Miscellaneum hyperbolicum, et parabolicum. In quo praecipue agitur de centris grauitatis hyperbolae, partium eiusdem, atque nonnullorum solidorum, de quibus nunquam geometria locuta est. Parabola nouiter quadratur dupliciter. Ducuntur infinitarum par

71쪽

squatuor magnitudines proportionaliter analogae: se

quitur his etiam associari pro quinta magnitudine annulum latum praedictum. Ex dictis ergo in lib. cit. habebimus, quod centrum grauitatis talis annuli sic secabit EF, ut pars terminata ad Ε, sit ad partem terminatam ad F, ut 3. ad I. Pariter si considerabimus quamlibet partem eiu iacm annuli reis secti plano CL, parallelo , & terminatam ad circulum .

72쪽

νlum BEΚ, illam, quae oritur o rotatione Mi. 1inei BO ciuea E F ; agnoscemus eius centrum grauitatis secare EI, in eadem ratione . in ia i lis pars est proponionaliter analoga cum cono PER.

Cum vero etiam pals annuli orta Ca rotatione trape

zii mixti COQiri sit pioba proportionaliter analoga segmento conico GPRM , & cum talis segmenti conici sit in libro cit. pluribus modis inuerutum centrum grauitatis; ex dictis ibidem reperie sin quo puncto ι F, sit centrum grauitatis praedicti segmenti annuIi- i

Sed paradoxum Galilei, de quo locuti sumus supra schol. a. proposit. Io. pcssumus etiam deducere ex praesenti propositione- Nam etiam ex hac facto concinno discursu, tandem concludemus,circumfotentiam B E E, extremitatem annuli, aequalem fore vertici coni.

PROPOSITIO XIX.

P scbem. anteced. proposit. annulus fictus ex quadrisistero mixto B EG, sirca EF, es aequalis e lindro DK, ram seundum totum , secundum partea

proportionaleg.

ΡΑtet faciliter. Cum enim in anteced. proposit. ostensu msit, annulum latum ex trilineo C BD, H circa

73쪽

38 circa EF, aequalem esse cono GEM; ergo eo, muni addito cylindro KD, erit solidum C BEL, aequale cylindro DK, & cono GEM, Qub hine inde ablato. Ergo solidum G C B E L L M, erit quale cylindro h D.

Eodem modo ostendemus aequalitatem partium proportionalium, T. g. partem annuli Ortam ex rotatione quadrilateri mixti Co PG, aequalem eis a cylindro Q s. Addendo enim cylindrum δῖ, &auferrendo GPRM , frustum conicum, patebit propositum.

Praesens propositio potuisset immediate probari per indivisibilia independenter ab anteced. propOst. Quia facta consti uctione ut in anteced. proposit. statim patebit ex proposit. I I. a. Conic.& rectanguintum OPN, aequale esse quadrato B E, seu Qis& armillam circularem O PN, aequalem pariter fore circulo cuius radius Q I. Quare facile patebit S omnes armillas solidi ex quadrilatero mixto C B E G, aequales esse omnibus circulis cylindri H Mipsum annulum ex quadrilatero mixto, aequalem esse cylindro h D. Maluimus tamen hanc ex anteis cedenti deducere, ut pauidis geometris non relinis quamus vllum Iocum haesitandi de certitudine praeis sentis propositionis; nam adhibita praesenti constructione Propossitio non probatur nisi per indiuisib, ita ἐ

74쪽

CBD. .

- SCHOLIUM IL

. Pater ergo cons quenter ad saepe laphis repetita, annuluia piantum GC BhhLM, de cylindrum

75쪽

X in esse quantitates proportionaliter analogas omis- niquaque: quod etiam intellige dum est si se mi hyper bola cum omnibus duplicetur . 'Annulus ergo praeis

dictus etiam sta plicatus ad partes Κst, erit corpussbi similare, admodum quo cylindrus KD, sic duplicatus est rpus: sibi similare- Hoc est, quod sicut cylindrus sieti in planis basibus parallelis, semper se.

Catur in pro eortione partium axis, sic etiam in tali proportione secibitur talis annulus. Sicuti ergo centrum grauitatis cylindri, cuiuslibetque eius partis contenti inter plana basibus parallela est in medio axis; sic titiam centrum Matritatis talis annuli, de cuiuslibet ci sdem segmen irresccti plano CL, parallelo , cru A se medi EF, ves in medio partis E F, correspondentis pastr annuli, vel quaesit altitudo partis anu di. Quae omnia utique nobis videntur adi dia, &nescimus an foric corpus huic simile in ista geometria a ueniatur, prieter unicum, quod antequam ad ulteriora rogrediamur, intelligimus in piopositione sequenti cxplicare,

PROPOSITIO XX. '

