장음표시 사용
251쪽
ducatur casdonec concurrat cum
Ii adb δε d. recti sunt, & qui ad verticem sunt
aequales,aequi agula igitur sunt triangula ab e, a d e,per. 3 r . proposit ione primi elenientorunt. id ei leo similia sunt & latera habet proportionalia per quarta sexti Stit igitur de,sex peda, ct a e,dece,Secetur aut ea linea a d. pars a s, duo tu pedit.&conectatur c f,e s. Duoru itaq: tria-gulo tu a b c , a se,reciproca sunt latera quae circa aequales angulos b a e,e a L Na sicut a b. 4. ad a cet. ita a e, io. ad a c. s. Idcirco aequalia sui ipsa a b en a se, triangula per . is . pro olitione
sexti,sed latera proportionalia no habct, neq; a quia gula sunt. Etenini angulus e se maior est interiore e d sper i 6. propositione primi elemento tura maior igitur angulo c ba,reliquus vero a e s minor est angulo aed β minor igitur an alo a cb.per comunem sententiam.Nosunt igitur aequi angula, triangula ab c, S a se, neq- latera habet proportionalia. Si enim latera habet proportionalia,aequi angula sunt per quinta sexti atqui aequiangula tib sunt, idcirco neq; latera habent proportionalia Conectantur aute e bra e s bina igitur costituta et ut
triangula a b e,& a e s. similia. Equide scut a b ad a dita a e . ad a e δε permutatim sicut a b adae,ita asiadae. Quapropter proportionaliant a b m a e .latera ipsis a sin a e,anguli autemb a e,& c a Lipsis proportionalib' laterib ' co-
leti sat aequales per . is . primi elem et Orit,aequiangula sunt igitur tria gula a b eri a e sper sexta sexti in latera habet Iroportionalia quae circu aequales a ligulos .dc similis sunt rationis quae aequalibus angulis latera subtedutur. Ita demubina latera a b,a e,tria li a b e. proportionalia oste se sui binis lateris' a La e tria guli a c s, noreciproce proportionalia: sed duo latera a caetrianguli a se, reciproce proportionalia sunt
duob' a Kb c,trianguli a b cin' tamen simpliciter dic ut proportionalia. Latera enim si-guraru proportionalia dictatur apud Euclide qua do ea de est ratio inter latera unius figurae, quae inter latera alterius: & ob id si permutetur proportio μmbo termini antecedetes sunt in una eatu,&ambo termini cosequetes in altera. Vt in duobus tria gulis a b e. Sc a c f, duo latera a b,& a e, ipsis a L&a c, proportionalia di
cuturiquo nia in triangulo a b e, sicut a b, ad a eita af,ada c, in triangulo a cs. Et propterea si
permutemus, bo antecedetes e ut in v no tria-gulo,& ambo cosequetes in altero: scut enim
tecedetes, sed a sin a e, cosequetes. Reciproce vero proportionalia latera figuratu dicuntur, quando in utraq; figura alterii latus est antecedes malletu conseques. reciproce reseruiue unius figurae antecedes ad altei ius figurae consequens. Vbi igitur duo latera duobus i. teribus aequalia suerint,non solum dicentur proportionalia sed etiam reciproce proportionalia: sed si fuerint in eqtialia, fieri nullo modo poterit vis mulsint proportionalia & reciproca proportionalia,ut pauid ante demostrauimus. Sed cu hallucinetur Orontius omnia liaec c5sundi in salsa theoremata pro veris, dubia pro certis enuciat. id genus est illud eius pio nuciatu sine ulla probatione positum. Et quoniam bases a ni in ii r, in aequalibus triangulis aequales subtendunt angulos, similis igitur coguiue est e rationis. Itaque sentite videtur, quod si in duobus aequalibus triangulis unus angulus uni angulo aequalis fuerit ,ea latera quae ipsos aequales angulos subtendunt, reliqua latera in eadem erunt ratione. Aliter enim intellisi non potest quomodo bases duorum triangulorum simili rationis dicantur, nisi sit te in duo reliquorum laterum in eadem sint ratione ipsa tabasu. Sed si ita velit esse in uniuer Iu plane decipitur.Tuc enim bases proportionales erut aliis eoru de trianguloi u laterib',cu aequales inuicesuerint,quin imo Sc reliqua latera reliquis lateri', 'squalia et ut . sed si iii et quales supponat ut bases, ii ecesse no est latera laterit,' ἔ ea sero ne esse. Sint enim duo triangula a b c. & d e scaequalia, quorum duo anguli bac. &ed s. aquales supponantur m bases etiam bcra es, aequales angulos subtendentes, dentur aequales. Dico duo reliqua tu era trianguli a b c. duobus reliquis lateribus triaguli d e s aequaba effe,& proinde latera unius trianguli latet ibus alterius in eadem basium ratione nempe aenualitatis esse.
