장음표시 사용
61쪽
lico A QT C , ad ipsum segmentum . Haec non continent in lae dissicultatis, quapropter lassiciae ea lectoribus indicasse. Sicuti sufficiat ex antecedentibus indicare modum reperiendi in qua linea parallela D , si centrum grauitatis suppositi segmenti se mi hyperbolis AHkD. Hoc autem reperietur ex dictis, si suppo natur seg nenti AH ΚD, quadratura, nempe ratio, quam habet adapsum parallelogrammum L D. Cum enim cylindrus L C, habeat ad segmentum conoi-dix A HIC, ex schol. pri. pro . 3. lib.3. rationem compositami ex ratione dimidij parallelogrammi L D, ad segmentum A HED, & ex ratione Aad interceptam inter D, & centrum G menti acceptum in AD, hoc est e nitim grauitatis
duplicati siennensi, A H h D, ad patiM A D; sequitur,quod si . ex proportione Wlindri L C, ad seramentum corioidis A HIC; nempe ex ration d x- presia in pnpsenti proposition subtr1hathr supposta ratio dimiclij parallelogrammi Do, ud segmentum
parabola: AHKD, remanebit ratio, AtD, ad interceptam in ter D, & centrum quaisi utam . Hs: puncto inuento, nigmrabimus tria Iblita , quae ispe saepitis deduximus in non paucis pro pomtionibus lib. 3. Nam primo non ignorabimus rationcm cylindri ex Lo, ad solidum ex segmento AHK o, circa L A . Secundo non ignorabimus
62쪽
AΗ, D , intellectis eylindricis rectis aequealtis 1 ructis diagonaliter plano transeunte per D , &perlatus oppositum ipsi L A, minime ignorabimus cubationes truncorum cylindrici super AHkD, exbstentis. Hac tamen disserentia, quod cubationem trunci sinistri habcbimus sine suppositione alic ius quadraturae non sz cubationem trunci den
His ostensis non erit inutile ostendere modum inueniendi centrum grauitatis segmenti conoidis
hyperbolici AHIC . Sed prius ostendatur sequens
Disterentia supradiictori frustorum ronoideorum est ad
- segmentum conorius parabetici, 'Ut quadrata avium rotatius conoidis, er comidis ad merticem , Una cum re
ctangulo contento sub bis axibus, ad quialterum reci angulorum eontentorum seb latere transe cfo , ην sub
SIM ergo segmqnta anteced. propositi Dieo dis ferentiam frustorum ΑΗΙC, ENO F, esse ad segmentum parabolicum ENO F, Vt quadrata D B, B k, cum rectangulo D BR ad sesquialterum tectangulorum G B D, GB V. Differentia enim . praedicta ad segmentum ENO F, i habet rationem compositam ex ratione differentiae ad tubum cylindricum
63쪽
ius ad segmentum E N OF . Cum autem disserentia Dinorum conoideorum sit, ex supradictis, aequalis disserentiae frustorum conprum inscriptorum in ipsis; & cum disserentia frustorum conomm sit ad tubum L EM, n facile potest deduci ex dictis in schol. propositi I*lib. a. xt DB, cum ΒΚ, &cum harum tertia minori proportionali ad tres D B. Sequitur etiam differentiam segmentorum conoi- deorum, esse ad tubum cylindricum LEM, ut DB, BK, Silla tertia proportionalis ad tres ΓλB. Cum vero LEM , tubus iit ad cyliodrum TF, ut re clangulum AEC, ad quadratum ED , nempe diuidendos ex hypothesi frequenter via, ut DB, ad BG seu ut tripla DB, ad triplam G B. Ergo exaequali , erit di-entia segmentorum conoideorum ad cylindrum . TF, ut DB, B k, cum illa temtia proportionali ad triplam G B. Cylindrus. T F, est ad segmentum . E N OF , ut dicetur inferius, ut dupla DB, ad DB, c*M. BAE, Ergo a primo ad
ultimum , differentia segmentorum comideorum ad segmentum EN OF , habebit rationem compositam ex ratione DB, Bh, & harum tertiae proaportionalis ad triplam BG,&ex ratione duplae DB, ad DB, Bk.: Sia Hildictis rationibus componitur quoque ratio duorum quadratorum B D, duorum rectangulorum DBS, & duorum rectangulorum
sub D ω stib illa testia proportionali quae duo ultima rectangula sunt aequalia duobus quadratis . . mediae
64쪽
6s mediae BK , ad tria rectangula GBD, cum tribus rectangulis G BK. Ergo differentia frustorum co-noideorum , erit ad segmentum E N O F, ut duo quadrata DB, cum duobus rectangulis DBS, Ncum duobus quadratis BK, ad tria rectangula GBk, cum tribus rectangulis G BD . Et ut ho-ium terminorum dimidia. Nempe disterentia praedicta , erit ad praedictum segmentum, Ut quadrata DB, BK, cum rectangulo DBK, ad se uialterum rectangulorum G BD, GBN. Quod erat ostendendum.
65쪽
Quod verb T F , cylindrus sit ad segmentum . ENO F, ut dupla DB, 3d DB, BS, patet. Quia ex ptoposit. 3. lib. q, cylindrus TF, est ad segmen tum conoidis parabolici ENO F, ut parallel graminum TF, ad trapezium lineare ER S F, At ex proposit. s. Iib, prim. est parallelograminum ad trapehium ut dupla DB, ad DB, & BK. Quare patet propositum.
Ratio autem piaedictorum solidorum collecta in supra dicta propositione, potest etiam reduci ad minora plana; quia potest reduci ad eam, quam habet rectangulum DBS, cum tertia parte quadrati DK, ad rectangulum G BF, cum dimidio rectanguli GB, KQ. Patet quia haec plana sunt tertiae partes priorum planorum.
