장음표시 사용
261쪽
sntque ipsorumbs &cg,quadratorum late
xa tum in uicem tum praedictorum quadrato
rum a e.& d li, lateribus aequi distantia siue parallela. In ipsis demum quadratisi, c& c g,singuli describantur circuli bi,&cm, per Octauam quarti praedictorum elementorum: qui quidem circuli ob ipsam laterum hypothesaidem centrum habebunt eum circulo a Ii, scilicetn,& una cum ipsis quadratis, eirca eundem diametrum conitituentur. His in hunc modum constructis ait Orontius quadratum bLaec mari in primis ipsi dato circulo ali, nec
non & quadratum c g, circulo b l, atque d h,
quadratum, circulo c m, respondeter coaequa
ri, ipsum praeterea quadratum e g, ei de circulo a h. esse is operimetrum. Ita Otontius ad verbum, problemate secu-do libri de circuli quadratura, probationes autem in quinto deinde problemate apposuit,in quo quadratum b c circulo a h, aequari tribus
argumentis ostendere conatur. Primum a proportionalium numerorum aequalitate,per numeros veritati admodum propinquos eκ regula Archimedis eoas Iumptos de ratione circi serentiae ad diametrum, quae propemodum tripla est sesqui septima, idq3 in hune modum. Nam ex demonstratis ab Archimede constar, qualium partium quadratum a e esui , taliucirculum a li,esse ri. At vero qualium pallium idem quadratum a e,est i , talium quadratum d li, utpote eius dimidium est .harundem igitur partium quadratum a e est i . & circulus 'a lin.&quadratum d b, . Atqui duobus meis
diis proportionalibus inter i & inuentis,
primum eorum necesse est cubicam esse radiis em numerr I 372,quae veritati admodum propinqua est ii. Eth autem quadratum b f.primu
medium proportionale inter quadratum a e.
r .& quadratum d li 7. erit igitur ipsum quadratum bs, partium ii. qualium quadratum
culus a li,est ii. & proinde aequale est quadratum b cdato circulo a h. Eodem modo probat quadratum c g circulo bi, aequale esset similiter quadratum dit,circulo e m, aequale. Secundum argumentum sumptum est ab aequalitate laterum per easdem hypotheses eκ demonstratis ab Archimede. Ponatur inquit latus quadrati a e, diameterue circuli a li, partium aequalium i . erit igitur ipsum quadratam a e,partium quadratarum i9 6.quadratum vero d li, eius dimidium, earundem parti u 9s. Qualium autem pallium diameter circuli a h est i .talium circunferentia est per regu Iam Archimedis de mensuratione circuli, dimidium igitur circunferentiae ete.& semidiameter 7. Atqui dimidia circunferentia in semidiametrum ducta aream circuli producit, erit igitur ipsius circuli ah, area partium 3sq.
qualium quadratum ae,est 196.quorum numerorum ratio est sicut i ad ii. Radix autem
quadrata numeri is vetitati propinqua est Ir .sere cum . Tantum est igitur latus quadrati quod eidem circulo ali, est aequale. Sed
tantum etiam inuenitur latus quadrati bs, naqualium partium latus quadrati a m est i . ta lium latus quadrati d b,est y sere cum radiκ nempe quadrata numeri ys. Inueniantueautem inter i . & 9--duo media proportionalia sub continua proportione ,erit igitur
eorum primum quod est latus quadrati b cradix cubita numeri I9 ρ cum videlicet numerus te. una cum: quae sere respondent Ipsis I,' . Et propterea tantum esse affirmat latus quadrati bs, quantum & latus quadrati quod ipsi a li, circulo est aequale.