252쪽
Circa uiangulum enim ab c. ei reuius describatur per quintam propositionem quarti elementorum Euclidis, Sex tribus rectis lineis quae sint latetibus trianguli d e s, aequales, super linea b c quae viii earum est aequalis triangulum construatur ad partes b a c,per. . pro Di i libri. Se cesse est igi
tum triangulum in eodecticulo dein scriptu esse . Nam si non, cum duo et '
ta, aut reliquus igitur angulus non attingit ipsus circuli circunseretiam, aut praetergredietur eandem. Si non alis
tingit, si igitur huiusnodi triangulum b se, duo itaque anguli e d s, & e s b, aequales erunt per octauam primi. Atqui angulus b a e,ipsi angulo e d faequali, est eκ h ypothesi: igitur duo anguli b a e, ct c s b, sibi inuicem sunt aequales
Per comunem sententiam. Producatur recta
b s,donec attingat descripti circuli circunseretia in puncto g. & conectatur c g, duo igitur anguli b a c,& bge, qui in eodem segmento sunt l, a s c, sibi inuicem sunt aequales, per. eti. propositione tertii libri. Id propterea aequalis sunt duo anguli e s b, ct b g e, per comune sentetiam .sed angulus c λ, cum sit exterior, maior est interiore atq; opposito bgc, triangulie fg. igitur impossibile. Iam vero si dicatur ex tribus rectis lineis quae lateribus triaguli d e L sunt aequales constructu triangulu pertransire circuli circunferentia,sit i itur huiusinodi thi- angulu b K. c,secetq; latus b K,ipsa circuli circuietentia in g,idcirco conexa g c. ostedemus eode modo angulu b a c aequale esse angulo k, ct eide angulo Pangulucgb, aequale esse per comune sentetiain quonia ipse angulus e g b, exterior est,& K., oppositus atq; interior in triangulo geli, erit iccirco maior atque aequalii quod ei simpossibile. Quapropter necesse est constructu trianguluin eode descripto circulo inscriptu esse. Sit itaq; cd structu triangulu ipsi circulo inscriptub ge, dc conectatur a g igitur
octaua & quarta primi elemetorv. At vero tria angulu abc, ei de trianelo des, aequii est eshrpothes, iccirco aequalia sunt duo triangula a b e.& bge per comune sententia. Et quoniain ea de sunt bas b e, propterea Iarallelae latita g.& b e,recti lineς per.3s. eiusde primi libri. Angulus igitur a gb, coasterno gbe, per. 29. propositione eius de primi clemetoru est aequa sis. Atqui ide angulus a g b,aequalis est angulo
ac b,per.23.propositione tertii, cosstut enim in eade circuserentia age b,duo iccirco anguisti g b c.& ac b,aequales iunt per comune sentetiam duae igitur circuserentiae a b ct g c,aequales sui per.29.terti j in recta a b, rectaes c, aequalis est per,r . Addita igitur circularentia a nduabus aequalibus circuserent ijs a b,S s e,duae idcirco circusseretiae b a g,& a g e,aequales eruter comune sententia: S propterea recte lineaeg,& a ciaequales erunt per ipsa. z9. terti j ele
metorv.Itaq; aequilateru est trianῖuiu a b Qtriangulo bgc,est etia triansulude L aequilatetuet de itiangulo b g e aequirat eru est igitur trian
gulu abe,triangulo des: & propterea latera unius lateribus alteri ut in rone aequalitatis proportionalia sunt queamodu ct bases, quod primo demostrandu erat.Sed hoc in uniuersu accidere quibuscuq; tria gulis aequalibus vitiiq: angulii uni angulo aequale habet ibus, neces lenon est.Na in ante scripta figuratione duo triangula a b e, & a se aequalia sunt, bases tamenb e & e caequales subtedctes angulos qui ad a, in eade ratione latet u non sunt. Est enim sicut d e ad b e,ita d a.ad a b,ob similitudine triaguia lotu a d e,ct a b c . Atqui d ased a b, maiore ra- . tione habet
de ad bc,matote habet ratione qua a G
propositione eiuste quinti libri. Praete
sit e Lipsa de, maiore idcirco ratione habebite L ad b e, quam d e,ad eandem b e , per octauam quinti. Habuit autem d e, ad b e, malo rem rationem quam a Ladab, igit
253쪽
II maiorem rationem habebit e L ad b e, quam
