui in latere tabulae occurret. iiii est Κgilatitudini Aulitinae adieci', quae est b g, i nuentum secundum dicetur.Qua re si trianguli tecta nguli a K b, duorum datura
laterum a KS bia, coinplemeta lateraliter in tabula mittatur,numerus anguai communis me quadrante demptus,notam relinquet circumseret iam a b.datotum locorum intercapedinem, dummodo inuentum secundum quadrante minus repetium suetit.Nam si quadras, nec elle est
quadrantem quoq: esse a S,sed si quadrante matu, erit similiterab, quadrante maior. Et idcirco cum ipsum inuentum secundum maius qua .drante fuerit ipsa segmenta b e ct a b prolongabimus donec concurrant in i i subtracto autem inuento secundo ex semicirculo b K i notns telinquetur arcus h i. Igitur cum complementis duorum arcuum a k & k i,lateralitet tabula in-srediemur,& in area reperiemus complementum arcus a i cui adiecto quadrante, arcus a b, notus prodibit. Haec autem idcirco adnotauinius:vt intelligant nemini licere ipsa tabula primi mobilis uti sine problematum demostiationibus. bed pergamus, & longitudinis diiseren- iam maiorem quadrante ponamus,semicirculo tamen minorem, siue ipsa duo loca a ctb. ab aquinoctiali recedant ad eandem mundi partem, aut Borealem, aut Australem siue ad diuersas. Ab altero autem polorum qui sit c. magis recedat a quam b .duos igitur arc' a e & a b, pro Iongabimus donec concurrant in L& a punctob,arcum maXimi circuli deducemus die ad tecto, angulos in e s. In triangulo igitur rectangulo ue e. licui sinus lotus ad ii num arcus acuti anuli b e e,qui quidem arcus relinquitur sublata'. stitudinis disterenti ex semicirculo : sc si-
at, ad sinu arcus b e. Quaproptet tabula lateraliter in grediemur cum eo
ubi iacta disserentia logitudinis ex semicirculon ipso arcu bc: in alea enim eiusdem tabulae arcum ossen
tatur inuentem primum. Deinde vellitem edilementis arcuum b c & b e, ipsam tandem ta--bulam aleat ini ingrediemur, e in latere repetiemus complemetum arcus K ei quo subtracto ex quadrante arcu, e e notus selinquetur,quem ad demus arcui a c, ct coiissabit ur arcus a Minuentum secundum. Iam vetio fi propolita loca ade b,vel ambo sunt Botealia, vel ambo Australia, laetit q: inuenturae secundum aequum quadran i,quadrans quoque erit arcusa b, datoi u Ioc mutii intercapedor sed si quadrante minus, erit fident a b, similiter quadrante minor. ure 4 a. bulam lateialiter ingredi camir um cotti Plen ε tis inuent irrimi atque secudi in area enim cois plementimi quaesitae dictas iae inueniemus , quo eX9o. gradibus iublato distantia ipsa cognita relinquetur. Caetet imi s vel ipsis duobus loci in eadem mundi parte constitutis, inuentum secundum maius quadrante reperium suerit, vel ad diuelsas mundi partes eadem loca deest. riauetinet, hac una via progrediendum erit: in.