Tettium argumentum est ab impossibili. Quoniam si quadratum dii, maius utcunque, aut minus daretur circulo e m, & proinde quadratum b c circulo a ti,aut maius aut min', incideremus in inconuenies. Non enim ia in quatuor illa quadrata in ea deessent continua proportione, neque circuli in eis deseripti. Qui upotius ob quantulacunque numerorum inaequalitatem, ipsa continua proportio qua veinquit inuicem colligantur, penitus di sibi ueretur: utpote si circulum c m, concederemus, i ' spartium fore &- , aut 6 S , quem admodum ex ipsis numerorum disserent ijs per
regulam numerorum proportionalium colligi posse affirmat.Non eis igitur concludit cieculus e m,maior aut minor quadrato d h. neq;
eirculus a ti,ipso quadrato b L sed modis omnibus aequale ipsum quadratum b scirculo a h,& quadratum c g, circulo b l,atque d ii, quadra
262쪽
dicatum circulo em, quod demolistrandum sis nutoru,qualiu diameterestriR Septima phia
Ex his insert aduersus Archimedem, ratio . nem circunferentiae ad diametrum maiorem esse tripla sesqui septinia,S quadratum ad inscriptum circulum minorem habere rationem quam l .ad M. Hoc autem probat, quoniam quatuor quadrata a e .b Ce g,d li,sunt continue
propori ionalia i& primum ultimi duplum est: ratio igitur primi ad secunda ter sumpta dupla rationem constituit. Et propterea oportet primum & secundum cubice multiplicata dupla rationem conficere.Idcirco cum primum quadratumsti . erit secundum ii ct circiter Nam s i . in se se cubice multiplicentur, set z7 ψ.& ii cum - item cubice multiplicata proaucunt sere 3372. dimidiu numeri 2 . Habet igitur quadratum a e, ad quadratu b scrationem prope modum quam x . ad ii 2 AtquI eidem quadrato b L ait circulum ali, aequalem ostendisse: concludit idcirco quadratum a e,ad circulum a li, rationem propemo-
. dum habere, quam i ad ii & Et quoniam sicut quadratum ad inscriptum circulu,
lic quater circuli diameter ad circunset etiam eiusdem circuli,ita enim aut dicere voluit,aut debuit non ad circunferentiae dimidium qualium igitur partium diameter est septe,& quater diameter 28.taliu circunferentia erit et 2 &Et proinde circunferentiam ad diametra concludit .maiore habere rationem tripla sese qui septima.Hoc etiam oculari i ii spectione at que experimento confirmat. Nam si acutissimi circini officio,septima diametri pars circalerentiae coapretur,vigesimam secundam partem Oit eiusdem circunferentiae subi edet, &et r. septimae uniuersam exacte absoluent circa serentiam. Et cum arcus sit maior subten chorda,maior erit tota circunferent ia et r. septimis eiusdem diametri: & idcirco circunferentiae ad diametrum ratio maior erit tripla sesqui- septinia. Quod numerorum addit calculo corroborari videtur.Qu ilium enim pallia circunsetentia est 36o, talium pars vigesina secunda est i 6.& minutorum circiter et et .subtenti veru chorda partium est 17. dc s.circiter miro ipsi' diametri pars,itidὰ partiu est i S minutorum 8.disserens ab ipsa chorda vigesiae
secundae partis circunserentiae, tribus tantum minutis,qua ex ipso chordarum calculo desecisse manifestum est, quoniam in diuidendis inquit numeris,& i adicibus saepius extrahedis, semper aliquid deperditur, propter quod
ipsi numeri a debita unitatu multitudine tamdem coguntur deficere dc hine ortum esse de sectum rationis circunferentiae ad diametru, quae per sinuum rectorum numeros ad imitationem Archi inedis,minor tripla sesqui septima demonstratur: cum rei veritas sinquit ita habeat,ut circunserentia ad diamet, vin rationem propemodum habeat quam et: de: ad .& quadratum ad inscriptum circulu, qua
1 ad ii & - ct proinde qualium pallium
quadratum a e,est i . talium a Ii,circulus,ct illi aequale quadratum b f,est ii de circiter iquadratu vero eg, ac illi aequalis circulus bi, partium 8.una sere cum πL . Et ex his iuria sum numerorum adminiculo colligit, an bituteri is quadrati c g aequilmn este pelipheriae dati circuli a ii, quemadmodum demonstratida sui ceperat.
Neque Orontium cire lum quiaris
niuerectam onerim aequalem cara
T A nimi tu habet Oronis iii inuentio de circuli quat dratura, quam multis nὶoi dis salsam ostendemus Supi ponit enim in primis duasi medi proportionales in- . ter latus quadrati dato circulo circunscript i,ct latus quaurati intra eundem circulum descripti ab eo inuentas fuisse. Sed no, sui ei ius demonstrauinius, quas medias proportionales constituit, veras non es quin rotius alteram non implere iustam magnitud
263쪽
hitudinem alteram vero superate.Praeterea salsa est circuli quadratura Orontis,quoniam supponit ex Archimede quadratum ad circulum
inscriptum,eam rationem trabere quam i ad i. cum tamen ea ratio exacta non sit,& probat
deinde quadratum b Laequale esse circulo ah,
quonia cubica radix est numeri I 372. quae vcritati propinqua ite sit in. sed est paulo maior. Q iare si propterea accipit ipsum quadratum
b 1.eidem circulo a li aequale esse,quoniam co- ueniat cu Archimedis quadratura huic enim
sunda meto, sed oc soli potissimum innititur
