장음표시 사용
411쪽
D VI. Libris Diophanti Comment ij.
DERATIO Diophanti Keilis est , in qua tamen nonnulla occurrunt animaduer i sione digna. re ino aduerte a duobus numeris formari triangulum rectaneuluti, modo quem demotistrauimus propositione quinta tertii Porii aratum. Et fit hypotenus . i. . ili Nina quadratorum, basis interualluit eorundem, perpendiculum vero duplum mula plicatio is Hinc apparet cur ab hypotenus a detram perpendiculo , rei iuuitatur ova a. di is cratus. Etenim summa quadratorum auferendo duplum producti laterum, remanet ouadratue interualli laterum. Sic in priore politione detractis 6 N. ab i6 -- p. fit quadratus i O. ri cN. 1 latere i N. - 3. quod est interuallum numerorum I N. α 3. a quibus formatur tria ulum Atin iecunda positione detractas N. ab I - . fit quadratus I 4. - 4 N. a latere 1 Na quod est interualli im ipsorum i N. & a. a quibus effetum est triangulum. Secundo aduerte lemma quo quaeritur cubus quadrati duplus infinitas recipere solutiones dolus piter allucinari Xila ruin . qui ad sequentem quaestionem asserit nullum alium cubum praeter assignaram' quadrati duplum, neque in stactis, cum infiniti tales cubi assignari possint & in iti tegris, & infractis. Nam ut patet acti aequari possunt cuilibet cuborum numero cubico. Veth gratia ponantur 1. aequales ἰ Q fiet i N. i5. eritque cubus yIta duplus quadrati ass. Rursus o nantur a Q aequales ἐ C. fiet i N. ξ. Et inuenietur eubus . duplus quadrati deric de allii . I mTeodem prorsus artificio inuenies cubos infinitos qui ad aliquos quadratos datam habeant rationem c hinc formatur Canon uniuersalis. ' D u f romnatorem rationιν data, per caum aliquem, orietur Ianu sumiratii o siti Vt si velis cubum qui sit quadrati triplus, diuide 3. per eubum aliquem, puta per a vel det R
I Q - - N sit aequandus exis , rectE Diophantum aequare bis s. l . si iMW3 quavi ti sit cusus, & ipsum quadratum talecubum, quia ex cubo incubum producitur eubus per tertiam & quartam noni Euclidis. Po .. sib; rφρος ni γω)M 'R qu*stio capit , nam I N. - 2. cuilibet vilitatum numero ... 2 φqWV pQ est, πquam tophantus cubo 8. sed si aequasset cubo I. sitisseti N. 1 di findendo triangulum a a. dea. iacta essent latera H. ia. s. quae soluunt quaestionem, nam a serenae sitae sutura; supς Gn cubi I. dc 8. Hine etiam eliei . t f tw -b- - , ct a septo iri merose e trao Mum 7 Verbi gratia sume cuius quadratus est semissis cubit. Adde eubum L ada fiet V tum fimmitiangulum ab . de 'e. fient latera trianguli ' . quae soluunt Quaestionem Livir uis laterum circa rectum ab hypotenuia, si, persunt eu bi g. & i. ' - 'Caeterum inuento trian lo quastionem soluente, si singula illius latera diuidas vel muli inlii V lique ς'ndem cubum, fiet aliud triangulum aeque proposito satisfaciens. Vt si trian tum a Diophanto inuentum ro o. m. diuidas rru fiet altu triangulum 11.& ia xu' pro uo congruens.& ratio est euidens, nam interii alia quibus hypotenus 13. superat tera N Ia. fiunt diuidendo per 8. interualla quibus hypotentica io . sui rat latera H & Γ Vi ecum haec interiista sint eubi ex hypothesi, di cu per eubum dii i , oriatur dubiis nain: zilla interualla quibus Ia. superat s. dc ia. λte eubos, quod est propositu. . ' φ
IN v ε Nina triangulum rectangulum, ut hypotenusa adsumens alterutrum laterum circa rectum, faciat cubum. Si formemus quaesitum triangulum a duobus numeris ut in praecedente, quaerendus erit quadratus cuius duplum sit cubus, est autem is a latere a. Fingemus e
412쪽
go triangulum ab t N. & a 1. & siet similiter hypotenuia r Ἐ- q. unum au tem laterum circa rectum 4 N. alterum denique -'i Superest ut livpotenus a adscito priore latere faciat cubum ; sed& neces le est ut cum ad positiones veniemus i Q. inueniatur minor quam q. Proinde I N. minor est quam 2. Eo itaque redacti sumus ut inueniamus cubum minorem quam 4. maiorem quam a. Est autem V. Quamobrem i N. - 2. aequalis esto F. & fit 1 N. F. Erit ergo hypotenus a P. laterum circa rectum alterum alterum C. & constat.
