장음표시 사용
41쪽
circuli concentrici, omnes lineae redite,ductae a quolibet puncto ci cum serentiae maioris ad centrum , debeant necessatio transire per aliud de aliud temper circumferentiae minoris punctum, ium- quam duae per idem Cuius ratio est, quia si piares lineae a diuersis punctis circumferentiae maioris descendentes transirent per idem
punctum circumferentiae minoris , concurrerent inter se ant
quam peruenirent ad centrum quod est impossibile, cum supponantur esse rectae.
Data vero hac demonstratione, sequitur euidenter, circumferentias illorum circulorum ex punctis finitis non componi. Fac enim circumserentiam Am CD in segmento arcu A D. con- Crinere mille puncta, arcum minoris circumserentiae E H. e respondentis continere dimidium numerum, id est,puncta quingen- ta Ducantur iam a Iocio punctis segnienti A D. totidem lineae rectae ad centrum I. Si trantem singulae per aliud de aliud punerum segmentiam igitur in isto segmento Em erunt etiam
Iocio puncta localiter extra mutuum situm expansa, id est, dimidium erit aequale suo toti,i numerus roo aequabitur Io oo. S totus Diyitia ' Cooste
42쪽
totus circulus A SCO.no erit maior circulo ei inscripto DFG H. quod est manifestum impossibile. Hac demonstratione aduersus
Epicurum, sed paullo aliter concepta, Vtitur Scotus. Duo tamen, quantum video, possunt respondere. Primo Aristotelem respergent eadem absurditate, dicentque nec sententiam eius posse defendi, nisi totidem in minori, quot in maiori circulo, sint puncta, dc uterque circulus par sit. Sed incassum nituntur.nam si de punctis realibus,id est, Physicis S unii sibilibus,ressit totidem in minori circulo sunt; sed minora, quam in maiori, ut intra mox ostendemus si de punctis Mathematicis S imaginariis, pro unoquoque puncto maioris circuli aliud semper nouum incireulo minori ei respondens, cum fundamento in re imaginari possumus quia, cum infinita sint,non possunt aliquando deficere Puncta vero Mathematica realia, lineasque omnes, dc superficies reales Cap. xxx a continuo eXpungImus. Secundo. Si sic qui hodie Louanisi sententia Epicuri fere solent at firmabunt plures lineas segmenti maioris A D. deduci ad centrum I. eadem via, ac per idem punctum segmenti m noris E H. Subtilitas Scoti tamen oppositum tam putauit euidens, vidi In dα cat diuod minor circumferentia non secetur in no eodem puncto, 'μ' '
secetur a duabus lineo, non oportet probare, nisi propter proterviam aduersariν quiasatis ea manifestum, quod eadem hneasprotrahatur
a centro in continuum es directum, numquam terminabitur ex eadem parie in circumferentia circuli maioris) ad duo puncta ita videlicet,ut linea unica a centro I. ad punctum minoris circuli L. directe protracta, diuidatur deinde in duas,quae terminentur ad duo puncta circumferentiae maioris M.&m .aut certe ad tria M.O. N. Verum quia propinquitas punctorum M. O.N. potest esse ranta, ut iudicio sensus videantur esse unum punctum, ac proinde ii
neae q. IN I. esse eadem cum linea recta O I. unde lineae Q.
