장음표시 사용
71쪽
Theor. 34. Propos 3 SVnitates denominata planis Arithmetice dispositorum sumpta a duabus assumptis totidem semper secundum numeros ordinum earumdem sunt reciproce ut sydem nu
denominatae planis eorumdem, quarum sint assum, pta C, D, eorumdem ordinum inter numeros A sint E, F Dico B, sumptas C, semper totidem secundum numerum E ad easdem B, sumptas a DJemper totidem secundum numerum , esse ut F, ad E. Quoniam B, Prop. sumptae a C, semperio idem secundum numerum E ad easdem B, sumptas a prima semper totidem secundum Primum numerorum A, sunt ut idem primus ad Elitem Prop. 3Fipsaei, sumptae a prima semper totidem secundum cumdem numerum primum ad easdem B, sumptas a D, semper totidem secundu numerum F, sunt uti, ad eumdem primum numerorum A ergo ex aequo in perturbata B, sumptaras, semper totidem secundum numerum Ε, ad easdem B, sumptas a D, semper totidem secundum numerum F, reciproce sunt ut F, ad E. Quod,&c. Theor.
72쪽
Vnitates denominataplanis Arithmetice dispositorum sumpta quotlibet a prima taquales numero multitudinis earumdem denominato per pro Erum sub eodem numero multitudinis, S primo numero, σdisserιntia in dispositione semper auctum quadrato eiusdem primi numeri.
0SInt A, numeri Arithmetice di positi a B, cum di me rentia C; in D,unitates denominatae planis numerorum , quarum umpi quotlibet a prima secundu in multitudinem Ε, sint aggregata in F; ex E in planum C ducto sit productus G, qui auctus quadrato B, sit H. Dico quod , est aequalis E, denominato per Id. Sit , vltima sumptarum in F; inter numeros prop. g. A, eiusdem Or imis, cui proximus maior L constati, ad unitatem denominatam plano BL se habere ut E ad unitatem ergo F, est aequalis E, denominato per planum B L quoniam,quot sunt unitates in E,tot sunt asegrcgata in F; toti lcmque sunt plana numerorum A, Vs que ad Linecnon totidem sunt excesses aequales ipsi C, intc exircinos L, B: ergo excessus L, B, ad C, est viri, ad
73쪽
ad unitatem;&propterea excessus L,B, est qualis plano CAE; I, est compositus ex plano Ca, iunxero Bidi multiplicando peti, itanus B L, est composituse X Pso ducto B, in planum CE,&ex quadrato B; huiusmodi autem est etiam numerus, ergo planus L, est aequalis Hiergo F,est aequalis E, denominat per H. Quod, c.
Vnitates denominata planisArithmetice disepositorum, quotlibet aggregata a prima sunt minores nitate aenominata plano
primi numeri s disserentia dispositionis
SInt in B, sumpta a prima secundum numerum
quotlibet unitates denominata planis numerorum Arithmetice dissipositorum a C,cum disserentia Did fiat E, planum CD. Dico B, minorem esse unitate denominata per E. Ex A,ini, ducto fiati, qui auctus qua drato C, sit G quia G, maior est F, habet A ad G, pro portioncm minorem, quam ad F d, cum F, sit productus ci , in E , ut A adi, ita munitas acissi ergo A, ad G, minorem habet proportionem, quam unitas ad E;ωA , denominatus per G i minor est unitate denominata per Ei est aut cm B, aequalis A, denominato per G, Prop. r. ergo B, minor est unitate densi minata per E. Quod c. Corol.
74쪽
Prop. 1. Vnde comia unitates denominatas lauisn erorum Arithmetice divolorum in
infinitum dispositas aggregatas esse
Prop. 4. Constat etiam , quod unitates denominata planis numerorum Arithmetice dispositorumsunt in aliqua multitudine a prima, qua implent quamlibet propositam exten-psionem minorem extensiione dispositarum earumdem in infinitum.
Data proportione minoris iraqualitatis alis ram Uuenire maiorem data, qua sit inter numeros,quorum minor sit multiplex dati, ου maior minorem excedat altero dato.