a s. ad ab. per artem demonstrandi duodeci- . niam. Et propterea ipse basese C dcbe,aequa riunt trian 'ulorum a se, & a b c, in eadem ratione non sunt ipsorum laterum a s, de a b. Similiter demonii rabitur easdeni bases atque duo latera e a, S a c, in eadem ratione non esse. Maiorem enim rationem habet e L ad b c, quam is e, ad b Q. est autem sicut d e, ad b c, sic ea, ada c, ob similitudinem trianguloru ad e, a b c : igitur e s. ad b e, maiorem habebit rati nem quam ea, ada e quod demonstrandum erat. Et multo sacilius eadem demonstrati possunt demonstratione ducente ad incomo
dum. Nam si est vi e C ad b e, ita a C ad a b, igitur perimitatim sicut e cadas, sic bc, ad a b. Atqui uterque duorum angulorum a e s. &b c a, minor est recto, & aequales sunt anguli qui ad a.igitur aequiangula sunt ipsa triangula a b c, S a i e, per septimam sexti: sed demostratum est aequi angula noti esse, idcirco impossibile. Item si sit sicut b e, ad e si ita a e, ada e. igitur permutatim scutb c, ad a e, sic e cad a quoniam uterque duorum angulo ium c ba,&esa, recto minor non est,. aequiangula idcirco erunt per eandem septimam sext i ipsa triangula a b c, di a se, quod est absurdum. Lt propterea aequalium ti iangulorum bases. non coni inuo si angulos subtendat aequales, simili erunt rationis. Sed Oiontius putauit quod similis cogerentur esse rationis, ct idcirco concludit per. s. sexti titan illa a Ona,&nor, aequiangula esse& aequales habere angulos.sub quibus eiusdem rationis latera subtenduntur,nempe angulum amo, ipsi orn. aequalem esse,atque reliquum inao, reliquo on r. Ex his itaque concludere pos&inus Oronti, syllogismum non demonstratione in . sed meram cile hallucinationem.& pioia Inde circa inuentionem duarum mediarum proportionalium, ob ignorantiam elementorum geometricorum sexti libri Euclidis errasiast, velut ostendendum susceperanius.
M Orontium rituum errasse circa in econem Larum me Iarum propc tionabu, ob imperitiam artis δε-
monstria . CAP. IIII. Reprehensio secunda
AD ob id acrius etIam obiurgandus est Orotius,quod si iam ex Aristotelis libris demonstrandi alienon didicerat, nil illominus ex usu quotidiano cum demonstrationes ex librorum Euclidis a Theone & Campano mutuaretur,eandem artem consequi poterat.In his enim nulla principia sumuntur, quae non destinentur in conclusionem, nihil construitur quod non deseruiat demonstrationi. At Orontius mulio aliis ter. Inue s ligaturus enim inter datas duas lineisas binas medias proportionales, diuisi prinibexcessum maioris supra minorem per eXtre mam ac mediam rationem, maius deinde segmentum minori duarum propostarum adiecit, ct compolitam lineam secundam proportionale constituit, cii huiusn.odi tamen diuisonis in tota sua demon ratione, nulla praeterea mentione facturus esset. Quid igitur opus erat illa diuisione si eam non amplius in probatione comemoraturus erat Aut quomodo
. ex ea medias proportionales elicit, s non propterea quod excessiis ille ita diuisus tuerit aut istsa demo strationis coclusio,aut intermedia aliqua proposito ad eam inserendam colligatur' Quapropter si non probatur coclusio per .a de uitione,neq; refertur in eam, neq; ite cum ea ullum habet responsum, nihil minus praestiterit ad medias proportionales iri uenie das, disse retiam maioris atq minoris in quaslibet rartes siue aequales siue inaequales secare, qua per extrema ac media ratione. Adhuc enim licita seret per nota diuisonis atq; quadrantis sne, recta quanda lineam ducete,ct huic alia aequi- distante per ininotis lineae extremu,S reliqua costruere velut Orontius secit .Ft proinde nihil magis infringeretur demostratio, aut infr-maretur qua si modo illo suo coficeretur: quin lino ide relinqueretur modus, eadeq: method's modo methodus appellada sit salsa illa .sed palu sallax arsumetatio. Innumera igitur atq; diuersa inaequaliaq; bina media proportionalia. inter datas duas lineas collocarentur, quod est absurdum. Et proterea manifesto liquet
argumento,errasse Orontium circa inuentio nem mediarum proportionalium, ob ignorantiam attis demonstrandi, quod ostendendum suscaeperamus. Absurdi explicatio facilis est.Inter duas lineas rectas b L ct b e, dixta Otontii traditionem binae mediae proportio nates sunt b Κ, & b n. Sed dividamus nos di iasilentiam cs, non reς extremam ac mediam
