장음표시 사용
141쪽
est pretii, neque is qui illum scripsit. Scripserat DIALOGUs motredus Capite sexto Claris Mathematicin sub initium, quod quotiens divisoris ad dividendum rationem indicat. Verum in editione Anglica invenio eo loco, quotientem age rationem illam ipsam. Forte ergo liber ille Anglicus ex versione est ipsius WalliSu. B. escio, sed parum refert non enim creditur Ourauedum sic verti voluisse. A. Pergens Comparationem, quae eat quoad disserentiam, ad quantitatem at quae quoad rationem, ad qualitatem referendam ωδe ait. empe, illam ad praedicamentum quantitatis, hanc ad praedicamentum qualitatis. Sed quare Quia ab
Euclide definitur sto. σχέσie. Eu hie xατηγοριμανίαν pro
fessorum academicorum Quid autem significat
B. Habitudinem qualitativam, ut ille nunc Vertit. Sed fateor me non intelligere neque quid sit habitudo, neque quid sit qualitativa. Dices fortasse tu hoc loco tussiisse etiam Euclidem. A. Sequuntur deinceps duae paginae in quibus interpretatur quid sint progre33i geometrica et
progresai arithmetica, eontinua et interrupta: ubi non tam deest veritas, quam abundant Verba. Caput vicesimum sextum, continet solutiones quarundam quaestionum facilium per progressionem arithmeticam, sine demonstrationibus, ut apud vulgus arithmeticorum practicorum Caput vicesimum septimum eadem et nonnulla alia ejusdem generis per symbola demonstrat, minus perspicue, nec brevius quam possint demonstrari oratione plena. Denique capite vicesimo octavo eadem brevius scribit, sed obscurissime. Caput Vicesimum no .
142쪽
I30 EXAMINATIO ET EMENDATIO DiΑLocum num continet criticismos super vocibus rati r V tronalis, Ῥητον, λογον, εὐχρητον, ποια Ἀμις, suantulum, etc. quorum criticismorum aliquos superius absurdos esse ostendimus. Itaque caput hoc dimisisse jam nisi quod praeterire non placet, quod dicit Euelidem quidem in Elemento decim rationale appellare lineaε, quin potentia tantum auia
commenaurabiles verum alibi non raro obtinetrationalia tantum ea dici, quae et συμμετρα unt; ut proinde git χλογον ive οβρηπον atque χσυμμετρον. Non enim puto aut Euclidem usquam, aut geometram alium quemcunque ἄρρηπον et συμμετρον pro
eodem usurpasse. Non ergo illi credendum esse, nisi authorem et locum indicaverit. Quis enim, qui Elementum decimum legerit, nescit infinitas numero esse quantitates inter se commensurabiles, quae tamen sint irrationales propterea quod , ii ii arbitrarie sumptae commensurabile non Sunt. Ρars hujus capitis reliqua continet partem eorum,
quae habet lavius ad finem lementi quinti de
distributione rationum in suas species, nimirum multiplicem, submultiplicem, uperparticularem, 3uperpartientem, etc. raeterire autem non OS-
sum verba ejus haec Et quidem ipsae tractionea nihil aliud sunt quam ratione . olo diutius neget se quotientem dicere divisoris esse ad dividendum
rationem. eque haec, Fract=ionis itaque numerator et denominator perinde uni atque rationis anteceden ad OnaequeM. Quae, etsi Vera sunt, verbis illius prioribus contradicunt. eque haec, Sunt enim ration , non minu quam numeri, verae quantitat . am si quantitates rationum effari cogeretur, necessarium esse rideret pro ratione
aequalitatis ciphram ponere, id est, confiteri quod
143쪽
ratio aequalitatis media est inter rationem quam habet quantitas ad quantitatem, et rationem quam habet privatio quantitatis ad privationem quantitatis et proinde, quantitatem rationis quam habet aequale ad aequale esse nihil Sequitur Caput tricesimum, de rationum compositione. B. Differatur si vis, in diem crastinum.