uentum ei ina secundum ex semicirculo insere mus, Notusq; telinquetur arcus e T. cum cuius complementon imientiri inii complemento tabulam la et aliter ingredi epiur, Ec inarca ossis endemuscompleinetitum arcus bi. Quod quidem quadrati adiicientu & torus arcus a b,da. torum locorum intercapedo patefici.Ponamus rursus data loca latitudines habete inaequa ire, disterentiam vero longitudinis quadrati aequa in te: qua te angulus a c b, tectus erit. Et propterea tabulam lateraliteringredientur cum ipsis latitudinibus, numerum vela an area rabulae repet eum a quadrate auseremus, dc relinquetur quosita distant ita, si ipsa duo loca in eadem mundi
paue. vel Austiali,vel Boreali sunt constituta. Eundem vero'nadianti adiWiemus, si unus eo Tum suerit Botealis alter vero Austialis Sconsabiturare quaesitae dictant ia .Sint enim duol n loca a ct b, in eadε parte mundi consituta, vel Borea Ii,vel Australia si latitudo unius, b galterius. Igitur tacui sinus totus ad simini complenisti arcus a c , quod Ovidi mesa 1, ses Dus ccirri ementi arcus b c , quod si briatisri
125쪽
plament I arem a b. Quapropter In tabula Iate
mittemus ipsas Iocorurn latitudines, de
ostendemus in area coplementum arcus a b,quo qui dein eomplemento ex quadrante detracto,
nota relinquetur ipsa distatia a b.Sed si unus locus Boreali alter vero Australis: arcus igitur ac & a b prolongabimus, donee concurrant in i . mapropter in rectangulo triangulo bei, sicut suus totus ad sinum complement I arcus b c , sic situs complementi arcus e i, ad sinum comple menti arcus b i. Est autem latitudo b g, complementum arcus b e, dc quia a e i semicirculus est, ct arcus se quadrans lati tu do igitur a s cum c i, iatorum quadrantem restituet. Quapropter tambulam lateraliter inarediemur cuiplis latitudinibus, & in area ossen dein us coplementum arcus bi, quod quadrati
adiiciemus,& cosabitur a b dato
rum loco tum in intercapedo. Quan
latitudines habuerint aequales, &eκ eadem mundi
parte siue Boreati, siue Austali,
. . differentiam vero longitudinis semicirculo minorem, tabulam ipsain primi mobilis lateraliter ingrediemur cucomplemento latitudinis, ct dimidio disserentiae longitudinis. Nam numerus qui in area repertus fuerit, dimidium interualli erit inter eadem loca: quo geminato integram sabebis intercapedinem ipsorum locoru . Esto enim a mb. arcus paralleli inter duo Ioea a ct b. maximi et rculi segmetu inter eade sit a n b. A polo e veniate ii, are' ma Nimi circuli, segmetu an b, ad rectos angulos secas super put o n. Quapropter acut ' angui 'a e n dimidiu est anguli .a e b. di inidiumq: differentiae long tudinis datorum locorum osten dit, arcus vero an dimidium est arcus a lib. In triangulo igitur a n e sicut sinus totus ad sinum an uti ac n, dimidiae disse tentiae longitudinis, si e sinus arcus a c, qui cominplementum est latitudinis, ad sinum arcus a n. Et idcirco laterali ingressu arcum inueniemus
an, cuius duplex es n b. Sed si unci locus est Borealis,alter vero Australis, & latitudines
nihilominus sunt aequales, latera lis ingressus cum complemento latitudinis, S complemento di inidi, disserentiae longitudinis, complementum p bebit dimidii interualli. Duo enim rectangulatriangula a s o&bs o, aequiangula sunt inam anguli ad o contra post i sun ad f veid,&grecti sunt, sed i a o&sbo an guli idcirco sunt aequales, quia duo arcus a Coccb, congesti uni semicirculo sunt aequales. Igitur arcus a o, aequalis est ipsi bo&fo, aqualis ipsi o g. Quare s o, dimidium est dinerentiae longitudinis: at a o dimidium interualli
interiosa loca a ctb.Quoniam vero si
sit' totus ad sinum corsementi as, fies nus complementi fo, ad sinum e5pIementi a itabulam igitue Ialetaliter ingrediemur cum complemento latitudinis, S co plemento dimidij d δε-rentiae longitudinis in area ipsius tabulae
