Miscellaneum hyperbolicum, et parabolicum. In quo praecipue agitur de centris grauitatis hyperbolae, partium eiusdem, atque nonnullorum solidorum, de quibus nunquam geometria locuta est. Parabola nouiter quadratur dupliciter. Ducuntur infinitarum par

121쪽

cycloidem primariam ABC, reuoluto vel caraca FC, vel circa dictam parallelamr Item in q, o puncto ipsius R G , vel ipsi parallela sit centrum grauitatis duplicatae semicycloidis B DCRG, ad partes FC: sed admonebimus, centrum grauitatis solidi orti ex reuolutione figurae B D C R G. se secare dictam RG, ut pars terminata ad R, sit ad

partem terininatam ad G, ut T. ad s. Ratio est,

quia ita diuidit B D, centrum grauitatis cycloidis ABC, sicuti diuidit FC, centrum figurae BD CRG.

Item admonebimus, centrum grauitatis solidi orti

ex gy ratione figurie A EBF C, circa FC, sic secare F C, ut pars terminata ad F, sit ad partem te minata id C, ut I. ad Ratio cst quia sic diuidit B D, centrum grauitatis praedictie figurae re uolutae. Nam cum ex Torruellio de dimensione cycloidis, & ex Iacquet in dissertatione de circulorum volutationibus proposit. a . demonstratione nunquam satis laud ita, constet, AEBF C, esse tertiam par em cycloidis A B C; cum ex eodem Torri- cellio supra citato, supponamus centriam grauitatis cycloidis sic secare B D, ut pars terminata ad B, sit ad partem terminatam ad D, ut T. ad 3; & pariter cum medium punctum B D, sit centrum grauitatistorius parallelogrammi EC, nempe centrum grauitatis parallelogram n i relinquat hinc inde 6, partes , quarum B ita, sirpponitur Ia ; lector in doctrinis Archimedis exercitatu, facile agnoscet, centrum grauitatis praedicti excessus sic secare BD, ut pars

122쪽

terminata ad B, sit ad partem terminatam ad D, vi s. ad 9. seu ut r. ad 3. Lector autem sic edoctus facile agnoscet etiam centrum grauitatis figurae B C it, reuolutae circa RG, &c. sic secare R G, ut pars terminata ad R,

ad G, vi I. ad 3. sit ad partem terminatamo a

123쪽

Supponamus autem ABD, esse portionem minorem parabolae cuiuscunque resectae Iinea BD, diametro parallela, adeout A D, sit basis talis portionisinintelligamus portionem ABD, duplicari ad partes BD, adeo ut BD, diametro parallela euadat axis figurae ABC; & intelligamus consueto modo figuram ABC, rotari circa F C, M. Ex proposit. is. lib. s. in qua assignatur centrum ae

quilibit portionis ABD, in BD, diametro p

rallela.& consequenter centrum grauitatis figurae ABC, habebimus centrum grauitatis talis solidi. Si vero intelligamus figurae ABC, circumscriptum parallelogrammum EC; cum excessus ipsus habeamus centrum grauitatis, quia habemus centrum grauitatis N parallelogrammi, & portionis, & exproposit. is . lib pri. habemus rationem parallelograminini ad figuram , & consequenter illius excessus ad figuram ἱ habebimus etiam centrum grauitatis solidi ex illo excessu circa FC, vel illis parallelam. Quod vero diruim est de figura ABC, patet ex supradictis intelligendum ctiam fore de figura BD CRG. Sed si talis figura intelligeretur duplicata ad partes AD, adeout basis D A, euadat axis figurae N AB. Ex proposit. i . lib. 3. habebimus centrum grauitaritis annulorum ex NAB, circa ON, vel illi parallelam . Idemque intelligendum est si figura intelligeretur dupl icata ut CDBQ P. Si vero inseq enti sgura, portio maior AIBD, Parabolae cuiuscunque, cuius basis AD, intelliga-

124쪽

tur duplicata quatuor modis supra dictis, & intelliga mus generari solida praedicta; nihilominus ipsorum

solidorum habebimus centra grauitatis . Ratio est quia in proposit. I s. & LO. lib. 3- habemus centra aequilibrii maioris portionis parabolae cuiuscunque resectae linea diametro parallela, tam in praedicta linea diametro parallela, quam in basi. Vnde etiam habemus centra grauitatis duplicatae portionis quatuor

125쪽

tuor illis modis; & consequenter centra grauitatis it

Iorum annularum.

Sed si in eodem schemate, portionem L M I B D, parabolae cuiuscunque resectae duabus lineis LM, BD, diametro IK, inter ipsas interceptae, parallelis, intelligamus disponi quatuor praedictis modis,& intelligamus consueto modo , generari quatuor species annularum, ut saepe dictum est: illorum omnium sciemus centra grauitatis; haecque nos docent proposit. a. r. & 2.2. lib. I in quibus assignantur cenistra aequilibri j illorum segmentorum tam in basi, quam in lineis diametro paralleliS. Sed si in sequenti schemate supponamus A B E F, esse segmentum semiparabolae cuiuscunque resectae linea BE, basi AF, parallela, intelligamusque

hoc aptari quatuor consuetis modis, & ut in schemate, Habebimus centra grauitatis solidorum genitorum modis supra explicatis. Videat lector proposit. i o. lib. s. in qua assignatur in EF, centrum

grauitatis segmenti ABCD; & proposit, M. in qua assignatur centrum aequilibrij segmenti ABERin basi A F. Sed supponamus FABE, esse utique segme tum semiparabolae cuiuscunque, sed sic dispositae ut AF, sit diameter , BE, parallela diametro, adeovi F A B E, si segmentum ad diametrum, quod intelligatur duplicatum quatuor modis ut in schemate. solidorum genitorum consueto modo ex figuris sic dispositis habebimus centra grauitatis. Quia in