254쪽
'rationem, sed in partes aequalescΣ.& a s, de construat ut deinde figura ad eius imitatione: ducatur enim testa linea per punctum Z. ct quadrant is finem ubi est e, atque ei aequi disia tans agitur per c. recta quaeda in linea quae se. midiametrum be, necessario secabit. & aequa Alis abcisae ponatur b i. ct reliqua deinceps cossirruantur: atque valeat Orontii ratiocinatio ad
ostendendum b Κ,& b ii, medias esse propor- tionales inter b L , bc. Igitur valebit ut de- l . monstremus bEi &bi. medias quoque propori ' tionales inter easdem liaberi, nihil enim im . mutamus quod demonstrationem variare possit. Nam siue diuidatur dili erent ia se . per ex-ῆ tremam ac mediam rationem in puncto k. siue η in partes duas a quales in E. Olledetur nihilo. minus quadrilaterum circulo inscriptum pa- Rrallelogramum ac rectangulum esse. Deinde vero eX smilibus triangulis. eadem prorsus ar te qua usus est Orontius duae rectae lineae L M&bi mediae proportionales dei nonstrabuntur inter ipsas b s. dc b c. Hoc autem absurdum esse in hunc modum ostendemus. Habet enim b Lad b 2,maiorem rationem quam eadem b Ladb Κ. per octauam quinti elementorum Eu
bc. Igitur maiore rationem habet bi ad be, quam b ii, ad bc per dundecimam propositonem quinti eorundem elemetorum. Et propterea maloi et it b i, ipsa b n. per decimam propositionem eiusde quinti, pars suo toto quod est impossibile.
M Euid mi ae n claria ratione conclidi, eas u is rectas lineas, quas Orontius Fanaeus m I asproportionales con hiuit, verus non si alteram Verare iustam magnitu ine alteram non imihi A
IT ab , vel ei aequalis be: latus quadrati circa obla- , tum circulum descripti b e,' Matiis quid tali in eodem circulo descripti. Et diuidat ut e s. iratum duarum linearu dii terentia . per extremamae mediam ratio nem . si maiuς segmentum
e K. Assit mat Orontius si ponamus f s, prima uia linea. At vero est ' Σο
lorea s est si adi 'ri maior idcirco est s- radice numeri 32. Coaceruetur hi numeri
maior igitur quam b K.Quapropter b adb li
denominatione: igitur sicut ii 'ξ ,ad 32 ita et osos ad risi . fit proindebs adb lamatore habet ratione qua di9o6 s: addis3x. a. Horii numeroru cubi sui. 2 6s is 6oi 63i9sirs c 7:oz: ; o0649 334. quorum ratio maior est ratione i , ad Q. Atqui ir, ad adi maiorem ira bellarione dimidio lationis duplae, cum sint eorum quadrata r99. S i . iniori ratione quani dupla. cubi igitur ad cubii ratio multo maior est dimidio rationis duplae: &proinde cub' adcubia maiore habet rationem qua b Lad b c. Habet auic cub' ad cubu tripla ratione quatit lat ' ad latus: habet etia linea b c ad lineam b c impunitatibne qua ni eaden, b c nil secundam proportionalem r cuborum igitur latera in maiori sum ratione quam ra
quatuor linearum continue proportiona liti, JS be, quartam,tineam bΚ,secundam esse proportionalem. primam ve duarum mediatum. ς Nos tamen euideli ratione .per rationales qua et itates ostendemus, ipsam b k,minorem elle secuda lineari oportionali. Linea enim ab. latus quadrati circa oblatum circulum descripti, diametro eiusde circuli aequalis est: Sc proinde diametro inscripti quadrati aequalis: igitur scut diameter inscripti quadrati ad latus eiusdeni quadrati,sc a b, aut i, si adbet est autem ea ratio dimidium rationis duplae . Ponamus igitur e L disteretitiam diametri S lateris eius de quadrati esse erit idcirco b i.8. p
s P minor est radice numeri ar. cum sit ge I im itidcirco u minor ipsa b s, pri- ii
255쪽
b fit secunda pre pontonalis. Atqui demonstratum est b Ladb Κ, maiorem habere rati nem quam latus cubi maioris ad latus cubi minoris. & maiorem igitur rationem habebit b Lad b Κ, quam eadem b c ad secundam proportionalem. Quapropter maior erit secunda proportionalis ipsa b h. Item quoniam quatuor magnitudinum proportionalium sicut ptima ad secundam sic tertia ad quatiam idcirco per rei mutatam Proportione sicut rrima ad te e s , elus dimidium, Eoium quadrata i6. &. . Tiit igitua e li, 3, 2o ni a.
in iri z. Uuae eminaliae multiplicationes trans
versae se se inte i munt. astitur diuisor est et.