complementum dimidi j interualli inueni eis mus. Quare dimidium ipsius interualli cognitum erit: totumq; igitur interuallum patefiet
126쪽
Ponamus demum locum a latitudinem haberea l. locum vero b lub Aequatore conllii ut uni esse.&o polleat disia litania b, inuenite. Igitur si b f. longitudinis di fieretitia quadratis suerit,
pulictum b polissi erit circulsis si quare distantia a b qu drans erit, ct proinde nota. Sed si ipsa
longitudinis disterentia minor fuerit quadran te .erit similiter ah quadrante mi inor. Qua proptet sicut sinus totus se habet ad filium complementi arcus bs, sic si pus complementi a s quod est a e,ad sinum complementi a b. Et id ei ico latera lis tabui .e ingressus cum complemento disserentiae longitudinis,& complemento latitudinis loci ab complenientum praebebit arcus a b: Ro detracto eκ quadrante. ipsa distantia a s .coenita relinquetur. Sed esto disserent i a longitudinis quadrante maior, minor tamen semicirculo. Igitur auferemus ex ea quadrantem b l.&per c&I.maximuin circulum descriptum esse
intelligemus, qui quidem arcum a b, secet in p: quapropter quadrans erit arcus b in quia anguli ad p recti sunt in triangulo igitur ape, sciit sinus totus adsitum arcus anguli ac p. sic
sinus arcus a e ad sinum arcus a pra i arcus anguli a c pe a s l. quo quidem disterent i a longituo inis datorum locorum quadratem superat b l,
arcus vero a e,complementum est latitudinis loci a: iple autem a p, excessus quaestae distantiae
rupra quadratem. Et idcirco latera lis tabulae tri-grestus cum complemeto latitudinis ct ipso excessu disseretiae longitudinis sipra quadrante, arcum indicabit a p, quem quadrati adi jciem', ct tota distatia a b nota prodibit. Sed neq; ma tori negotio loco u init rualla inueniri poteriit ad imitatione eoru qua in libro de Crepusculis demostrauimus, propositione 6.Na quando vel
ambo loca Borealia sum, vel anilo Acstralia,si: cui se habet quadratu sinus totius ad rect gula
cotentu sub sinibus rectis c5plementoru latitudinis datorii locoru, sic situs versus disse textae logitudinis eoru de locoria ad quanda recta linea, qua non ab re argumentu intercapedinis appellabimus.Na si ea a qualis reperta fuerit sinu irecto coplementi disteretiae latitudinis eoru dem locorum, intercapedo quaesta quadras erit. At verὼ si inaequalis et it nimirui psalli rectatu differet ia snus rectus cuiusda arcus, qui subtrahe-dus erit ex quadrate si ipsa inueta recta linea qua argumentu appellamus minor fuerit ut dato ru locoru intercapedo cognita relinquatur. Ad ij ciendus aute quando ea de recta linea maior in ueta luerit Seorunde loco tu intercapedo nota prodibit. Quado velo unus locus Borealis fuerit,alter vero Australis agemus cum v no i co &anii pode altei ius, dicit eo quod relinquitur detracta disserentia logitudinis dat tu locorsi ex gradibus iso. inuent a autem intercapedine ex semicirculo auferemus,& dato tu locoruintercapedo cognita relinquetur. Esto enim citculus a b c dicit ca centiu e descriptus, meridianus primi loci, vertice habetis ad b, polus m udi inanis stus sit a recta e s sectio aequinoctiali ,recta gli sectio hori rotis ipsi primi loci. Per vertice velo secudi loci duo circuli descripti intelligant ur unus circa potu mundi, cuius quidem
sectio ca mei idiano si h i alter vero circa b, cuius cinieridiani a b c d comunis sectio si I m,recta i L secas in puncto n. A puncto aute i , t ermino rectae i Η, per γε dicularis deducatur i o, superrecta gli,quae tectam i m secet in p.Qu' propter iuxta ea quae in praedicto libro de moestauim':
qui coceptoru circulo tu comunis sectio recta
127쪽
di loci descripti super polo a: recta igitur I n, M