constat ex ipso Archimede circulum a li, non implere partes tr. At vero radix cubica numeri tueret easdeii partes eXcedit, numerus enim N, in se cubice multiplicatus tantum facit 33 alnon erit igitur quadratum b Lcirculo a hi aequali Secundo argumento sumpto ab aequalitate laterum, idem contendit, & per eadem principia. Ponit enim latus quadrati a e, circuli vea h:diametrum .partium esse i ,& supposta ratione circunferentiae ad diametrum eX demostratis ab Archimede,sicut zz.ad 7.aur I . inuenit latus quadrati quod circulo a li, elizequale, partium esse Iet. una cum sere sed latus quadrati b c partium inuenit Iet. unacu quae sere respondent ipsis &propterea concludit tantu esse latus quadrati best quantum latus quadrati quod ipsi circulo alieti aequale. In quo potius irridendae sunt Orontii supputationes. quam intendendus animus ad confutandum aut infirmandum has suas argumentationes. Nam si iam ad ostendendum qua dratum b c circulo a b aequale esse,hac probatione sit contentus quod cum numeris A rchimedis conueniat:demonistrauerat aute paulo ante i imo argumento, si quadratum a e , sitI .sore circulum ali ii. quadratum vero b c paulo maius esse, nempe radicem cubicam numeri ι372. quomodo igitur cocludit modo circulum a hi quadrato bi paulo maiorem l maiora enim sunt- - ipsis - Enim vero s latus quadrati a .. diameter ve circuli a li, partium aequalium ponat ut i .& ratio circunserentiae ad diametrum ea sumatur quam habet et 2 ad 7. aut ad 1 . qua nuis paulo minorem inuenerit Archimedes,erit proculdubio latus quadrati qaod eidem circulo a li .est aequale, radix quadrata numeri ist: & Proinde radiaerit quadrata radicis cubici numeri 36sr:ύ rSed hi quadratu b c prim si illediu proportionale statuatur inter quadrata a e , ct dii, radixerit quadrata radicis cubi numeri 376 763
tantu enim inuenitur, per regulam qua assert Orontius de mediis proportionalibus inter datos duos numeros inueniendis,quae vulgatissima est maius est igitur quadratum bs, circulo ali. Atqui ex demonstratis ab Archimede ipse circulus a li,nondu implet numeru i s multo isitur maius est quadratu b f, eode circulo a h.Simul igitur cocludere possum', neq; -6tiu inuenisse circuli quadratura,neq; probasse. Tertium argumentu ab impossibili sumptum, prorsus nihil probat. Nam si qualium partium quadratum a e, est I . talium circulusa li, si vi supponit) iit sintque latera quatuor
quadratorum continue proportionalia, erit
idcirco quadratum bf, cubica radiκ numeria 372. S circulus b l,cubica radix numeri 66s.cu L, quadratum eg, cubi cape 686,&circo
erit 7.sue cubica sta 3 . Damus igitur quadratu d h,maius esse circulo c m, quandoquide maior est cubica 31 3 3 cubica radice numeri 332 cu a neq; propterea ultu sequitur absurdu. In corollario aute si quid antea a struxerat,
penitus eueri it in quo certe operaep retium est videre hominis stultitia.Supposuerat enim eα Archimede rationem circunferentiae ad diametrum tripla esse sesquiseptima:& propterea quadratum ad inscriptum circuluratione habete qua ad M. Deinde his suisuit 'praesidiis,
ut potuit. probauit quadratum b iccirculo a ii, aequii esse.quia radix cubica esset numeri is aquae veritati admodu propinqua esset ii, S proinde cu numeris Archimedis conuenitet.Nuc vero ab argumento ad corollariuiam creuisse inuenit init idque propterea quadratum ad inscript uiri circulum rationem propemodum habere a firmat quam ad ii &
habere tripla sesqui septima maiore aduersus Archimede.Sed videam' quomodo eu couincat . Sup posito quadrato a e.partiti aequaliu i . quadratu b f cocederet Archimedes earunde partiu esse propemodu ii cicia circulu tatue a h,
264쪽
undecim partes nondum implere, ob id igiturq radrarum a e.ad inscriptum circulum maio- reui habere ratione quam i ad D, sed ad qua-d aru u b Lminorem. Nec Orontius unquam
ostendit quad a tum b s circulo a h.aequale .sed solum suppotuit ex demonstratis ab Archimede ipsum circulum a h,elle H quadratum verobscubi camelle radicem dem nil rauit numeri 13 2. qaae paulo malo: est quam H dc - Per perim igitur colligit rationem eircuit serentiae ad itiinritu in tripla se ai septima maioremelle. & quadratum ad insccti turn circulum, minorem quam 34 ad Ir. Namerorum autem calculus ex tabula de arcu Sc chorda Archimedi non aduersatur , cu- iu dein Inlitarion ira de circuli mensuratione insequenti capite adducam, ut liquidb co stet
rationem circuit serentiae ad diametrum non
Prop erea inuentam elle ab Archimede tripla es qui septima minorem.quod in diuidedis numeris de radicibus extrahendis seinper aliquid deperdatur, sed quoniam vere tripla sesquiserti ina min 3r sit. Assumit autem Oiotius rationem circuit serentiae ad diametrum maioremelle tripla sesquisepi ima, ut quadratum c g, circulo a h. ostendat isoperimetrum: S proinde cum falsas ac improbabiles lum it l, upot heses. nihil concludere poterit. Sed ii q; etiam si co-ce serentur,quoniam exemplis quibusdam. incertisq; nuateris ratiocinatur, ptopositum de .