dc I videbuntur etiam in directum protractae; idcirco fingamus circumferentiam ABCD esse longe ampliorem circumrerentia EFG H. ut exempli caussa,sit illa circumferentia supremi caeli, haec vero globi terrestris. Quia igitur una alteram in immensum quodammodo superat, pone decies centena millia punctorum circumferentiae maioris respondere unico puncto minoris,&conlequenter totidem lineas a circumferentia maiori per punctum L. circuli minoris molire ad centrum I. Ergo iam omnes
43쪽
32 LIBERTI FROMON DIlineae magni tandem notabilis segmenti circuli maioris, non rem, sed insigni inflexione εἴ curuatura,necessario traiici debebunt per punctum L ad centrum I. ac proinde falsum erit hoc Mathematicum principium,2 quolibet puncto circumferentia posse lineam
rectam adcentrum duci. dc generaliter falsum quod tamquam lumine naturae rationalis euidens, postulat sibi sitne demonstratione Lib. concedi Euclides , ---τος μεμου μ σανχη-ον ήθειαν
alia ἀγαγῶν, a quolibet puncto ad quodlibet aliud punctum tineam rectamposse duci. Dupliciter tamen hoc eludere pollunt Epicurei. Primo, postulet quantum volet, inquient, id sibi dari Euclides, nisi tamen demonstret,ultro ei non dabimus. Secundo, alij liberaliores, concedunt ei quod petit sed omnes illae lineae, etsi per idem punctiam circuli minoris descendant ad centrum , sunt tamen rectae, inquiunt, quia reditori via trahit queunt. Vnde fatentur lineam Q. esse reuera rectam. Quomodo inquies nonne linea recta est,cuae inter duo aliqua puncta est breuissima linea autem OI sine dubio sensus enim id ostendit)breuior est, quam M I. aut N I Respondent, verum id esse linea tamen d est etiam, aiunt, hoc sensu breuissima, quia a puncto M. non potest breuiori tramite,quam per punctum L.ad centrum I. incedendo per quantitatem&spatium verum in descendi. Attamen quantum ad primum, dissicile non erit Euclidi quod postulat demonstrare. Cum enim aliqua puncta sic in directum disponi possint,vilineam rectissimam,qualis est ΙO in praecedente figura, conficiant fiat ex talibus regula, ego quibuscumque as. signatis a te punctis eam interponam,&sic breuissimum omnino dimetiar quod interiacet spatium , ostendamque verum hoc esse,
quolibet puncto ad quodlibet aliud punctum lineam omnino rectam posse duci, ac talem esse lineam spatij, cui regula illa superponitur.
Itaque linea Io exacte, mathematice recta, transferatur in M. Ostendet manifeste inter M. I. esse breuius, directius spatium, quam illud quod iam metitur linea I M. quae torquet se& a recto tramite deuiat transeundo per L. cum per punctum P.
Ex quo etiam vanitas secundae responsionis statim apparet. Si enim linea IO ad M. transferri possit, igitur series aliqua punctorum inter M.&q. quae per punctum P. transit, directior, breuior est, quam illa quae per L. descendit haec ergo erit linea II. cui regula i Dissilia ' COOgle
44쪽
D E COMPOsITIONE CONTINUI LIBER. 33
regula similis lineae I O.superponetur.Nec illa linea PI.ex punctis imaginariis tantum, feci etiam realibus, Ut loquimur, contexta erit quandoquidem totum undequaque spatium imaginarium veris punctis veraque quantitate plenum sit, nec in ulla vel minima
particula dehiscat aut vacet. Ex his ergo,opinor,iiquet,numquam duas lineas a duobus punctis circumferentiae maioris ad centrum descendentes, per idem punctum circumferentiae minoris transire, sed temper per aliud
aliudque quod facile deprehendi potest,ii linea IO usque ad A.
Circumducatur . nam omni momento quo supremum eius punctum O. in circumserentia maiori locum mutabit, etiam medium punctum L seruata proportione mutauerit unde cum O. transierit in M. etiam L. in P migrauerit,atque ita deinceps usque ad A. Id autem ut fieri possit, totidem puncta in segmento minoria H. quot in maiori A D. esse oportet, si utriusque circuli Cimcumferentiam ex puris punctis Mathematicis finitis constituas. Istud autem absurdum, impossibile,&contra sensum est igitur infinitae partes in circumferentia minori,etsi minores quam in maiori, compingendae sunt, ut quoties punctum O. se movet persegmentum A D. maius punctum quoque L. inueniat in segmento minori EM. aliquod spatium, quo se licet tardius, quam O. in segmento maiori)promouear. Quod demonstrandum fuit. Atque haec doctrina Peripatetica eodem S firmo satis pede inacedct, siue per puncta S lineas Physicas, siue per Mathematicas, imaginarias expedire velis. Nam lineae Physicae sunt vera scgmenta circuli, in summa peripheria unde incipiunt, latiora, & deinde paullatim versus centrum descendendo, angustiora. Tales autem in quolibet circulo si is in segmenta proportionalia diuidatur hi finitae,& rectissima sunt, reperiuntque singulae in circulo minori concentrico noua puncta per quae ad centrum transeant, quia haec puncta non Mathematica ac omnino indivisibilia, sed naturalia Zediuisibilia sunt, ac proinde in circumferentia circuli minoris tanto minora, quanto circulus ipse est angustior maiori circulo, quo
Nihil igitur mirum in sententia Peripatetica,omnes lineas naturales infinitas a punctis naturalibus circuserentie maioris A B CD. eductas, transire per alia semper puncta naturalia circumferentiae
minoris EI G H. quia paullatim in descensu gracilescunt, cuneantur veluti etiam in segmento AIM. cernere licet, quod in summa
45쪽
34 LIBERTI PROMON BIsumma circumferentia latissimum est, intercipit arcum A M. at vero in circulo minori, solummodo arcum E L. perpetuo sei stringit donec perueniat ad centruma Sic igitur res te habet in qualibet, ac quantumlibet gracili linea naturali, quae reuera tenue quoddam circuli segmentum est,quod non eodem filo, sed sensim gracilescente ut in aristis, aut barbae etiam nostrae pilis videmusina circumterentia descendit ad centriam.