nus versus erit disserentiae longitudinis datorutocorum, in ipso eodem circulo cuius diameter est Κ i. In triangulo auteni rectangulo p i n, acutus angulus i n p, aequalis est angulo s e ricomplementi altitudinis poli primi loci et arcus autec I , efflatitudiiii secundi soci . Qualeb i, disserentia erit duarum latitudinum e b reci: arcus igitur g i , complementum est disterentiae latitudinis dato tum Iocorum , cuius tanus rectus erit o i. Quod si recta linea I m, meridianum secat inter b, ct rectam g h ut in hac prima figura, recta idcirco i p, angulum subte-dens i np, quam quidem intercapedinis argu- metum appellamus,minor reperta erit ipsa i o, disserentia erit recta o p, aequalis sit ut recto arcus gi, quadrantis vero complementum bt,aeruum erit intercapedini datorum locorur quanoquidem punctum b, polus est circuli venientis per verticem secundi loci. Q sue quidem intercapedo ad hune modum patefiet. Nam sicut sinus totus ad sinum rectum complementi latitudinis secundi loci, sic sinus versus disseretiae longitudinis eorundem locorum in aequinoctiali circulo,ad in sinum versum differentiae longitudinis in parallelo secundi loci. Etenim sinus rectus complementi latitudinis secudi laci, paralleli eiusdem semidiameter est. Arccus vero circulorum aequidi statium inter duos meridianos comprehensi, non solum sunt proportionales : sed & sinus rectos & versos proportionales habent eorundem aequidistantium semidiametris. Praeterea in triangulo rectangulon i psicut sinus totus ad sinum tectum anguli inp,complementiue latitudinis primi loci, sierecta i n ad rectant i p. Istitur sinus totus bis est
antecedens.Et idcirco sicut quadratu sinus totius ad rectangulum contentum sub sinibus re-Viis complementotum latitudinis datorum lo- eorum, sic sinus versus dii serentiae longitudinis eorundem ita aequinoctiali, ad rectam ipthaea enim ratio quam sinus versus disserentiae longitudinis datorum locorum ad ipsam habet i p, ex duabus constat rationibus. Quarum una ea est, quam ipse sinus versus habet ad i n, altera vero quam eadem i ii habet ad i p. Quatuor a tem magnitudinum proportionalium quando
tres dantur cognitae, quarta ignorari no potest, cognita autem eXistit prima magnitudo, quadratum nempe situs totius cognita etiam secuda rectangulum colent um sub silibus rectis eo pleruentorum latitudinis,crauita quom tertia,
pari bi delicet versus disserentiae longitudinli J
Igitur multiplicabimus secundam in tertiam. productum vero diuidemus per primam, quπquidem partitio sola abiectione decem ultimarum figuratum seii poterit, si sinum totum eettum mille aequas partes habere subi jetas ct nota prodibit in quotiente quarta magnitudo, remm videlicet ip, intercapedinis argumentum. Et quoniam g i, complementum disseientiae Iaiatitudinis nota relinquitur, detracta eta quadrate latitudinis dissetentia igitur i o, satis rectus
eiusdem complemeti, cognita erit per tabulam sinus recti.Quapropter rectam i p,cognitam cu gnita i o,conseremus.Quod si ip, minor reperta fuerit ipse i invi in descripta figura:earundem igitur differentia o p, cognita veniet. Qua rectarcusgi, per tabulam sinus redii cognitus erit. Quem auferemus eκ quadrante b g, ct arcus denique b I, aequalis intercapedini datorulocorum cognitus relinquetur.A t si ipse i p, maior reperta suerit quam i o, hoc ideo erit: quonia tecta I m, meridianum secat inter recta g h, ct punctum oppositum ipsi b, ut in secunda figura . Quare archm g l ad ijciemus quadranti bg.&arcus b i,aequalis datorum locorum intercapedini notus prodibit. Quod si eadem recta linea I p,aequalis inuenta suerIt rectae t oi circesa igitur ductum per verticem secundi loci, cuius polus est b meridianum secare super recta g h,
fateri necelli est. Quapropter quartus memoratae proportionis termin' qui intercapedinis datorum locorum argui uentum existit, sinus reci'
erit arcusg tria idcirco quadrans b g eorundem locorum intercapedini aequalis et it. Sed ut praesens problema omni eκ parte absorum mus,punctuin a in subiecta fisura BoreaIem volum ponemus esse,b vero Australem. Primus locus verticum habeat ad c, in meridiano a e b,