HIe imilis infeliciter adnotauit Xilander. Primo enim asserit eubum quadrati duplum nullum esse praeter 8. & nullum quadrati triplum praeter et . &e. quod ad praecedentem abunde eonfutauimus. Deinde putat alterum laterum circa tectunt poni debere, ut in praecedente I Q. quod est absurdum, nam ob falem positionem cogit ut simul de semel aequare cubo, tum a tum I N. - a. Quare deuenientium ei ad duplicatam aequalitatem, quae quomodo resolui pol- se , eum stilicet duo numeri sunt simul aequandi elabo , nee ipse docere potuit, nec vi quam docuit Diophantus. Denique non satis aperit causam turr N. - . a. aequari debeant cubo alicui ma tori quam a. minori quini . Quamobrem vi omnia sigillatim elucidemus. Aduerte primo eur sumatur numerus euius quadratus sit semissis cubi, depon2tur basis triansuli 4 - I quae in praecedente ponebatur iα- 4. eausam esse, quia vult Diophantus per huiusmiai positionem satisfieri uni parti postulati, nam hypotenuis I addendo basin 'r. Q. fit utique cubus RPosse autem bali inponi I Q aequo benὰ aci Q - 4. patet, quia basi debet eie intellianum quadratorum i & q. mare cum ignoret ut uter eorum maior sit, potest eorum interuallum esse i Q q. vel -I Q. Aduerte secundo hypo tenuis i - - q. addendo perpendiculum 4 N. fieti quadratum I - 4 N-4. Quia hypotenuis est simina quadratorum , at perpendiculum est duplum plani sub
lateribus, unde patet hypotentiis N perpendiculi summain aequari quadrato sultimae laterum I s euadi N. -- 2. Quare sui it in Praece sente restat ut aequemus cubo i N. - a. quia si latus hoc sit cubus, et it& quadratus illius eubus; quandoquidem ex cubo in seipsum producitur cubus. Aduerte tertio I N-2. aequati debere cubo qui sit maior qu in a. minor quam 4. primum patet, nam cubo illo auferendo a. residuum aequari debet I N. secundum sic probatur. c. ita basis posita est. 4 - I oportet 4. maiorem esse quim i Ergo a. maior esse debet quὶm I N. fit autem i N. ut dictum est, ab aliquo cubo auserendo 2. Oportet ergo talem esse cubum illum, ut ab eo auferendo 2. tesiduum sit ni inusquim 2. ae proinde oportet cubum huiusmodi, minorem esse quam 4. Porro qua ratione inueniendus sit cubus maior quam a. minor quam q. non docet hie Diophantus. Sed id facila consequemui eodem artificio quo ad decimam tertiam quinti repetit author quadratum maiorem quam a. minorem quam 3. Reducantur enim a. &ε. ad fractionem e
bieam eiusdem denominationis, puta ad Octauas, fient v. & Inter quos cadit cubus V. proposito satisfaciens. Sie infinitos hujusmodi eubos reperies .& quo maior erit denominator ad quem si reductio, eo plures cubi cadent inter numeros propositos, ut si reducas 2. N . ad millesimas, fient & : inter quos cadunt tres cubi propolito apti, puta & sie de alijs. Aduerte denique hie contingere ut multiplicando vel diuidendo latera inuenti trianguli, per eun dem cubum , fiat aliud triangulum soluens quaestionem. Sie loeo laterum quae imienit Di hantus, puta . . V. . 2'. omnia in σε sumi possunt 3 7. ias. 3sa. quod facile est demonstrare. Caeterum latio diuersitatis in stilutione de operatione, ex duplici eapite ortum habeti Primo venim ut docuimus i N. - a. aequari potest infinitis eubis maioribus quam a. minoribus quam quales sunt . . Deinde triangulum ipsum ab initio fingi potest ab I N. de quotlibee unitatibus, quarum quadratus sit semissis eubi, quales infinitos numeros dari, qui equid dieat Xilander , ad praecedet item ostendimus. Verbi gratia fingatur ab I N. de erit hv tenuia r. . Basiis . N. perpendiculum'. a Q hoeque addito ad hypotentisana, fit cuDusi. At basi addita eidem hypotenuia fit quadrativi Q - A. - . N. euius latus I N. aequandum est cubo
413쪽
maioriqu2m . . minori qu in I. quales sunt aliique infiniti. Et uniuersaliter. Cubus quo cum sit vltima aequatio debet esse maior unitatibus, a quibus cum I N. formatum cst triangulum, de minor duplo earundem. inamobrem hine facilὰ est elicere Canoneni. me numerum, cultu quadratus sit semissis cubi, quem is er ab aliquo cubo qui sit maior ira, minor tapis eiusdem; A rasiduo a sumpto numero formabis quassum
Verbi gratia sume a. quem aufer eui remanet . . . a quo& ta forma triangulum, vel reducendo ad integros, Arma triangulum a 93. 3cὶ2yo. fient latera pii p. 138ir. 46sco. &hypo tenuia ad lumens basim , tum perpendiculum , sicit cubos DIOOD. N iise 9. quorum latera o. N 49. Quoniam vero in mentem alicui venire post et cur non proposuerit Diophamus inuenire triangulum rectangulum cuius hypotenuia adsumens utrumlibet laterum circa reci uin, faciat quadratum. Vel cuius hypotenuia detracto quolibet laterum circa rectum relinquat quadratum , non abs re sue rit monere, omissas esse huiusmodi quaestiones, quod sint impossibiles. Id autem , nequis temereo sit dictum putet, sic demonstrabitur. Esto triangulum re tangulum AB C. dico Asic hypotentiis A addantur ligillatim latera H. C. siue adimamur , non posse sis o ud fieri duos quadratos. Etenim cum hypotenula Aconi ponatur ex duobusi' planis similibus, sint ii D maior,& E minor ; erit erso B duplum med ij proporti
