장음표시 사용
281쪽
LIB. I. ulbi denominatores non sunt per 6 divisibiles. Vel erit
quarum haec per illam divisa dat
ubi singulae fractiones ex numeris primis 3, 7, II, &c., mantur , singulos numeros primos in duas partes unitate dis sercntes dispescendo, & partes per 3 divisibiles constanter pro numeratoribus sumendo. χ9 Quoniam vero supra vidimus esse π U U U -
2 6 v 11 18 χ E OV3 3 7 31 I9 23 29 In priori expressione fiactiones formantur ex numeris primis formae I 2 m Φ 6 Φ I , in posteriore ex numeris primis formae 12 m Φ I , singulos in duas partes unitate discrepantes dispeiacendo , & partes pares pro numeratoribus, impares vero pro denominatoribus sumendo. Disitigod by Gorale
282쪽
EVOLUTIONE FACTORUM ORTIS. dist
29s. Contemplemur adhuc Seriem supra inventam 179 ,epiae ita progred ehatur
283쪽
111 DE SERIEB. EX EVOLVT. OCT. ORTIS.
a V1 4 ' 6 ' 11 ' 1Σ ' 18 ' Σo ' Σ1 Fubi nulli denominatores per 8 divisibiles occurrunt , pariter pares Vero adsunt, quoties unitate disserunt a numeratoribus. Prima vero per ultimam divisa dat
quae fractiones sormantur ex numeris primis, singulos in duas partes unitate discrepantes dispescendo , & partes pares nisi sint pariter pares pro numeratoribus sumendo. 296. Simili modo reliquae Series , quas supra pro expres sione arcuum circularium invenimus I79 Osqq. in Factores transformari possunt, qui ex numeris primis constituantur. Sicque multae aliae insignes proprietates tam hujusmodi Factorum , quam Serierum infinitarum erui poterunt. Quoniam Vero Praecipuas hic jam commemoravi , pluribus evolvendis hic noli immorabor. Sed ad aliud huic assine argumentum Procedam. Quemadmodum scilicet in hoc Capite numeri , quatenus permultiplicationem oriuntur , sunt considerati , ita in sequenti generatio numerorum per additionem perpendetur. Diuitiroo by Cooste
284쪽
297. PRO post TA sit ista expressio
quae cujusmodi induat formam , si per multiplicationem evolvatur , inquiramus. Ponamus prodire
atque manifestum eli P sore summam Potestatum a ' - - - - Η- -- P ε &c.. Deinde Q est summa factorum ex binis Potestatibus diversis, seu Q erit aggregatum plurium Potestatum ipsius x, quarum Exponentes sunt summae duorum terminorum diversorum hujus Seriei α, c, γ, δ, ε, , π, &C. simili modo R erit aggregatum Potestatum ipsius x , quarum Exponentes sunt summae trium terminorum diversorum. Atque S erit aggregatum Potestatum ipsius x , quarum Exponentes sunt summae quatuor terminorum diversorum ejusdem
Seriei γ , δ , &c. , & ita porro. 198. Singulae hae Potestates ipsius x, quae in valoribus litterarum P , Q , R , S , &c. , insunt , unitatem pro coefficiente habebunt, si quidem earum Exponentes unico modo eXα , c , γ, δ , &c., sermari queant: sin autem ejusdem Potestatis Exponens pluribus modis possit est e summa duorum , Diuitiam by GOoste
285쪽
LIB. I. triuIn , pluriit nave terminorum Seriei c, γ, δ, ε, &c. . tum etiam p. tesuis illa coossicienterra habebit, qui unitatem toties in se complectatur. Sic , si in valore ipsius reperiatur δε τ', indicio hoc crit numerum n e Te N d. rIis modis summam duorum terminorum d. vertorum SQridi α, γ , &C. . Atque si in evolutione Facitorum Propositoruna occata at terminus Nae ' i'' , ejus codiliciens N indicabit quot variis modis numerus ii pollit esse sumna a m terminorum d Nersorum Seriei
299. Ergo Pro luc. um Propositum
per multiplicationem Veram evolvatur, ex expre lione resultantestatim apparebit , qtiot variis modis datus numerus possit esse summa tot terminorum diversorum Seriei α, γ, δ, ε, ζ, ct c., quot quis voluerit. Scilicet, sit quaeratur quot variis modis numerus n possit e se summa m terminorum illius Seriei diversorum , in eXpressione evoluta quaeri debet terminus PQ, ejusque coefficiens indicabit numerum quaesitum. 3oo. Quo haec fiant planiora , sit propositum hoc productum ex Faetoribus constans trifilutis
quod per multiplicationem actualem evolutum dat Diuitiam by Coo li
286쪽
Ex his ergo Seriebris statim definire licet quot variis modis propositus numerus eri dato terminorum divers brum hujus Se