128쪽
duo semicirculi a e b & eb e aequales sunt rad lataicem : detra clo igitur communi segmento c b, duo reliqua segmenta a e & b e, aequalia relinquentur. Igitur ij qui sunt sub e, antipodes sunt corus, qui sunt sub e, aequalem habentes latitudinem, sed Australem.Quare duorum locorum Australium d & e intercapedinem d e inueniemus,quemadmodum docuimus, eamque auoremus ex senii circulo e d e,& intercapedo cdatorum locorum e & d,cognita relinquetur. Porto si huiusmodi locorum distantias instrimento libeat inuenire,ipsa demonstiationis figura una cum regula atq; circino, tibi seruiet pro instrumento. Circuli enim circumferentia in gradus ut solet)diuisa supputetur ab cin a, numerus graduum disierentiae longitudinis datorum locorum,sitq: huiusmodi arcus exempli gratia c qi& ab e in q,rectam lineam occultam ducemus eq, e X qua sumemus e r, aequalem is semidiametro paralleli secundi loci i& ipsi r, puncto regulam coaptabimus,quae super eodem paeto tamdiu circumseratur, donec diametro ad aequi distet . Tunc autem aequi distabit, cum ae uales arcus utrinqi ex duobus quadratibus re-ecauerit, ciusq; intersectionem cum i I notabimus quae sit in n. Quare recta linea i n, sinus versus erit disteremiae longitudinis datorum locorum, in parallelo secundi loci.Coaptabimus Silur regulam Ipun, quam eo vique circum
ducemus, donec diametro g h, aequi dis et in stul mi& detractost, eX quadrante, datorum locorum intercapedo nota relinquetur. Quod autem recta linea i ii .sinus versus si disterentiae longitudinis in parallelo secundi loci non erit disticile intelligere. Regula enim per r ct n veniens, axi a d, parallela rectam e c secet in t , de
Cetro e, interuaulo vero e r,circulus describatur, semidiametrum e c secans in v. Et quoniam angulus t t u,rectus est recta igitur t u sinus vel suserit arcus t v. At vero duae rectae eu&si, a quales sunt Ii itur detractis ab eis t e ct s n.quae sunt quales, duae rectae t u & n i, a quales relinqueniar per communem sententiam. Quapropter redia i ii, si us versus est disterentiae longitudinis in parallelo secundi loci. ado vero sinus versus maior fuerit semidiametro, multo sacilius. inueniri poterit,ut iam nosti. Praeterea iuxta demonstrationem Ioanni, Vettieri datorum locorum intercapedo in uno plano inueniri poterit, si rectilineum quadrilaterum datorum Iarearum construxeris,cuius duo latera opposita atque aequalia sint tectae subtendentes arcus me ridianorum inter duos parallelos, duo vero reliqua quae in icem aequid inant, duae rectae sitit subtendentes arcus parallelorum inter ipsos ni eridianos. Recta enim linea inter oppontos angulos arcum quaesitae intercapedinis subtedet Item in lamina tabulaue Astrolabij generali eadem intercapedo inueniri poterit, qua arte ex gnita dictantia metidiano auii declinarioia
129쪽
- - - lirq tropicum CapricornitEdere propter loca Australiora. I plius vero generali tabulae fabricam atq; usum conscripsit olim, impressioni q: dedit Ioanes Ualatius bal manticensis Astronoinus. Nos autem postea ut ea citra ambiguitatem uteremur,sabricae & v-su rationem demonstratione inuestigamus. Deinde vero oost aliquot annos eandem tabuia Iam exaratam reperimus in Arabicis Astrolabiis multis ante seculis constructis, quae clarissimus princeps Ludovicus Potiugaliae infans eκ manubiis attulit Tunetis urbis. Omnium vero facillimus modus erit,si in globo duo data loea secundum artis praecepta collocaueris, ipsoru deinde distantia in inter circini pedes comprehenderis : mox enim eo translato ad meridianum, vel aequinoctialem, quot gradus maximi eliculi quaelitum interuallum habeat,deprehe-
g De hs quae praemitti debent ad lucen
dum ei lineas in globo, qua nautae rumbos mellant.