Singulis ergo partibus diuisibilibus circuli maioris totidem in
circulo minori respondent,sed minores,per quas proinde lineae naturales in descensu se perpetuo extenuantes, facile transmittuntur recta ad centrum, cum punctum naturale, siue particulam min rem circuli minoris in transitu intercipiant, quam sit punctum iulud naturale in circumserentia circuli maioris, unde incipiuntancontinuo vero Epicuri,quod ex meris punctis Mathematicis finitis componitur,omnes linee: pari filo,& crassitudine,ut sic dicam,ubiaque punctuali,ad centrum decurrunt:vnde si rectae sint,necesse est, ut singulae nouum punctum in peripheria circuli minoris intercupiant, eiusdem molis eum puncto circuli maioris, quod est earum linearum principium. hinc plane consectaneum est,totidem in ambitu utriusque circuli puncta eiusdem molis esse, ac citculos dises aequalem habere peripneriam. Putabunt fortasse eadem, qua nos, Via elabi per lineas nempe Physicas, diuisibiles perpetuo deorsum secuneantes& adstringentes sed fallentur. Nam fac in schemate superiori,lineam Phy-1icam Epicuri ex tribus punctis G, in latum dispositis era sescere, statim ecce deorsum se extenuando, ad duo puncta crassities eius veniet.& deinde mox ad unum , dehinc eodem unius puncti filo perget usque ad centrum id est, linea illa Physica is uera recta esse non poterit , csim nec uniformis crassitiei sit, nec uniformiter decrescat usque ad finem synde, ut ex demonstrati ne superiori patet ineae istae extremae M L.&m L. quae terminant utrimque crassitiem lineae Physicae, nulla recta via possitnt peruenire ad centrum LPraeter autem lineas nostras Physicas, Mathematici alias imaginarias infinitas ad centrum deducunt. Binas inprimis, quae utrimque lineae Physicae latera cingant, definde alias sine fine quae intra lineam istam Physicam, a summo deorsum adceutrum decurrant. Clim enim iuxta circuli maioris circumferentiam latius
a se mutuo distent,6 paullatim se cum linea Physica restringant,
46쪽
DE COMPOSITIONE CONTINUI I E R. 3 donec concurrant incentrum, Mathematici imaginantur erangustias illius particulae circuli minotis, quam linea Physica intercipit totidem lineas Mathematicas posse transire, quot a punctis imaginariis maioris circumterentiae possunt inchoari nam quaecumque 'vanrumcumque propinqua duo puncta in maiori circulo designaueris, inter ea est pars lineae, quae in infinitum decrescere potest , ac proinde ina punctis illis lineae duae versus cecierum deducantur,spatium inter eas perpetuo restringetur ac decrescet, atque ubi ad minoris circuli circumferentiam lineae peruenerint, eam in duobus punctis propinquioribus secabunt, quam fucrint illa duo puncta in circumserentia maioris circuli, a quibus incoeptae sunt. Quotquot igitur lineas Mathematicas imaginarias a punctis arcus A O imaginatio nostra inchoat, totidem per arcum minorem Ei ad centrum I deducit Secus vero esset, si lineae parallelae, siue aequidistantes traherentur nam eo casu non Omnes
inchoatae a punctis arcus A O inciderent in aliquod punctum arcus Et sed tantum eae quae inchoarentur a parte arcus KO tanta,quantus est arcus E L.ut scienti quid linea parallela,& paullisper cogitanti facile liquet. An igitur totidem in arcu minori SL.puncta sunt,atque in arcu maior inquies. Resp. Puncta vera reclia nec plura, nec pauciora, nec aequali numero sunt, quia puncta eiusmodi,cum lineis suis,& superficiebus reatibus Cap. XXXII uniuersim continuo expellimus Partes tamen in utroque arcu infinitae sunt, licet plures in maior quam in minori. Vt tamen omnes lineae a punctis imaginariis circuli maioris recta perueniant ad centrum, satis est
infinitudo quaelibet partium citculi minoris, inter quas lineae imaginariae indivisibili tramite, ac sine ulla spatij extra partes illas occupatione, sed ipsis implicitae, imaginatione nostra in centrum traiiciunt. Atque ita haec inlinitudo partium minosis circuli dat Mathematicis sussiciens fundamentum imaginandi rectitudinem imaginariae lineae, a quocu que uncto imaginario maioris circ. li,cogitatione sua eam voluerint educere ad centrum. Potest tamen id etiam de unctis Sc lineis Physicisantelligi, quas diximus initio latiores esse, deinde pedetentim accessu ad centrum restrimm Tales enim infinitae recto, sed paullatun angustiori tramite descendunt ad centrum.
