Nouae quadraturae arithmeticae, seu De additione fractionum: Petri Mengoli ..

81쪽

Arithmetica.

Duarum fractionum, cum denominatores eodem numero excedunt quemultiplices numeratorum, maior ea, qua malaribus numeris exprimitur excesus est fractio , in qua productum eiusdem numeric disserentia numeratorum denominatur plano denominatorum.

Sint duae fractiones A, B, quarum denominatores C, D, superant eodem numero E, numeros G, Η, aequemultiplices numeratorum I, K;ωI,excedat Κ, per L ergo G, excedit adiecto E communi, etiam , excedit D. Dico A, maiorem esse B. Quia G, H, sunt aequemultiplices ergo , ad G est vim, ad Η4 ques, maior est , maiorem habet proportionem G, ad , quam H, ad C. componendo, G, ad C, quam H, ex aequo , ad C, quam Κ, ad D ergo framctio A, maior est B. Dico praeterea excessum esse planum L E, denominatum plano C D. Quoniam I, ad K, cst ut G ad H; planum IIJ, plano K G, est aequale: quoniam E, est excessus D H planum IE, cst exces

82쪽

sus planorum ID, IIJ, vel ID. G: eadem ratione planum E est excessus planorum C, G ergo idem est excessus tum planorum D, C, tum etiam planorum I E, i cum autem L, sit excessii I, aergo Li , est excessus planorum I KE; videlicet exiscessus planorum PD, DG sed excessus A, B, est aequa. lis exces tui planorum D, C denominato per planum D C; ergo excessiis A, B est planum L E, deno. minatum plano DC, Quod, c.

Unitatum, qua denominantur planis disposi torum Arithmetice, ruct libet Uumpta ad Juccedentes in infinitum sunt, ut multiplex disserentia in Arithmetica dispositione

secundum multitudinem assumptarum ad

multiplicem eiusdem disserentia secundum

multitudinem praecedentium auctum primo eiusdem dispossitionis numero.

B. q. G. 2.

l. o. C. F. D. 3. Κ. IS. Q. O. M. . . II 6. L. q.

Inta, assemptae unitates denominata planis nume- rorum Arithmetice dispositorum a B, cum disterentia

83쪽

dentes ipsis A; praecedentes, quarum multitudo Ci&exductu C, in G, D, fiatu I, Κ,&I, auctus B, iit L. Dico A, ad Ε, se habere vi Κ, ad L. Fiat M, ag gyζgatum numerorum G, D; productum B C lxi, auctum quadrato B. Constat , A, simul aequales esse Prop. 37. M denominato per Ni ducatur etiam B, in L .fiat Q quia L, est compositus ex B, I videlicet ex B, itano C etiam Q compositus est ex producto B G,&ex quadrato B constat pariteri, aequales esse G, denominato per in A, excessui dictarum fractionum, videlicet producto sub D, quadrato B denominato per planum in I ergo A, adi, A, simul sunt ut productum exi,' quadrato B, denominatum per m ad M, denominatum per N multiplicando per N C, ut productu ex plano D C, quadrato B, denominatum per

Q, ad planum sunt autem F, A, simul adi, vi M P QP C, ad B, ergo ex aequom, adi, sunt ut productum explano DC o quadrato B, denominatum per Q, ad B; diuidendo per B, ut productum DC B, denominatu perin, ad unitatem videlicet ut productu CB, ad Q; est autem Κ, aequalis plano DC;4 Q, aequalis plano BL ergo A, adi, sunt ut productum ς , ad productum B L; diuidendo

84쪽

QUADRATVR EARITHMETICAE,

De Additione Fractionum

In quo de Fractionibus agitur, quas denominant numeri solidi Demonstrantur Additiones in propositionibus43 3. LO.

Quadraturae vero in 3. IS. 23. 27.

Theoremat. Propositioi.

Si quatuor magnitudines bina si aqualiter excesserint,planumsub maioribus excedit pla---μb minoribus plano sub eodem excessu,

aggregato maxima, o mimma.

