장음표시 사용
111쪽
MATHEMATICAE HODIERNAE. 99 Inde Palladi solutis 3 assibus, DIALOGUS restant 8 2 asses Sed restabat unus tantum RSSis. Est ergo I assis 8, 2 MSes. Et additis utrobique 2 assibus, erunt 2 asses 8.. Et 2 asses Io, id est numero assium allatorum. B. Recte sane, et breviter.
A. Fateor sed in hac operatione quid vides, propter quod dicenda sit analytieas Sive quod
idem est, quodnam est hic compositum quod resolvitur Dic ne duplationem illam esse resolutionem λB.minime. A. Quid ergo An temorum illorum assium subductio resolutio est λB. on Videtur. A. Neque est; nam methodus tota est gynthet a. B. Quid autem est resolvere. A. Resolvere, est id, quod compositum est, detexere, ordine qui sit ordini compositionis contrariuS.
B. Declara hoc aliquo exemplo. A. Accipe exemplum Wallisti problema solventis, ut dicit, sine algebra, hoc modo: Relictus est assis l. Itaque si alias reddat virgini quas acceperat , fiunt quatuor. Si illa reddat alladi quod ab ea acceperat dimidium, fiunt 2. Deinde si Apollo reddat quos acceperata, fiunt x et illa Apollini quod acceperat dimidium, fiunt , et Iupiter quos acceperat 3 asses, fiunt 54. Et illa quod a Iove acceperat dimidium fiunt l. Itaque omnia redeunt ad statum primum. B. Recte, breviter, et analytice. am quod factum in problemate describitur ab initio ad finem,
112쪽
DIALocus id per mutuam redditionem fit infectum a fine ad V initium. A. Versus ipsius Wallisti sunt; neque enim hoc tacere potuit; etsi absque eo satis id manifestum
erat; nam ductos geminavit Iupiter asses, nemo dixisset aliuS. B. roblema ergo Vetu eSt. A. Fortasse at certe ingeniosum est, factumque, ut arbitror, data opera ad notandos ethnicorum
sacerdotes, quod qui ad deos accedebant illis mediantibus fiebant, etiam exauditi ut virgo haec),
B. Propone jam exemplum analyticae erae, qua problema datum resolvitur in sua principia, nempe definitiones et axiomata. A. Sit propositum, exempli causa, super lineam rectam ad unum et idem ejus punctum constituere tres angulos tribus angulis trianguli dati, unum-
quemlibet unicuilibet aequalem. B. Datum sit triangulum AB C. A. e verticem B duco rectam DE, i, 'quam Suppono angulum facere DBA angulo AC aequalem, et angulum EB aequalem angulo BCA. Cum ergo angulus ABC sit communis, erunt tres anguli ad A, B, C aequales tribus angulis ad B, unus uni.
Sumatur in B si opus est, producta BF aequalis AC; et ungatur F. Quoniam ergo duo latera BF BC trianguli BCF, aequalia sunt lateribus AC, B trianguli ABC, utrumque utrique, et angulus FBC aequalis, per hypothesin angulo BCA, Superposita BF ipsi C cum ipsa congruet, et BC cum ipsa B, et angulus BC cum angulo BCA; et proinde etiam CF latus cum latere ΑΒ Sunt ergo
113쪽
MATHEMATICAE HODIERNAE. 10 laetiales inter se AB, CR per axioma Octoum D Locus
Hementi primi Euclidis et angvius FC aequalis ' angulo BAC per Eucl. i. 4. Qui autem ad
punctum B in recta linea DF constituimtur angini, Omne simul aequales sunt omnibus simul angulis constitutis ad punctum C in recta AC producta ad G am partes simul omnes aequales sunt toti
utrobique Cum ergo angulus CF sequalis sit angulo ABC, et BC aequalis BCA, erit reliquus FCG aequalis reliquo DB sive BAC Sunt igitur