A. ETIAΜ hodiernus nobis sermo totus fere erit de rationi a Capite praesente de rationum agit compositione, prout definitur ab Euclide Elem vi. defin ult. Ratio eae rationibu componi dicitur, quando rationum quantitates inter se multiplicatae ciunt aliquam rationem, in Graeco, α λυρον. Si enim invenio in libro cujusdam anonymi, edito centesimo abhinc anno, in quo sunt definitiones et propositiones Euclidis omnes Graece scriptae. nisi liber, ut videtur, loco hujus definitionis hanc habet Quando rationum quantitatea inter aemultiplicato aliquas Fecerint. Quae duae lectiones sensu nihil differunt. am si duo termini unius rationis multiplicentur in duos terminos alterius rationis, id est, antecedens in antecedentem et consequens in consequentem, orietur ratio ex duabus illis rationibus composita Vel quod idem est, orientur duae quantitates quarum ratio aequatur
144쪽
n1ΑLocus duabus illis rationibus simul sumptis. Jtaque com- positio rationum est rationum unius ad alteram additio, ut supra ostensum est Quare compositio
rationum de qua hic loquitur Euclides, est ipsissima rationum unius ad alteram additio. B. anifestissime. additio tamen haec sermultiplicationem perficitur.
A. Verum at non per multiplicationem rationum, sed per multiplicationem terminorum. Termini autem non sunt rationea, id est relationea,
sed correlata, quas Euclides hic appellat rationum
A. At Wallistus haec non intelligit, ut per
proxima ejus verba manifeste apparebit; sunt autem haec : Quid per rationum quantitate imtelligit Melides non inter interprete convenit: num cilicet ipsos termissa, num quod eae eorum comparatione provenit.-Quae proveniunt inde, nempe, a multiplicatione terminorum in terminos, habent quidem rationem ex propositis rationibus
compositam termini autem rationum componendarum esse non pOSSunt.
B. rofecto Euclidem hoc loco professor noster non intellexit. eque credo, authorem ullum vidit qui quantitates rationum eo modo interpretatus sit. A. Alias quoque animadverti eum, quae scripsit dubitans an essent vera necne, qui adam, id est, authoribus monymis, individuis vagis attribuere. Sed quid tibi videtur oratio haec: Utrumvis autem dicatur, perinde eat puta, si rationis A. ad termini in termino rationiis, adis revective e cantur, nempe in re, B in β, ut proneniat ratio A
145쪽
B. Oratio quidem valde symbolica est, sed quam non intelligo. unquam enim multiplicari aliquid audiri, neque imaginari possum, nisi ut fieret vel multiplo major, nempe quando multiplicatio fit per
numerum integrum, Vel multiplo minor, quando multiplicans est numerus fractus. o itaque
intelligo quomodo aliquid multiplicari possit nisi
per numerum integrum Vel fractum. Veniam ergo
mihi dabit allistus, si non intelligam quomodoratio Mad B duci possit in rationem, ad 3. Rationem per numerum multiplicari posse, scio; ut quando ratio multiplicata pera duplicatur, et per 3, triplicatur, et perci, fit ratio rationis Sesquialtera. A. In omni multiplicatione fit ut multiplicans ad unitatem, ita productus ad multiplicatum. Itaque quot continet unitates ratio A ad B, toties ρ in continet rationem, ad 3. Sanine sunt qui sic loquuntur λ ut professorem talem ferre sequum est academicos, si ad illum expuendum satis haberent virium Θ aulo post, cum dixisset rationem duplam componi ex sesquialtera et sesquitertia:
quod Verum est, si per rationem duplam intelligit rationem dupli ad simplum alioqui falsum; nam
dupla ratio exponi per pauciores quam tres termino non potest, ut nec ratio simpla per pauciores quam duos): subjungit, hoc eat, ut sequuntur mu-aici eae diapente et dialeagaron componitur diapa-δ- Verumne hoc λB. Equidem artis musicae imperitus sum. Seio tamen ex diapente et diatessaron componi diapaSon. A. Sed a tono imo ad quintum quot numerBntur toni λ
146쪽
l34 EXAΜINATIO ET EΜENDATIOB. Si extremi assumantur, quatuor cum Semitonio.