monstrare posset .Latera enim praedili u quia
tuor quadratorum inconi esurabilia sunt . quae nihilominus numeros esse supponit, ut conclusonem inferat. Quomodo igitur per salsa S incerta verum ac necessarium denion stiabit 3Idcirco eligenda potius foret methodus quaeuis alia certior ac eκpeditior in huc videlicet modum. Tres rectae lineae a, b,caatera trium quadratorum a e bs.cg sunt continue proportio Dales,eκ hypotheli, igitur rectangulum quod sub duabus a, et c.cotinetur quadrat bg.quod ex media aequum est. Ipsunt vero quadratum
b g.circulo a h. ut Orontius putat est aequale. C irculus igitur a li rectangulo sub a,ct c, contento per communem sententiam est aequale.
Est autem ipsa a .recta linea diametro circulia h.aequalis,& est praeterea ipsa e recta linea latus quadrati c g. I, circo ipse circulus a h. tecta gulo contento sub eiusdem circuli dianterro&latere quadrati e g.aequalis est Atqui idem circulus a l, rectangulo contento sub diametro de quarta circunferentiae parte est aequalis . bina adcirco tectangula inuicem aqualia erunt per communem sententiam alterunt sub diametro circuli a h.& latere quadrati cs.contentum Pterum sub eadem diametio & circuit serentiae qua di ante. Et proinde circularentiae quadrans lateri qua static g.etit aequalis & uniueisa circunferentia cunctis lateribus eiusdem quadrati aequalis. itaq- isoperimete est circulus da Pu a h. ertio quadrato e s. quod denicillanda , sial ceperat Oiontius, sed neut i qua deniculauit.
E Idem aliter ad impos s. bile demoniti abi . finimvero si isoperimetra non
sunt, sit igitur quadrans circunferet utecticuli a ii .latere c,maior. aiton autem
sub a S quadrante circunserentiae continetur .cticulo a b μ quum est, is se porro circulus quadra o bs ex hypoth. sies aequaliκ maius erit igitur quadratubsiectangulo contento sub a, ct c, de
Propterea non crurita,b.c.continue
portionalia contia hypothesin . Idem 1equetur ablui dum si quadratas citcunselemiae circuli ah latcre C. detur Ilii nor. Idcirco is operimettia sunt. Si forte ambigas rectangulum contentum subdianeti sc quadrante circunferentiae circulo esse aequale id conesudes ex Aechimede quam facili me. Na sicut dia-o,eto ad senudi ametium ciusdem ci
xuli, sic dimidia cnculcaetitia ad qua
265쪽
drantem .igἰtur quod sub diametro & quadrante circunferentiae continetur rectangulum, ei
quod sub semidia inetro de dimidio circunserentiae, est aequale. Atqui sub semidiametro de
dimidia circunferentia rectangulum compre inhensum aequum est circulo, ex demonstratis
ab Archimedet igitur quod sub diametro &quadrante circunferentiae contiuetur, eidem circulo erit aequale.
Advertendum est autem quod in hae Oro iij quadratura tantum eius insigniora errata notamus,minutula quaeque praetermittetes.Id genus est ipsa conlii uctio figurae secundi problematis. a ianuis enim latera b,dcc, tum in ter se tum ipsis a ,& d,aequi distent,non propterea necesse est inscriptos circulos idem habere centrum. Alio igitur modo construendu erat: sed leuissima sutat haec.
A et Archimedem vere demonstrasse circu
licircunferentiam ter continere tam
trumm partem praeterea paulo min re eptima eius Lametri, marerem' *ero deo se plua res utrimis ut Liuido appareat pιItemere qua also, qua ignoranter, aserat Orontius aduersus
Larchimeaeratisne circz feretis ad Ametru triplasi usillima murore esse.