natis inter D&Ecadentis. At Cetit interuallum insorum DE. Porro iis DE Vel quadrati sunt, vel quadratorum similes. Ponamur primo quadrati. Cum ergo A sat summa duorum quadratorum D E. 5: C sit eorunde m interuallum, ' patet compostum ex duobus A ta est e duplum maioris quadrati D. Ergo si compositus ex A C ponatur quadratus, sequitiae ex binario in quadratum D. produci quadratum. Quod est impossibile, cum binarius non sit quadratus, ut ostendit Clauius ad seeundam noni. Rursus sit ab A qui est sumina quadratorum D E au seratur C eorundem interualluin, res duum duplum erit minoris quadrati E. Quare si hoc te siduum ponatur quadratus, sequitur rursus ex binario in quadratum E. produci quadratum. Quod eadem de causa est impossibile. Quare in hoc casu patet propositum. Iam vero esto triangulum rectangulum FGH. & plani similes Κ L ex quibus by tenuia Feon ponitur non sint quadrati; di eo nihilominus sequi propostum. Nam X L. cum sim plani similes,' hatrent rationem quadrati ad quadratum;habeam ergo rationem quam quadratus D ad quadratum H Igitur clim sint proportionale, D. E. N. L. & ab ipsis D E formet ut triangulum A B C. at, ipsis K Lformetur triangulum F G H. erunt haee trian uia similia. Itaque cum sit A ad F. ut B. ad G erit sumnia duorum Α Badsit minam ipsorum FG. ut A ad F. Quia vero A est summa quadratorum D R de B est duplum plani iiib lateribus, ' patet si unam ipsorum A Besse quadratum, ac proinde si & summa ipsorum F G ponatur quadratus , erit A ad F ut quadratus ad quadratum. Sed ut A ad F sie est C ad H ob similitudinem trianguloriim, ae proinde ut A ad F, se est summa antecedentium A C. ad summam conseqtienti uni F H. Igitur si summa ipsorum F H sit quadratus, oportet& summam ipsorum A C esse quadratum. Quod impossibile est, ut supra ostendimus. Deinde quia est A ad B vi F ad G. & rursus B ad C ut G ad Id. patet argumentando per conuersionem rationis, tum per rationem permutatam esse interuallum ipsorum A B ad interuallum ipsorum F G. iteinque interuallum ipsorum A. C. ad interuallum ipsorum FH. sic iit A ad F. Cum igitur interuallum quo A summa quadrato tum superat B duplum plani sub lateribus, sit quadratus, ' si & interuallum ipsorum F G ponat ut quadratus, erit utrumque interuallum quadratus. Quare & interuallum ipsorum Α C. ad interuallum ipsorum F id erit in ratione quadrati ad quadratum, ae proinde si interuallum ipsorum F H ponatur quadratus ' erit & interuallum ipsorum A C quadratus. Quod ostensum est
esse impossibile. mamobrem ex omni parte constat propositula . Eadem quoque ratio est de caeteris omnibus potestatibus quadratis, ut pote qii adlatoquadratis, Obocubis, &c. Etenim inueniri non potest triangulum rectangulum, cuius hypotentiis addendo vel adimendo utrumlibet latus fiat quadratoquadratus, vel cubocubus. Hoc enim si daret ut seque rei ut dari quadratum duplum quadrati. Quod est impossibile; Aliis autem potestatibus omnibus quae quadratae non sunt, quales sunt cubi, quadratoc ubi, quadratoquadratocubi, &e. ritε applicabitur quaestio, ut exemplo quadratocuborum iacile est demonstrare. Sit ergo propositum inuenire triangulum rectangulum, cuius hypotenuia adsumens utrumlibet laterum circa rectum , faciat quadratocubum. Patet si sequamur ductum operationis Diophanti. eo nos adigi, ut inueniamus quadratocubum duplum quadrati, & quia omnis quadratoquadratus est quadratuς, soluetur lentina si imieniamus quadratocubum duplum quadratoquadrati. Esto quadratoquadratus, Q in ergo a in aenuantur quadratocubo, esto i Q C. fili N. a. estque quadratoquadratus 36. qii adratocubus 32. sumentes igitur latus quadratum ipsius is . puta . Gingamus triangulum ab IN. de a 4. erit hypotenuia i Q. - is. Basis i6 - I c Perpendiculum 8 N. & constat
Gendo bassim hypotenusa fieri qu dratocubum 32. Restat ut eluem hypotenticae addendo pet-
414쪽
pendiculum fiat quoque quadratocubus. Fit ergo i Ἐ-- I6. 8 N. aequalis quadratocubo. Ergo latus quadratum ipsius I I6 - 8 N. puta I N. - q. aequabimus quadratocubo, sie enim consequemur intentum, quia ex quadratocubo in quadratocubum fit o uadratocubus, ut demonstriuimus in Elementis. Porro I N. -- q. sic aequari debet quadratocubo, ut is sit maior quam minor quam 8. ob causas supra explicatas. Quare cum reducendo q. & 8. ad fractionem quodiato- cubicani, fiant inter eos cadat quadratocubus liuic aequabimus IN. - fietquei N Igitur effingemus quaesitum triangulum 1 q. N a Ie utroque ad eandem denominatio nem redacto E: eommuni abiedio denominatore ai28. 5c, II s. fietque triangulum et Sos. 294 o.