Ex essus fossi e nici propuest.. IO.. supra conoides hypem bolicum , est aequat s c in roseuper minore basi fructi, in cirra H etram eum Es: ' b c tam sicundum ti tum , quam sic rasim partes proportio nausis

76쪽

Esto ergo in chem propositi ro. Linum eonia cum GlΚΗ, conoides' hyperboli m sit

A BC,, cuius asymptoti G F, .F H, & sit cyli drus I la, cuiuς hasi, i Blc. minor hasis si usti oDicob excelsum frusti conici Gl k H , supra conoides ABC, a qua lam esse cylindro M, tam seis. Cundum totum, quam secundum partes proportio-LDyleS . De totiS patet. Quia cum ex cit proposita

. racesius GI kΗ , supra cylindrum ιμ, sic

77쪽

aequalis conoidi ABC; fi cylindrus IM, adda

tur. Ergo excessus cum cylindro , nempe frustum G Ih H, erit aequale cylindro , & conoidi simul . Ablato ergo conoide, excessus frusti supra concides remanebit aequalis cylindro. Non alio modo ostendetur aequa Iitas partium Proportionalium , v. g. excessum frusti GN PH, supra frustum conoidis A Q T C , aequalem es cylindro RM. Quia ex dictis in praecitata prop st. io. excessus frusti GN PH, supra cylindrum R M, est aequalis segmento A Qt C; addito ergo, ut prius, cylindro RM, & ablato segmento AQTR

intentum probabitur . Quare patuit talia solida mqualia sore tam secundum totum, quam secundum ParteS.

Sed etiam praesens propositio posset immediate per indivisibilia ostendi . Sumpto enim arbitraria puncto O, &acto plano NUP. GH, paralle-IO . Ex propostr. 1 o. sec. conic. recta ngu lum N QP, est aequale quadrato ι B, seu quadrato Ro. Et Consequentor armilla circularis N QP, est aequalis circulo ROS: Se omnes armillae ςquales omni-b s circuli se & cxcelsus pigdictus ε qualis cylindro I M. Sed hac constructione adhibita, demonsi ac non reduc itur ad Aridum Archi tredeum,quia1nprg- dicto excessu Myeunt inscribi tubi cylindrici. Pate1

78쪽

Patet ergo excessirm pr dictum, εe cylindrum IM, esse quantitates proportionaliter analogas tam fecundum totum , quam secundum partes, tam iamagnitudine, quam in grauitate. Insuper patet exincessum AGlBkHC, pr dictum esse corpus stasimilare ut explicatum est in schol. a. proposit. ant. Hoc est quod si secetur plano N P, quocunque, G H, parallelo, semper secabitur in ratione partium axis DB. Item centrum grauitatis eius erit in medio

79쪽

D B ; scuti etiam centrum grauitatis . cuiuslibet eius partis erit in medio partis B D, quae erit altitudo partis excessus.

PROPOSITIO XXI.

. s . .

yn schemate prop. I Q. Ob rus ex paralle rammo A Rcirca EF, est ad foliaeum exsigura mixta C B E F, circa eandem E F, it quadratum E A, ad quadratum E Rcum tenta parte HETanguli Κ A B.

80쪽

OVoniam enim probatum est in proposit. I S. solidum C BEL, aequari cylindro BS, &cono.GEM ;iergo cylindrus AL, ad haec soli

da habebit eandem rationem. At cylindrus AL, ad cylindrum B S, & ad conum GEM, est ut quadratum EA, ad quadratum E B, cum tertia parte rectanguli Κ AB. Quare&c. Assumptum patebit sic. Cylindrus A L, ad c Iindrum B S, est ut quadratum A F, ad quadratum E B. Pariter idem cylindrus A L, ad conum GEM, est ut quadratum CF, seu ut idem quadratum A E, ad tertiam partem quadrati GF. Ergo colligendo ambo consequentia,erit cylindrus AL, ad cylindrum B S, cum cono GEM, nempe ad solidum CB LL, ut quadratum ΑΕ, ad quadratum EB,

cum tertia parte quadrati FG. At tertia para quadrati FG, est aequalis tertiae parti rectanguli hAB. Nam quadratum EA, diuiditur in quadratum EB, ει in rectangulum kAB: pariter quadratum idem EA, seu FC, diuiditur in quadratum FG,&in rectangulum C GL, seu M C G. Ergo quadratum L B, cum rectangulo Κ ΑΒ, erimques e quadrato FG, & rectangulo MCG. S ex sec. c nic. proposit. Ir. rectangulum M CG, cst aequale quadrato B E. Quare relIquum rectangi tum k AB,

erit aequale reliquo quadrato FG . Quare etiam illorum tertiae partes erunt aquales. E go cylindrus

A L, erit ad solidum CBh L, ut quacratum EA, I ad