장음표시 사용
71쪽
1 ε Infinitorum θ ratium nempe triangulum CB Α, ad triangulum DBA,
ut potestas AB, uno gradu inferior potestate trili. Dei, adsimilem potestatem BF. Ergo per conuersionem rationis, & conuertendo, erit triangulum CBD, ad triangulum CB A, ut excessus potestatis A B, uno gradu inserioris potestate trilinei, supra similem potestatem BF, ad potestatem BA. Et ducendo hos terminos in quadratum BA, erit C B D, ad C B A, ut factum sub excessii potestatis A B, uno gradu in serioris potestate trilinei supra similem potestatem BF, in quadratum BA, adfactum sub potestate BA, uno gradu in seriore potestate trilinei in quadratum BA; nempe ad potestatem BA, uno gradu superiorem potestate trilinei Attriangulum C B A, est ad excessum ipsius supra
trilineum, nempe ad spatium contentum a recta, &curua CB, Vt numerus trilinei unitate auctus adnumerum trilinei unitate minutum, ex schol. I. proin
possit. I. lib. I. do Infinit. Parab. nempe ut potestasA B, uno gradu supelior potestate trilinei ad tales sui partes, quae se habeant ad ipsam, ut numerus tr linei unitate minutus, ad numerum trilinei unitate auctum. Ergo ex aequali, erit triangulum CB D, ad spatium contentum a recta, & curua C B, ut factum sub excessii potestatis A B, uno gradu infer ris potestate trilinei supia similem potestatem BF, in quadratum B A, ad tales partes potestatis AB, uno gradu superioris potestate trilinei, quae se habeant ad ipsam, ut numerus trilinci unitate minu-
72쪽
tUS , .ad pumerum pri linei vpitate *uctunt. Rur-s um, spatium comprehensum a recta, & curua C B, est ad spatium comprehensum a recta, & curua B E, ut potestas AB, uno gradu superior potestate trilinei , adsimilem potestatem B F, ex schol. r. propo-st. 3. lib. I. nempe Vt tales partes praedi et e potestatis AB, quae se habeam ad ipsam, ut numerus trilinei unitate minutus , ad numerum trilinei unitate auctum, ad similes partes potestatis BF. Ergo per convcrsionem rat ionis , erit spatium comprehensum a tecta, & curua C B, ad excelsum ipsius supra spa- tum complehensum a recta,& curua BE, ut tales partes potestatis A B, uno gladii altioris potestate uilinei, quae se habeant ad ipsam potestatem AB,
Vt numerus trilinei unitate minutus,ad numerum tri-H linei
73쪽
linei valuite auctum, ad excessum ipsarum supra similes partes similis potestatis BF. Ergo rursum ex aquali, crit triangulum CBD, ad spatium compreliensum a rcctis CB, BE, & a curua CE, ut factum sub Excessu potestatis AB, uno gradu depressoris potestate trilinei supra similem potestatem BF, in quadratum B A, ad excessum talium partium potestatis AB, uno gradu altioris potestate trilinei, quae se habeant ad ipsam, ut numerus trilinei unitate minutus, ad numerum trilinei unitate auctum, supra similes partes potestatis smilis BF; nempe ad tale partem excesus porcstatis praedictae AB, supra similem potestat m B F, quae se habeant ad ipsum excessum, ut nun eruS trilinei unitate minutus, adnumerum trilinei unitate auctum. Quod ostendere