SI E, excessus A, B, aequalis excessu C, D. Dico excessum planorum A G, B D, aequalem ess e plano sub E,4 aggregato A, D 'niami, est excessiis , D

85쪽

3 A. s. . a. Q p. q. C, D; planum E A, est excessus planorum A, DA quoniam E, est excessus A, B , planum ED, est exceDiu planorum DA, DB; ergo colligendo plana EA, ED, simul sunt squalia excessibus planorum A, DA, DA,

DB; videlicet, ni excessu planorum C A, B re plana vero CA, CD, sunt aequalia planosiubri, aggregato A, D; ergo excessus planorum C A, BD, est aequalis plano sub E,&aggregato A, D. Q iod,&c.

Theor. a. Prop. a.

Numerorum Arithmetice dispositorum gregatum est aquale dimidio plani sub multitudine N aggregato extremorum.

A. . . . II. q. B. 17. C. q. D. a. SInt numeri Arithmetice dispositi, quorum primus A, vltimus B, multitudo C. Dico aggregatos aequales cssse dimidio plani sub C, aggregato A, B Sit pri mo . par cujus dimidium D ; quoniam numeri A, B, intcrmedi totidem sunt, quot unitates in C; ergo bini totidem sunt, quot unitates in D, bini autem tum extremi A B, tum ab extremis aequaliter distantes inter Iesunt aequales rgo omnes aggregati sunt ad aggregatum extremorum A B, CD, ad unitatem, omnes aggregati sunt aequales plano sub D, aggregato extremo rum , videlicet dimidio plani sub C,4 aggregato A, B.

86쪽

62 A. a. s. t. II. cy. D. q. E. 8. Sed esto C, impar,ri unitate dempta fiat D par quia

excessus extremorum est multiplex exces ius consequentium per D i ergo excessus extremorum A, B, est par; duplum A, est par Pergo aggregatum extremorum A, B,

est par; cuius dimidium sit E: igitur E, medius est uater Arithmetice dispositos ab A , ad ad E, bini tum extremi A, B , aggregati, tum aequaliter distantes ab extremis dupli sent; ergo omnes aggregati praeterri, ad E,ssint vim, ad unitatem, componendo omnes ad Ε, sunt ut C, ad unitatem ergo omnes aggregati sunt aequales plano sub E,4 C; dimidio videlicet plani sub aggregato A, B,&C. Quod,&c.

Dispositis Arithmetice quotcunque nume ris, differentia planorum seu primis, ultimis ad aggregatum omnium praeter primum, ultimuin uni, ut duplum excessus ad unitatem.

6. H. 3.NVmerorum Arithmetice dispositorum duo primi sint A, B, duo ultimi C, D, consequentium excestus E. Dico differentiam planorum DC, AB, esse ad

87쪽

Arithmeticae. 63

ad omnium aggregatum praeter A, D, ut duplus E, ad unitatem. Quonia sunt aequales excessus D, C, B, A, vicit 'acti sunt aequales exces ius D, B, C, Assiti, ζη cessus D, B, vel C. ι ergo excessus planorum DC, Ps0P Ad, est planum sub I,&aggregato A, D, vel B, C sit G, multitudo omnium praeter A, D, cuius dimidium H; ergo aggregatum omnium praeter A, D, eit planum sub Prop. H I aggregato B, C & est planum subi, aggregato ad planum sub H aggregato B, C, uti,adH de quoniam Γ, otic contineti, quo G unitates; ergo F, ad G, est uti, adinstatem; est aut cm G. ad H, duplus videlicet ut duplus H, adici ergo ex aequo perturbata F, ad H, est ut duplus E, ad unitatem; ergo excessus planorum L, C in B , ad aggregatum omnium praeteri, D, est ut duplus E, ad unitatem. Quod &c.

Di positis Arithmetice quotcunque numeris,

Unitates denominatae olidis eorum de consequentium sunt quales aggregato exuu- termedi s dispositis denominato per plauο- planum ex binis extremis.

