장음표시 사용
151쪽
-- Ἀρ- B V C. Et sublatis utrinque εC, fit sequatio haec D ς ε ΒΦ et rursus, sublato utrinque Α, fit haec, D A VA-- Βε M. Quare diviso D- per c erit quotiens ΑφB C. Datur autem D cognita ergo est summa simul
B.multo magis perspicua et amoena demonstratio haec est, quam illa professoris nostri algebrica.A. Quidni comparanda est algebra cum methodo analytica Sed de demonstratione Wallisiana videbimus inferius. B. In numeris proportionalibus terminorum ulteriorum investigatio apud nostrum aerumnosa est. Sed lege quae sequuntur. A. Progr si is c uaris inchoato terminum ultimum a primo alis remotum, invenire. B. Operatio, inquam, quam docet per notationem exponentium, et iterationem quam requirit operis, ita ut nisi palpando progredi non liceat, et ignorantia finis odiosa res est. Ostende igitur illius rei
A. Sint continue proportionales A, B, C, D, E. Communis autem multiplicans sit . Sunt igitur ipsis A, B, C, D, E, aequales A, Μ ΜΜΑ, ΜΜΜΑ, ΜΜΜΜΑ, si modo sumantur eodem ordine Singuli singulis. Vides ergo progressionem generari
152쪽
l4 EXAMINATIO ET RΜENDATIO DIALocus ex multiplicatione termini minimi Α, primo per multiplicantem communem et deinceps, per ipsius multiplicantis potestates ordine ascendenteS,
nempe, per ΜΜ quadratum, Μ Μ Μ cubum, Μ Μ Μ Μ
B. Video. A. Et esse quot termini tot potestates ascendentes, demptis duabus; nam, non est potestas, Sed radix Μultiplicationes autem tot sunt quot Sunt, dempto uno, ipsi termini. Iam datis duobus tantum terminis primis, datur, nimirum, dividendo B per A. Quaeritur autem Verbi gratia, terminus postis quartus. Scribem quater, ut ΜΜΜΜ. Quia ergo datur Μ, datur quoque ΜΜΜΜ. Datur autem et A. Datur ergo ΜΜΜΑ, terminus quaeSitus, nempe, quartus incipiendo a B. ultiplicationes enim una pauciores sunt quam termini. B. eneo. Et siquidem terminus postularetur centesimus, debereti multiplicari in se nonagesies novies, et productus in Α, ut haberetur terminus centeSimus.
Λ. Ita est. Sed labor aliquanto minor erit, ubi multi sunt progressionis termini, si multiplicatio fiat per potestates altiores. am si multiplicans Sit , non est necesse ascendenti ad cubiculum, multiplicationem incipere a 3 possumus enim incipere a cubo ejus 27 vel ab alia altiore potestate cognita.
B. Sed cur tu pro multiplicante ponis, cum Wallistus ponat ubique κλA. In causa certe non est quod libeat ab illo dissentiri, sed ne alios, ut ille, inducam in errorem. Ego enim pono , literam multiplicantis initialem: ille', literam initialem rationiδ am in progreS-
153쪽
MATHEMATICAE HODIERNAE. 4 lsione, exempli causa, , 6, 18, concedimus ambo DIALOGus
communem multiplicantem esse , sive R sive appellatur ille autem hoc amplius, rationem 2 ad Messera Et propterea, quem numerum ego communem multiplicantem voco, appellat ille communem rationem. Unde fit ut nonnulli illius secuti
authoritatem, rationem putent SSe numerum, nimirum quotientem quod est erroneum. B. Imo vero absurdum.
A. Video hic symbola ab illis quibus hactenus
usus est, diversissima. B. on sunt illa symbola algebrica, sed literae Arabiesse.
A. Legitne ille Arabica, ut clericus ΘΒ. escio. Sed a viro doctissimo et illius linguae peritissimo accepta libro suo visum est illi Arabica
haec inserere. am progreεδionia geometrica eaeemplum, inquit, elegan egi, et eiu3tum et forte Omnium primum. Ostenditur autem hoc exemplo in quam immanem summam per pauca duplicationes excrescit unitas.
Λ ostenditur praeterea legisse illum Edwardi primi statutum, de menauris Anglicanis, ut eo transcripto Videretur etiam peritus juris. amabsque his, quae ad scientiam arithmeticae nihil pertinent, caput hoc tricesimum primum vix contineret duas paginas. B. Datis terminis primo et ultimo, quomodo in-Venitur, quem quis postularet, terminus inte medius λA. Dato quidem numero terminorum, facillime. Divido enim ultimum per primum, et quotiens erit potestas aliqua ex ascendentibus nempe, si ultimus fiat a multiplicatione quadrati in terminum
154쪽
l42 EXAMINATIO ET EΜENDATIO DIALOGus primum, erit terminus ultimus tertius; si fiat ex cubo in primum, erit ultimus quartus, et sic deinceps. Dato ergo terminorum numero, O OSCO
quota sit in ascendentibus potestas illa, ex cujus multiplicatione in terminum primum fit ultimus. Diviso ergo termino ultimo per primum, innotescit potestas illa cujus radix propria est communis multiplicans. Exempli causa si sit progressio data 3, 6 l2, 24,48, 96 et communis multiplicans Μ:
3 ΜΜΜΜΜ, eadem erit quae est data. Datur autem numerus terminorum 6 Fit ergo 96 exi testate quarta inra, id est, ex multiplicantis surdo- solido in . Diviso ergo 96 per 3 habetur multiplicantis surdo-solidum 32, cujus radix propria, nempe , est communis multiplicans. Quo multi plicante cognito, quilibet terminus intermedius statim invenitur, ut qui fit ex Din , vel in , vel inra, vel in I 6, etc. B. ethodus, ut quae procedit ab ipsa terminorum generatione, reet eSt.
