Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

61쪽

o DE TRANSFORMATIONE FINCTIONUM

neque vicissim per y exhiberi potest. Quo igitur Huic incommodo remedium afferatur ; ponatur y - x ' , eritque - b εο o. Determinetur nunc e ponens n ita ut ex hac aequatione valor ipsius r definiri queat: quod tribus modis praestari potest.

62쪽

Τribus igitur diversis modis erutae sunt Funmones ipsius xquae ipsis & y sunt ae iii ales. Praeterea Vero pro m numerum pro lubitu substituere licet cyphra excepta ; sicque formulae adcommodissimam expressionem reduci Poterunt.

Exprimatur natura Functionis y per hanc aequationem y c y O ; atque quaerantur Functiones ipsius x ipsis y & aequales. Erit ergo a - - I ; b - - I p α - 3 ; c - 3 ργ I ; dc δ I. Hinc primus modus dabit, posito m- I,

y - ἔ quarum expressionum utraque adeo est rati natis. Secundus modus vero dabit hos valores :

Tertius modus ita rem expediet ut sitr cx - x' , & y - x ex - x' 'ts 3. Hinc a posteriori intelligitur cujusmodi aequationes , quibus .

valor Functionis y per Ζ determinatur, hoc modo novam vati bilem x introducendo resolvi queant.

Ponamus enim resolutione jam instituta prodiisse has dete Euteri Introduc7. in Anal. insin. FDisiligod by Cooste

63쪽

LIB.

9 DE TRANSFORMATIONE FUNCTIONUM

64쪽

pER SUBSTITUTIONE M. 43

ε e Z o , sequenti modo tam y quam Z rationaliter per novam variabilem x exprimetur.

nuendo vel augendo utramque Variabilem certa quadam quantitate constante, unde & haec aequatio per novam variabilem x rationaliter explicari potest.

rationaliter per novam variatilem X exprimi poterit. Ponatur y - x , & secta substitutione tota aequatio per Fr

ex ciuo erit V -

65쪽

M DE TRANSFORMATIONE FUNCTIONUM

Lis I. Ex his casibus facile intelligitur quemadmodiim aquationex altiorum graduum , quibus y per i definitur, comparatae esse debeant, ut liujusmoὸi resolutio hicum habere queat. Ceterum hi casus in superioribus formulis 33. contimetitur : at, quia formulae generales non tam facile ad hujusmodi casus saepius occurrentes accommodantur, 1 illum est horum aliquos seorsim

evolvere.

hoc modo vimque quantitas y ct Z per novam variabilem X e primetur.

& Y - x v T . Hi autem casus aliique similes resolutiones admittentes comprehenduntur in sequente Paragrapho-

per novam variabilem X exprimetur.

66쪽

7 hae ue, ' - - da ' Φ dce. Haec scilicet resolutio locum habet, si in aequatione naturam Functionis y per exprimente , duplex tantum ubique occurrit dimensionum ab y & i sumptarum numerus ; uti in casu tra lato in singulis terminis numerus dimensionum vel est ni vel n. 18. Si in aequatione inter γ O et triplicis generis dimensiones occurrant, quarum Iumma tantum superet mediam, quantum haec media infimam , Ope resolutionis aquationis quadratae variabilesy O et per novam X exprimi poterunt. Si enim ponatur y - x s , divisione per minimam ipsius rpotestatem facta , valor ipsius y per x , ope extractionis radicis quadratae extubebitur, id quod ex sequentibus exemplis erit manifestum.. Ex ΕΜ P LuΜ L

67쪽

LIB. I

6 DE TRANSFORMATIONE FINC. PER SUBS.

Y a v ira b π i ta quibus exemplis usus hujusmodi substitutionum abunde perspiciriir.

De explicatione Functionum per series infinitas. 39. CuM Functiones fractae atque irrationales ipsius r non in sorma integra A in in C ' Φυῖ' - &c. continentur , ita ut terminorum numerus sit finitus , quaeri solent hujusmodi expressiones in infinitum excurrentes , quae Valorem cujusvis Functionis sive fractae sive irrationalis exhibeant, Quinetiam natura Functionum transcendentium melius intelligi ce setur, si per ejusmodi formam , etsi infinitam , exprimantur. Cum enim natura Functionis integrae optimo perspiciatur , si secundum diversas potestates ipsius r explicetur, atque adeo ad formam ---- Φ Ur' -- reducatur, ita eadem forma aptissima videtur ad reliquarum Functionum omnium indolem menti repraesentandam , etiamsi terminorum numerus sit revera infinitus. Perspicuum autem est nullam Functionem non integram ipsius per numerum hujusmodi terminorum Scc. finitum exponi posse ; eo ipso enim Diuitigod by Coosli

