장음표시 사용
91쪽
A. Quid significat hoc loco ἐν ἁναλογί διπλασίονι ΘΝonne significat proportionem sive similitudinem rationum quae cernitur in numeris ab Euclide expositis, nimirum his, I, 2, 4, 8, 16, etc. in quibus numerus posterior prioris semper est duplus λ amsi de ratione ipsa duplicata intelligeretur, numeri I, 2, 4, 8, 16, etc., non magis dicendi essent esse ἐν δναλοίι διπλασίονι, quam i, 3, 9, 27, 8l, etc. Itaque propositio haec Euclidis de numero perfecto, in omni progressione geometrica non minus Vera esset, quam in progressione hac per duplicationem. Necesse ergo est ut Voce hac ΛΓλασίων usus sit Euclides pro duplicato numero, id est, pro duplo, non pro duplicata ratione. Igitur ratio 1 ad 2 non est subdupla ratio, sed ratio simpli ad duplum, sive semissis ad integrum; neque inverse, ratio 2 ad 1 est ratio dupla, sed ratio dupli ad simplum, sive integri ad semissem. B. Accurate haee. Διπλασίων ergo idem est quod duplus, ut apud Euclidem ipsum Elem. iii prop. 20). Voces autem gub Flu' obtriplis, etc., ba barae sunt, et ab iis inventae, qui, cum in tenebris versarentur, cupiebant quoquo possent modo sese promovere. Ostendisti jam διπλασίω apud Euclidem significare in numeris duplum. Ostende etiam quod significat apud eundem in rationibus duplicatum.
A. Ecce in definitione Elementi quinti decima,
si dicit Euclides : ταν ta τρία μεγέλ ανδεογον , το
δήμερον ubi rationem rationi sibi aequali additam,
92쪽
80 EXAMINATIO ET EMENDATIO DiALocus id est, rationem multiplicatam per duo, id est, a tionem duplicatam, Vocari Vide διωλασίονα.
B. Video vocem illam utrumque significare apud Euclidem, tum duplum, tum duplicatum, quemadmodum apud authores Graecos caetero omnes. Video etiam vocabula Latina duplum et duplicatiunidem significare, ut et Graeca διπλους, διπλamoc, διπλα σιων, διπλασιαΘMe. Sed cur noluit Euclides uti voce διπλασιορ, Cum potuit, et ad evitandum ambiguitatem
videtur debuisse, nondum perspicio. A. Quaenam esse potest ambiguitas in vocibus quae idem significant ubique. Sunt qui δim is di tinguunt a cιπλασιων, hoc numerum, illud quantitatem continuam respicere dicentes. Sed inter διήλ-αον et πλασιον differentiam nullam Servant, neque grammatici neque mathematici Graeci Credo equidem διπλασιών, nomen rectum factum esse a nomine
plurali genitivo δiπλασίων cujus rectus singularis est ὀιπλασιορ itaque in propositione ultima Elementi
noni, ε αναλογψι διπλασίονι idem Se quod ἐν ανα γέρδιπλασίων, et in hac definitione deCima λογον διπλανωνα
idem esse quod dise)κλασέων. ihil ergo est diff- cultatis in eloquutione mathematicorum Veterum. At recentiores difficultatem sibimet ipsis creaverunt ex Vocibus barbaris gubduplum, subtriplum, eto et quippe qui non meminerant ex duplicatione vel etiam multiplicatione aliquid fieri posse aliquando minus. am quantitates fictae, quales sunt 0-I, 3-5, et aliae, id est, minores quam nihil quanto
plus multiplicantur a numero vero, tanto minores fiunt.
Definitio septima est proportionalium accurata, sed et facillima. Est enim, definita jam eadem ratione, tantummodo nominatio eorum quae rationem
93쪽
inter se habent. Octava sicut sexta demonstra DIALOGUS bilis est B. Quomodo rationem majorem definis tu λΛ. Rationem quidem majorem, rationem -δedico majoris antecedentia ad idem congequenδ, fel μεαε antecedentia ad Onaequo minu8. Rationem autem minorem eas rationem minoris antecedentia ad idem consequena, vel ejusdem antecedentis ad consequens majus. B. AoCurate. A. ona, definitio non est, sed propositio gratis in in nempe, proportionem in tribus terminis paucisalmis e aiatere cum tamen accurate loquendo, consistat in quatuor paucissimis. Omnis enim ratio consistit in duobus terminis paucissimis, et omnis proportio in duabus paucissimis rationibus. Quando vero duae quantitates mediae sequales inter se sunt, id non numerum minuit terminorum.
