장음표시 사용
81쪽
I, ATHEMATICAE HODIERNAE. 69 qum inserare nesciunt, ne errasse rideantur, fin- DIALosus
gurit ossibilia esse quae non sunt possibilia, vel ' dicunt aliquid quod non possit intelligi recipitur tamen ab iis, qui malunt sine molestia habere quod
dicant, quam cum molestia quod sentiant. B. Videntur autem intelligere aliquid per rarefactionem et condensationem alioqui non insultarent in eos qui sentiunt contrarium. A. Puto, hoc sentiunt; in tumescenti aliquo corpore, nihil illi admisceri corporis adventitii: ut Verbi causa bulliente aqua nihil admisceri putant aeris, sed ipsam aquam eandem existentem, in majus extendi spatium loci. Sed ipsos, qui doctrinam hanc de rarefactione et condensatione docere Olent, unico tantum argumento cessuros
credo nimirum, si qui stipendium allisio, di pensatores beneficii miliani, soluturi sunt, pro solidis numerarent illi totidem semisolidos, dicerentque solidos esse frigore, cui fortuito expositi fuissent, condensatos, o puto crederet allistus id fieri quicquid alias scribere soleat potuisse. Secunda definitio est multiplicia proba, nec dissicilis. Tertia est rationia satis inepta Ratio, inquit, ea duarum magnitudinum Uuadem generia mutuas edam habitudo. B. Intelligo eos qui loquuntur de ratione, sed
de habitudine loquentes non intelligo. Habitudo ab habendo dicitur. Quaero igitur, quid est quod hoc loco habet quid quod habetur et an ratio dicatur habitudo, ab eo quod ipsa habet aliquid, vel ab eo quod habetur et et siquidem habeat, quid sit quod habet: in habeatur, a quo habetur. Quae
A. Vox illa habitudinis a formulis loquendi orta
82쪽
70 EXAMINATIO ET EΜENDATIO DiALOsus est Solebant enim geometrae, cum vellent ratio- num Similitudinem explicare, Graeci quidem hac Voce uti ο-- εχει Latini vero hac, ita se habes: quam loquutionem admisit Euclides in definiti nem suam rationis, quam ideo appellavit 6ιαν σχέσιν, et Latini ertam habitudinem. Et credibile est, si Graeci Vulgo pro omise εχε dixissent υ, ε Euclidem definiturum fuisse rationem Per ποιανουλαν, et Latini per certam, entiam. B. Quaenam autem est rationi definitio vera et accurata λA. Ratio est relatis antecedentis ad conaeque secundum magnitudinem. B. Quid sit antecedens et quid consequens intelligendum est ex definitione relatorum sed tamen non cognoscitur ex hac definitione rationis quantitas. A. Neque ex definitione trianguli, ipsius trianguli quantitas. B. Dic ergo quomodo computandae sint rationum quantitates λΛ. Primo, non omnis ratio est quanta. B. irum hoc dicis, rationem aliam SM quantam, aliam non quantam. A. Ita est: nam ratio insequalis ad inaequale quantitatem habet. Sed ratio aequalis ad aequale quantitatem non habet. B. Quare autem non habet quantitatem λA. Quia nempe ratio non est simpliciter magnutudo, sed cum relatione ad aliam magnitudinem; juxta quam relationem una inaequalitas, id est, una ratio insequalium, alia major, alia minor esse intest una autem sequalita non potest. At ea, quorum alia majora, alia minor AESS ῬOSSunt,
83쪽
MATHEΜATICAE HODIERNAE. 7lsseant Sunt caetera non sunt. Absurdum enim DIALocus esset rogare quanta est aequalitas contra Vero rogare quanta sit inaequalitas, absurdum non est.
B. Sed allistus in eodem esse dicet praedicamento tum aequalitatem tum inaequalitatem; et proinde, si altera earum sit quantitas, alteram
A. Quidnam est illud medicamentum ' nclomus aut apotheca aliqua, unde omnes aequalitates inaequalitatesque, quando usus erit, depromendae reconduntur λB. Praedicamentum est vocabulorum Series, weundum amplitudinem significationum ab Aristotele ordinata. A. Scio, scio has nugas nimirum, e nominum, arbitrio ristotelis, ordinatione naturam rerum aestimare solere eos, qui ingenio sapiunt alieno; cum e contra, ex cognitione naturae disponi debeant ipsa nomina. B. Sed instat allistus contra vim argumenti hoc modo: Si ratio aequalitatis ob eam cauaam quantita non it, quod una aequalitas non est magis aequalitas quam alia ἰ etiam anguis rectuaquantita non erit, quia unu angula rectu nec magis G angulus, nec major, quam altu rectua. A. Poterat etiam arguere sic quia numerus sex nec major nec minor esse potest, quam alius
numerus eX, numerus Senarius non erit quantitas.