Capite tricesimum secundum loquitur de origine et usu logarissimorum, ut ex primis ejus erbis manifestum est, imperite Verba haec sunt. Eδ autem ea, quam veriore capite tra Mimus, reguli de terminis remotioribus intermedii quagiper altum inveniendia) maaeimi quidem momenti regula non tam ob eum quem jam Ostendim illius gum, quam Ob ingigniora, quo inde des-erunt, commoda. Ea AOcenimiundamento dependet
miri Dum illud logarithmorum inuentum. Νse, ille Νepperi inventoris, et Briggii logarithmorum inventorum excultoris, clarissimis ingeniis non multum
tribuit, qui principium tam facile inventionis as-
155쪽
signat, quam est ex datis primis terminis progres DIALOGUSsionis inventio ulteriorum. Praeterea, quod per eam regulam inveniri putet logarithmos terminorum intermediorum, falsum est. am e contrario, qui hac utuntur regula, non logarithmos per terminos progressionis, sed terminos progressionis inquirunt per togarithmos datos, nimirum, per potestatum ascendentium indices arithmetice proportionaleS. B. Unde ergo illi in mentem venire potuit tam insigne inVentum. A. Observaverat ille inter duas quantitates extremas, cum mediae interponi possint tum geometricae tum arithmeticae numero infinitae, quanto plures interponuntur, tanto minus geometricas et arithmeticas inter se differre. Inde, nec aliunde, venit ei in mentem, quod valde multis mediis interpositis in ratione geometrica, totidemque in ratione arithmetica, alterae ab alteris non differunt nisi in notis numericis a prima adeo remotiS, ut postremae, retentis prioribus, sine damno calculi possint ne ligi et per consequens, ea quae per multiplicationem et divisionem solebant supputari, per additionem et substractionem satis accurate expediri. Quae
deinceps scribit allistus de togarithmorum usu, pauca sunt, et transcripta ex initio libri de togarithmis editi a Briggio.
B. Videamus jam ea quae continentur in Capite xxxiii. de Progressione Geometrica per symbola. A. Toto hoc capite dissicultas, praeter eam quam faciunt ipsa symbola fere nulla est. Itaque
unius tantum theorematis demonstrationem examinabimus, in qua regulam demonstrare conatur, qua vulgo utuntur qui quaerunt summam progressionis
156쪽
l44 EXAMINATIO T ΜENDATIO DIALocus aeometricae datae Ait ergo ad Art. 68), Si ter- minus maximus in communem rationem ducatur, et ex producto is eratur terminus minimuδ r ia umque per rationem communem unitate minutam
dinidatum quotiens eaehibet totius progre33ionis
B. Ita. ami est terminus ultimus, R communis multiplicans, A terminus minimus. A. Pergamus. Quis inquit, hanc primu -- venerit regulam, plane ignoro et quidem utut ea plerique tantur, non memini tamen me illam uspiam demonstratam vidiare cum tamen vel marime demonstratione indigeat. Obia ergo hanc libuit demonatrationem commini3ci. B. Lege demonstrationem ipsam. A. Ponamin, inquit, numerum terminorum, - 4.
Adeoque ΑRΤ-ΑR4. Et dividenda proponatur
AR3.-Νon amplius intelligo quid sibi vult. B. Dicit, si quantitas facta sit ex multiplicatione in R et producti in , quotientem esse factum ex Acin R et producto in 3.
Amon vult hoc, sed aliquid aliud. B. escio ; sed aliis in locis symbola similia id significant quod dixi. Ut Pag. I72. l. 23, ubi sic loquitur, quoniam F ABF AB, ambo in quotia ente AB. Hoc est ΑΒ diviso per F, quotienserit ΑΒ.A. Recte quidem illud falsum ergo hoc, MARC ΑR3. am R AR4 A verum est. Si enim A4 in facit AR4, etiam AR 4 divisus per B dabit quotientem A4. B. Videtur hic lapsus esse aliquis vel sestinantis calami, vel typographi.