, 3, 6, 7 , 8 , &c. numero oriri queat. Sic , si quaeratur quot ariis modis numerus 33 possit esse summa septem terminorum di 'ersorum Seriei I, 2, 3,q, 3, 6, 7, &c. , quaeratur in Serie r' multiplicante Potestatem x , ejus lite coelia ficiens Is indicabit numerum propositum 3s quindecim variis modis esse summam septem terminorum Seriei I, 2, 3,ψ, 3, 6, 7, 8, &c. 3or. Quod si autem ponatur I I , & similes Potestates ipsius x in unam summam conjiciantur, seu , quod eodem redit, sit evolvatur haec eXpressio infinita 1 ε x 1 Φx' I in x' I in x I Φx' I . x &c., quo facto orictur liac Scri est Φ x in x' - 2x' - Σx Φ 3x' - ψx' Η- s x' - - 6x' in &c.,
ubi quivis caesi ciens indicat , quot variis modis Exponens Potestatis ipsus x coniunctae ex terminis diversis Seriei I , Σ , 3, 6, 3, 6, 7, &c., per additioncm emcrgere possit. Sic apparet numerum 3 sex modis per additionem diversorum num rorum produci, qui sunt Diuitiam by Gooste
287쪽
LIB. I. ubi notandum est numerum propositum ipsum simul computari debere , quia numerus terminorum non de nitur, ideoque unitas inde non excluditur.3ΟΣ. Hinc igitur intelligitur , quomodo quisque numerus per additionem diveri brum numerorum producatur. Conditio autem diversitatis omittetur , si Factores illos in denominatorem transponamus. Sit igitur proposita haec expressio
quae per divisionem evoluta det
Atque manifestum est fore P aggregatum Potestatum ipsius x, quarum Exponentes contineantur in hac Seriec ν , δέ c. . Deinde Q erit aggregatum Potestatum ipsius x , quarum Exponentes sint summae duorum terminorum hujus seriei, sive eorundem sive diversorum. Tum erit it summa Potestatum ipsius x , quarum Exponentes ex additione trium terminorum illiu Seriei oriantur ; & S summa Potestatum , quarum Exponentes ex additione quatuor terminorum in illa Serie conten torum formantur , & ita porro. 3o3. Si igitur tota expressio per singulos terminos explicetur , & termini similes conjunctim exprimantur , intelligetur quot variis modis propositus numerus n per additionem m. terminorum , sive diversorum sive non diversoriim , Seriei , c, γ , δ , ε , , produci queat. Quaeratur scilicet in e pressione evoluta terminus P , ejusque coeffciens, qui sit N, ita ut totus terminus sit - Nx' , atque coemciens Nindicabit quot variis modis numerus 1a per additionem m terminorum
288쪽
minorum in Serie α , c, γ, δ, ε, &c., contentorum produci queat. Hoc igitur pacto quaestio priori, Piam ante sumus cou- templati , similis resolvetur.3o . Accommodemus haec ad casum inprimis notatu dignum , sitque proposita haec expressio
Ex his ergo Seriebus statim definire licet quot variis modis propositus numerus per additionem eX dato terminorum hujus Seriei I, 2 , 3 , Φ, 3, 6 , 7 , &C. , numero produci queat. Sic , si quaeratur quot Variis modis numerus 13 oriri possit per additionem quinque numerorum integrorum , spectari debebit terminus x Q, cujus cous sciens I 8 indicat numerum propositum I 3 ex quinque numerorum additione octodecim modis oriri posse. 3os. Si ponatur r I, atque similes Potestates ipsius ae conjunctim exprimantur, haec expressio
Euteri Introduci. in Anes. insin. Κ k
289쪽
in qua quilibet coci siciens indicat, quot variis modis Exponens Potestatis adjunctae per additionem produci queat eX numerisbuegris , si 'o aequalibus sit e inaequalibus. Scilicet ex termino IIx' cognoscitur numerum 6 undecim modis per additionem numerorum integrorum produci posse, qui sunt 6 6
ubi quoque notari debet, ipsum numerum propositum , cum in Scrie numerorum I , 2, 3, 4, 3, 6 , &c., Proposita contineatur , unum modum Praebere. 3os. His in genere expositis , diligentius inquiramus in modum hunc compositionum multitudinem inveniendi. Ac pri ilio P.id in consideremus cam ex numer ς integris compo si. onem , in qua numeri tantum d. versi admittuntur , quam prius cCmmemoravimus. Sit iSirur in triinc finem propositaliaeet eXprcst o
quae cvoluta & secundum Potestates ipsus r digesta praebcat
i. hi methodus desideratur has ipsus x Functiones P, Q, R, S, T, Sc., expedite inveniendi , hoc enim pacto quastioni propositae convenientissinia satisfici. Diuitigod by Coosla
290쪽
3o7. Patet autem , si loco ponatur x r , prodire
ergo , posito, loco r , valor producti, qui crat Z , ahibit iu
3o8. Sic igitur seorsim unamquamque Seriem Potestatuni ipsius x exhibere possumus , ex qua desinire licci , quot variis modis propositus numerus ex dato partium integrarum numero per additionem formari possit. Matii festum autem porro est has singulas Series esse recurrentes , quia ex CVoluti Ouz