rectae AB, F, quae ostensae sunt aequales, inclinatae ad easdem partes secundum angulos aequaleS. Parallelae autem sive sequidistantes lineae definiuntur esse illae, quae ab aequalibus rectis aequaliter ad easdem partes inclinatis distinentur. Farallelae ergo sunt F, C. Atque hactenus ratiocin tionem, qua tres anguli trianguli rectilinei duobus rectis aequales esse demonstrantur, in partes X quibus erat composita resolvimus quae analyδis eSt. B. Quomodo autem ex illis erat composita λA. Sic. Ex eo quod AC, D sunt parallelae, concludunt angulum DB aequalem esse angulo
alterno BAC, et angulum FB alterno CA, et angulum ABC commimem et proinde tres DBA, ABC, FBC aequales esse tribus BAC, ABC, ACB,
unumquemlibet uni. Sciendum utem est, quod si anatissis plenissime perageretur, non minus prolixa esset quam ipsa esset demonstratio, sumpta ab ipsis principiis usque ad illatam conclusionem. B. Quin natura analyseos talis sit qualis hic explicatur, dubitari non potest. Attamen necim ginari quidem possum quo facto idem fieri possit per algebrum. A. eque hercle ergo am extra Ompar
114쪽
102 ExAMINATIO ET EΜENDATIO DIALocus tionem rectangulori , et triangulorum, quae sunt
VJ ipsorum dimidia , in geometria et extra pote tales numerorum in arithmetica; algebrae locus nullus est, neque in illis analysis magis est quam synthesis. B. Exemplum ostende algebrae per potestates; ita dividens , ut quadratum unius partis sit ad rectangulum sub tota et reliqua parte, ut in I. A. Radix quadrata quaesiti sit A. Reliquus ergo numerus est 8-Α quadratum ipsum, Ax rectan
: 2 1 esse proportionales. B. Volo.
IM A VI 28 Α, sunt continue proportionales. Datur ergo A et proinde etiam Α Α, et rectan
B. Sed datum esse Α, nondum satis perspicio. A. Datur media proportionalis inter extrema I 6 A et A, nempe, VI 28. Quare descripto circulo cujus diameter est l6, a quovis puncto ejus ducatur tangens aequalis l28 ab extremitate ejus ducatur per centrum recta ad adversam circumferentiam, eritque pars ejus intercepta inter tangentem et circumferentiam sequalis quaesita A; ut manifestum est per Eucl. Elem. iii prop. 36. B. Ac Vieta in hujusmodi rationibus exponendis alia utitur operatione. Nam ex medio puncto differentis cognitae describit circulum, cujus radius potest radicem numeria 28, et semissem differentiae. A. Eodem recidit utraque operatio. B. Objicio etiam nondum inventam esse illam radicem. umeri enim I 28 radix quadrata nulla est.
115쪽
MATHEMATICAE HODIERNAE. 03 A. Imo radicemhabet, sed nullo aequalem numero. DIALOGUS
Num numeri 16 et , qui faciunt 128, in linea recta similiter divisa in partes aliquota distingui pomunt et inter illas rectas inveniri potest media Prosortionalis, cujus quadratum erit ipse numerus
B. Etiam hinc intelligi potest problemata quanquam arithmetica, quae sine ope geometriae inveniri Possunt per algebram, nulla esse. A. Ne crede igitur nimium post haec vaniloquio Professorum. Sed quid quaeso in ratiocinatione huc observas, propter quod dicenda sit analysis Ari Cum ventum esset ad analogismum hunc, 16 A: VI 28 Do 128 Α, aberamus longius a principiis, quam cum accessissemus ad prop. 36, Elem. iii.