311ς. quod soluit quaestionem: nam liypotenuis addendo sigillatim latera, fient quadratocubi 'tadem a te quaestio praecedens extendetur ad liuiusmodi potestate . Nam sit propositum Inite-nire trianstulum rectangulum, cuius hypotenuia multata quolibet latetum circa rectum, relinquat ouadiatoeubum. Eringemus ut Irius triangulum ab I N. de a 4. & erit hypotenuia I 6. oin i Q. is Perpendiculum 8 N. sic enim satis fit uni parti propositionis. Restat T - - I6. - N. aeo: tu. quadratocubo. Quare latus I N. - 4. aequandum est quadratocubo, esto is 32. fiet i N. 36. sormetur ergo triangulum 1 4. dc 1 36. erunt lateia 33ia. Isio. 288. & toluta est quaestio. Nam liyn tenuis multata quolibet laterum, relinquit quadratocubos 32.& Io . 1 lateribus a. N
IN ve N i a x triangulum rectangulum,
ut areae eius numerus adsuinens datum
numerum, faciat quadratum. Esto datus . de ponatur triangulum datum specie a N. q. N. 3 N. & fit area adscito s. sQ. - s. aequalis quadrato. Esto ipsi ρ. &ai Perantur a similibus similia, relinquuntur 3 aequales 3. N oportet speciem adspcciem, rationem habere quae est quadrati numeri ad quadratum numerum,sed& multitudinem ad multitudinem. Itaque eo deuentum est, ut oporteat inue. ni re triangulum re tangulum, Se quadratum numerum, ut quadratus area trianguli multatus , faciat quintam partem qiiadrati,quia datus est 3. Formetur trian pulum ab 1 N. S s. fit area i. . Esto quadrati latus i N. & sraeliora umerica tot unitatum, quantus est duplus dati numeri, hoc est . c. & sit quadratus i in ro. Sc si detrahamus aream, hoc est I . c. relinquitur ao. Haec quinquies, fit
Ioo. aequale quadrato. Et omnia multiplicentur peri in fiunt Ioo os. aequales quadrato. Esto latus eius io N. - 3. Inuenitur I N. Ad positiones. Formabitur ergo triangulum a I & Erit autem quadrati latus si ergo triangu- Ium stati iamus in numeris, Sc aream ipsus adscito s. aequalem faciamus 'is . Q. reliqua fient manifesta. ι υ διμα tim ι . ἔπι ν ἄν ET PS IN Wἰγωνον ορθογωνιον, σπως o
415쪽
AD qiixstion et omnes huius libri reliquas nihil adnotauit Xilander, earum tum dis scultate,
tum insigni deprauatione deterritus. Sed & summi vir ingenii Franciscus Vieta cum hanc ipsam quaestionem pertractandam suscepisset, Zetetico nono libri quinti parum feliciter eam taplicauit. etenim methodum Diophanti minime percipiens, aliamqtie viam inire eoactus, quod ille uniuersalissim P proposuerat de quolibet numero ad aleam triansuli addendo, ipse ad lotos numeros εduobus quadratis compotitos , restrinxit. Itaque nobis ob integram tot pulcherrimorum subtilissi- tuorumque problematum enodationem , solida relim est gloria. Quam ut non immerito eonsequamur, circa hanc quaestionem. Aduerte prim5 triangulum datum spes te voeari 1 Diophanto, illud euius laterum proportio data est tantum, ipsorii in laterum quantitate indefinita manente, quod a terita definitione datorum Euelidis depromptum est. Vetε enim triangula omnia quae latera habent proportionalia eiusdem speciei censeri possunt, tum ob laterum similitudinem, tum ob angulorum aequalitatem, une e&similia vocantur ab Euclide. Idcirco Diophantus liniusmodi triangula non exhibet in unitatibus, quia verbi gratia si exponatur triangulum 3. . I. Id iam non in specie, sed in indiuiduo exhibitum erit Clim autem proportio laterum dabitur, sed ipsa laterum quantitas manebit indesnita, exhibendo se ilicet triangulum in Numeris, ut iacit Diophantus sicut 3 N. N. y N. verε & propriὰ exhibitum erit triangulum in specie, eum hae positiones, ob numeri indeterminationein , applicari insint lateribus euiustibet trianguli huius speciei. Aduet te secundis. Cum per primam operationem repetiatur 6 Q. aequalis quadrato, aequa dum eum esse cuilibet quadratorum numero quadrato maiori quam 6. puta 9 ini6 &e. Lbare
oportet talem deligi quadratorum numerum ut ab eo auferendo 6. residuum ad habeat rationem quadrati ad quadratum. Proinde eum 6. sit numerus areae expositi trianguli, patet qiiaerendum aliud triangulum, cuius area si auseratur ab aliquo quadrato , residuum ad s. habeat rationem quadrati ad quadratum. Unde apparet necessitas secundae operationis, qua Diophantus huiushiodi triangulum & quadratum imi ei ligat. Aduet te tertio subi si ire fingi triangulum ab i N. & . . unde sit hypote nuta I in perpendiculum i Basia veto a. Qirate ducto dimidio basis in perpendiculum fit area I Q. - ad rati vero latus sinsit ut i N. - m. Et primo pars illius ponitur I N. ut eius quadratus puta i