162 μ ιao,dividea'. Igitur 3 PNar, quant tretiam Ita seeunda ad quartam: estorem ber quarta linea proportionalis: S b e, aequalis eati mae: igitur sicut secunda linea proportionas ad be, quartam: itabe, ad tertiam. Atqui maior ostesa est secunda proportionalis quam b Κ, propterea maiorem habebit rationem secunda proportionalis ad bc, quartam quam b E ad eandem be:& maiorem iritur ratione habebit be, ad tertiam, quam bli, ad bc. At vero sicut b Κ, ad b e, sic b e, adb n, ob similitudinem triagulorum k b e.& b c n: ergo maiorem rationem habebit b e, ad tertiam,quam eadem b e. ad b n: quapropter minor erit tertia linea proportionalis ipsa υ n. Itaque sicut i, k, non implet iustam magnitudinem secundet .sic b n,superat tertiam, quod demonstrandum suscepimus. Subiicitur autem modus quo usi sumus ad ostende dubLadb K. & Sphe 32. ad ap et , p de 3et, in eadem esse ratione. Reliqua vero facilia sunt atque in promptu iis qui in elementis versati sunt. Sit l, diameter quadrati.&b e,latus eiusaut excelsus autem cc diuidatur in puncto k, per
extremam ac mediam ratione: sitque c K ma
i Ponatur enim primo es, . qqualium par. tium, igitur eius dimidium et. Duo igitur quadrata,videlicet totius e L & eius dimidii collecta, erunt sto. Idcirco c Κ, maius segmentum erit freto in et .Quapropter i K, urinus DP mentum relinquitur 6
I Sed ponatur tota b L et . erit igitur b c latus
eiusdem quadrati 't. cum sit medium proportionale inter et & . Austratur fretor. re- Iinquetur excessus c La iis sit z. Nunc vero quoniam qualium partium est se. 2m P et, talium est bs et igitur qualium est eadem se talium inuenta erit ipsa bs 3 p si 3r,perconiune documentum quatuor quan titatu proportionaliu. Ducto eni . tertio rermino proportionis in et .secundum terminum, fient si deinde diuisoa,peret in v. 2, primum termini venient ex partitione 3 r D az,quaselus proportionis terminua.
256쪽
Cltaq qualium partium est es italium estb f. 3 p h. 3Σ: &quonia quali uest e s .ialiu est f K. 6 in s. ro,auseremus is itur 6 m-ro, ab s
P 3et, quod erat ostendendum.': Quod maior cubus ad minorem,matote habeat rationem quam i7 ad let, non dubitabis, si ipsum cubum maiorem multiplicaueris in iet, ct productum diuiseris per i . Venient enim ex partitione. 373 37 36s8s734 9 Idcirco sicut i , ad ir, sic maior cubus ad huc numeru,st ex partitione prouenit. Atqui excedit idε numerus cuba minore igitur cub' maior ad minoie maiore habebit ratione quam i7.ad let.
M Oront, Finaei instrumentum non
inus indicare mediasproportionales.
X praediciis facile confla in bit gnomonicum instru
mentum Orontii Finaei, veras medias proportiona
tur duae rectae lineae g b,b Z, ad recta angulum
tius docet,eo moda emptetur instrumentu et diagonalis linea en, in directu ipsus b e, hoe est longioris productae ad amussim collocetur: cogat utque interius gnomonis latus ia m. venire in punctum Σ, minoris lineae b Z,li mite, imis mota semper en, ab eiusdem be, rectitudine. Tunc enim secundum Oronti j doctrinam reis liquut Sc interius gnomonis latus r n,positionem habebit te,& ex minore linea producta lineam secabit b q secundam proportionalem: interior autem gnomonis angulus tertiam pio portionalem b p. indicabit. Sed nos haec salsa esse demonsi ra bimus in hune modum. Sint enim inter ab . &bet, inininuentae br, ct bi , in ea figuratione ex qua constructus gnomon deductus est : recta igitur linea b e, in rectas incidens p q, dc n Gaequos angulos sicit q p e. interiorem,s t n Gexteriorem. Igitur parallela est p q, ipsi r nigb Σ.coniunctae quaru maior g b, sit latus quadrati circa circulu quendam descripti.&bE, minor sit latus quadrati in eodem circulo descripti: oporteatq; inter ipsas gb, 5bi, binas medias continue proportionales hoc gnomo Dico instrumento inuenire.lgitur velut Oro-
piae dicta sguratione: non attingit autem ipsa b li, iustam magnitudinem fecundae pro roitionalis, sed b n, superat tertiam: idcirco multo minorem rationem habet br, ad bii, quam vera secunda proportionalis ad veram tertiam. Et propterea maiorem rationem habebit b n, ad b c , quam vera tertia ad be, quartam : & maiorem item rationem habebit ab . prima ad b r , quam eadem a b, ad veram secundam. Quoniam vero a b, adbc. Asb. ad bE, in eadem sunt ratione: utraq; enim dimidium rationis duplae, diametri videlicet ad latus eiusdem quadrati : idcirco non sunt bq, & bp, mediae proportionales