B. Agnosco hic quidem cursum quendam et recursum inter aequalitatem rectangulorum et sequalitatem rationum sed utra harum viarum magis tendat ad principia, statuere nondum possum. Sed progrediamur ad Caput duodecimum. A. Capita reliqua minus molesta erunt. amquae in illis recta sunt, ut sunt plurima, trita sunt
et edita in omnibus fere libris arithmeticis, praeter algebraica, quae ex oughtred Clave Mathemattea, ubi multo brevius et apertius traduntur, desumpta sunt. Ea vero quae Wallisi propria sunt, falsa sunt. Id quod habet sub initium hujus capitis,
nempe haec verba, uni autem factione aeu numeri raeti nori tam numeri quam unitatis δε-- mensa, suum est, idemque falsum et absurdum. Νam eo ipso quod fragmenta sunt, fragmentorum numeru Simi. eque enim ratio ulla adduci potest quare unciae, sextantes, trientes, besses,
116쪽
104 ExAMINATIO ET EMENDATIO DIALocus dodrantes, caeteraque fragmenta assis, mim Pro- prie numeri appellantur unciarum, Sextantium, &c.,
quam animalia, numerus animalium Capite decimo tertio traditur actionum scribendarum ratio eadem quam Vulgo sciunt, praeter notationem --tionum algebraicarum, quas nemo intelligit nisi aliunde doctus Quis enim intelligit quod Quis 3I idem valeat quod ὀ nisi qui ante id didicisset. B. Sed quae regula est divisionis per symbola, Reeurata ΘΛ. Differatur hoc ad examinationem Capitis vicesimi, id est, ad locum proprium. Examinetur jam aput decimum tertium ubi primo loco in dum docet demonstrandi additionem numerorum, ut vocantur, digitorum. Verbi, inquit grasia:
2 3-5, ic demo tratur. Ponantur primum duo puncta, et deinde tria, quin omnia, i numerentur, reperientur quinque. Libet hic quaerere, cum dicat quod reperientur quinque, a quo reperientur.
Utrum ab eo qui scit, vel ab eo qui nescit, duo et tria esse quinque 3 Si ab eo qui scit, id ei demonstratum erat tunc cum nesciret. Sed qui potuit id fieri numerando ab eo qui sciret tantum quid essent duo et tria, nesciens quid essent quinque ΘVides ergo ut nugatur. B. Sed perge. A. Vel aia. Quoniam notum est eae Fcta numerorum procreatione, quam Capite quinto tradidiamus, quod ait L 1 - 2 et 2 I, 3 et 4 1, 5, yc. erunt etiam 2, 3-L L 3; et, I - 4 et I-5. Quomodo autem notum est per Cap. v. quod sit
4 l-5 um id illic demonstratur λ Vel si demonStretur, ex quibus principiis λ
117쪽
B. Caput illud quintum definitionum est, Vel ut DIALOGus ipse dicit, quae ibi traduntur sunt instar definitionum V A. Hincipium ergo est 4 in L G. Cur non et 2 3 5 seque principium est, et proinde indemonstrabile quod erat demonstrandum λ on intellexit Wallicius, saltem oblitus est 1 - 1 binarii, vel l I in temarii, et sic deinceps esse definitiones, neque accedere ad magistros arithmeticae, nisi qui jam sciunt quot sunt in quolibet numero digito
B. At in numeris, quos articulos et compositos Vocant, methodus addendi quaenam sit satis demonstravit. um et hoc negas λA. o nego. Sed ita demonstrarit quemadmodum omnes; nam qui id quod ipsi faciunt inter operundum, clare eloquuntur ut qui dicit Me 7 sunt I 5 subscribo unitatum locora reservo I ad locum decadum deinde, quod reservabatur cum sedis et 8 sunt 24 decades, id est, duae centuriae et deinde subscribo decadum loco 4 et centuriarum loco , ut numerus totus fiat 24M non modo tres numeros 80, 68, 97, simul addidit, sed etiam recte additos esse demonstravit. Quid habet ille amplius in demonstratione tripaginali praeter abundantiam verborum et obscuritatem symbolorum λB. Nihil. Sed non animadverterat voces illas puerorum, dum numeros ita addunt, additionis esse
A. Similiter demonstrationes substractionis, multiplicationis, et divisionis, sunt ipsae Voces operantium, subtrahentium, inquam, multiplicantium, et dividentium Capite decimo quarto de subductione tractat, quam eodem modo demonstrat quo demonstravit additionem.
118쪽
I06 ExAMINATI ET EΜENDATIO Di ocu B. Transeamus ergo ad decimum quintum, de ' additione et subductione Fecisδα.