elidatur ab t Q ut est in area, cum area subtrahetur a quadrato. Deinde pars altera ponitutut eius ii ad ratus ciuidem denominationi cum- . . qui Vritur in area, unde com-m,dissimε hie ab illo subtrahetur ret solam additionem x. ad ioo. ob signi diuet statem, communi retento denominatore, ta relinqtietur Quod si diuersi essem harum fractionum denominatoressit, tractione, relinquerentur utique cubi, vel quadratoquadrati, vel aliae potestates, , quibus sese expedite disti ei Illinum esset. Tettio in hac Iecunda lateris parte ponuntur unitates Io. duplum stilicet dati numeris. ut in quadrato reperiantur Io. unitates duplum scilicet ipsius io. ae proinde quadruplum ad s. are cum d. - ao. debeat ad habere rationem quadrati ad quadratum, ae proinde uno in alterum ducto oporteat gigni quadratum, patet productu in ex 2 o. in s. esse quadratum quia ob rationem quadruplam 2α sunt plani similes. Porro -- ioo. seii omnia ducendo in t Q. ut tollatur fractio in sos -- Ioo Q. nulla ratione posset aequari quadrato nisi i .esset quadratus. Unde colligas in hac secunda lateri, parte loco Io. poni posse quemlibet nil mentiri qui sit semissi, alterius qui ad s. habeat rationem quadrati ad quadratum. Ac proinde ex hoc capite quaestionem varias recipere solutiones. Verbi gratia ponatur latus quadrati i N. - set quadratus rQ. - - D. unde auferendo aream puta I - ab remanet -- M. qui ad debet habere rationem quadrati ad quadratum. Quare altero in alterum ducto fit -- 4 . aequalis
quadrato,& omnia in I infit 8o- - inaequandus quadrato. Quod iacit E set, quia omest quadratus. Denique omissam S Diophanto solutionem quaestionis afferre non pigebit. Cum sit I N. m. formatur triangulum a a. . fitque hypotenus a perpendiculum basis et. Iatus autem quadrati est quadratus IE . vel in eadem denominatione Itaque ponantur latera quaesiti trianguli N. N. 2 N. area adsumens s. st -- s. aequalis quadrato auferendo utrimque aequalia, manent aequalias. fitque 1 At i N.
Frunt ergPatera quaesiti trianguli Viar . Il. sitque area Vri . cui addendos. fit quadratus
Quoniam vetb hinc sortὁ venit in mentem Francisco Vietae quaestionem applicari posse solis numeris, qui E duobus quadratis componuntur, quia Diophantus in sua hypothesi sumpserat s. Educibus quadratis compositum ; quamuis ex ipso ductu analyseos Diophantaeae satis constet, ad quemlibet numerum extendi problema , ne quis tamen supersit dubitandi locus, placet id etiam Ypetientia comprobare. sit ergo inueniendum triangulum, cuius area adsumens o. qui minime
416쪽
eompositus est ρ duobus quadratis, iaciat quadratum, Itaque prius quaerendum est trianguli ini, itemque quadratus , ut area trianguli de quadrato sublata, ii petiit numerus qui ad habea rati nem quadrati ad quadratum. Fingatur triangulum ab i N. & . . erit ut prius arca i Q. - sit auatem latus quadratis N. -- . . erit quadratus 1 - 2. . a quo auferendo aream supradictam, superest: -- et . quod utio in s. Nomnia dueendo in I, fit tandem 1 ἡ . 8 o. aequalia quadrato. Fingatur latus illius in N.-i . fiet i N. S latus quadrati Formetur igitur triangulum abs constituatur in Numeris, erunt latera illius N. IR' . . a N fietat ex adsumens 6. ' . Q - - aequalis quadrato a latere supraposito, hoc cit quadrato P: PQ unde tandem fit valor quadrati vel in minimis ac proinde I N. est per quam resoluendo hypostases, inueniuntur latera quaesiti trianguli, nimirum T. V. r. n. i: P . . II. fitque area cui addendo 6. sit quadratus IT. A . . cuius latus
rum quadraraquadratorum ut L qq. - r. aequari area cui adyciendo quintuplum quadrati stat quadratus , si s. merus datus diuidatur in duos quadratos poterit μή uentra quintuplum quadratι a quo dempta unitate supersit quadratus. Ponatur igitur latus quadrati quintupticandi esse I. N. - I. atit alius quiuis. merorum numeru - i. quintuplum quadrati illius io. N. - culsi adiri etas aream I Ister I αα - io. N -- q. quae summa debet aquars quadrato, hoc autem non est operosum. Cum numerus unitatum ex hnoibes adjecta
problemati sit quadratus. Non vidi Vieta quasionem perinde resolui posse si loco . . m. t f πρ et pro eo enim deducenaea ssatim qualio ut datus
numerus s vel N. vel alius quilibet se quadratum ductus adjecta unitate conscio quadratum quod generat ter est facillimum eum unitas si quadratus. Nos peculiari methodo quasionem hane cdi duas proximas resoluimus, cuius boxeficio dum quaerimus triangulum cuius area una eum s v. g. conficiat quadratum triangulum in minimis exhibemus: v I euius area et o addito 1 facit quadratum a s. sed de ratione O mo nostra huius methodi non es huius loci plura addere , non furisceret sane marginis exiguitas, multa enim habemus huc referenda.