Irculi cuius centrii est' e, diameteresto a c. Aio ipsus circuli circunserentiam triplam et se dias metri, S praeterea pari tem habere minore sep rima eiusdem diametri. maiore vero dece septuagessimis primis. Demostratu est hoc ab Archimede in libro de circuli diniensione, S ab Eu-
tocio satis explicatum in hune sere modum: diameter ac, ad rectos angulos secetur super centro e,a recta linea b d, quae item sit circuli diameter. Universa itaque circunserentia per has duas diametros in quadrantes diuisa erit. Semi circuserentia praeterea b c d, in tres aequales partes diuidatur ba r,S r d,per is propositionem quarti elementorum Euclidis. auum sit b a,sexta circunferentiae pars b c vero ciuiadem quarta,erit idcirco e a duodecima, ct c r, item duodecima. A puncto c.ipsi a c.adiectos angulos excitetur tecta linea t e fi plum circulum contigens:& a centro eaectae lineae ducantur per Ζ,& r,quae cum recta i s coincidant in
L& t. Erit igitur angulus fe e, duodecima pars
quatuor rectorum angulorum,dc proinde tertia pars est unius recti, angulus etiam t e c, ei aequalis tertia pars unius tecti.Sunt aute aequales duo recti anguli qui ad e,dc latus ec, quod aequis adiacet angulis, duobus triangulis c se,
lia sunt igitur reliqua ipsorum trianguloru latera, &aequales reliqui anguli peret 6. propositionem primi
elementorum, videlicet latus t e,lateri e C est aequale,
Ste,ipsi es, duo praeterea anguli qui ad c&t, aequales inuicem erunt. dc quo niam totus angulus t e fctertia pars est duorum rectorum .erit similiter uterque duorum angulorum qui adf& t,tertia pars duoru rectorum per 32. propositionem primi. Sc c6mund sententiam : aequilaterum est
igitur triangulum t se, per sextam e tumem primi, de
dimidium est ec ipsus es.c Qualiu
266쪽
Qualium Igitur partium est e L 3o6. talium est
c i. is3.3c quadratum quod fit eri e spartia quadrata cum es it 93636:quadratum vero eX c i,erit r3 o9. au'nia in vero quadratu eX e L duobu, quadratis aequum est,quq ex c LS c e , si ut per 7. propositionem primi auferemus igitur et 3 ος, ab ipsis 93 136,& relinquetur quadratuec. 2227:cutus latu quadratum paulo maius
est quam 16s .est enim huius numeli quadra is
tum re et ιr tantum. Coaceruentur autem 326
5:26s .etit igitur eorum sumniafri:minora idcirco sunt fri .ipsis es, ec coniunctis. Diuidatur itaque angulus se e per squalia ducta recta linea eg.per 9.propositionem primi: igitur sicut e sad e c.i ta Q.ad g c. per tertiam sexti, &per compossiam rationem sicut e f. e c,coniunctae ad ec sic se ad g c. igitur permutatim sicut effec,coniunctae ad fc, sic e c. ad c g. Atqui potis mussc.is3.ch maiora ostendimus esse e s,e c,composita quam fri. igitur e L e c, ad se maiorem habebunt rationem quam fri, ad Is; per octauim quinti: quapropter Sec ad c g. maiorem item rationem habebit qua fri, ad is; .peria propositionem eiusdem quinti. Ponatui itaq; c g. partium aequalium is s. Ina ior igitur erit ec ipsis fri,per io propolitione eiusdem quinti . Sc idcirco qua diatu e g. quod duobus quadratis rectarum e c, S c g. per ΑΙ, primi est aenuale. quadratis quae sitireX i s 3 cs i,maius et tr.Est aut qua diata numeri is; numerus et 3 o': ipsoru vero s i. quadratum est 26 i: horunt igitur quadratorum summa videlicet 3 9 so quadrato ex eg. minor ei it&ipsa eg.maiori adice quadrata laueri 3 9 so. At vero ipsolum 3 9 so,tadi V quadrata paulo maior est quam syi ' si enim in se multipli
centur sqν ι tantum sipiat 3 9 as maior est igitur eg, quam s93 f maior item ostensa
est e c.qua fri. Idcirco e g. e e,composita naaio
coalescit sede g.posita est is 3 S,Ppterea e g. ς ciconi aucta maiorem habent ratione ad c g, quam ii 2 ad is 3 per octauam eiusde quin
Rursum diuidatur angulus g e e, per aequa lia ducta recta linea e h. igitur per tertiam ,ppositione seκti sicut ge ad ec, ita gli, ad li erct rei coaipolitam ratione sicut S Re c, ad e c,
ad g c,sic e c. id e h.Ostensum est aut quod eg,
e c,coniuncta maiorem habent ratione ad c g. quain II 6a - ad Is 3.igitur&ee, ad ch, ma-'iorem habet ratione quam ri 62 adis 3.peri; rpositione quinti. Ponatur c h, s3,eritaepterea e c,maior quam ii 6i a per io 3positi, ne eiusdem quinti. Et quonIam quadratum ipsius e li,est 23 os quadratu velo ipsorum II 62.2 est lasos; aniboq- quadrata lucta sunt 33 3ς 3 '- duo igitur quadrata e c,& c la, co- posita maiora ei uni ipsis 13 39 3 . Atqui
quadratum rectae e li rectum angulum subtendetis duobus quadratis ec,&c h, squum est,
quadratu igitur e h,ipsis 13 39 3 maius
,quae ex duobus irra- ct 1i61 , collectis
consurgunt At vero posuimus c h. I 3. maiore igitur ratione habent et, .e c coniuncta ad c h, qu4m z33 - adis 3.Pocta quinti.
