Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

411쪽

extendi potest, simi lisque est praecedenti, quam Idcirco hIesum expositurus, unde simul patebit, hunc esse ultimum teris minum, quousque progredi liceat. Formulae enim integrales magis complicatae, ubi post signum radicate altiores potestates ipsius x occurrunt, Vel ipsum signum radicate altiorem dignitatem inuoluit, hoc modo non videntur Inter se comparari posse, paucissimis casibus exceptis, qui per quampiam suin, tutionem ad huiusmodi formam reduci queant.

Problema 8 I.

6 ea. si II: a eiusmodi functionem ipsius x denotet ut sit

huiusmodi iunctiones inter se comparare.

Solutio.

Inter binas variabiles x et a statuatur relatio hae a quatione expressa α--ag, --γ xx -- --2δυ- Σευω - - ζ x x zo, unde cum fiat

erit radice extracta

412쪽

c AP UT Q.

ea. quatio assumta adhue constantem arbitrariam inuoIuat. Inde ergo si breuitatis gratia ponamus f AH- aBx--Cxx a I xy--Exn X et

Corollarium I.

62 . Ad has litteras α, β, γ, δ, ε, ζ definiendas,

sumantur primo aequationes binae ad dextram positae, quae sunt

Unde quaerantur binae β et e , reperieturque

413쪽

, Corollarium 2.

Iam ex conditione prima et vltima oritur

ubi illi valores substituti praebent BBζ SP m - A ζ - E α, unde fit

At ex prima et vltima sequitur

unde colligitur

Corollarium 3.

- 626. Superest tertia aequatio 2 γλ -λλ - aβε - αζ Cm quae, cum pro m substituto valore sit

si isti valores substituantur, commode inde colligitur

Scholion.

6a . Quia his valoribus uti non licet, quoties fuerit A D D- B B E o, aliam resolutionem huic incommodo non obnoxiam tradam. Posito δ V -- λ, sit insuper λ λ ας-μ, ut primae . formulae fiant . . . .

414쪽

Iam prima et vltima iunctis prodit

qua aequatione ratio inter α et ζ definitur, quae cum lassiciat, erita: μ. A - BBm et ζ la E - DDm,

hincque i.

Valores α et ζ in sormula Corollarii a. substituti dant

cuius quadratum illi valori αζ-- L aequatum, perducit ad hanc aequationem

ad quam resoluendam ponatur μ m Μm, fietque

atque hic est M constans illa arbitraria pro integrali completo requisita. Hoc modo omnes litterae α, β, γ, δ, e, ζ eodem denominatore affecti prodibunt, quo omisso habebimus α' AM-BB), βzaB M C)-- AD, PT AE- M-C)

415쪽

resoluta dabit '

Scholion.

628. Cum hie ab idonea coessicientium determinatio. ne totum negotium pendeat, operae praeclum erit, eam Iuculentius exponere. Posito igitur statim δ ν - - λ et λλ - αζ Μ m, quinque conditiones adimplendae sunt:

416쪽

quare statuatur

Tum vero indidem est E ββ - Εαν Aee - AYti seu

Cum autem sit

417쪽

Hincque sumendo n superiores valores obtinentur.

Exemplum I.

629. Inuenire integrale completum huius aeqvationis diseserentialis Adi

quae signa ambigua radicalium cum signis in aequatione diseserentiali conuenire debent.

Exemplum a.

63o. Inuenire integrale completum huius aequationis dise

418쪽

Exemplum 3-

GaI. Invenire integrale completum huius aeqvationis esse

419쪽

c APUT VI.

Iounde Integrale completum

Exemplum s.

fias. Inuenire integrale completum huius aequationis differmitolii P b ,di Τν ta . . bqqi V Ponatur x p p et I g q, atque aequatio nostra generalis induet posito A o, hanc sormam

Corollarium.

6a . si sumatur eonstans Μzzz - έ a a b , ut sitra' ab o , prodibit integrale particulare , quod ita se habebit

420쪽

quod aequationi differentiali utique satisfacit.

Problema 82.

6as. Proposita hac aequatione differentialI

eius integrale completum algebraice assignare.

Solutio.

Aequatio praecedens differentialis algebraice integrata ad hanc formam reducitur, ponendo x ppet I qq, atque A o ; prodibit enim

Quare tantum opus est ut fiat

quae binae quidem aequationes inter se conueniunt, sed ob F s f a amm