Segmenti supradicti conrudis hyperbolicι centrum
SEgmenti conoidis hyperbolici A HIC, cenatrum grauitatis Teperietur sic . inscriptis solidis ut supra, secetur KD, sic in X, ut XX, sit ad XD, ut duplum quadratum ED, cum quadrato NK, ad duplum quadratum N , cum quadrato E
66쪽
ED, seu ut dupla DB, cum BK, ad duplam BK, cum BD. Ergo ex schol. proposit. 13. lib q. erit X, centrum grauitatis frusti conoidis parabolici ENO F. BD,& BK, sic secentur in Y, Φ, ut DY, sit tripla ipsi as. ΥΚ, & pariter Bris tripla sit ipsius 4 D: &fiat ut excessus cubi DB, supra cubum B , ad cubum ΒΚ, sic Y ad 4 R. Ergo
cx schol proposita I 8. eiusdem libri erit 3r, centrum grauitatis differentiae frustorum conorum; &consequenter ex schol. t. proposit. 4 huius, erit centrum: grauitatis disicremiae si ustorum conoideorum. Di-G a uida..
67쪽
uidatur ergo X R, in Z, ut sit XZ, ad Zys, ut quadrata DB, BK cum rec ingulo DBK, ad sesquialterum rectangulorum' a BD, GHk; seu virectangulum DBK, cum tertia parte quadrati Dk, ad rectangulum G Bk, cum dimidio rectanguli Gu, kD nempe ex proposit. anteced. vi est differentia frustorum conoideorum ad frustum conoidis parabolici E N O F. Dico inuentum esse Ζ, centrum grauitatis frusti conoidis hyperbplici A HIC. Cum autem res sit de se euidens ex doctrinis Archimedis in aequiponderantibus, relinquitur considerationi l
Alii modi ex superioribus non desunt reperiendi
tale centrum grauitatis; sed ne lectorem nimis quam par sit defatigemus, ad alia, & noua transeamus; praecipue ad centrum grauitatis hyperbolae reperiendum. Muod tamen non reperietur nisi praemissis quibusdam demonstrationibuS.
Si s byperbola cum sibi circumsicripto parallelogrammo
rotetur circa secundam coniugatam diametrum . Minnulus fatus ortus ex rotatione excessus parallelognm-m supra semini erbolam, erit aequatis cono ex titari lo, cuius tuum latus dimidia secundae diametri, aliud
68쪽
intercepta inter secundam diametrum, ω VP totum reuoluto cie secundam diametrum; ω - tam secum dum totum,qua clivssumpEm ror Onales.
Esto se mi hyperbo A 3 C, euius diameter AB;
EB dimidium Iatem transiter si centrum E;
rallelogrammiam A D, semibyperbolae circumscriptum cum tria. gulo: E F G, rotentur circa E F. Dico annulum latum ortum cαacitatione trilinei mixti CBD, circa E F, aequalem esse cimo GEM, &hoc tam secundum totum, qu3m secundum parte Sproportionales. Intelligant f oppositae sectiones ut in schemate, Scaziniatur alia armis EI, quodlibet punctum i , per quod ducatur O I N, parali la L C, secaps qsymptotum EG, in P. Quadratum Io, Ass uale tam rectangulo O P N, cum quadrato stis quam rectangulo OQN, cum
quadrato in . Ergo rectangulum VPN, cum quadrato Pl, erit aequale rectangulo OQN, cum quadrato QI. Sed ex proposit. ar. sec. conic. rectangulum O PN, eli aequale quadrato BE, seu quadrato Q I. Ergo reliquum rectangulum O N, erit aequale reliquo quadrato P I. Quare & armilla circularis O N, erit aequalis circulo PR. Cum vero punctum l, sumptum sit arbitrarie ; ergo omnes armillae circulares parallelae armillae C D L, ortae ex rotatione trilinei CBD, circa EF, erunt aquales omnibus circulis coni GEM. Et conse
69쪽
quenter annulus Iatus ortus ex rotatione illius tristianei euca EF, erit aequalis cono GEM. Quod Vero piobatum est de totis, patet eodem modo posse Probari de partibus proportionaIibus i v. g. COde ini odo probabimus partem annuli lati ortam ex rot tione trapezij mixti COQD, aequalem esse sese . mento coni GPRM. Quare patet solida praediacta aequalia esse inter se tam secundum totum, quam secundum parte proportionales.
70쪽
Litet autem praesens propositio probata sit p8r indivisibilia, potest tamen probari etiam modo a chimedeo ; quia facta constructione ut in schemate, facile patebit tubum cylindricum o DN, inscriptum in annulo, aequalem esse cylindro in cono in-icripto. Si ergo diuidatur E F, bifariam, & partes bifariam, &hoc semper, & per puncta diuision uni fiant constructiones similes factae ; patebit faciliter omnes tubos cylindricos inscriptos in annulo,aequales fore omnibus cylindris in cono inscriptis. Quare cum facta hac inscriptione, tam cylindri in cono inscripti, quam tubi in annulo possint deficere a magnitudinibus in quibus inscribuntur magnitudin squacumque data minore s modo arcllimedeo deducetur, annulum aequalem esse cono.
Ex dictis ergo in praesenti proposit. & in lib. q. de
Infin. Parab. possumus deducere, annulum praedictum, & conum G E M, esse quantitates proportionaliter annalogas tam in magnitudine, quam in grauitate, tam secundum totum, quam secundum pamtes Proportionales. Quare cum ex dictis in schol. prim . proposit. 8. eiusdem libri, conus, trilineum parabolicum quadraticum , & eacessus cylindri cis,