A. A quinto ad octavum quot rB. Si itidem extremi numerentur, tres cum Semitonio. Intercedunt autem inter imum et quintum toni duo et semitoniumn inter quintum et ocimum, tonus et semitonium, et summus tonus duplo acutior est quam imUS. A. Quomodo autem conveniunt haec cum compositione rationis sesquialterae et sesquitertiae ad faciendam rationem duplam λB. escio, nisi rationum apud musicos et geometras diversa sit computatio. A. Videri vult scriptor hic omnium artium peritus esse, cum Sit omnium quidem artium imperitus duarum autem, quas profitetur, theologiae et
geometris imperitissimus. Quod habet deinde de
rationis a ratione ablatione, quam hic Vocat νηρπερισσο rationis imminutionem, per divisionem, respondit e contrario iis quae habentur de rationum quae fit per terminorum multiplicationem compositionen nec poterat id non videre. B. Sed et aliter ratio a ratione detrahi potest, sine divisione. am si ratio 2 ad 3 detrahenda sit ex ratione 4 ad 5, et fiat ut 2 ad xit 4 ad aliam, ω erit ratio residua ratio G ad 5 ut expositis numeri 4 6 5 Videre est. am subducta ratione ad 6, id est 2 ad 3 ex ratione 4 ad 5, relinquitur ratio G ad 5. A. Lego. Utrum hinc rationum com Oaitio, additio judicanda sit, an miatiplicatio, haud satis ridetur apud arithmeticos, vel etiam geometricOδ, conεtare Videtur his Verbis respicere ad Clavium, qui ad Prop. 23 El. i. contendit, O Ooitionem
147쪽
MATHEΜATICAE HODIERNAE. 35ham et detractionem non age proprie additionem DiALocus
e substractionem ς quia alias, inquit idem lavius, se tolum aequale parti, et minum et major proportis posset detrahi ex minore. Quae, ut videntur illi, absurda, pluribus exemplis ex opinione contraria deducit ad finem El. ix). B. escientibus rationis majoris ad minus, id est, quantitatis ad quantitatem, naturam diversam esse a ratione minoris ad majus, id est, privationis quantitatis ad privationem quantitatis, et mediam
inter utramque esse rationem sequalium, Satis absurde sonat majorem rationem a minore detrahi posse, et totam rationem ejusdem parte esse minorem. Sed si considerare vellent quod qui addit privationi privationem, quantitatem facit minorem, et qui privationem a privatione detrahit, quantitatem facit majorem facile dici ferrent rationem
majorem a minore, et totam a parte posse subtrahi.Λ. Erravit, scio Wallistus, sed cum doctissimo Clavio doctissimo quidem Jesultarum, et scriptore omnium saeculorum diligentissimo Wallistus autem non, ut ille, quaesibundus erravit, sed errorem illius amplecti satis habuit, quomodo quaerendum ulterius esset ignorans. Attamen obtinuit, etiam contra sententiam lavit, ut vocetur compositio rationis, propter Vim credo etiam intus latentis veritatis, additio potius quam multiplicatis. Sed id aegre ser Wallistus; quia certum eat, inquit, quantitat inricem multiplicari, non addi: quasi diceret, quia compositi rationum si per multiplicationem terminorum, em compOδiti rationum est multipli- ωιio rationum. Itaque paulo post dea nandam autem malim, inquit, per notam multiplicationis,
148쪽
I36 EXAMINATIO ET EMENDATIO DIALosus suam per Hadditionis Adeoque quae ex di et o componitur ratio, scribenda est κ', non autem