Elementi hujus quinti definitiones decem reliquae
B. Transeamus ergo ad definitiones Elementi sexti. A. Sunt illae, excepta quinta, quae et ultima St, Omnes accuratae. am illa quinta, cum et demonstrari possit et demonstratione indigeat, neque pro definitione, neque pro principio demonstrationis haberi debet. Est autem haec ratio ex rationibuae poni dicitur, cum rationum quantitate inter se aliquam emererint rationem. B. Demonstra, quoniam demonstrabile esse dixisti, ex multiplicatione inter se antecedentium duarum rationum, et ex multiplicatione inter sem equentium, existere ipsarum rationum unius ad alteram additionem.
94쪽
ni, cus A. Rationes addendas propone qua Vis. Rationi 2 ad 3 adde rationem 4 ad 5, per multiplicationem. A. ultiplico antecedentes 2 et , in se, qui faciunt 8 deinde multiplico in se consequentes 3 et x producitur 15. robandum est rationem Mad I 5 sequalem esse ambabus rationibus 2 ad 3, et 4 ad 5. a. multiplicans retra facit 8 et I 2. Est ergo ratio 8 ad 12 eadem quae 2 ad 3. Rursus, multiplicans 4 et 5, facit 12 et 15. Est ergo Ira i eadem ratio quae 4 ad 5. Sed in his numeris , 12, 15, ratio primae ad ultimam sequalis est ambabus rationibus simul Madas et i 2 ad 5, hoc est, ambabus rationibus 2 ad 3 et 4 ad 5. Itaque demonstravi rationem rationi, per multiplicationem in se antecedentium amborum et amborum consequentium, additam esse, ut imperasti. B. Quomodo autem rationes altera alteri aliter
addi possunt λA. Si nempe, ut antecedens est ad consequentem unius rationis, ita fiat consequens alterius
rationis ad quartam. am si rationi 2 ad 3 addenda sit ratio 4 ad 5, fiat ut 4 ad 5, ita 3 ad aliam: prodibitrat. Ponantur ordine 2 3, 3l. Ratio ergo 2 ad 3l est summa rationum 2 ad 3 et 3 ad i.
Est enim ratiora adit, eadem quae ratio 4 ad 5. Et siquidem tres quantitates 2, 3, 3l, multiplicentur omnes per4, prodibunt 8, 12, 15, iidem numeri qui facti erant per multiplicationem. B. Recte demonstratum est. Sed nonne sicut ratio rationi additur per multiplicationem, ita subductio unius rationis ex alia fieri potest per divi-Sionem λA. Etiam. am, exempli gratia, a ratione Madi sit subducenda ratio 4 ad 5. Divido ambos
95쪽
numero B et I pe 4 unde fiunt quotientes 2 et DIALocus M, qui sunt in ratione Mad 15. Rursus, divido l per ambos numeros 4 et 5; et fiunt quotientes 3 et 3 qui sunt in ratione I 2 ad 5. Positis ergo ordine numeris 8, 2, 5, si a ratione Mad 154 trahatur ratio 12 ad 15, id est, ratio 4 ad 5, relinquetur ratiora ad 12, sive ratio 2 ad 3. B. An non ratio a ratione subduci potest etiam
sine his divisionibus λA. otest. am si fiat ut consequens rationis subducendae ad antecedens suum, ita consequens rationis integrae ad quartam ratio, quae post Subductionem relinquitur, erit ratio antecedentis ad
illam quartam Verbi gratia si a ratione Madl auferenda sit ratio 4 ad 5, fiat ut 5 ad 4 ital ad quartam, quae erit I 2. ositis ergo ordine 8 I 2, 15; si a ratione Mad i auferatur ratio 12 ad l5, id est, ratio 4 ad 5, relinquetur ratio Madl2, id est, ratio 2 ad 3.