75쪽
Si data proportio minoris inaequalitatis A, ad B;
datiq; numeri , D opportet inuenire alteram proportionem minoris inaequalitatis maiorem data A, ad B, quae sit inter numeros, quorum minor sit multi-pi cx maior minorem excedat per D. Inueniatur Prop. r. proportio maior datam, ad B, quae sit numerissi, quem datus C, metiatur ad numerum F, unitate maiorem &D multiplicando E, F faciat G M. Dico proportio nem G, ad H, es te quaesitam. Est enim uti, ad F, ita G, ad H, proportio minoris in aqualitatis maior data
A, ad B quia C, metitur E di, metitur C; ergo C, metitur G in conuertendo, G, est multiplex o quia E, adi, est ut , ad H; diuidendo, E, ad unitatemestica, ad excessum H, Gi& permutando, E, ad , est, ut unitas ad excessum H, G; sed cum D, multi plicando E, secerit , ut E ad G, ita est unitas ad D;ςrgo unitas ad excessum H, G, est ut unitas ad Da igitur D, est excessiis H, G inuenta est ergo proportio minoris inaequalitatis G, ad H , maior data x, ad B, in
qua minor numerus G, est multiplex dati C, maior H, excedit G, per alterum datum D. Quod facere,&c.
Vnitates denominata pianis Arithmitice dis ρο torum disposit in insultu, et aggregata sunt aequalis .mtati denominatu produ-
76쪽
si Nouae adraturectum numeri primi in Aritbmetica dispo lsitiuo disse uti congequentium.
Η SInt in A, dispositae in infinitum,4 aggregatae unitates denominatae planis Arithmetice dispositorua B, cum differentia C; sit D unitas denominatu, plano BC. Dico A, esse aequalem D. Alias erit A, ma Coros.et tori, vel minor D sit maioris igitur in aliqua multitudi-Pror 33 es impis a prima unitates disposita in A, implent Dosit huiusmodi multitudinis numerus E, qui adiecta uni-Def. io late fiat λ; ergo aliquot unitates A, sumptae in muli, Prop. s. tudine F, sunt minores D, quod est absurdum; igitur Prop. 39. non est x, maior D. Sit minor,& data proportione minoris inaequalitatis A ad D, inueniatur altera minoris inaequalitatis maior data, quae sit numeri G,multiplicis plani B C, ad numerum H, excedentem ipsum G, quadrato numeri B; sit autem , multiplex plani BC, s cundum I.&initatum denominatarum in A, sumantura prima totidem secundum numerum I; sumptarum Prop. 37 sit aggregatum K constat Κ, aequalem esse I, denominato per H in quoniam , multiplicando planum BG, facit G; ergo ut unitas ad planum BC , ita se habet l, ad G sed unitas ad planum BG, est v D, adi nitate ergo vi I, ad G, ita est D ad unitatem; G, ad H, maiorem habet proportionem, quam Α, ad D ergo ex aequo in perturbata I ad H, maiorem habet proportionem,qtiam Α, ad unitatem; sed vi I, ad H, ita est K, ad unitatem Lergo Κ, ad unitatem habet maiorem proin
77쪽
portionem quam A ad ea indeminitatem maior ergo est K, quam pars, quam totum, quod est absurdum: non est ergo A, mari D, neque minor. Ergo A,aequa lis est ipsi D. Quod,&c.