bp, minorem habet rationem, quam vera se cunda ad veram tertiam, di gb, adbq, maiorem quam prima ad veram secundam , Seb p, ad bae, item maiorem habet rationem. quam uera teri ia ad b a , quartam. Non potest itaque Orontii instrumentu inter latera duo rum quadratoru binas medias proportionales ri aes
257쪽
praestare, quod derii strandum suscaepinaus. biles, & quaenam In comensurabiles ignorati
A iuertendum est autem multum interesse inter Platonis instiumentum & Oronti j gii monem. Nam per Platonis instiumentum, invii iuresuin inter duas quascunque rectas lineas binae mediae proportionales inueniuntur, quamuis nulla praecesserit inuentio mediarum proportionalium inter duas alias eiusdem rationis lineas. Sed si per Oronti j gii
monem inter datas duas linas, binas medias proportionales comperite velis, praemittendi est certissima inuent in duarum proportionalium inter alias eiusdem rationis. Tunc vero poteris inter qirascun'ue duas consimi milis rationis, binas medias proportionales inuenire, alioqui non. Non potest enim gnomonicum illud instiumentum recte conflaui, nisi duae mediae eontinue proportionales inter aliquas eiusdem rationis lineas inuentae suerint, quod Orontius non est consequutus. Sed si iam consequutus esset, praestaret tamen periet propositionem sexti libri Euclidis quaesti,
ni sati facere,aut generali instruitiento Platonis uti, quam quocunque alio particulati .Erchoc autem cognosces solum gnomonem non sussicere, ad binas medias proportionales inter datas duis lineas in uniuersum capiendas,
etiam si cesse fabricaretur. Nam si proponas tibi inter duas a b ,&b c, inuentas esse duas mediis br. & b ii, & deinde varia ueris a b , iamque constituu gb. prim in duatum proinpositarum, atque in uestiges inter e b, & bc,
duis medias proportionales, non alias denuo
indicabit gnomon, quam ipsas b r,& b n,quae inter ab , S b c , inuentae suerant, quod est absurdum.
M Orontium Finaeum in unis rsum e raste circa inuent, on duarum meaiarum proportionalium inter datas duas lineas quamm mi r dimi rum mas
risuperat. CAP. VII. Reprehenso quinta.
A M vero neq: video quoi modo sit excusandus Orontius, qui vel putat omnes li- b neat quarum minor dimi-rdium maiori superat, inco
mensurabiles esse, aut quaenam dicantur comensura-Nam de caeteris lineis rectis inquit, quod quan tuis latera quadratorum non sint quorum alterum circa, alterum vero intra circulum describitur, si tamen minor earum dimidium maioris superauerit.poterunt nihilominus inter ipsas, eadem arte qua usus est, binae mediae proportionales sub continua proportione inueniri. In quo etiam vehementer errasse ostendemus. Proponantur enim duae rectae lineae bs,
ct b c. inter quas oporteat binas medias proportionales sub continua proportione inuenire. Sitque earum maior b c pedum ris. minor vero 6 . sic igitur minor dimidium maioris superabit . Diuidatur excessus c sperextremam ac mediam rationem, maius segmentumst e Κ, minus vero h LItaque iuxta Orotii praeceptuin de caeteris lineis rectis, erit recta b K, secunda proportionalis: quod per principia euidentissima falsum esse demonstabimus. Etenim binae magnitudines bs, & be,
adinvicem rationem habent quam numerus ad numerum: comensurabiles igitur sunt ipsae
magnitudines b c & b c, per se tam propositionem decimi elementorum Euclidis, quapropter & b e, ipsi e s, comensurabilis et it peris. propositionem eiusdem decimi libri. Hoc
etiam liquidissime constat detracto numero 6 .a ras. relinquetur enim ef 6i. Atqui es, ct e Κ, adinvicem rationem non habent quam numerus ad numerum, velut ostensum est a Campano superi 6. noni libri elementorum.& quod etiam liquet ex sexta decimi tertii n- commensurabiles igitur sunt ipsae e s, ct e Icper octauam propositionem decimi. Erant autem commensurabiles bc, S est idcire o be,&cli, in commensurabiles sunt per decimam tertiam propositionem eiusdem decimi libri. aut per lenia duodecimae, tota igitur bli, ipsi bc, erit inco mensurabilis per decimam sextam eiusdem decimi:&bs, etiam eidem bli, inc6mensurabilis per declinam tertiam. Quapropter si b sprima, incomen surabilis est b h. secundae, erit b Κ, secunda in comensurabilis tertiae, & tertia quoque incommensurabilisb c. quartae. Sed est b c i rs. ct secunda proportionalis ioci, tertia vero So,&quarta b c 6 . igitur eo mensurabiles sunt per sextam propositionem decimi. non autem incommensura.