Item diuidatur angulus h e e.p squalia ducta e h. erit igitur scut e li ad ec ita h li ad k c. P 3 4 positione sexti.&pcopositam ratione sicut e h.e c coniuncta ad ec ita hc,ad kc S p mutatim sicut e li,ec.collicta ad c h,itaec , ad c k:ost elisum est aut e li,e c,co iuncta maiorem habere ratione ad ch quam 233 ad is 3. Et maiorem igitur ratione habebit e c,ad c k . qua
ponamus cli,is3, & erit e e. maior ipsis 233 ' pio quinti quadratu igitur c erit 236o9,
267쪽
quadratum vero ipsoru et 33 est sε tras z:ambo igitur coposita sunt f pri 32 equibus duo quadrata e α& e Κ,coniuncta maiora esse necessse est, Riqui quadratu rectae e Krectu angulum s tetinentis quadratis ec, &
est a e semidianaetri e c. Atqui partes eode modo multipliciu ea de habet ratione scptat ad inuice per,s propositione quinti,est igitur scute c,ad c i, silc ae,adl ni.Sed e c,ad c l.matote ratione habet, qua 46 12 ad 1s3, idcirco a c,
squinti erit liti, nor qua is 3. Multiplicentur numeri radiae quadrata maior est qua 2339 96. in is 3.sεtq: 1 638. Et proinde ambit' pQ i lygoni latera habetis96.minor erit ipsis 1 6SSs enim multiplicaueris in se ipsa z339 t η' stiai diaineter a e, 6 3- triplu igitu di tum fient s reto96 2-:maior igitur est φ Κ, l . iii diu i odio quae si austratur a 346 3,
quam 2339 maiora vic ostensa est ec, qua helinquetur talis66 - qui numerus minor est sepi ima diametri earte. Nam s ea in septemultiplicaueris cosurget 46 2-d quae a diametro superatur unitate, habet igitur numerusi 68s, ad 673 ratione tripla sesqui septima minore,ct proinde ambit' polygoni habebit ad diametru ratione tripla sesqui septima minore per 3 quinti. Est aute circuli circularetia minor ambit u polygoni per prima de spheta& cylindro minore igitur ratione habet circuli circuieretia ad diametrii tripla sesqui septima quod pruno Ost edenduerat. Demostratio vero qua ad hoc cocludenda Orotius adducit propone secuda sui libri per numeros elicitos ex tabula situli, costat Archimedis non esse, . quod & ipse satetur, sed prestatiore ellia a Triamat ea qua secerit ille Archimedes. Interrosa diis igitur esset Orotius,vere ne illa sua demostratione concluserit ratione circuserentiae ad diamet tu minore elle tripla sesquiseptinia. antio ibi coclusit,cur igitur asseruit tripla sesqui septima maiore es le aduersus Archimede 3 Si putat non cocludere, cur eam in medida flerebat praestaret enim propria aut horis demonsistrationem recensete,& viti uetus indicare. 2 Sed de in onstremus secunda parte,videlicet circuli retia ter continere dia inet ru,S partem praeterea decu septuagesimis primis niatote. in circulo enim cui' centru est e,& diameter a e,c a sit. ipsa igitur e ec, eo post a maiora fsunt quam 46 3 - quae ex illis concrescut, ct proinde e Κ,e c,coiucta maiora rationε ha bet ad c Κ, qua 673- ad is3ponaua quinti Item diuidatur ansulus Ic e c, per aequalia
qua 6 3 ' ad is 3:&matote igitur ratione habet e e,ad c l, qua η 6 7 34 ad is3. Quonias Ivero angulus se e ostensus est duodecima pars quat i tot rectorum,er it eius dimidiu g e c, pars vigesima quarta. cuius it c dimidium h e c. erit quadragesima octaua,atq: ite huius dimidium
Κ.ec erit pars nonagesima sexta,& huius deniq, dimidiu Iee centesma nonagesima secu-d.1. Costruatur autem angulus c e ni, ipsi iee. . aequaliς er it idcirco angulus t e m, nonagesima sexta pars quatuor rectorii. 4P propter recta
dinea tui .utus erit aequilateri polygoni circa circula descripti lateta habent Is s 6 per domina ir propostionis Euclid. Est aut ecm, ipsi e I,aequalis per ab propositione primi clemeto
268쪽
lo inscripti: erit igitur ipsa bc, aequalis ei quae e X cetro,pcorollarium 3 s. pior osuio nis quarti elemeto tu Euclidis, et ideo a c.dupla erit ipsi' be. C6 nectatura bi fiet igitur p 3 i. propositionet et iij anges' ab e , resi', triplus ex istes anguli b ae, i, ultimi sextii& propterea ipse agul' b ac tertia pars eritumus recti. Ponatur a c, is 66. eui idcircobc, So quadrata igitur ac, erit 14336Oo. sed quadratu b e,erit 6o8 oo. Est aut qua dratu a c aequus uadratis a b,& b e,per 47. aepositione primi: auferem' igitur 6c8 oo ab ipsis et 136oo. S relinquetur quadratua balasa oo .cuius latus quadratu paulo minus est qua i3s i. si enim multiplicaueris in
