장음표시 사용
121쪽
B. Sed quomodo corrigenda est DIALocus A. Sic Numerus numerum multiplicare dicitur V gurenaeo quot sunt in illo unitates, toties componitur hic, et aliquis t. B. Recte et tam parva mutatione emendata est, ut sine ullo geometriae damno, etsi peccatum sit contra logicam, potuisset retineri. A. Etiam retinebitur. Reliqua capitis hujus eadem sunt quae Vulgo traduntur, sed Verbosius, adeoque obscurius ab allisio. Quod autem ad operationis demonstrationem attinere videatur, nihil affert; neque vero opus erat ut afferret, cum, ut jam saepius dixi, ipsa operatio perfecta sit perfecti operis demonstratio. B. Sequitur Caput ix. De Disissene. A. Nihil hic video novi praeter tritarum jam omnium manibus regularum declarationem longam
et stigidam, et, siquidem id tibi aliquid videbitur,
operationis formam aliquoties Variatam. B. Operationis alicujus formam Variare non equidem difficile esse arbitror iis, qui formam ejus uuam aliquam jam intelligunt, si tamen alio et alio loco scribere residuam, vel alio atque alio modo divisorem multiplicare et subducere, formam operationis novam constituere dicendum sit. Additionem et subductionem radicum quadraticarum praetermissam ab allisio in hunc locum ejecisti. Ostende ergo nunc, qua methodo operationes illae perficiantur commodissime, id est, ubi fieri potest, accuratissime ubi fieri non potest, cum minimo errore. A. Sed ostendendum primo est quomodo radix quadratica multiplicanda sit per numerum Radicem autem Per numerum multiplicandi regula haec est Quadretur tum numerus tum radix et quad-
122쪽
II EXAMINATIO ET EMENDATIO DIALocus rata inter se multiplicentur eritque facti radix factum quaesitum. Exemplum sit radix quadratica 4 multiplicanda peris quadratum radicis quadraticae , est quadratum a Mest 36 in 36 producit 144 radix 144, nempe l2, est id quod fit ex ductum in radicem quadraticam , id St, in . Quod sic demonstro. Sint duo quadrata, ΑΑ-36 BB- erunt ergo ΑΑ, ΑΒ, B, Continue proportionales, nimirum, in rationes ad B. Est autem ΑΒ id quod fit ex radice , sive 6, in radicem B, sive . B. Recte hoc. Sed cur non melius est dati quadrati radicem primo invenire, et deinde inventum multiplicare per datum numerum. A. Quia, nisi numeri dati sint quadrati, inventa radix accurata non erit; sed error aliquis certe inerit, qui post major fiet per multiplicationem, quae multiplicatio per hanc regulam evitatur. B. Video, hoc exemplo, quod datis duobus quadratis circa diametrum, completi super totam diametrum quadrati utrumvis complementorum, medium est proportionale inter quadrata data. A. Ita eSt. B. Adde jam radici quadraticae radicem qu draticam.
A. Regula haec est. Quadrati inter se multiplicentur producti radix inveniatur, dupliceturque; duplicatae addantur numeri quadrati dati radix
summae est summa radicum propositarum. Exempli gratia radix quadratica numeri 9 sit addenda radici quadraticae numeri 25. Quadrati inter se multiplicati faciunt 225 cujus numeri radix quadratica est l5, qui duplicatus est 30; cui numerosi summa quadratorum addatur, nempe 34, fiunt
123쪽
6 cujus radix Maequalis est radici numeri 9 una DIALOGuscum radici numeri 25. Demonstratur autem sic 'Π Μultiplicatae inter se radices faciunt unum excomplementis; et duplicatus facit duo complementa ad duos quadratos, 9 et 2b, super eandem di gonalem dispositos additis ergo ipsis quadratis, fit quadratum a recta aequali lateribus ambobus.
Illius ergo radix aequalis est summae radicum prO- positarum.