Recolenti autem superius ostensa in proposit. I t.& ia. S in scholijs earundem , si et manifestum, quod si A B, in hac proposit. aequetur DA, in sche. Irat. illatum propc sit. & BF, in hac ipsi C A, in illis, fici in quom rnan in sum, ii iangulum CBD, in hac, ad spatium ci inprehensuin a rectis CB, BE,N acu tua EC, csevi sector DAD, in illis, adspatium helicum C A D: S per conuersionem rati Ris . Nam , in hac ostenditur esse triangulum , ad
spatium, ut sactum sub quadrato A B, in disseren-
74쪽
tiam potestatum AB, BF, uno gradu depressiarum potestate trilinei nempe eiusdem gradus cum spira- Ii, quia semper potestas trilinei supponitur uno gradu altior potestate spiralis j ad tales partes differentiae potestatum AB, B F, uno gradu altiorum potestate trilinei nempe duplici gradu altiorum potest te spiralis 4 quae se habeantad ipsam, ut numerus tr linei unitate minutus nempe ut numerus spiralis9
ad numerum trilinei unitate auctum nempe ad numerum spiralis binario auctum.ὶ Quae ratio est eadem , quae assignatur in propositor ut consideranti fiet manifestum. Ex his ergo habemus , quod nunc omnia, verificabuntur, quae vera erant in illis proposit. & in schol earundem. Ergo ex schol. proposita II. deduc
75쪽
c o m semisoram spiralium mus, esse triangulum C d D, ad spatium compre. heasim i rectis CB, B E, &a curua CE. in trilineo quadratico, ut quadratum Ad, ad recta ngulum Ad F, cum qaadrati AF. In trilineo cubico, ut quadratum AB, ad rectangulum AB F, cum ' quadrati AF. Ex schol. autem propo sit. m. deducemus, proportionem trianguli ad spatium posse reduci ad depressiores pol elates, & ideo possis alijs terminis pronunciari, ut ibidem factum fuit, sic . Triangulum ad spatium erit, ut factum sub quadrato ΑΒ, in omnes singulares partes potestat is adg regati A B, BF, duplici gra tu inferioris potestate trilinei, ad tales partes omnium singularium partium potestatis adgregati AB, B F, eiusdem gradus cu m trilineo, que se habeant ad ipsas, ut numerus tril inei unitate
minutus, ad numerum Unitate auctum.
D schem. proposit, aviece . ducta HO, parallelu et A. Erit f A, ad si s , mi potestas iis B, eiusEem Pr dus cum trilineo, a factum sub O B, in potestatem BR uo radu inferiorem potestate trilinei.
Ρ ter, quia ratio CA, ad H O, componitur ex rationabas C A, ad A D, & AD, ad H Ο.sed ut C A , ad A D, sic ex proposit. s. potestasA B, uno gradu inferior potestate trilinei, ad simi- 'lem potestatem BF. Et ut DA, ad HO, sic
76쪽
AB, ad B O. Ergo ratio C A, ad H Ο, erit composita ex praedictis rationibus. Ast ex illis componitur etiam ratio potestatis A B, eiusdem cum trilineo gradus, ad factum sub OB, inpotestatem BF, uno gradu inferiorem potestate trilinei. Quare pa- , tet propositum.
In schem. proposit. anteced. si OH, parallela C A, occurarat curvae in G. Erit C D, ad G H, ut uectom sub AB,'pub differentia potestatum M B, BF, et gradu depressiorum potestate trilinei, ad actumsub O B,st Fub disserentia potestatum OB, BF, itidem o gratu depreForum potestate trilinei.
