Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

61쪽

nes simul per eandem sit bstitutioncm rationales cssiciantur, inindeque etiam ipsa quantitas x per nouam Variabilem et rationaliter exprimetur. Sin autem differentiale propositum duas eius modi formulas irrationales contineat, quae non ambae simul ope eiusdem substitutionis rationales reddi queant, etiamsi hoc in utraque seorsim fieri possit, reductio locum non habet, nisi serte ipsum differentiala in duas partes dispesci liceat, quarum utraque unam tantum larmulam irrationalem complectatur. V Iuti si proposita si haec sermula differentialis

eius numeratorem ac denotrinatorem per L I xx

cuius Vtraque pars seorsim rationalis reddi et integrari potest. Reperitur autem: I C - - - xx J- ὲ Arc. tang- ποῦ α' Commodissime autem ibi irrationalitas tollitur, si in parte

priori ponatur κ a -- x x p x, in posteriori a- xx q x. Etsi enim hine st

tamen oritur rationaliter

Scholion α

IOI. Circa sormulas generales, quae ab Irrationalitate liberari queant, vix quicquam amplius praecipere licet: dummodo hunc casum addamus, quo functio X binas huiusmodi

62쪽

CAPUT II.

et in sermula differentiali unica tantum formula irrationalis erit g ιι - b , quae noua substitutione sicile tolletur, per ea quae Problemate 6. tradidimus. Vt igitur ad alia pergamus, imprimis considerari meretur haec formula differentialis dix - δ x a -- b x v , cuius ob simplicitatem usus per uniuersam analysin est amplissimus; ubi quidem sumimus, litteras m, n, μ, ν numeros intemgros denotare , nisi enim tales essent, facile ad hanc sormam reducerentur. Veluti si haberemus xT 3x a - δέ x ν, statui oportet x mae, hinc Θ x α2 6 ue Θ ut unde prodito te Θu a --δ C. Tum vero Pro a valorem positiuum assumere licet: si enim esset negativus, Putar 3 3 x a --b asponatur x t, fietque sormula

- Θ u , similis principali; quae ergo quibus easibus ab irrationalitate liberari queat, inuestigemus.

Problema

Io . Definire casus, quibus formulam differentialem x ' 3 Θ x a --- b H ν , ad rationalitatem perducere liceat.

63쪽

Primo patet, si fuerit seu numerus integer, formulam per se fore rationalem, neque substitutione opus esse. At si sit fractio, substitutione est utendum, eaque duplici.'Ι. Ponatur a - , x z u', ut fiat a - , a ' ν π Q, erit hinc x m , ideoque

unde formula nostra fiet

Hine ergo patet, quoties exponens seu risuerit numerus integer siue positivus, siue nega tuus, hanc sormulam esse rationalem. II. Ponatur a -- b x' α x' Σ ut fiat

, hinc x o x Σα- Σ' Ideoque formula nostra erit

64쪽

Ex quo patet hanc formam fore rationalem , quoties fuerit numerus integer. Facile autem intelligitur, alias substitutiones huic scopo idoneas excogitari non posse. Quare concludimus formulam irrationalem hanc

numerus integer.

Corollarium I.

Corollarium 2.

Io S. At si non est numerus integer, ut reductio ad rationalitatem locum habeat, necesse est ut ' -- f. sit nu- .merus integer: quod fieri nequit. nisi sit ν-n, ideoque m μ. multiplum debet esse ipsius n ri

Corollarium I.

ro . Quod si ergo haec sormula

eandem reductionem admittet; quicunque numeri integri pro αet β assumantur. Vnde ad casus reducibiles cognoscendos sus-ficit ponere m qn et μ. Q v. II a Corou Diqili od by Corale

65쪽

xo s. si re o, haec formula V a -- b H π semper per casum primum ad rationalitatem reducitur , ponendo

Scholion I.

ties est m in, denotante i numerum integrum sue postru um sue negativum quemcunque, semper ad rationalitatem reduci potest, hic que casus per se sunt perspicui, reliquos casus hanc reductionem admittentes accuratius contemplari operae pretium videtur. Quem in finem statuamus ν n et m qn, item ae necesse est ut sit m -- μ ne unde sequentes formae in genere suo smplicissimae, quae quidem ad rationa litatem reduci queant, Obtinentur.

unde etiam hae reductionem admittent:

66쪽

CAPUT II.

Scholion u.

IIo. Verum etiamsi formula H 3x a - ba' , , ab Irrationalitate liberari nequeat, tamen semper omnium ha rem sormularum x α μ' 3x a - ba' η V, integrati nem ad eam redueere lieet, ita ut illius integrali tanquam cognito spectato, etiam harum integralia assignari queant. Quae reductio cum in Analysi summam asserat utilitatem, eam hic exponere necesse erit. Caeterum hic affrmare haud dubitismus, Praeter eos casus, quos reduetionem ad rationalitatem admittere hic ostendimus, nullos alios existere, qui ulla substis tutione adhibita ab irrationalitate liberari queant. Proposita enim hac formula pi, nulla functio rationalis ipsius a loco x poni potest, ut a - - b x extractionem radicis quadratae admittate obiici quidem potest, scopo satisfieri posse, etiamsi loco x iunctio irrationalis ipsius x substituatur, dummodo similis irrationalitas in denominatore νγ - , contineatur, qua illa numeratorem Θx assiciens destruatur: quemadmodum fit in hac sormula ---- , adhibendo substitutionem

67쪽

verum quod hic commode usu venit, nullo modo perspicitur, quomodo idem illo casu euenire possit. Hoc tamen minime pro demonstratione haberi volo.

Problema Io.

Solutio.

Corollarium I.

II a. Cum inde quoque sit

68쪽

Corollarium I.

xxa. Concesso ergo integrali I x Θ x a -- ι x' - , etiam harum sermularum I x - Θ x a b x b, , similique modo ulterius progrediendo omnium harum formularum Ix ae '' δae is bis integralia exhiberi possunt.

Problema II.

ad integrationem huius f x Θ x a- b H ν perducere.

Solutio.

69쪽

Corollarium I.

Scribamus iam μ-ν loco la, ut nanciscamur hanc reductionem

Corollarium I.

126. Concessis ergo integrali ' δ x ω -- b x ν , etiam harum sormularum Θ x a -- δ x , et vIt rius progrediendo, harum fx Θx a --b--μ integralia exhiberi possunt, denotante g numerum integrum quem

70쪽

CAPUT II.

Corollarium

III. His cum praecedentibus coniunctis, ad integratio

Scholion I.

II 8. Ex sormae x a -- ι x' , differentiale ita disposito