A. Quod habetur hoc capite, totum desumptum est ex Capite ii et in Ouratressi Claris Math
magicae, cujus sunt breVissimae, veruntamen plenissimae regulaea altera additionis, nempe ut conjungantur magnitudinea ervatis ignis altera de subductione, nempe ut conjuncta utraque magni tudine mutentur omnia signa magnitudini gub -eendae Additionis exemplum apud uotredum est, ad et A
Ubi Wallistus videns dis rentiam magnitudinum, nempera A, poni ab Oughtredo prora Α-3 Α, duas
facit regulas ex una alteram, ubi signa similia sunt, alteram ubi dissimilia, regulam magistri sui elegantissimam non necessario corrumpensa idemque facit circa regulam subductionis. B. Videtur mihi in hoc capite docere debuisse Wallistus, quo pacto numeri dati radix alterius numeri dati radici commodissime addenda vel subducenda sit. A. Additio radicum commodissima non fit sine multiplicatione multiplicatio autem infra traditur Capite decimo etRVO.
A. Duo igitur capita integra praetermittemus λB. Sed percurramus leviter. A. itulus Capitis decimi sexti est De additionis et subductionis probatione. e probisionem intelligit demonstrationem. B. inime nam neque additi subductionem, additionis neque residui additionem, subductionis;
119쪽
ΜATHRΜATICAE HODIERNAE. 07 neque probationem noventariam, demonstrationem DIALocus
esse ipse dicit. V A. Quomodo autem probati est, si demo strati non est λ mmerito ergo reprehendit Ramum, quod examinationes illas negaverit esse probationes, assirmaveritque veritatem operationis satis ex ipsa apparere operatione id quod ego paulo ante dixi, nempe, operationem ipsam suae veritatis
Caput xvii additionis et subductionis exercitium est; ubi computat primos annos a mundo condito ad annum praesentem, nempe ab initio ad diluvium is diluvio ad Arphaxad ab illo ad haram;
a Thara ad Abrahamum et promissionem. B. Siste paulum. Cujus rei promissionem λ lullan gentium in semine Abrahami an promissionem terrae Canaan λA. Non distinguit, habens fortasse utramque Pro eadem Deinde a promissione ad Exodum ad Te Iuma ad Christum ad seram Vulgarem ad annum Christi 1655. Deinde, de annis morae et servitutis Israelitarum in AEgypto disputat, et eorum computat mirabile incrementum. B. Scio. Nempe ut obiter chronologiam sacram
A. Nec tamen emendationes suas satis probat; nec si Probasset, pars ulla hujus capitis ad arithmeticam pertineret. Vides ergo hominis ostent iionem miseram, quicquid aut in scientiis, aut in linguis, aut in historia scire se sibi videbatur, in publicum importune proferentis, certa juxta et incerta, etiam in libro mathematico.
Accedo jam ad Caput xviii. De multiplicatione. Audi ergo, primo, quomodo definit multiplicationem.
120쪽
108 EXAMINATIO ET EMENDATIO DiALocus Multiplicare, inquit, eat numerum invenire qui δε- V tam habeat rationem ad numerum datum. Utrum
propositio haec nam definitio non est vera an falsa sit, unico exemplo intelligi potest. Si datus numerus quilibet , et data ratio 4 ad 5. otesne tu aut ille numenim quaesitum invenire per solam multiplicationem λ Dat in multiplicandus est, sed per quem numerum Quis inquam, est multiplicani An multiplicantem invenias per multiplic tionem Productus erit t. am 4 5, 6, 4, sunt proportionales. umerum ergo quaesitum
non invenies nisi dividendo h per . Emerget
autem quotus lini at d. Quanam autem multi
plicatione reperies istuma λB. Intelligit ille datum oportere esse multiplicantem, eumque unitatis multiplum. A. Alii quidem ita intelligunt. Interea Vero definitio quam ipse affert, vitiosa est quam tamen ad alias etiam quantitates applicat, paulo inferius dicens, multiplicare esse dato alicui quantitatiatiam in data ratione eaehibere. B. Errmit. A. anto decuit illum minus definitionem reprehendere allatam ab Euclide, nempe, quod numeruδnumerum multiplicare dicitur, quando quot sunt in imo unitat , totis componitur is qui multiplicatur, etfactu est aliquis.
B. Quid est quod hic reprehendit λώ. Quod vox haec, i qui multiplicatur, posita sit in definitione iatiplicationis.
B. onne merito λώ. Ita. Sed cum tantillo opere emendari potuit, rectius secisset, arbitror, si emendata potius usus esset, quam si falsam in locum ejus substituisset.