B. Certe non male scribi credo A ad α' B ad 3, pro compositione rationum Mad; et B ad 3; quanquam pro multiplicatione fractionum male scriberetur γε , et recte κ . Λ. Ita sane, si modo per symbola scribere omnino necessarium esset. Quod addit Adeoque tota tua defactionum multiplicatione et divisione tradenda doctrina, de rationum continuatione et imminutione pariter intelligenda erit: sunt enim ip3issima eadem rex promissio est Capitis xlv. de Dactionum et rationum rationibus, ab initio usque ad finem absurdissimi. Deinde, non idem, inquit, sonat rati duplicata, triplicata, ete , quod ratis tripla dupla, etc. st in sono, fateor, aliquod discrimen, ut inter dissyllaba et quadrisyllaba sed tamen idem significant. am quicquid duplicatur, fit non minus duplum quam duplicatum et quod subduplicatur, ignosce loquenti non Latine , fit non minus dimidium quam subduplicatum. Et ut ratio I ad 4 est duplicata rationis I ad 2, ita etiam dupla est, nempe ratio defectus duplicata sive dupla. B. emitii haec eadem eodem modo explicata esse in colloquiis superioribus, et Vera esse satis
A. Quod autem ratio iterata non dupla dicenda sit sed duplicata, confirmatum putat ab Euclide,
qui perpetuo utitur hoc sensu Vocibu διωλασίονα,
τριπλασίονα, et . non διπλουν, πέπλων, neque διπλασιον τρι
πλασιον Sed Vim nullam habet; nam utitur ιπλασίονι
in prop. ult. Elem. ix. et in prop. 20, Elem. iii. ad
149쪽
significandam rationem dupli ad simplum on DiAL usitaque emam est, quod ea utitur perpetuo in sensu altero. Praeterea, fieri potest ut Euclides non satis ipse perspexerit rationis naturam: imo vero fierialiter non potest, cum definieridi rationem per Capite xxxi., ubi tractat Progressionem Geometricam, regulam affert generalem, qua terminori1m omnium invenitur summa nimirum hanc : Si terminus ultimus per communem rationem multiplicetur, sive quod tantundem rat, progre38M per unum adhuc gradum continuetur, atque inde a feratur terminus primua, et quae d restat per numerum uniatate minorem quam ea communia ratio, dividatur et prodibit progressionis umma. Quam regulam
deince a demonstraturum se esse dicit. Id autem quod deinceps legitur, demonstratio non est, sed indicatio quod ita contingit esse in progressione
numerorum ipsius arbitrio sumptorum. eque, si in progressione omni numerorum tu meove arbitrio sumptorum idem contingeret, non tamen demonstratio esset tum quia causa accidentis non
apparet, tum etiam quia inductio particularium, nisi numero infinitorum, regulam non facit universalem. B. Verba ejus haec reguti demonatrationem deincep eaponemuδ, non spectant ad id quod sequitur, nimirum, i in progreagione adjuncta,
etc., sed ad id quod habetur Capite xxxiii adnumerum 68, qui incipit, a terminu Maelm- ete. A. Ergo vocem illam deinceps, toties ubique, praesertim in libris mathematicis occurrentem, criticus mathematicus doctor ille non intellexit. B. Fortasse regulam tamen quam hic expoSuit,
150쪽
DIALocus M. Certone λ B. Puto. Verum si regulae demonstrationem aliquam ejus ipse habes, profer quaeso. A. Sciendum prius est, in omni multiplicationeeSse ut numerus productus ad numerum multiplicandum, ita multiplicantem ad unitatem. B. Scio. am opus multiplicationis aliud non est quam numerum invenire, qui toties contineat multiplicandum quoties multiplicans continet uni
A. Tenes. Sit ergo numerorum quotlibet continue proportionalium series A, B, C, D in qua Asit minimus. Fit ergo B ex multiplicatione A per aliquem numerum integrum vel fractum. Sit multiplicans, primo, integer quem tu Vis. B. Sit multiplicans 3. A. Est ergo is B; et 3 B-C et 3 C D; et ut A ad B, ita I ad 3, ut tu modo ipse demonstrasti. B. Concedo. A. Sed in proportionalibus, ut primum antecedens ad primum consequens, ita summa antecedentium omnium ad summam consequentium omnium. B. Recte. A. Et in serie proposita A, B, C, D, Omne antecedentes sunt Α, Β, C et omnes consequente B, C,
D. Quare utra ad A B C, ita 3 ad B C D. Et proinde Αε3Bε3C B C D. Et subductis utrinque ΒεC, restabit hinc quidem D, illinc autem
3Α 2B 2C. Habemus ergo sequationem unam, D 3Α 2B 2C; et sublato utrinque , aequationem alteram, -Α 2Α 2B-2C. Quare diviso numero dato D terra, quotiens erit A BεC; cui adjunctus datus D, dat summam quaeSitam.