SInt a tales quotcunque A, denominata solidis consequentium Atithmetice quomodolibet dispositoiu. Dico A, equales esse aggregato eorumdem dispositoium praeter extremo denominato per plano planum binorum extremorum . in B, totidem excessus alternorum

in eadem dispositione ij Idem solidis denominati: quia

88쪽

, r, THO consequentium Arithmetice dispositorum excessus sunt aequalec etiam alternorum excessus aequales intersei sunt; singuli dupli sunt ad excessum consequentium; ergo singuis B, ad singulas A, sunt ut duplum excessus consequentium ad unitatem; colligendo omnes B, ad omnes A sunt ut duplum excessus consequentium ad Hop.ni unitatem , videlicet, ut excessus planorum sub binis extremis ad aggregatum omnium dispositorum praeter extremos 4 diuidendo per planoplanum ex binis extromis, ut excessus planorum sub binis extremis eorumdeplanoplano denominatus ad aggregatum omnium praeter extremos pariter denominatum sunt autem omnes B,aequales excessui planorum sub binis extremis eorum dem planoplano denominato; ergo omnes Assiunt aequales aggregato omnium praeter extremos denominato per planoplanum binorum extremorum. Quod,&c..

Τheor. 1. Propos s.

Unitatum, qua denominantur solidis omniuconsequentium ab unitate, quotlibet a prima sun aquales producto numeri multitudinis ipsarum in numerum ternario mai

89쪽

tes denominata solidis consequentium A num rus multitudinis , sit E , quiternario auctus fiat Pi Productum exi, in F, sit C; cuius quadruplum auctum numero S. sit I ex denominatione a per I, fiat fractiori. Dic, quod aggregatum omnium B, est arqua-lc Κ. Numerorum A, sint . , duo, qui scquuntur E: quoniam numeri x, terni denominant singulas B; ergo multitudo numerorum A, qui denominant B, binario stiperat multitudinem B; videlicet numerum E; est autemo, qui binario excediti ergo C, est multitudo nume. rorum A, qui denominant Bi: sunt in A, omnes numeri ab unitate ergo dispositorum in x, usque ad C, sunt vltimi C, D; primi unitas, 4, extremi unitas, Castra planoplanum sub D, C, a.d unitate; I, sit ag. gregatum reliquorum, praeter unitatem, C,tergo B, p,6νι sunt aequales L, denominato per Mes& quia C, binario,&I, ternario excedunt Gergo F, excedit C, unitate;&F, aequalis est C,& unitati vel D,& binario ergo planu prop.1. Ei, videlicet numerus G duplus est L item X cessus, op.;. planit C, super binari usi planum videlicet unitatis, binari j duplus est eiusd mi , ergo C, est cxcc sitis plani DC, super binariti, plani DC, excedit G,per binaris; quadruplum C excessit tradruplura, per 8 est a uicI, qui ccedi quydrupla in C per 8 ergo' est quadruplum planio C, vel duplum planoplani sub D, C, a.&vnitate ergo I, est duplum M.& G, ad L, est, ad M.& permutando, G, ada, est ut L, ad 314 ergo L,dehomi natus per , videlicet aggregatum omnium B, cst arquale G, denominato per , videlicet nactioni T. Quod, inci Theor.

90쪽

Theor. 6. Propos s.

Vnitatum,quae dem nantur solidis omnium consequentium ab unitate , quotuset si

sumpta aprima sunt minores quarta pario

unitatis.

C. 3. D. q. 3. 6. B.

Sin C,quotIibet unitates denominat: Iidis omnium colequentium ab unitate sumptae in multitudine numeri D. Dico C, aggregatas minores esse quarta parte unitatis. Fiat B.ternario maior D, Se planum B D. sit A , cuius quadruplus Siqui auctus numeroasit F: ergo A , ad F. minorem habet proportionem , quam ad E,&estri ad E, ve unitas ad ergo A, a F. minorem habet, quam unitas ad 4. A, denominatus per F, est misHop. s. nor quarta parte vimatis; sunt autet C. aggregatae aequa. les A. denominato per F, ergo C, aggregata simitan rea quarta parte unitatis. 4od,&α

Corollarium Primum.

Vnis connat unitates , qua maminantur stadis omnium numerorum ab unitate