se iasi set i8rsrol. Itaq- ipsa ab ,paulo minor erit qua i3si. Diuidatur angulus ba e, bifaria ducta a g quae tecta b c .secat in Loc econectatur c g. igit ut sicut ab ad ac , it ab Laiusc. per tertia sexti: si propterea sicut a b, ac coiuncta ada c, lic b c ad se per coposita ratione: permutati in idcirco se ut ab , a ccottidia ad be. sic a c.adsc. Est aut a e, s6o,
ct osteti est a b. paulo minoi qua iasi igitura e .ct a b simul collecta paulo minora sunt qui etyii: sed est b c ,78o, habent igitur ab,
a cico lucta ad b c,minore ratione qua 29 II ad 78 o. p 8. quinti idcirco & a e,ad se, minore habet ratione qua 29it. ad 78O. per 33 eiusde qui illi. Rr vero bitiatri agula ag c,Gc l g. equi agula sui: est enim angulus gac, aequalis angulo b a piper costructione,atq; ei de b a s aequalis est angui' g c s. per et 7 ter ij aequales sunt igitur duo anguli gac , dc
c s. per comune sentetia: cois est aut viri-
tria sulo rectus angulus c g a reliquus igitur a c g. reliquo g sc, aequalis erit per 3 et . priini, re comunc sentetia.ld propterea in ea indem ratione sui latera ipsoru trianguloruma g c,& c fg, quae aequalibus angulis subtendlitiir. p ε, sexti. Sicut igitur a e , ad se, stea ' .ad o c. Atqui a c. ad se osten est minoi εhabere ratione qua 29i .ad 78oua ab et ergoa g,adg c,minore ratione qua etyii, ad 78o. pH. p positione quinti. Ponatur g c,7So. erit ieitur a s minor qua 29i . p lo. eiusdequinti. Et quonia quadratua c. aequunt est duobus quadratis a g et g c, quadratu igitur
6O3 Oo. quadrato g c, simul collectis,dc Proinde ipsa a e. nor erit quadrata radice numerisOῖa3ri. At vero ea de radix quadrata paulo mismor est qua Sol 3. cust hora qua dia tu soὀ26ὀ9- idcirco minor est a d quam 3oi3- Iie diutis
datur anges' gae bifaria ducta lecta a I, quae recinia Sc, secat in mei conectatur eb, erit igit ut scuta g.ad a c, sic g oi ad O c,quapropter P copo si a ratione,& deinde p permulata, sicut a g. S a c colueta ad g e. sic a c,ad c o. Osten se aut e est a g. minor, qua 29 Ii .a c veto minor est qu. 3O .ltam ag&ae,co lucta minora sui quasset 'proindς a g, dcae, coluncta minoi e liabebunt rationem
269쪽
Mete qua j si 1 ad 18 et octava quiti Et
Idcirco a e,ad eo, ni in re ite rone habebit ua
subtenduntur,scut igitur a c,ad c o, sic a ii, adiicilias et autem ac ad c o,minore ratione qua
ite et o in via deelmas, ' cnnsal, tur numer uxet , o,quoru ratio in minimis numeris comitita est sicut Ioo ,ad 66. Itaq: minore habebitratione a k,ad eli, qua roo ,ad 66. Ponatur iacv,66 Scelit idcirco a K minor ipsis ioci . Et quonia quadratu a c.duobus quadrat is duat stili earua Κ,& c cciuii est,idcirco quadratum fid minus erit quaioi 84 os . hic enimnuine x' cocrescit eN 3s 6 quadrato qd sit ex c k,
dice quadrata ipsius numeri 33 Q9:9 . Sed ς d inde intubie habet ratione ad c k, qua dioi6- ad 66 ideoq; a I,adle, minore habebita troiae na qua etois 'ad 66.Ponatur ia i eis si minor igitur etit a i ipsis ei o6-. Est qua diatu a e,aequu duobus quadratis a l, de I c, minuaerit idcirco quadratu a c,qua ηο69αῖ - lite et i numerus cocrescit ex εο 6 9 et 3 quadrato ipsora Ioi 6 2,&eκ 3 16, quadrato O se ex t e,in unu collectis. At veto radi X quadrata numeri o6928- & - ,minor est qua zoircu sit lini v quadratu o69297 -- minor est igitur a c,ipsis roi P. Est aut arcus bc, sexta mars toti' circularetiq.& ge,duodecima.& b evigesima quarta, & k , reliqua igitur ic,
de radix quadrata minor est qua i838 ' cumst horu quadratu 338idiset,setc. Itaque ac, mim
nor est quam i83s - . Rursum diuidatur angulus h a c. bifariam
quam IS 23,et ac,minor qua is 38 p: ipsa igi- Iur a hia c,coiucta minora sunt qua 366i proinde minore habent ratione ad c h, quam