, dimus eam lineam, quam nar uis suo cursu citra meridia i num aut aequi inoctialem des hcribit, circula tem non esse,
maximorum circulorum segmentis constare. Quanquam aduertimus non
sirici ratione dici posse inflexam quandam lineam esse alterius formae instat helicae duabus consectam motionibus. Na uis enim lationem dum citra meridianum aut aequinoctialem cutsum tenet, ex duabus lationibus, a duobusue motoribus prouenire. fortasse quispiam suspicabitur. Vna latio est, qua nauis ipsa in illius maκimi circuli plano secundum longitudinem positae, qui in optatam horizontis partem spectat, vel flatu, vel remis impellentibus . in Iongum fertur. Altera ueto in latus sit, siue obliquum , qua gubernator clauum tenens, nautica acu docente, nauem ipsam interim detorquet, atque eo desectit, quo prora spectabat, cum illiusmodi cursus insilueretur. Idest quoniam mutato loco in nouos incidit meridianos, ct subinde in nouos horizontes: ea idcirco arte in consiliites horiaontum partes cursum dirigit. Quare si res ita se habeat, descripta linea quam ruitibum dicimus, neque
circularis erit. nec eκ circularibus conflata . Nobis tamen aliter videtur. Nauem enim animaduertimus aliquandiu in longum secti ,antea quam in latus deflectat: & idcirco eiusmodi lineam ex exiguis segmentis maxynorum circulorum constitutaui esse, arbitramur.Nam cui nauis perpetuo in latus deserti cogetur, si quanquam in maximo cuculo quo flatus spirat, breui tamen curriculo versetur, alio proram spectare gubernator mi pime sentit Verunta inen Geonicitiae pςxitus cena atque indubitata ratione deprehendit , quantulacunque facta mutatione , impares effici angulos cum nouis, quos subit, meridianis r& pioinde nauis proram alio tendere , sed latet sensui et ror ille. Cuius quidem causam at que rationem ut Plane perspiciamus, imprimis intelligamus oportet, quod proposito sphaericoti iangulo a b c , ex segmentis maximorum circulorum constituto, in quo quidem angulore rectus existat, angulus verδ a acutus, satus autem a b recto angulo sub ensum quadrante non maius. Proposito etiam acuto angulod, maiore ipso a non erit dissicile a punctob, in subiectum latus a c , segmentum maximi
circuli deducere , quod ad aliquod puntium
inter a & c, cum eodem a C, angulum aequalem efficiat pioposito angulo d. Ad punctu ui
enim a terminum Iateris a c , acutuin angu- Ium constituemus c a e , aequalem angulo dper primam propositionem p imi libri Menelai, & producto lateie b c, occurrat segmen isto a e, in puncto e. Praeterea tribus Propo, sitis rectis lineis, quarum prima sit sinus rectus segmenti e e , secunda sinus rectus a e , terti sinus tectus be, quarta inueniatur proportio
natis in plano circuli e b e, per tr. sexti libri Euclidis . quae quidem sit sg. Hanc autem
ostendet nus maiorem esse sinu recto segmei iti b c. minorem veto sinu toto. Natu quoniam angulus b a e acutus proponitur, S latus a b. quadrante non maius: igitur latus b c. qua drante minus erit: latus vero a C quadrante nou maim , Per undςcimam propositionem
130쪽
ipsus b i esto b Κ ssinus igitur re. Eius ipsius b Damalis erit rectas g, per desinitionem snui recti,
α communem sententiam i cirroinde segmentum b Κ maius erit latin iobe: circulum i tur describemus superpolob ipso interuallo b K. quem nec elle etsi secare mariimum circulum ac i, duobus in locis.Sit igitur vn sectio ante e in puncto m. Dico quod alia sectio erit inter c &a.