SInta, numeri Arithmetice dispositi a B , cum diis rentia C; QD, unitates denominatae planis A, in infinitum dispositae, aggregatae. Dico D, aequales esse unitati denona natae plano BC. Sumantur D, a prima tot quot sunt unitates in B, assumptas proxime sequaturi, cuius ordinis inter numeros A, sit Fi&abi, sumantur D, totidem semper secundum numerum B, sicut a prima; iterum ab eadem Ε, sumantur totidem semper secund0m numerum F quia D, sumpti Prop.3s. ab E, secundum F, semper totidem ad easdem D, sumptas a prima secundum B, semper totidem sunt uti, ad F; ergo colligendo, omnes D, ab E, ad omnes D, sunt ut B, ad FG per conuersionem rationis primae sumptFD a prima siccundum numerum B, ad omnes D air, ina sunt vi e X cessus F, B, ad F; est autem cxcessus F, B, toties multiplex excessus quot sunt prima sumptae D,videlicet sic cundum umerum B; quare excessus F,B,est aequalis plano B F, est compositus ex plano BG, B; sumptae, ero primae , seeundum numerum B Prop. 37. sunt aequales B denominato per productum ex B,&plano BC auctum quadrato B; videlicet diuidendo per B , unitati denominatae per planum BG, auctum B,
78쪽
uel unitati denominatae peri ergo unitas denominata per F, ad D, est ut planum BG, ad F; uel ut unitas denominat aperi, ad unitatem denominatam plano BC: ergo sunt aequales , unitas denominata plano C. Quod, c.
Vnitates denomisata planis Arithmetice dispositorum quotlibet assumpta a prima ad succedentes in infinitum sunt, ut planum sub numero assumptarum s disterentia dispositionis Arithmeticae ad primum eiu Irim dispositionis numerum.
SInt x, unitates denominata planis Arithmetice diaspositorum a B, cum differentia C; quarum assum pta a prima quotlibet secundum numerum D, sint compositae in E ;&reliquae in infinitum dispositae sint in F. Prop. t. Dicori, adi, esse ut planum C D , ad B. Sunt enim E, aequales , denominato per productum ex D, plano Prop. 19. BC, auctum quadrato B;WA, aequales unitati denominatae plano BC; ergo E, ad A, sunt ut D, denomi natus per productum c D, plano B C, auctum qua drato B, ad uanatem denominatam plano BV o di uiden-
79쪽
Arithmetica. 33 uidendo per D ut unitas denominata per producium ex D, plano B C, auctum quadrato B, ad unitatem denominatam per productum ex D, plano B uidelicet ut productum ex D in plano B C, ad seipsum auctum quadrato B diuidendoscissi, ut productum ex D, in C , ad se ipsum auctum numero B id diuiden do, E, ad , sunt ut planum D C ad B. Quod,&c.
ita tum denominatarum planis Arithmetice dispositorum quotlibet assumpta a prima ad Ultimam assumptarum sunt, planum numeri multitudinis asiumptarum, Unumeri ordinis eiusdem cum U-pta inter Arithmetice dispositos ad eorumdem primum
unitates denominata planis numerorum Arithmetice dispositorum a cum differcntia in quarum as sumptarum ultima E 4 eiusdem ordinis inter Arithmetice dispositos siti, quem sequatur a Dico B, adi, se habere ut planum AF,ad C. Quoniam B,sunt aequa Prop. 37. les A, denominato per productum ex A,&plano D, auctum quadrato C, AE est unitaS denominata pia Prop. tino
80쪽
no G productum autem ex A,4 plano CD, auctum quadrato C, est planum C G ergo B, ad Ε, sunt ut A, denominatus plano CG, ad unitatem denominatam plano FG; multiplicando per G ur, A denominatus per C, ad uni natem denominatam per F in diuidendo per A ut unitas denominata per C, ad unitatem deno. minatam per planum Ai tui delicet ut planum AI, ad C. Quod,&c.
Vnitatum, qua denominantur planis Arithmetice di positorum, qualibet assumpta adseuccerintes in infinitum est, ut disserentia ad numerum ordinis asiumpta inter Arithmetice dispositos.
VNitatum, quae denominantur planis Arithmetice dispositorum ab A cum differentia B, sit assiumpta C, cuius ordinis inter Arithmetice dispositos num rus D o succedentes ipsis, sint dispositae in infinitum, aggregatae ini; quae uero praecedunt una cum eadem assumpta sint compositae in F, quarum multitudo G.D, Prop. 41. OC, ad Ε, se habere uti B, ad D. Quoniam C, ad F, 'op. i. est ut A,ad planum G D;4 F, ad Ε, sunt ut planum G ad A; ergo ex aequo in perturbata C,adi, est ut planus B,ad planu GD & diuidddo per G,uti,ad D.Quod,& Theor.