B. Clarissime. A. Animadverte quam sit ab improprietate e borum pronum hominibus prolabi in errores circa ipsas res Sicut enim tu pro composita ratione sumpsisti rationem quantitatum compositarum, ita allistus aliique plurimi rationem duplorum sumunt pro ratione dupla, decepti ab improprietate eloquutionis. B.miror autem quod tam clamose contendat in Menes Wallistus, compositionem rationum non additionem sed multiplicationem dicendam esse. A. Tam diu autem mirari non desines, quam diu ab homine, qui ea scripsit quae hactenus legimus, quicquam expectabis accuratum. B. Ex hac rationum compositione manifestum
96쪽
84 ExAMINATIO ET MENDATIO DIALOsus est, expositis quotcunque quantitatibus, rationem primae ad ultimam aequalem esse rationibus omnibus primae ad secundam, secundae ad tertiam, et
sic deinceps usque ad ultimam, simul sumptis. A. Est ita ut dicis; et ejus rei causam ostendit ipsa operatio. In quantitatibus enim tribus qui busvis A, B, C, dubitari non potest quin exposita ad expositam B rationem habeat, ad ν; et similiter, expositam ad expositam orationem habet B ad C. Quare ratio A ad C composita est ex duabus partibus, nimirum, ex ratione Mad B et ratione B ad C. Et siquidem essent quatuor quantitates A, B, C, D rati, ad D propter eandem Causam, Componeretur ex rationibus A ad me Bad C et C ad D. B. Video ita esse. Sed hoc melius aliquanto videtur mihi demonstrasse Hobbius in libro DE
CORPORE cap. xiii art. 13ὶ definitionem deducens a doctrina de motu.A. Sed doctrina de motu paucissimis cognita est; cum tamen natura Omnia, non modo quae physicae, sed etiam quae mathematicae contemplationis sunt, per motum transigit. Primus qui scripsit de motu quod dignum lectu erat, fuit Galilaeus Progredi mur jam ad Elementum septimum ubi primo definitur unit , sed, ut modo Vidisti, male deinde numeruδ, contra sententiamWallisti, optime Tertia definitio est partis, subaudi aliquotae), quod sit majori quantitati mensura et recte, Si per partem Hiquotam intelligatur par aliquot numeri. Alioqui pars in definitione menδuME, non mensura indefinitione partis ponenda est Quinta haec est:
ro ἐλά'okoe Latini qui sic vertunt, multipleae est
97쪽
MATHEMATICAE HODIERNAE. 85 major misinria, cum majorem metitur minor, anne DIALOGUs
distinguunt inter multipleae, quod est multiplica tum, et multistam B. Non certe hoc loco P neque Graeci inter
A. Caetera bene se habent. B. Transeamus ergo ad definitiones Elementi decimi. Λ. Sunt et isse accuratae Omnes. B. Antequam progrediare, velim dicas mihi quosne, sive cui bono Euclides theoremata illa lementi decimi dissicillima nobis demonstravit. Caetera enim geometriae partes omnes usui esse video in communi vita, aut ad aedificandum, aut ad navigandum, aut ad machinas, aut ad calculum temporis, aut ad picturam, aut ad philosophiam naturalem, aut denique ad aliquid. Cui vero rei linearum haec irrationalium cognitio inserviat, nondum emo. Scio quae pulchra sunt, dissicilia esse; sed ut vicissim, quae dissicilia sunt, etiam pulchra
A. Quo fine haec demonstravit certe nescio; sed quin in omni re ingenii splendor ipse per se pulcherrimus sit, dubitandum non est. Attamen si ab ipso opere de consilio opificis conjicere liceat, voluisse puto Euclidem, quantum potuit linearum omnium in figuris, certa et cognita lege descript
rum, rationes convertere in ratione numerorum.
Quod si natura fieri passa esset, computatio quaelibet facillima facta esset, nimirum, in tabulas digestis omnium rerum rationibus. Restant definitiones Elementi xi. illae quoque ad scientiarum severitatem exactissimae.