IN Wε Ni ii s triangulum rectangulum,
ut areae numerus multatus dato nume
ro faciat quadratum. Datus esto deponatur triangulum datum specie 3 N. 4. N. ue N. & ob hypothesin 6 6.aequan-rur quadrato. Esto ipsi Et rursus
res eo deducitur,ut inueniendum sit triangulum rectangulum , & quadratus numerus, quo de area trianguli sublato, ii reliquum sexies sumatur, fiat quadratus. Formetur rursus triai ulum ab i N. &At latus quadrati su i N. cum defectu fractionis numericae tot unitatum, quantus est semissis dati nimieri. Hoc est de sic qiradratus I Q. --:e.-6. Hunc si ab area detrahamus, hoc cst abi . . relin iiiiiiiro - . . & omnia sexies, S in I ducamur. Fiunt 36 Q co. aequales
417쪽
quadrato. Estolatus eius 6 N. 2. inuerunietur i N. Formabitur ergo triangulum a & l. Eritque quadrati latus &cum inuenerottaat,guliam, statuam illud in numeris , secutusque proposuionem,
inueniam numerum rationalem. Et con stat.
EX diictis ad praecedentem, omnia quae hic peraguntur fiunt perspicua. Apparet sanὸ fingi qua
dratum a latere i N. - Vt in quadrato reperiantur unitates - 6. unde Otiania ret 6. multi plieando, fixi quadratus 36. Alioquin enim numerus. Q. - o. quadrato ae lum non posse si non esset quadratus. Quamobrem etiam patet, loco ipsius 3. in latere poni potuisse quemlibet alium unitatum numetum, cuius duplum ad 6. habeat rationem quadrati ad quadratum. Verbi gratiata. fieretque latus I N. - ac se de aliis.
Porth non in pigebit tyronum gratiam integram apponere quaestionis solutionem quam praeteri sit Diophantus. Cum nat i N. di lariis quadrati . formetur triangulum ab i& latera tu tuatitur in numeris, seni V N. Ita. N. a N. Est ergo area multata numero 6. vita - 6. aequa lis quidlato , latere L N. puta quadrato Pa WVnde si valor quadrati ac proinde valor numerit per quem resoluendo hypostases, fiunt quaesti trianguli latera 4 43. T. Estque areaxnde an serendo datum numerum 6. superest quadratus a latere
rere γύνου et λιοειδ α e ε. υἰ γι- νεται o GaAά - - - Iucαδῆ e G ri-Fαγώνου δὶ κς. ιι ι. φυτα , γὴθ τω δη γξ . μ' ρ. - τε Γων'. o ' τὰ νά- ταρτα , γίνο δ' G. α' κε. ἴσαι γενει - Πνω τή 'iam πλd ραῖ μ' ε. cς η. ἔνθεν κοῦρι--:ται ὁ ς μ' r. - ωπάας. . 'ὀ3υσως τοις τρυNυ o. IN v v N i η κ triangulum rectangulium, ut numerus areae detractus a dato numero faciat quadratum. Esto datusto. S rursum statuatur triangulum abs 3 N. N. s N. fiunt io -6s aequales quadrato, & si aequales faciamus numero quadratorum quadrato , eo rursus deuentum est , ut inueniatur triangulum rectansulum & quaeratus numerus, ita ut quadratus adsumpto areae numero faciat decimam partem quadrati. Formetur triangulum abs . . . & i N. At quadrati lacus esto u. - . N. & si compositus ex area,& ex quadrato 26 -- io. Haec decies, fiunt 26o ioo. aequalia quadrato,& quadrans horum 63α-- 23. aequatur quadrato. Cuius latus esto ue -- 8 N. unde inuenituri N. 8o. Ad positiones. Et inueniemus ut in praecedentibus.