biles. Itaque falsum est Oronta, praeceptum,
de inuentione duarum mediarum continue
proportionalium, inter diras datas lineas quarum
258쪽
tum minor dimidium maioris superat, Quoniam vero cum latera cuborum rationem habent sesquiquartam, cuborum ratio minor eli' dupla est autem ratio sesqui quinta minor seia quiquarta, & sesquisexta minor sesquiquinta, ct reliquae dei iaceps rationes super particula io
minores sunt, reliquorum igitur cuborum ra. tio quorum latera rationem habent seper particularem sesquiquarta minorem, multo mi nor erit dupla. Minor igitur eorum cuborum numerorum, quorum latera rationem liabuerint superparticularem sesquiquarta minore, dimidium maioris stiperabit. cadentque inter ipsos cubos numeros duo medij continue pro portionales numeri, per duodecimam propositionem octaui libri elementorum. Et propterea si ponamus duas lineas b LS be, rationem
liabere duorum quorumcunque numerorum cuborum, quorum latera talionem habent lilia perparticularem sesquiquarta minorem, ea
deot inter b s,& b c ,duae mediae proportiolio, ipsaeque quatuor lineae contensuraberunt.Sed Orontius cogetur concedere eas el-
se inconimensurabiles est enim nostra demdiatratio uniuersalis. Et non solum lioe licebit inspicere, ubi latera cuboru numeror a ratione habuerint aut sesquiquarta aut alia minoic superparticularem, sed etiam ubi ratione habuerinti uper partientem sesquiquarta minorem. Sic enim cuborum latio minor erit dupla, ct proinde eorum minoi dimidium maioris superabit. Est autem scut numerus ad numerum, sic recta linea ad recta in lineam quod vete allum itur in corollario sextae propositionis decim: elementorum: quapropter si ponatur recta linea ad rectam lineam. rationem habens sicut est ipsorum cuborum numerum ratio, necesse est medias proportionales coni mensui abiles esse. hirauit igitur Orontius turpiter in re tam lara tamque manifesta; ct propterea quaenam sint commensurabiles magnitudines, ct quaenam inco mensurabiles ignorasse videtur.
montium Finaeum etiam masse cir- Inuentionem mediarum proporti bum interdum reflas lineas quarum maior vlaia mineris. Iroin e
orontius euius latu cnb e, duplam lineam a 'ad rectum coniuxit an
b,centro interuallo au- em a b, circulum deseripsi a d e s, ipsas urtinea, ab, bc, in rectu produxit usquesci Uti circuli circunsetentiam, di petretiam duxit lineam quae ipsius circuli circina serentiam attingit in puncto g. Inquirit deinde binas medias proportionales,inter ipsas a b. Ab c .in hune modum. Rectam e g. diuidit inruat o h per extremam ac mediam rationem, i sit gh, maius segmentum,&c h. segniet uin nitim. Tuc vero per e,& h, rectam lineam ducit e h. quae eiusdem circuli circunserentiam
attingit in puncto i ct semidiametrum b c secat inici lineam praeterea eri, parallelam ducit ipsi e h. quae semidiametrum b ei secat in n. Post tritili ex b d lineam br. 3bscindit aequalem ipsi b h. & reliqua construit quemadmodum in primo problemate. Ait igitur b Κ, aueb r fecundam esse proportionaleni,& b n, tertiam: scut quidem ab, ad bi sic b r,adbn, Seb ii, ad ipsam b c: idque demostra ii posse que- admodum in ipso primo probi cuiate. Et proinde cubum a linea b n. tertia proportionali descriptum proposti cubi cuius latus ent, eduplum esse assiimat .caeterii hic Oronti, modus curia nulla alia ratione probetur, similiterim pro
259쪽
Improbabitur: quemadmodum tertio eapite atque quarto, primi problematis demonstrationem consutaui muri Et praeterea quoniam fortasse putauit Orontius, quod si iam sua ars salsa esset mendatium tamen foret inextricabile,per principia idcirco certissima ae euidentissima statim ostendemus lineam bli, maiorem esse secunda proportionali, lineam verbb n, tertia proportionali minoremussi id igitur descripti cubi ex b ii, ad cubum ex b e, rationem ei se dupla minorem.