68쪽

pER SERIES INFINITAS. 4

Functio foret integra ; num vero Per hujtismodi terminorum Αν II seriem infinitam exhiberi possit, si quis dubitet, hoc dubium -- per ipsam evolutionem cujusque Fulictionis tolletur. Quo autem haec explicatio latius pateat , praeter potestates ipsius rexponentes integros amrmativos hahentes , admitti debent potestates quaecunque. Sic dubium erit nullum quin omnis Functio ipsius in hujusmodi expressionem infinitam transmutari possit :A ' - - Di in &c. denotantibus eXponentibus α , c , γ , δ , &c. numeros quoscunque. 6o. Per diuisionem autem continuam intelligitur fractionem resolvi in hanc seriem insnitam -

c. , quα , cum quilibet terminus ad

- , vocatur feries

sequentem habeat rationem consantem Igeometrica.

Potest vero quoque haec se ies ita inveniri , ut ipsa initio pro incognita habeatur: ponatur enim -- ACf - - Di' - - - - &c. atque ad aequalitatem producendam quaerantur coeffcientes A , B , C , D , &c. Dit ergo a

Quamobrem esse debet a - α A , ideoque A - - . & coe

scientium uniuscujusque potestatis ipsius r summa nihilo aequalis est ponenda : unde prodibunt hae aequationes , α B c A - o cognito ergo quovis coeffcienteis. C in C B o facile reperitur sequens; si enimis. 19 Φ c C - o fuerit coeffciens termini cujusque - Pα E ε c D- o & sequens - Q erit ιι Q Φ-- o&c. sive Q - - . Diuitiaco by Cooste

69쪽

48 DE EXPLICATIONE FUNCTIONUM

Cum igitur terminus primus A sit determinatus - - ex eo sequentes litterae B , C, D, &c. definiuntur eodem modo , quo ex divisione sunt orti. Ceterum ex inspectione perspicitur in serie infinita pro inventa potestatis coefficientem re f - . ubi signum in locum habet si n sit numerus

par , signum - autem si n sit numerus impar : seu coelficiens

erit

6 I. Simili modo ope divisionis continuata haec Functio fracta seriem insenitam converti potes. Cum autem divisio sit taediosa , neque tam facile naturam seriei infinitae ostendat, commodius erit seriem quaesitam fingere , atque modo ante tradito determinare. Sit igitur multiplicetur utrinque per α. --, atque fiet a b r - α A α B r H- α C f - - α Di ε α E f in &c.

A - - Sc B - ---: reliquae vero litterae ex seque tibus arquationibus determinabuntur r

tur ν

70쪽

pgR SERIES INFINITAS. 9

tur, sicque reperietur Series infinita A ε C ' Η- &c. CAp. IV.Functioni fractae propositae aequalis.

Si fiterit proposita haec fractio - - , huicque aequalis statuatur Series &c. Ob a I ;b-2 ἔ α. I; c-- I ; γ--I ; erit A I ; B - 3 ;tum vero erit C - B A quilibet ergo coefficiens aequalis est sum-D - C B mae duorum praecedentium ; quare si cog-E - D C niti fuerint duo coellicientes contigui

Cum igitur duo coemcientes primi A Sc B sint cogniti, fractio proposita - R in hanc Seriem infinitam transmutatur1 - i' Η- 7i' - ΙΦ I 8 ' ε&c., quae nullo negotio quousque libuerit continuari potest. 61. Ex his jam satis intelligitur indoles Serierum infinitarum, in quas Functiones fractae transmutantur ; tenent enim ejusmodi legem , ut quilibet terminus ex aliquot praecedentibus determinari possit. Scilicet, si denominator fractionis propositae fuerit α Φ cr , atque Series infinita statuatur

quilibet coeniciens Q ex praecedente P solo ita definietur ut sit α Q in CP o. Sin denominator fiterit trinomium ε, quilibet Seriei coelliciens R ex duobus praecedenti bus & P ita definietur ut sit α. R ε c Q H- γ ν αα o : simili modo si denominator fuerit quadrinomium , ut α ε cr ε γ'φ, quilibet seriei coefficiuns S CX tribus antecedentibus R, d & P ita determinabitur, ut sit οι Sinc Rεγ-P-o, Euteri Introduci. in Anal. in n. GDiuitiaco by Cooste