47쪽
orgumentum secundum Geometricum idem demonsira :Tot erunt in Diametro puncta, quot in toto semicirculo. EX sententia Epicuri iterum hoc ἁλον, impossibile sequitur, Tot esse praecise in diametro circuli puncta, quot in toιά exmcumferentias circuli Describatur enim semicirculus ΑΒ C. cuius diameter sit A C. Si circumferentia siue linea AB C. finito numero punctorum constat, aio non pluribus, quam diametrum siue lineam AC constare id est, duae lineae inter eadem duo extre-
MI BEGA L DI Cma pincta αα C. quarum una est recta Minera curua erunt aequales cum eumdem punctorum extra mutuum situm expans rum numerum contineam. Quae res non verbis, sed flagris est dignissima. Sic autem ostenditur. A singulis punctis circumferentiae duci possunt lineae rectae perpendiculares , quae per alia ac alia semper diametri puncta transeant,quales sunt MN.&IL c. igitur tot praecise erunt puncta in arcu semicirculi ABC quot in diametro Α C. Nam alias aliquot lineae necessario per idem punctum di metri transire deberent vi,exempli caulsa,linea a puncto M. nulla pussiet in punctum N perpendiculariter, seu ad angulos rectos deduci, sed in punctum L.fortane cum linea ΙL. necessario deberet ad angulos obliquos incidere, nec posset directius per aliud pumctum diametrum intersecare. Hoc vero statim ridiculum apparet. Cur enim magis potest Lia Dipitia ' Cooste
48쪽
DE COMPOSITIONE AEONTINUI, LIBER. 37I in L. rectissimeri perpendiculariter, quam M. indi protrahi Iam enim Cap.praecedenti ostendimus, verissimum hoc Euclidis pronuntiatum eta, inter Quaelibet duo puncta rectam omnino MMathematice lineam posse duci. Igitur inter M.&N. extrema puncta tam valet rectissima linea, quam inter I & L. aut inter B. D. c. interiacere. In sententia vero Aristotelis S Mathematicorum, sufficit in diametro puncta, aut partes infinitas esse, licet in circumferentia semicirculi plures inueniantur: unum quippe infinitum alio maius esse nihil vetat,quemadmodum in numero hominum psssibilium infinito, non tantum unitates, sed centenatij infiniti sunt, etsi uni- intes,quam centenarij, plures sint.