HIc fingens triangulum Diophantus abi N. & ponit hypotenulam I α - - . . At pe pendiculum i Qi basim 2. vnde fit area r tum fingit quadratum a latere H. -
N. fitque quadratus -- 2I -- Io. cui addendo aream, fit 16 Q. - Io. quo ducto in Io. st 26o Ioo. aequandus quadrato. Vnde patet cur in quadrati latere posuerit s. ut scilicet in quadrato repetiatur ro. qui ad datum numerum Io. st in ratione quadrati ad quadratum. Fecit autem idem latus et .. - 1 N. non sicut in praecedentibus I N. -- ut latera de arearia trianguli retineret eadem quae prius. Nam si posuit set latus quadrati I N. - . . ponendum f iisset perpendiculum
418쪽
perpendiculum trianguli etiarn ar a fieret -i in res tamen aequὸ betia necederet, & inueniret ut i N. alter inicet numerυriim , a quo Arniari debet triangulum, cum petorrationem Diophanti alter repe inii r Put iis . Oiuisit autem hic etiam Dionitamus inicet alii uitae-Bioliis lolutionem labori se sub tabent, ob ni sinas traditones sed hune laborem' siticipere iMPgrauabimur. Cum i N. sit M. Alatus quadrati tarmetur iciangulum abs 8s. α 5e ilat uani uel atra in numeris, fient N. N. 2 N. sit quo area qua detracta de numeroro fit io in aequis quadrato, esto quadrato a latere N. puta quadrato 'ra Qsent tandem io. aequales '' a unde fit valoi quadrati ... . . seu in minimis . .. .ugi qu i. latus statuamus; - y N. Nam ' . 5 eruntque latera in Numelii, - , qu drat. unde fit tali doni o . At i N. se per quem rei oluendo hypostasses, sinit latera trianguli quaesiti T'. . Area est in. v minis . . , quam aut emi do a Io. remanet quadratus V V. a latete DN. est Ad positiones erunt latera 'lilaesiti trianguin detracta de io. remanet qua iratus '. . . . . , latere. 'Non adeo molestos numeros habebimus si numeri as lauseti. N. l. latus quadrati ' . Quare sormabitur triangulum a a. & N. N. x N. N area detracta de io. fit io. - aequaliis quad
INV v si κου triangulum rectangulum,
ut numerus areae adsumens unum laterum circa rectum, faciat datum numerum. Estod tus 7. statuatur rursus trian
gulum datum specie 3 N. N. s N. &
hunt 6 4 - - 3 N. aequales 7. Sc oportet se milli in numerorum in se ductum adsit mere quadratos per 7. multiplicatos, de facere quadratum. Non facit autem. Oportet igitur inuenire triangulum rectangulum, ut quadratus semissis unius laterii in circa rectum adsumens septuplum areae, faciat quadratum. Esto vitum
laterum circa rectum i N. alterum I. &fiunt 3 ἡ N. - . & omnia quater, sunt I N. - I. aeqitalia quadrato. ut autem etiam triangulum rectangulum rationale constituatnus,oportet,&IQ. I. aequari quadrato. Horum interualsum est i-r N. mensuratio I N. secundum i N. - q. Istorum interualli semissis in se facit q9. quod aeqtiatur minori, & fit 1 N. Ad positiones. Potio igitur unum laterum circa rectum trianguli v. alterum 1. & omnia septies & in numeris, fiet illud a N. hoc vero N. At hypotenti adiue N. do fit area adsumens latus secundum 8 N. Hoc aequatur 7. vnde i N. inuenitur :. suntque latera trianguli f.& constat.
Haec propositio sesequentes aliterfieri Fingatur triangulum in hac pro
positione abs dato numero sunitate se plana lai ribus similia applicentarias summam initaIis se numeri dati, orietur quaesitus triaunia . o o
419쪽
HI c detrenit ut ad regulas compositas , ut liquet tum e prim operatione , in qua 6 Q - sN. aequantur 7. tum ex secunda , in qua si se T m. aequuatur 7, has autem aequationes resoluit Diophantus modo sibi similiati quem explicauimus ad trigestiuam tertiam primi. sumendo scilicet quadratum semissis numeri Numerorum , qui numerux est unum laterum circa tectum sumpti trianguli & huic quadrato addendo productum ex da o nuinciis p. in numerum quadro totum , qui est numerus areae. Qiramobrem recte inserta Inueniendum esse triangulum, ut quidi ius semissis unius laterum circa tectum, adsumens septuplum areae , faciat quadratum. Huius trianguli lateraeirea rectum ingeniosE ponuntur 1 N. dc I. unde fit area cuius septuplum τ' N. cui addendo quadratum semissis secundi Iateris, fit 3 N. aequalis quadrato, de omnia in . ad tollendas fractiones , fit I N. - - , . aequalis quiarato. Porro ut tria latera trianguli sint rationalia, cum latera circa rectum posita sint I N, dc I oportet ut eorum quadrati simul faciant quadratum hypotenuis. Quare oportet vi I Q -- I. sc aequalis quadrato. Iam ergo duplicata Meunit aequalitas, cum aequandi sint quadrato tum I N. -- I. tum ii. Reliqui sitiit niani sesta. Cur in lemmatis solutione adiiciantur denominatores , ratio est