Esto enim b c dupla ipsius b e, ct diuidatur
e g, in puncto li, per extremam ac mediam rationem, sitque g h, maius segmentum.& rectae Ii, producta in i, secet b Lin P. Aio b Κ, maiorem esse secunda proportionali.
ae sit primum es, 8. Et quoniam aequiangula sunt, rectangula triangula abc, aeg, latera igitur habent proportionalia quae circii aequales angulos. Est autem ab, dupla ipsus be, igitur & a g, dupla est rectae e g. idcirco ipsa a Diest is, ideoque diameter ae, Re 3eto,dc be, semidiameter ωgo recta vero b c, dimidium 1e diametti he dio. Quapropter tecta a c, rectu subtendens angulum qui ad b, erit io:relinqui. tur ergoc g. 6:oc gli, segmentum maius m sit 13, reliquum vero segmentum ch, 9 in se sci ah, 9 in yeqs
CSed ponatura b. too ct b e,so: ducaturque per l, , ipsi b c parallela h t. Aequiangula erunt igitur atque similia, duo triangula abe, a t h. Idcirco sicut ac, ad a li, sic be, ad t h. &a b adat. Per communem igitur regulam quantitatum propoitionalium qualium partium est a b, ioci. & bc, so, talium inuenitur i h 9 s, m MDrst&at,dupla ipsi't b,i9om N scio. Auferatur a i ,a diametro a e,& relinquetur t e, o p ν Asoo. Et quoniam aequiangula sunt similiaque duo triangula b Κ e, & i h e, erit idcirco sicut te ad be sic thadbΚ. Atquit e, ct b e, & t ii, cognitae sui t. igitur per ipsam comuneili regulam quatuor quantitatum proportionalium innotescet recta b k, talium par
Quartu proportionis terminus qui est b Κ,
260쪽
b K, quod primum ostendendum suli Imin:
Per haec autem facile demonstrabis teitiatur potiionalem maiorem esse linea b n. Nam quonia c n,Parallela est rectae Κ e aequiangula
, nam horum quadratum tantu est s=M
II Iis i tui si ab horum quadratorum sum
resistum fuerit minus eiit ipsa linea b h.
qui, et oi zminor est quam si L
enim harum quadratum τε is et idcircos si &ii' ab eadem auferantur summa, multo minus relinquetur eade linea b K.
Id vetd quod relinquitur est 79. est igitur ipsi bli, quam ety A . At vero cubus lineaebs est io ooo, a propterea cubus secundae proportionalis eli eius dimidiu nem- re scoooo,sed multo maloi est cubusi plorum ' , riti merum enim excedit so6ooo.Quapropter minor est secunda proportionalis eisdem 7 9 multo igitur minor qua
sunt igii ur atque similia bina triangula K be, ct c b is sicut igitui b e, ad b K. sic b n. ad b c.
At velo malai est bli, secunda proportionali. minoieni idclico rationem habebit be. adb K.,quam eadem b Rad secundam proportionalem. dc minorem igitur rationem habebit bii,adbe,quambe, ad secundam proportionalem. Atqui sicut be , ad secundam pi oportionalem,sic tertia ad be, quartam: & mino-ie igitur ratione habebit bn, ad b c. qua tema pios ortionali ad eande be. Propterca minor cit bii tertia propollionali. Sproinde ratio cubi ex linea b ii deloirti ad cubu desciti tu exb c, minor est quam dupla quod den. onstrandum erat . Hanc porro elegimus methodii doctis mathematicis cognitam ad inuestigandunt longitucinem lineae bΚ. non autem iet angulo tum mensuram,quonia non licuit ii, ehuiusmodi tabulis vlideat cu& choida. tua eNactae esse ii a rogat sed ad alim usus utilissimae.
dum circulum. CAP. IX. T quam s delissime modum Uiontii reserastus, quo putauit circulii quae se diaste . a item ipsam qua usus est. eisdem suis vel bis explicaram in hunc locan ii asseremus. Hlo inquit
datus citculus a li, cui porteat vi in aquai cm despitale quadratum. alleia velo ilbperimetium iii uelitie. c. rica eundem itaque circulum a li qua dia a describatur ae, per septiniam quarti elementor unit intra vcria eun est in circulum a h, aliud describatur qi .adiat ad h. per sextam eiusdem 'irati antei pia pes modum horum duc am quadiatorum latera. utpote a, ' d.bitia rectae lineae sub eadem otione continuertoportionales i upniolatur, rer ipsus anteceden is problematis Mooitionem.quasi ' er quc mal ni culatus a. ad ilia fana b. sic ead nil, iad e, atque c. ad latus d. hx ipsis conleqtienter recti liniis b. st e,quadiata descri-