98쪽
niALocus B. Quid λ Tune sphaeram, conum, et cylindrum bene definiri existimas per motum semicirculi, parallelogrammi et trianguli super quiescentes Ges λ
B. An stellarum fixarum vel cujuslibet planetae sphaeram descriptam fuisse putas a conversione semicirculi λ Similiter axes horum corporum, qui definiuntur ab Euclide per rectam lineam quiescentem nonne axes sunt, etiamsi non quiescerent, sed quocunque ferrentur corpora ipsa, quorum X sunt, ferrentur una λA. Tu firmum hoc argumentum esse credis λB. Ita. Et eodem usus est Wallistus. A. Professorne milianus reprehendere Euclidem ausus est λB. Non Euclidem reprehendit, sed Hobbium. A. Etiam Euclidem, si modo eodem argumento contra utrumque uti potuit. B. Esto. Sed cum lineam definisset Hobbius esse corporis, cujus nulla consideratur quantitas,
moti vix quid opus est, inquit Wallistus, notione motus, ut quid sit linea intelligatur ' Annon lineo corpori quiescenti inaunt,inc λ ariter ego sic tibi, quid opus est nominare motum, ut intelligatur quid sit sphaera Annon potest concipi quiescens semicirculus in sphaera λΛ. Si ille Hobbium, etiam tu Euclidem recte reprehendisti. Sed errastis ambo, nescientes turam definitionis. onne sunt definitiones sciemtiarum principia λB. Sunt. A. Et omnis scientia a cognitione causarum
99쪽
MATHEMATICAE HODIERNAE. 87B. Emin. DIALOGUSA Ergo principium scientis est cognitio causae B. Etiam. A. Sequitur ergo cognitionem causae contineri debere in definitione. B. Meor. A. inque optime definiunt illi, qui generationem rei in o nitione explicant. B. Etiam hoc concedon et in Euclidis sphaerae, corii, et cylindri definitionibus, generationes illorum Corporum Video, quanquam non similiter definierat Circulum. A. At circulum describi posse, qui describi nisi Per motum non potest, inter postulata ut rem notam gratis sumsit. B. Saltem dicere debuit Euclides, sphaeram esse solidum quale fit, potius quam quod fit ex circumductione semicirculi. ulla enim est sphaera, quae Per circumductionem facta est a natura. A. Qui figuras definiunt, ideas quae in animo Sunt, non ipsa corpora respiciunt; et ex iis quae imaginantur seri, deducunt proprietates factorum similium, a quocunque et quomodocunque facta
Vidimus jam principia geometriae tradita ab Euclide quorum aliqua quidem, sed pauca minus accurata mutavimus reliqua ut irreprehensibilia partim praeterivimus, partim confirmavimu8. B. Revertamur ergo ad Wallistum, et unde digressi sumus, nempe ad Caput decimum. am, si bene memini, eramus ad philologicorum et Capitis noni finem, tunc cum digredi incepimus. A. Sed disseramus haec in triduum, quo tempore lectis arithmeticae ejus quae restant, ea tantum quae
100쪽
88 RxAMINATIO ET EMENDATIO DIALocus materiam colloquio nostro subministrare possunt, discutienda deligam, ne ea quae utilitatem nullam, molestiam nimiam mobis illatura sunt, ras ius repetam .
B. Legistin reliqua arithmeticae allisianae λA. Ita. B. Plenane videntur tibi, sicut antecedentia, erroribus λA. inime. Sunt enim pleraque ex iis arithmeticae libris desumpta, qui pueris ediscendi scripti sunt caetera aut Ougthredi sunt, aut maxima ex parte falsa. B. Sed quae ab aliis habuit, ipse solus demonstravit.
A. eque hoc quidem. Verum haec inter legendum considerabimus accuratius. In Capite decimo, numerationem in notis numeralibus iugaribus e plicat, et cujusque notae tum proprium, tum loci Valorem, tam in fractionibus decimalibus quam in integris, exponit ostenditque, sicut a loco πιιatum ad loca praecedentia proceditur per decuplationem, ita a loco eodem ad loca sequentia proceditur per subdecuplationem. Quarum quidem rerum demonstratio non est, sed constitutio fuit arbitraria. Explicatio autem et brevis et perspicua et accurata a magistro expectanda erat. Et primo quod ad numerationem periodos adhibeat, period-