Sed ratiocinatio utraque vitiosa est. am in genere quantitatis, tam quae inter se aequalia quam quae insequalia sunt, quantitatem habent ut angulus rectus, quia angulus in genere, et numerus senarius, quia numerus in genere est quantitas. Ratio autem in genere quantitas non est, Sed
84쪽
72 EXAMINATIO ET EMENDATIO DIALocus relatio, sive comparatio. Potest ergo una ratio quanta eSSe, ut tamen alia quanta non sit.
B. Verum dicis. Sed ratio aequalitatis ideo
Videtur esse quantitas, quia et ipsa major vel minor quam alia ratio esse potest. Est enim ratiora ad 5 ratio aequalitatis eademque major quam ratio Sad 6, et minor quam ratiora ad 3. A. Aliud est tantum esse absolute et Olitaris sumptum, aliud comparative. Ratio quidem sequalitatis major esse potest quam ratio quantitatis minoris ad majorem, ut tamen ipsa quantitas non
sit. Exempli causa etiamsi o nihil sit, ratio tameni adis major est quam ratio 0 ad 0-I, id
est quam Mad minus quam . B. Hoc quidem verum est in numeris vel quantitatibus fictis. Sed putasne tu rationes censendaSeSSe eodem modo quo numeri fictila. uto. B. Attamen quomodo fieri potest, ut ratio minoris ad majus quantitas Sit, cum ratio quae sit illa major, nempe ratio aequalitatis, quantitas non
Λ. Cum ratio sit quantitatum comparatio, X
sitis duabus quantitatibus inaequalibus dupla oritur
comparatio altera minoris ad majorem, in qua quaeritur quantum minor a majore Superatur altera majoris ad minorem, qua quaeritur quantum major minorem superat. Itaque ratio inaequalitatis est duplex, altera defectus, altera aeceδδua. Sicut autem numeri finguntur abi, seu nihilo superari iisdem intervallis quibus ipsum o, seu nihil Superatur a numeris non fictis : ita ratio defectu sup ratur a ratione aequalitatis iisdem intervallis, quibus ipsa superatur a rationibus oeceaενδ. at per con-
85쪽
MATHEMATICAE HODIERNAE. 73 sequens, ratio aequalitatis superans rationem deme D Locus tua, non tam rationem defectu superat quam
defectum rationis, id est, defectum magnitudinis qua aequari possit cum eo quicum comparatur. B. Videris hoc velle, in comparatione rationum promiscue Computari eaecessu et defectua similiter ac si qui habens sui seris viginti libras, et alieni totidem, numeraret indistincte summam quadraginta librarum, cum deberet numerare nihil. A. Ita eSt. B. Sed illud rationem defectus esse defectum rationis, ad mathematicorum aures accedet in
A Credo tibi hoc Attamen verum esse facile agnoscies, si animadvertas, quando duae rationes, utraque minoris ad majorem, componuntur, rationem fieri minorem. B. Verum est, et propterea necesse, ut ratio defeetus sit defectus rationis. Quantitates enim omnes ejusdem generis compositae, quantitatem faciunt majorem. Etiam defectus si defectui addatur, fiet defectus major, et tamen ratio facta est minor ex quo manifestum est quod dixisti, rationem defectu esse defectum rationis ut qui es alienum seri addit alieno, tanto fit pauperior quanto plus habet seris alieni. A. Recte capis. Sciendum praeterea est, magnitudines rationum, tam defectu quam aceδδυδ, determinari per magnitudinem disterentiae idque dupliciter. otest enim differentia considerari velabaolute, ut cum dicimus comparando istra, majorem esse inuam 3 tribus unitatibus quae disλ- rentia est numerus absolutus Vel comparative, ut cum dicimus majorem esse 6 quam 3 sui ipsius