Argumentum tertium Geometricum idem demonstrans. ΙDem in lineis rectis
lacile potest ostedi. Sit enim triangulus Aa C. cuius basis να conti
neat quemcumque pumctorum numerum H heat igitur Io.ut in paruo numero res tota facilius capiatur: latera vero si
est, puncta o eritque totus triangulus isolae-les,sive aequaerurus,cuius
latera duplo longiora basi. Ducatur deinde a puncto proximo si tale aliquod est supra angulum B linea recta ad punctum ex aduerso positum,proxime supra an
49쪽
38 R I FROMON DItasi Bumam cum latera trianguli perpetuo comprimantur. nec tandem in commin concurrant, fieri non potest, quin lineae basi parallelae triangulo iac inscriptae, scansim sursum pergendo, perpetito decurrentur. Igitur linea DE. brem erit basiluvia vcnunimum, punem minor enim mensura, quam puncti indiuia sibilis dari nequit. Itaque D E. nouem punctorum erit proxime deinde sequens octo punctorum, desita deinceps sursum eundo,&unicum semper punctum carpendo, decimam lineam FG unius
tantum puncti me inuenies:& tamen dimicuam tum areae trianis
guli partem lineas inscriptam Moccupatam vides. Qua igitur magnitudine superiores decem linea us ead conum . inscribendae constabunt 3 Certe enim spatium illud non magis est vacuum, quam inferius Hoc igitur fateri Epicuru torret lineas septa FG. inscribendas esse minores linea FG punctuali,&proinde puncto esse aliquid minus: unde punctum esse diuitabile,nec esse punctum, eiusmodi tanta alia delirare,ut nemo Medicus tam tardus sit,qui ad cucurbitas statim non decurrat, aut Hippocraticis vinculis lin tum in Anticyranam nauem non iniiciat. Haec vero demonstra In L. d. i. O ante me etiam Gregorij Ariminensis est, cui olim cum clarissa'. . ma mihi videretur, & tenebras tamen aliquas in gratiam Epicuri,
offundere studerem,nihil aliud post longam muginationem exprio valui , quam
hanc fidem cogerem,& fucum ei aliquem non omnino improbabilem facerem, ego Esuperficiem ex pu ., ceu pauimentum ex tessellis,sic sternebam, ut unumquodq; pu ctum quaterna alia proxime cingerent hoc modo: Ex qua punctorum
acie construa .dem vides quadrangulum ABCD inciussim
50쪽
quatuor lineis persecte recti, sed triangulum nequaquam potcst. Nam licet duo latera recta ut exempli gratia AC.&CD pro triangulo sumi possint,tertium tamen latus,videlicet A D.quod est diameter quadranguli, persectera Mathematice rectum esse ne- civit. Cum enim quodlibet punctum quaternis solummodo aliis, sursum, deorsum,S ad utruq latus proxime ambiatur, nulla linea recta ab eo puncto uc inclut exire potest, nisi per aliquod ex quatuor illis punctis ipsum ambientibus. Igitur a puncto extremo D. quod quia in ultimo angulo est, a duobus tantum punctis qua dranguli cingitur Drecta linea solum duci potest verius C. Sesve sus B non autem versus A. per mediam diametrum areae quadramguli sed oportet lineam serpentinam, delirantem, hoc quo ibi
cernis pacto,a D .versus Α.contorquere. Et haec est linea rectissima aut certe alia hac non correctior quae a D in A. protrahi per puncta intermedia potest, si tota area contexta est ex meris punctis.
Ne nimis essust tamen rideas, linea illam A. ad sensum recta est, quia paucula proxima contigua puncta per quae a rectitudine
Mathematica deuiat, non emciunt quantitatem quae oculis cerni
possit etiamsi in praesenti figura , ubi puncta cum interuallis ad distinctionem depicta sunt, euidens flexus, deliratio lineae
Cur autem non sumit, inquies, ut per unius solum puncti latutudinem extra viam rectam ubique se detorqueac Resp. quia sic numquam lineam tuam a D. usquc ad A. deducere poteris, sed neceuario finietur in Edecimo puncto lateris ita videlicet,ut CD.
C E. duo trianguli quod inde resultabit latera)sint lineae aequales.Periclitare i vis,ita rem habere inuenies,& ex Capitis, Ii demonstratione patebit.
Sic igitur ego olim pro Epicuro papyrum meam dispungebam.
Sed bona fide est excusare hoc, an accusares qualis enim estine Epicureus triangulus AD C. quam ridiculus Insaniet, si videat, non irascetur Euchde, &stantem . malit peris debebus. Incredibile enim nimis est, a D in A. lineam directiorem&breuiorem istae non posse pertrahi. Nam sumatur linei C. quae rectissima est,&ahquot punctorum additione prolongata diameter enim quia tanguli D A.est aliquanto longior,quam latus AC. inter puncia extremam 8c A. interponatur iam diametri illius vingitudinem perpetuat directissima punctorum suorum serie incuetur, punctaque eius in totidem areae puncta cadent, cium uultibh