126쪽

propost. Is . di I 6. libri 3. habemus centra aequis librij segmenti ad diametrum parabolae cuiuscuniaque, tam in basi, quam in linea dia etro parallela. Solum videtur nobis lectorem admonendum , ci cumscriptis figuris parallelogrammis s solidum ex excellii parallelogrammi GD, supra figuram . ABC D, habere tale centrum grauitatiS, quod sic

secet D H , FE, parallelam , ut para terminata ad D, sit ad partem terminatam ad H, Vt numerus annuli unitate auctus ad unitatem. v. g. in primo, ut a. ad I. In secundo ut 3. ad I. Et sic in

infinitum. Ratio est quia AGB, est trilineum si mile

127쪽

simile toti trilinco totius semiparabolae , in quo par, ter centrum aequilibrij sic diuidit AG ; & consequenter centrum grauitatis duorum trilineorum

AGB, CD H, simul sic diuidit FE, ut pars terminata ad F, sit ad parrem terminatam ad Ε, vinum eius trilinei unitate auctus, ad unitatem. Idem propter eandem rationem , intelligendum est de trilineo CD N, reuoluto vel circa ductam per N, seu C, ipsi EF, parallelam, vel circa alias parallelas EF, extra trilineum ductas. Sed tandem supponamus AB EF, esse segmen tum intermedium semiparabolae cuiuscunque resectae duabus lineis BE, AF, diametro parallelis, quod segment uni intelligatur dispositum quatuor

modis . Omnium solidorum genitorum consileto modo nobis innotescent centra grauitatis ex propo-st. IT & a 8. lib. 3.. Q ot igitur solidorum habeantui ex antedicta 'propositi. centra grauitatis, de quibus neutiquam cognitio tenebatur, potuit lector animaduertere. Sed non minorem utiIltatem capiemus ex sequenti propositione, quae, modo ad nostrum institutum apto, explicata, ducet nos in cognitionem centrorum gra uitatis quorundam solidorum, quae usque nunc geometria ignorauit. Praecipue ex ipsa venabimur centra grauitatis omnium semifusorum parabolicorum;

nempe docebimus in quo puncto basis sit centium grauitatis solidi ex semiparabola quacunque reu luta circa basim . PRO

128쪽

ΡROPOSITIO, XXX.

. nulus strinus figurae antecedentis propositionis aequatur quatuor solidis, quorum duo sint, Iin orιuntur ex reis uolutione smisiPrae circa diametrum , asia duo ex reuolutione se figurae, circa parallelam diametro p r extrem talem basis ; o' Me tam secundum votum, quam secundum partes proportionales. Rem annulus latus ex eadem figura aequatur duobus primis foliau, ω duobus annulis latis ex semifigura circa parallelam diametro extra Esem.

E Mo ergo figura ABC, in primis, quae reuo

luatur circa CF, diametro B D, parallelam ductam per extremitatem basis C. Dico annulum Α BCHG, aequaletri esse duobus solidis ex semifigura DBC, circa BD, & duobus solidis ex eadem DBCH circa..c F. . Disponantur isti solida, ut in schemate, sec. adeo ut contineantur Omnia inter duo plana AB, CD, parallela. Sicuti autem taliter sunt disposita ut duo genita ex reuolutione DBC, circa di mettum occupent modium locum, ita potuissent disponi quocunque alio modoos & si cuditi disponuntur ut unum aliud tangat , ita potuissent disponi ut essentab in utrem dissita quocunque in re tiatio. Disposita autem merunt sie tanquam concinno modo ad inserrenda pulcherrima, quae ex tali propositione deducontur. Accipiatui in diametro BD, P prima

129쪽

pri irae figurae, quodlibet punctum per quod ducatur planum L Q, plano AG, parallelum. Cum aurem C R, in insecunda figurasus ponatur aequalis ipsi BD, in prima, fiat C f, aequalis d I, & per F, agatur planum E F, A η, CD, planis parali lum . Rectangultim LMQ, primae figurae, diu, ditur in rcctangula IMO, Be LI , M Q. R ctangulum IMQ, est aequale rectangulis ιMPιI Ms

130쪽

IM, PQ, seu MI L. Pariter rectangulum L I, MC cum sit aequale rectangulo IMι diuiditur in eadem rectangula . Quare colligemus , rectangulum LMQ, aequale esse duobus rectangulis IMP. & duobus rectangulis MI L. Rectangulum IM P, in prima figura, aequatur rectangulo EG Κ, in secunda; unde duo rectangula IM P, primae, aequantur duobus rectangulis EGE, RS F, secundae ratem duo rectangula MII., primar, aequant ut duobus rectangulis L OM, NPQ i secundae;

unde omnia quatum rectangu Ia primae, aequantur quatuor rectangulis secundae. Ergo etiam rectangR-lum L MQ, prim .e, aequabitur rectangulis E G k;Lcm; NPQ; RSR L d indae. Ergo M aim illac circularis LM in solidi primae fig rae, aequabitur

armillis circulatious EGE; R, F, & circulis LOM, NP . secundae . Cum autem puncta I,&bE, sumpta sint ad libitum , inuentaque sit aequalitas inter plana praedicta; rectς deducemuri necdum omnes armillas circuIares solidi primae figurae plano AG, parallelas, quales etsi omnibus armiIlis circuIaribus, & omnibus circulis solidorum secundae s sed etiam solidum primae squari omnibus solidis se

cunde.

Quod autem probatum fiuit de totis, paled eodem modo probari posse de partibus proportionaliabus ; quia non difflatili modo probabimus partem so- Iidi primae contentam ter plana parallela L A G, qquari parti soli rum secundae , conten-