86쪽
niALocus dimidio. Unde etiam dividi solet in geometricam, quae a geometris simpliciter ratio appellatur, et arithmeticam. Itaque 6 ad 3 et 7 ad , sunt eadem ratio arithmetica, propter differentiam eandem 3 absolute sumptam. Sed in ratione geometrica, 6 ad 3 et 8 ad 4 eadem est ratio, propterea quod utrobique differentia est antecedentis dimi- dium. Caeterum ratio arithmetica non est habita ab omnibus pro specie rationis fortasse quia ad illam quae est in definitione rationis apud Euclidem, habitudinem quandam, non potuit accommodari. rippus autem rationis tredecim facit species, quarum ratio arithmetica elit una. B. erge legere. A. Definitio quarta Proportis, Graeci ἁναλοὶ, ea rationum imilitudo. B. Quaenam est differentia inter rationem imialem, oequalem, et eandem A. ulla omnino. am rationes, 2 ad 4 et 3 ad 6, eaedem sunt, et almitra, et inquat . B. Quomodo differunt inter se proportio et ratio, sive ἁναλογία et λόγοel A. Λόγο quidem, SiVe ratio est comparatio quantitatum; proportio Vero, SiVe νάλογία, Si comparatio rationum, sive potius repetitio rationis ejusdem in aliis quantitatibus. Exempli causa; 4 ad 3 est ratio, et Mad 6 eadem ratio in aliis quantitatibus.
Sed ambae rationes 4 ad 3 et 8 ad 6, Sunt αναλογία Quinta Rationem habere inser a magnitudines dicuntur, quae poMunt multiplicati e mutuo v rare. Proba est, si recte intelligatur. Quae enim multiplicata se mutuo possunt superare, homogenea Sunt eodemque genere mensurae mensurabilia ut
longitudines longitudinibus, superficies superficie-
87쪽
MATHEΜATICI HODIERNAE. 75bus, solida solidis. Quae vero heterogenea sunt, DIALOGUs divere genere mensurae mensurantur. Sin lineae
pro minutissimis parallelogrammis considerentur, ut ab iis considerantur qui methodo demonstrandi utuntur en qua Bonaventur Cavalerius in doctrina Ininuisibilium usus est, habebunt inter se rationem etiam linem recto et aversicis pla Eppoterunt enim tales lineae multiplicatae quamlibet finitam superficiem planam S erare. B.mihi tamen definitio haec rationem inter aehabentium, ne sic quidem Videtur accurata habent
enim rationem inter se mensurae longitudinis, temporis, et motus; et possunt multiplicatae se mutuo inperare. Attamen inter lineam et tempus, vel inter lineam et motum, rationem esse dici non potest.
A. Potest quidem non minus dici, quam lineam se e via. Sed Archimedes aliique geometrae
non pauci, cum tempus exponere Volunt, rato inquiunt, AB tem a quos ego culpare eum Omnes
loquutionem illam bene intelligant, non auderem. B. Wallistus auderet. A. Definitio sexta est Uuadem resionis, quae sic se habet. B. Siste gradum paulisper. Nonne analogiam modo definivit Euclides, esse similitudinem rationum Similitudo autem rationum et eadem ratio eadem est res. Videtur ergo mihi analogiam sive
proportionem hoc loco iterum definire. A.minime. ihil hic peccatur. Quid enim, si quis hominem definiret esse animai rationale, apud nescio quid animal rationiae esset Itaque in definitione hac sexta illud agit, ut proportionem,