B. Recte. ultiplica jam numerum radicum
in numerum radicum. A. Regula est haec Ducatur quadratorum unus
in alterum radix producti multiplicetur per factum ex numeris. Exempli causa sint 8 radices quadraticae numeris multiplicandae ina radices quadraticas numeri 4. Quadrati istis inter se faciunt 36 factus ex numeris 3 et 8 est 24 qui multiplicatus in radicem quadraticam 36, - 6, facit 144. Tantundem faciunt 8 radices quadraticae s id est, 24 inra radices quadraticas 4, id est, in si Demonstratur autem sic Radix in radicem 4 est radix ejus qui fit exi in , per regulam primam supra traditam. Quarei radices quadraticae , in 34
dices quadraticas 4 est id quod fit ex 24 radicibus quadraticis ejus numeri qui fit ex ci 4 id est, quod fit ex 24 ini, id est, numeri 144.
B. In numeris quidem quadratis operabimur per hanc regulam accuratissime etiam in numeris non quadratis minor multo erit error, quam si radices extracta non veras post multiplicaremus: nam multiplicaremus una errorem. Sed eademne est
methodus multiplicandi radices cubicas, quae fuit multiplicandi radices quadraticas λA. Eadem am illic ostensum est productum
124쪽
II EXAMINATIO ET EΜENDATIO DIALOGUM e radicibus inter se, radicem esse producti ex
' quadratis inter se. Idem autem hic ostendam cleradicibus cubicis, quadrato-quadraticis, et caeteris potestatibus. Sit enim datus cubus ΑΑΑ cujus proinde radix est A. Sitque datus numerus B, et per consequens datus est cubus ejus BBB. Dico factum ec in B, esse radicem cubicam numeri
facti ex ΑΑ multiplicati per AEBB. Factum
enim a cubi est ΑΒΑΒΑΒ, cujus radix cubica est AB. B. Ostende operationem in numeris, multiplicans radicem cubicam numeri 64 in numerum 5. Α. Hoc est, in radicem cubicam numeri 125.
Μultiplico 64 in I 25, et factus es 8000 cujus radix cubica est 20 factus ex multiplicatis in
radicem cubicam numeri 64, id est, ex xin . Similiter, si duo numeri multiplicentur inter se facti radix quadrato-quadratica aequalis erit facto ex ipsorum radicibus quadrato-quadraticis. Exempli causa sint multiplicati inter se I et 81 factus erit I 296, cujus radix quadrato-quadratica est , factus ex 2 radice quadrato-quadratica numeri 16, et ex xradice quadrato-quam alica numeri 8 I. B.manifesta haec sunt. Sed si plures radices quadraticae, putat radices numeri , ducendae sint in plures radices, putarii radices numeriis, quid faciendum est y
A. Divide nunc numerum radicum quadraticarum per numerum alium radicum quadraticarum.
Verbi gratia, divide si radices quadraticas numeri 36, per 2 radices quadraticas numeri s. Quadratum dividendi dividatur per quadratum
alterum, et numerus per numerum. Quotientis radix est quotiens quaesitus.
125쪽
MATHEMATICAE HODIERNAE. 113 Exempli causa sit quadratum 36, cujus 4 radi DIALocusem dividendae sunt per 2 radices quadrati numeri in Divido ergo 36 per λ; quotiens est 4. Divido item 4 per ν; quotiens est 2. Interpono inter quotientes notam radicis. Itaque quotiens quaesitus est 2 4. Et 4 V 36, id est 24, si dividatur per 2 Vs, id est 6 erit 2 4, id est .