tionem habet sinus rectus anguli acuti cae, ad sinum to tu, quam situs tectus acuti anguli b ae, ad eundem sinum totum. Atqui tacui sinus rectus anguli e a e,ad s.
num totum, se sinus segmenti ee ad sinum segmenti a e, disicut sinu anguli b ac, ad sinum tot ii, se sinus segmenti b c ad linum ab per 33. propositionem primi libri Gebri. Igitur maiorem ratiolim habet sinus ce, ad situm a e, suam sinus c b. ad sinum a b. At scut sinus e e ad sinum a e. sic finu, c b ad sinum b hiigitur maiorem habebit rationem sinus c b ad sinum b Κ,quam sinus eiusdec b ad sinum a b: & idcirco in inor est Gnu, segmenti b K, si uv sument i a b. st quonias egmentum b Ie ostensum fuit quadrate minus, segmentum vero a b, positum suit sua diate nomaius: igitur minus erit b Κ ipso a b. Et pioinde circulus descriptus per ic, secare non potest maximum circulum ac in a. Si enim in a secaret, duo segmenta a b& b k.aequaliae stetit inter se, sed maius est ab ipso bli. Nec secare potest in alio pulicto ultra a vi in n. Nam quoniabe,minus est quadrante: in triangulo igitur nbc angulus cn bacutus erit: at obtusus est an-
fulus ba n. igitur in triangulo a b n, maius erit tu, b ii latere a b per .primi Menelai: & proinde multo maius segmetob Κ. Quapropter secare non potest descriptus circulus maximum circulum a e in ultra a nec in ipso a. Secet igitur in o. inter c dea. Igitur maximum circula
describemus per ipsa b ct o puncta qui ad Oan. gulum es sciat boc.Dico ipsunt boe acutum esse. qualemq; proposito angulo d. Nam sicut suus rectus c e, ad sinum rectum a M sc sinus rectus GebH.Pursus In triangulo a e e quo M am angulus e a e acutus est: lubtensum igitur latus minus erit quadrante, per ipsam Vndecimam propositionem.Latus porro a c, ostesum est quadrate non maius: igitur latus a m non maius erit quadrante, pe eandem ii. primi libri Gebri. Minus est autem e e ipso a e, per septi Inam propoctionem primi libri Menelai, quia minori angulo subtenditur: igitur sinus rectus segmenti e e.minor elit sinu tecto segmenti a e. At sicut sinus rectus c e .ad sinum rectum a e, sic posuimus sinum rectum bc. ad rectam lineam sn igitur minor est sinus tectus b c,ipsa recta sq. bed quod eadem s g. minor sit sinu toto, sicile erit demostrare. Quoniam enim sicut sinus rectus segmenti c e. ad sinum rectum a risic se habet sinus tectus b e ad rectam fgligitur sicut sinus C e, ad sinum b c se sinus a ad rectam i g,
- γος permutatam proportionem. Maio est autena sinus e e sinu b in igitur maior erit sinus rectus segmenti a e ipsa recta s g. binus velo rect segmenti a ri sinum totum non eXcedit et igiturniinor erit recta fg sinu toto. Rectam ira q: sumemus f h, duplam ipsus f g, cui aequale coap-t.bimus circulo ebe, in quo quidem circumst