270쪽
bit ipse ambitus polygoni ad diametru a c,qua is Orontium is et Hesi noni intre
ad ioi per octava quinti.Cotinet
aure 6336. triplum ipsoru tot H, quod φε oci - , ct supersunt 28 -- qui maiorant decu septuagesimi primis, sunt eni in dece sepetti agesinae primae r 'L. Et propterea multo magis ambitus polygoni habebit ad diametturationem niaiorevi tripla super decu partiente septuagesma, primas.bed est circuli circunser mitia maior adhue ambitu polygoni, igitur multo etiam magis circunferentia ad diametrum ratione habet maiorem quam si tripla super decies parties septuagesi inas primas, qderat oste idendum .Qupnia in veto una octauar stior est decem septuagesinis pliniis ex hoe sufert Archimedes circunferentiam ad diametru rationem habete minorem tripla sesqui septima sed maiore ni tripla sesqui octaua. Caeterum Orontius quum in circulo describeret poeIygonui S .laterum aequalium, per numeros depromptos eκ tabula sinua rediolum concludit aduersus Archimedem ,rationem circuserentiae ad diametrum minorem esset lipta super decu partiente septuagesinas primas. De quo iterum interrogandus esset hic Parisies,
academiae mathematicus. Putet ii e verum conclusi: se, an secus Si verum conclusit, cur igitur affetuit rationem circunsetentiae ad diametrum imiorem esse tripla sesqui septimat minora sunt enim decein septuagesinae primae parte septima.Sed si salsum.quid opus erat salsa illa algunient a ione cum praesertim ea non sit Archiane dis. A ut quomodo erit Archimedis demonstratione praestantior Z quemadmodum assirmat. Praeterea quan uis ambitus illius polygoni laterum aequalium 38 . ter contineret diametrum & partem minorem decem septuagesimis primis, non propterea inserendum erat circunferentiam circuli ter continere diametrum & minus decem septuagesimis primis,maior est enim circunferentia circuli ambitu polygoni non aequalis,neque minor. Inaequalium autem magnitudinu maior ad eandem. maiorem habet rationem quam minor, ex octava quinti Euclidis. Et propterea indoete concludit.rationem circunferentiae ad diaia mettum .ininorem et se tripla super decuparti .ente septuagesimo primas.
Abste nuentum Archimeta δε rati ne circunferentiae ad diametrum.
suo quod protomatheia sn appellauit, rationsi circuseretiae ad diam i trusit ipla sesqui sepu-: ma minore ivina xulgatu Alchimedis nit . du drinostrandu sulae pisset, ideo eciauit ratiocina do,quoniaputauit nil interesse, si pro veris ac piaecisis radicibus paulo maiores capeictur .cepit igitur in prima
anguli diuisone pro radic quadrat
numeri i8or cutame praecisa radi X paulo minor sit ipsis et Ostederat aute quadratuquod fit ex linea ansulueetri diuidete, recidq;
iubi edete maiore habere ratione ad quadratueotingentis lineς qua igo: ad I 2M.quare coclusit lateris ad latus maiore este ratione qua qu
28 ad ii. sed patu scite. Erit enim ipsoru laterum ratio maior ea qua praecisa radix numeri I 8or, habet adii.&proinde maior ea ratione qua quicunq; numerus cade praecisa radice minor habet adri. Sed ab his non sequitur vi maior etiast ea ratione quam et 22. habent ad i. neq; alivde costar. Et idcirco Archimedes ad collige tu ratione circus ei utiae ad dianieti uminore esse tripla sesqui septima, sen per accipit numeros praecisis radicibus minores,quead modii ad ostededuqd huiusmodi ratio maior sit tripla super decu partiete septuagesinas primas,semper accipit numeros praecisis radicibus ma rores Eunde errore comist in tertia anguli diuisione,quonia accepit i6'. pro quadrata radice numeri 28sse, cu praecisa radiae eiu de numeri paulo minor sit ipsis i69. Alia ei' e rata quantu attinet ad hae demouratione, leuiolant, sed hominis tamen qui definitiones positas in mitiis libro tu Eucliὸis ignorare videatur. Putat eni quae ratio est dual ulinearuso gitudi ne eade esse et potetia, qd l pi' i culcat. Et id se regeti' est.qdsecuda parte demostrationi inseruit, ad collude ducu Archimc de rationcm