77쪽
OVoniam enim ex proposit 3. est CA, ad AD,
ut potestas AB, uno gradu inferior potestate trilinei, ad similem potestatem B F; ergo per
Conuersionem rationis, &conuertendo, erit C D,
ad C A, ut differentia potestatum AB, BF, uno gradu depressiorum potestate trilinei, ad similem potestatem AB; nempe ducendo haec in AB, ut factum sub ΑΒ, indictam differentiam, ad potestatem AB, eiusdem gradus cum trilineo . Sed quoniam ex natura trilinei, est CA, ad Go, ut potestas AB, eiusdem gradus cum trilineo, ad similem potestatem BO:&est CA, ad Ho, ex proposit. anteced. vi potestas AB, ciusdem gradus cum trilineo, ad factum sub A B, in potestatem S F, uno gradu inseriorem potestate trilineio Ergo erit
C Α, ad GH, ut potestas AB, eiusdem gradus cum trilineo, ad factum sub O B, & sub dissetentia potestatum O B, B F, uno gradu depressiorum pο- testate trilinei. Sed supra probata suit CD, ad CA, ut factum sub AB, &sub differentia potestatum AB, BF, uno gradu depressiorum potestate trilinei, ad potestatem A B, eiusdem gradus cum trilineo. Quare ex aequali, erit CD, ad factum sub BA, in differentiam potestatum AB, BF, uno gradu depressiorum potestate trilinei, ad factum sub OB, in differentiam similium potestarum Ov, v F. Quod erat ostendeodum
78쪽
Excessus circuli circumscripti spηtio spirali cuiuscunque generis , in ex quacunque reuolutione supra ipsum spatium, est aequalis in schem. proposit. antecedent. trilineo mixtoc EVI, tritaeι et no gradu altioris potestate statis,comprehenso a curua C G E, ω a rcctis c.D E dummodo A B, aequetur semidiametro circuli ; BF, δε-
midiametro circuli mnitate minoris, stes c tot cimcumferenti,s maioris circuli, quotus est numerus reuolu
Eixo G M sit si, spatium spirale cuiuscunque
generiS, & ortum ex quacunque reuolutione,&FD CB, sit circulus ipsi citcumscriptus sititiam circulus radi j AG, ipso unitate minor: v. g. si circulus radij ΑΒ, sit circumscriptus seeundo spatio, sit circulus rad ij AG, primi spatij: si ille sit circulus ter iij spatij, sit hic secundi: Rc. item sit trilibneum proposit. anteced. CEBA, Vno gradu altius gradu spatij spiralis ; sitque AB, in trilineo aqualis AB, semidiametro circuli maioris, S BF, in trilineo aequalis semidiametro A G, circuli minoris: pariter st C A, in trilineo aequalis tot peripherijs FD CB, quotus est numerus spatij GMSIB Grv. g. si spatium sit ex secunda reuolutione, duabus rsi tertiae, tribus: &sic semper. Dico, exces umcise culi radij A B, supra dictum spatium, aequalem smre trilineo CGED.
79쪽
De Infinitarum Spiratum Quoniam enim inspirali circulus radij AG, est ivnuate minor circulo radi j AB. Ergo ematura infinitari m l piralium iriatio explicata,diuisa potestate AB, Volusecm gradus cum si irata i9 ip tesqu0 us ost numerus reuolutionum, pota stas A G, eiusdem gradus cum spirali concinc bis apst, Si, ung exce pia, adeo ut differentia potestatum BA, AG, sit Unica talium partium. Cum vel o ctiam in trilinco, o B, sit a qualiter sccta in F, sicut illa in C: etiamuffercntia potestatum AB, BF, eiusdem gradus cum spirali, & gradus unitate minoris potestate trilinei, continebit talium partium unicam partem. Sed quomam ex proposit. s. est C δε, ad AD, utpotestas AB, viaqgradu in nrior sotestate trilinei, ad
80쪽
Spatiorum Mensura: 6ssmilem potestatem B F. Ergo per conuersionem rationis, erit C A, ad CD, ut potestas dicta AB, ad differentiam potestatum AB, BF. Sed CA,
aequatur tot circumserentiis FDCB, quotus est nu--rus reuolutionum:& differentia potestatum A B, BF, uno gradu depressiorum potestate trilinei continet unicam partem potestatis similis AB, diuisae in tot partes quotus est numerus reuolutionum. Edigo C D, erit aequalis uni circumferentiae FD CB. Metiam BA, diameter trilinei aequatur radio - B, circuli. Ergo triangulum CBO, in trilineo, ierit aeqvile circulo radi j AB. Quae seruentur. o Tunc, in B, in spirali accipiatur quodlibet puniscium Ε, & centro A, interuallo AE, describ aurcirculi peripheria E 'M, occurrens spirali in M; aciam in uillaeo F O,.aequali GE, ducatur OHG, Ι parati