B. Quomodo autem radix quadratica numeri non quadrati, a radice quadratica numeri etiam non quadrati subtrahitur λA. Si radices illae sint commensurabiles, per hanc regulam. Dividatur uterque numerus per maX- imam amborum mensuram communem. Radix autem majoris dividatur in rationem radicis quotientis ad radicem quotientis. Exempli causa sit radix quadratim 20 subducenda in radice quadratica 45 divisis 45 et 2 per communem eorum mensuram maximam 5, quotientes sunt et , et eorum radices 3 et 2. Divide ergo radicem qu draticam 5 in rationem 3 ad T eritque segmentum minus radice quadratica 20 ex quo cognoscitur residuum ad radicem quadraticam 45. B. Sed radix quadratica 45 cum numerus non sit, dividi in rationem 3 ad 2 accurate non potest. Velim ergo scire cujus numeri radix sit illud residuum. A. Asiam igitur methodum radices commensur biles tum subducendi tum addendi, nec quadraticas modo sed etiam cubicas habebis ex Clane μαε- matica oughtredi additionis quidem hanc. Dividatur uterque numerus per maximam amborum men8uram communem radices utriusque quotientis simul addantur: totius quadratum Per
126쪽
Il4 EXAMINATIO ET EMENDATIO DIALocus eandem communem mensuram multiplicetur pro-
V ducti radix est radicum numerorum propositorum Summa. Exemplum operationis affert hoc. Sit radix quadratica I 47 addenda radici quadraticae I 2 Divisis ambobus numeris per maximam communem mensuram , fiunt quotientes s et 4; quorum radices sunt 7 et2. Quadratus a 7Φ2 est I, qui ductus in eandem communem mensuram , facit 243, cujus radix quadratica aequalis est radiacibus quadraticis utriusque numeri 147 et 2. Substractionis autem exemplum hoc est. Quadretur, non ut ante, Summa, sed differentia radicum ret2, quae est x cujus quadratus est 25 qui multiplicatus per eandem maximam communem mensuram
3, facit 75 cujus radix est aequalis numero qui relinquitur deducta radice quadratica I 2 ex radice quadratica I 47. B. um demonstrat hoc uotredusse A. inime. Propositum enim illi puto erat
algebram non omnibus scribere, sed geometris, qui quomodo demonstrandum esset ex ipsa operatione intelligere possunt. B. Demonstra hoc tu. A. Quod datum est sumo, radice numerorum 147 etra esse commensurabiles. Sunt ergo eaedem radices numerorum quadratorum. Ut ergo 147 ad 12, ita est quadratus numerus ad quadratum
numerum. Dividantur ambo per eorum Ommunem mensuram maximam 3, eruntque quotientes s et 4. Est ergo, ut l47 ad I 2, ita quadratus numerus 49 ad quadratum numerum et ut radix quadratica I 47 ad radicem quadraticam 12, ita ad 2. Additis simula et 2 fit λ; cujus quadratus estit: qui numerus multiplicatus per communem
127쪽
mensuram maximam 3 sacit 243. Ut ergo 147 ad DiALosus 49, ita est 243 ad 81 et ut Irad 4, ita est rursus 243 ad 81. Quare ut 47 HI ad 49Φ4, ita est 243 ad 8 I. Et proinde ut radix quadratica 147 radice quadratica I 2 ad radicem quadraticam 49 radice quadratica , id est ad 7 2, ita est radix quadratim 243 ad radicem quadraticam 81, id est 7-2. Quare radix quadratica 243 aequalis est radici quadraticae I 47 radice quadratica I 2. Quod
Similis est demonstratio subductionis. Est enim ut radix quadratica I 47 ad radicem quadraticam l2, ita 7 ad 2. Quare si subducatur 2 ex , erit ut radix quadratica 147 radice quadratica I ad radicem quadraticam 2, ita 7 2, id est 5 ad 2. t autem quadratus ara 2M qui multiplicatus
per eandem maximam mensuram communem 3,
facit 75. Est ergo ut radix quadratica I 4 radice quadratica I 2 ad 7-2, ita radix quadratica 75 ad 2, Sive ad 5. Est ergo radix quadratica 14 radice quadratica I 2, aequalis radici quadraticae 75. Eadem est methodus etiam in subducendis addendisque radicibus cubicis, et radicibus caeterarum potestatum, nisi quod in additione et subductione radicum quadraticarum quadratorum, qui ex divisione numerorum per maximam eorum communem
meumrtam oriuntur, summa vel differentia ducitur in communem mensuram in caeteris ero potest tum radicibus, summa et differentia potestatum propriarum addendae, et substrahendae, et per numerorum propositorum maximam communem mensuram multiplicandae sunt.
B. Sunt haec quidem liquido et breviter demonstrata; sed fortasse etiam demonstrata sunt in capite
128쪽
DIALosus sequente, ubi multiplicare et dividere doce Walli V sius algebrice. A. Operationum harum neque in eo capite, neque in toto hoc opere, etsi ab illo appellatur opus arithmeticum integrum, ne mentio quidem ulla est.