Sive eandem rationem, per generationem ejus dem
88쪽
76 EXAMINATIO ET EMENDATIO DiΑLocus niat. Quod ni fecisset, nihil inde ut a principio δ demonstraSset.
B. Quid ita λ Definitio circuli apud Euclidem,
non est descriptio generationis circuli, sed gen ratio at nihilo minus constructio trianguli aequilateri inde ab Euclide demonstratur. A. Demonstratio illa dependet quidem ab ea definitione sed ipsa definitio dependet a postulato tertio, nempe, quo gratis sumitur mas circulum quonis describi intervalla Jubet ergo, ad Onstructionem trianguli aequilateri, describi circulum; quod quo modo faciendum sit, definitio Euclidea non docet. Quomodo enim inveniri medium illud punctum potest, nisi prius descriptus sit ipse circulus λ Vidit ergo Euclides definitionem analogiae, nisi ostenderet quomodo eaedem rationea fierent, inutilem fore ad sequentia. Itaque definitionem per generationem addidit hanc: In eadem
ratione magnitudine dicuntur erae, prima adis eundam, et tertia ad quartam, cum primae et te tiae aeque multiplicia, a secundae et quartae Eque multiplicibua, qualiacunque ait hinc multiplicatis, utrumque is ut quε, vel una desciunt, vel unamqualia unt, vel uria aecedunt, i ea umantur quin inter se respondent. Sed iuvenire, per hanc definitionem, hujusmodi quatuor quantitates impossibile est quia multiplicatio per Omne numeros, cum infiniti sint, est impossibilis. Non est ergo definitio haec, sed hypothesis. B. Recte quidem dicis est autem hypothesis illa vera. Vera inquam est, sed non principium, quia demonstrabilis est, et ab Hobbio cap. xiii. arti 12, libri DE CORPORE demonstrata; sed a definitione j dem malionis per generationem,
89쪽
MATHEMATICAE HODIERNAE. 77 diversa est haec Euclidis. anifestum enim est DiΑLocus duas quaslibet elocitate duorum corporum O torum, habere inter se certam aliquam rationem, et quidem, dum velocitates illae eaedem Sunt, eandem. Velocitatem autem definit Hobbius, potentiam esse mobilis in tempore determinato determinatam longitudinem permeandi. Ex his manifestis generationem colligit ejusdem rationis. Dicit enim,
si duo mobilia, utrumque velocitate invariata, e currant dua longitudines tempore eodem eaH -- gilviainea rationem habere inter e eandem quam abent velocitat ripam et rursus, si duo mobilia virumque eadem invariata velocitate percurrant duas longitudinea, habere eas eandem inter erationem, quam habent inter a tempora quibus Percurruntur. Quibus positis, sint duo mobilia ad punctum A, moveanturque sequa b hili velocitate per A B, A C. Et velocitatem quidem unius repraesentet AB Velocitatem autem alterius repraesentet C. Venient ergo alterum ad B, alterum ad C, in eodem tempore AC, propterea quod velocitates amborum determinantur per spatia quae eodem tempore Percurrunt. Similiter, si in parte temporis AC, iisdem servatis velocitatibus, alterum veniat ad D, alterum ad E, rursus erunt spatia percursa me AE ut velocitates eaedem, id est, ut AB ad AC. Eodem
modo, si mobile idem veniat ad B in tempore AC, veniet ad D in parte illius temporis, puta in AE,
quae sit spatio AD homologa. e tantum Verum hoc est in motu, sed etiam in omni genere a R-tionis, ubi causa aequalibus temporibus aequalia semper essicit. Itaque eandem rationem cap. xiii. an. 6, libri DE ORPORE sic definivit Rasi geo-
90쪽
caua aliqua eadem inqualibus temporibus equalia jaciena, rationem utramque determinat. A. Definitio sane haec accuratissima eSt, gener tionemque proportionis quasi ante oculos ponit. Sed Euclides, per suam hypothesin rationum doe- trinam in Elemento quinto solidissime demonstravit. Anne tantundem fecit Hobbius per definitionem Suam λB Demonstravit non modo easdem propositiones quas Euclides, sed etiam nonnullas alias non minus dissiciles, ne quidem allisio ipso contradicente. Νam hoc solum de illis pronunciat, Gn videri ipsis ORE.
A. Id est, simul et laudat et invidet. Quid scribis in pugillaribus λB. oto quod in Graeco pro multiplicibus ab
Euclide dicitur sto moreret et pro multiplicatione πολλαπλασιασμορ Fam ἁναλπωρ, διπλασιασμοὶ deberet verti duplicatis, et διπλασιoe, Sicut et διαλασίων et διαλασιασΘεli, duplus vel duplicatus.
A. Quid ergo λR. agnam facit allistus differentiam inter rationem, duplam et duplicatam, triplam et triplicatam, etc., tum in Meneli contra Hobbium, tum in tractatu Elenchtico contra eybomium. A. Tanto est indoctior. Sed ego tibi negotium illud facile expedibo. Euclides enim vocibus illis
διπλασιο et δι-λασἰων Pro eadem re promiscue utitur,
sicut Latini vulgo duplum et duplicatum. Voceoιπλασίων, etiam in Proportionibus utitur Euclides pro dupla Lege propositionis ultimae Elementi non textum Graecum.