Guia inuento triangulo soluente lemma dimpossimn , si siniat ut quodlibet aliud simile . id aequε benE proposito satis faetet, ut demonstrare in promptu est. Sint A Blatera circa tectum iri in. rectanetuli, Se sit D. quadratus semistis ipsius A. sitque E area trianguli, &. datus numelu, C. quo ducto in E fiat P. additi Ru e simul FD. fiat G. quadratus. Tum suamantur H Κ latera cito rectum alterius trianguli si illis priori, cuius arei sit M. qua diicta in C. fiat N. di sit L. quadratus semissis ipsius H. additisquEL N. fiat P. di eo P. esse quadratum. Quia enimve A ad H. se in semissi, ipsius A. ad semissem ipsius H..' At quadrati D L. sunt in dupli ta ratione laterum, patet D ad L. duplicatam esse rationem rationis A ad H. sed. de ob smilitudinem irringuloruiti area E ad aleam M. est in duplieata ratione lateris Α adlati H. est ergo D ad L. et Ead M. Quia vero idem C duetiis in Edi in i . luti dii. M. produeit F dc N. est F ad N. ut E ad M. ergo est etiam F ad N. ut D ad L. Quamobrein & an sepi vi tecedentium summa puta C. est ad summam consequentium P. sicut unus antecedentium D ad unum eonsequentium L sed D L sunt quadrati.Ergo G ad Pa abet rationem quadrati ad quadratum. Moi ae proinde eum G sit quadratus ex hypothesi , erit 6 P. quadratus. Quod erat demonstrandum. Facile quoque est examinare an numeri , Diophanto inuenti soluant quaestionem sunt enim latria trianguli 6. .. est aurem Mea cui si addas alterum latus, puta '. fit utique Praescriptus ni
IN v ε Ni κ ου triangulum rectangulum,
ut numerus areae multatus uno late
rum circa rectum, iaciat datum numerum. Esto datus 7. Et rursum si statuamus triangulum datum specie, res eo deducitur ut inueniendum sit triangulum rectangulum, ut unius laterum circa rectum se inlisis in seductus, & adimens septuplum areae faciat quadratum. Et inuentum est, nempe 7. 2 23. statuo ergo innumeris . & area multata uno laterum
circa rectum iacit 84 Q N. Haec aequantur . 5 fiti N. Ad positiones.
FIngatur triangulum abi dato numero unitate es plana lateribus similia applicentur a disterentiam dati numeri se initatis, haec quaestio per viam qua hujus odi duplicatas aqualitates infinitis maris resoluimus in itas rec*iι Io oones. Modum autem quo utimur tetigimus es exalicauimus ι ra ad θα tionem et .
420쪽
IAE. Ostationes ilia infinitae aptantur 4.Sequentibus quaesionibtas, quod nec Diophantas nee Pacheιas animaduertit. Cur auιem neque Diophansus neque Sachetus sequentem quaestionem addιderunt i Inuenire triang.rectans. ωt unum ex lateribus area multatum jaciaι datum numerum Cerιὸ hanc videntur ignorasse quia non malim se prodit in resolutione duplicata aqualitatis. Verum ex nostia methodo facile potest inueniri,
militer in seruentibus quastionibus tertius hic casus suppleri potest. IN AIC AESTIO N EM VILEX d ictis ad praecedentem lite omnia fiunt manifesta, eum ab eodem lemmate pendeat selut Ioquaestionis. Fie autem l N. q. ae proinde quaesiti trianguli latera sunt l. 8, 3. Atea est unde u
auistas alterum latus, puta l. remanet utique datus numerus 7.
IN vasi et a triangulum rectangulum,
ut area adsumens utrumque laterum circa rectum, faciat datum numerum. Esto datus s. Et rursum statuatur triangulum datum specie. Et rursum eo res deducitur ut inueniatur triangulum rectangulum, ut summaς laterum circa rectum semissis in se ductus, & adsumens
sextuplum areae faciat quaὸratum. Ponamus denuo unum laterum circa reditam a N. alterum I. & fit ut quaeramus : Q. - IN. - - .. aequalia quadrato, Sc omnia quater. Fit I in FIA N. - r. a qua-ie quadrato..Sed de I - . I. aequari debet quadrato. Horum interuallum est x N. mensuratio a N. secundum 7. Istorum interualli semissis in se facit t7N. aequale I Q. --r.& fitem est ergo triangulum l:. de omnia per a8. fit igitur triangulum sN. 28 N. 33 N. & fit area adsumens utrumque latus circa rectum 63o inr 3 N. quod aequatur 6. & fit i N. rationalis. Ad positiones. ET PEIN τήγωνον ομογωνιον. σπως ὁ ὀν τω ἐμέ - ά δ αροσλαζών σὸν is
H V a s us ex adnoratis ad seriam , operationis Diophanti ratio satis innotescit, ne tamen lilius I breuitas, tyronibus pariat obscuritatem, age paulo fusius eam explicemus. Quaerentesma si stim intuta N & τ. eautὸ, qualia multa fieri animaduet imus passim
tauta Pi N. i: alia li eam eii ea tectum, nam alterum podium est uare hy