Νihil enim aliud istic docet, quam multiplicare et dividere symbola, ut cuilibet manifestum esse potest qui caput illud legeritu et haec quoque ex oughtredo et Dimhesio. Itaque caput illud, nempe, Caput xx. transiliamus. Etiam Caput xxi. in quo agit de multiplicationis et divisionis probationibus,
possumus, cum nihil contineat neque boni neque mali, ut innocuum quidem sed inutile sine damno praeterire. Caput xxii continet multiplicationis et divisionis exercitium in mensurandis et comparandis rectangulis in quo nihil quidem reperio, quod ut falsum redarguendum sit omnia Vere puerilia, et non necessaria, facilia tamen, eademque verbosi sim ut pueris scripta sunt. Sequitur Caput xxiii., cui titulus, Euclidis Elementum ecundum arith metice demonatratum, id est, ut mox subjungit, totumfere Elementum ecundum. am demonstrat theoremata prima tantum decem. Sed quomodo demonstrati Theorema primum per symbola scribit; et pro omni argumento, patet, inquit, eae cab
B. An pleniorem exigis demonstrationem, quam est calculus λΛ. inime. Sed cum eaedem propositiones per calculum demonstratae extent apud Clavium, quorsum attinuit aliorum laborem, ,εrερίζεσθαι λB. Fortasse ille brevius eas demonstravit. A. Tantum abest ut demonstrationes allisti
breviores sint illis Clavit, quanquam symbolice
129쪽
scriΡtae, ut plusquam triplo sint longiores. Et prae DiALocus terea, citius intelliget lector quilibet, etiam symbo '' licus, decem illas demonstrationes lavit, quam quamlibet unam ex demonstrationibus allisti. Denique propositiones illae a quolibet, qui earum intelligit demonstrationes geometricas, non minus ad numeros applicari possunt quam Clavi appli-
B. ergamus ergo ad Caput xxiv., De G dinata.
Sed primo, dic mihi quid di ri eo si a
Geometria RA. ihil, nisi quod quibusdam hominibus mirum
in modum placet vocum Graecarum efformatio aliqua Vel compositio nova, ad ostentationem peritiae linguae Graecae. Sed diu nunc est quod ea VOX, significans terrae divisionem, pro parte artis agrimensorum usurpata est. osti quam exigua et trita pars ea sit geometriae, qua utuntur agrimensores. Ocetur autem hoc capite novi nihil, sed quomodo triangulorum, et proinde Olygonorum rectilineorum, areae ad numerorum calculum reduci solent. B. Nonne etiam circuli et sectorum mensur
tionem, et quadraturam circuli hic doceo A. Scribitur quidem in margine libri, Ensuratio circuli et portionum ejus et paulo inferius, de circuli quadratura et rati perimetri circularis ad diametrum. In textu autem negat se haec docere, sed de illis fusius dictum esse dicit in sua Arithmetica In itorum. Dicit praeterea, a m m Maligerum, Severinum On montanum, et nuperrime Thomam Ηοbbes, immortales sibi inde singulis laudes deberi somniantes, mire hallucin
130쪽
DiALocus B. Socios adjungit Ilobbio non ignobiles. ' A. Sed quid habet ipse Wallistus de quadraturariretili in sua Arithmetica In itorum. B. Tu, si voles, videbis; nam afferam tibi etiam
illum librum, postquam hunc excusserimus, excutiendum. A. Caput xxv. est de quantitatum invicem comparatione quoad disterentiam, et quoad rationem rid est, ut vulgo loquimur, de rationibus arithmetica et geometrica. Dicit autem sciendum Me quantitates non nisi homogeneas comparandas SSea et hoc quidem recte. Deinde subjungit, a quia autem contraris ecerit, puta, dato lineae ad datam 3Uersciem, vel temporis ad lineam, resionem inquirens, idem erit ac si quingiverit quantum tempori inquetur lineae. B. Videtur hic repetere illud quod Hobbio ante objecerat, quod quantitatem temporis cum quantitate lineae comparaverit. A. Praetereo loquutionem illam barbaram, idem erit etc. Sed a te quaero, utrum idem sit quaerere quam rationem habet quantitas temporis ad quantitatem lineae, et quaerere quantum temporis sequatur lineae. B. MO.
A. Quantitas temporis, quid est λB. onne ipsum tempus determinatum λΛ. Et quantitas lapidis, quid est λB. on est respondendum nunc ut prius, nempe, esse ipsum lapidem determinatum. A. Refugis scilicet absurditatem dicti, lapis est quantitas. Attamen non minus absurde dicitur tempus esse quantitatem. B. Quid ita : Cum in praedicamento quantitatis tempus sit, lapis non sit.