157쪽
A. Sive lapsus sit, sive arcanum aliquod artis DIALOsus Symbolicae, Vim cerie habet omnem demonstrationis ' hujus ulteriorem examinationem praecidendi. ransiliemus Caput tricesimum quartum, ut quod nihil aliud est praeter earundem demonstrationum reviorem, et fere totam symbolice scriptam synopsin caecam Caput tricesimum quintum est Elementi
quinti Euclidis demonstratio arithmetica quod quidem Elementum symbolice cuilibet et suis symbolis transcribere, facile est. B. Quid λ Demonstrationes ejus nihillae aliud sunt praeter transcriptiones λA. on id dico sed cum facile sit demonstrationes Euclidis una cum definitionibus ejusdem scribere symbolice facilius est theoremata ejus inferre ex assumpta sine demonstratione hypothesi. Nam cum totum illud Elementum quintum ex definitione dependeat Dadem rationis, ille, neglecta definitione Euclidis, loco ejus substituit hanc: viequalita sine identitas rationis eat viequalitas sive identitas quotorum. Deinde subjungit puta, i
erit definitionis Deo. Similiter, rationem majorem et minorem definit sic tibi quotus major est, ibi
ratio major ubi minor, minor rat. B. Propositio est, definitio non est. Quanquam autem definitio non sit, sed propria amio, Vera tamen erit demonstratio.
A. Erit, modo ipsa passio fuerit prius demon
B. Demonstrata est Capite xxxiii, per proposutionem I Elem. i. Euclidis, nempe, δι quatuor quantitate fuerint proportionales, factum ab X
158쪽
l46 EXAMINATIO ET EMENDATIO DIALOGUS tremis inpuatur facto a mediis, et contra. Sed hoc Euclides in lineis, Wallistus in numeris demonstrat. A. Quid opus erat λ am numerorum rationes omnes accommodari possunt lineis, quanquam contra, non omnes rationes linearum competant numeris. Sunt enim lineae multae inter se incommensurabiles; numeri autem incommensurabiles esse non possunt. Sed videamus ipsam demonstrationem Capite tricesimo secundo, quo amand mur, nihil est quod eo respicit. B. Quaere in Capite tricesimo tertio, quod totum est de continue proportionalibus Lege propositionem vicesimam primRm. A. Continue proportionalium, si duorum quorumvis rectangulum per terminum primum dividatur, prodibit terminus, Qua indeae, sive distantia a primo, inquatur illorum indicibu simulsum tis. Quod Verum est. Dum autem prom-sitionem ejus hanc vicesimam primam percurro,
intelligo quid significant symbola propositionis SeXagesimae octavae ejusdem Capitis. am )AR4 AR hoc significant, quod diviso numero qui fit ex Α' in , et ex producto AR multiplicato
per potestatem cujus index est , quotiens erit factum ex A in potestatem cujus index est 3. Quod non negatur. Sed hoccine est demonstrare, nimirum rem ita obscure enuntiare, ut a nemine intelligi possit, nisi qui non modo illius norit symbola, sed etiam methodo naturali idem potest demonstrare λB Etsi propositionem Veram esse ex tua perspexi demonstratione, nescio tamen an illius demon-
159쪽
stratio sit legitima. Lego enim symbolica ista ut iiΑLocus pueri Homerum, quibus ad singula Vocabula adeun- dum est lexicon. Illud autem AR ne in lexico quidem est. A. Si quidem Vera demonstratio. At quomodo transferri potest ad proportionales, quae ne continuae sunt, nec in eadem serie continuarum, quales sunt 2 4 : 3 6 vel 3 9 I 2 ubi distantiis et indicibus locus non est λ ondum ergo propositionem illam Eucl. i. 16 demonstravit. B. Redeamus ad Caput xxxv, unde frustra digressi sumus. A. Imo transiliamus et illud, et proximum illi xxxvi. Credo enim Elementum quintum ex hypothesi, quam ille assumpsit, aut recte demonstratum esse, aut si vitium aliquod irrepserit, praeter ipsam scriptionem symbolicam, non illius imperitiae, sed typographo Vel transcriptori tribuendum esse. Est autem Caput xxxv ejusdem Capitis xxx brachystenographia Caput xxxvii unicum habet problema hoc datis tribus proportionalibu innenire quartum quae est Regula Aurea Cujus constructio haec est tertiua multiplicetur per ecundum, et pro eius diridatur per primum. Quae Vera, et vulgo recepta est. Demonstran autem sumit, quod Capite xxv loco definitionis nullo jure habuit, ubi quotientes uni aequales, ibi ratione sunt eaedem et ubi quotiena major eat, ibi major ratio: tibi minor, minor. B. Si sint duo quotientes aequales, exemplica a numero , qui est quotiens divis 20 per 5,
aequalis sit , quotiens divisi I 2 per 3 dicit ergo ad 4 esse in eadem ratione quod non intelligo,
160쪽
DIALOous nam aliquid deest Forte hoc vult eandem esse rationem 20 ad 5, et 1 ad 3; et mi A. A. Improprie quidem loquutus est Verum autem est quod demonstrare voluit, nec fecit. Postquam enim dixisset, cum sit A c: B: β, subjungit, Loces quod nondum constat, sed erat prius demonstrandum Argumentatio ex concessa hypothesi satis procedit; sed demonstratio non St. B. Regula Aurea quomodo aliter demonstrari Potest λA. Eo modo quo demonstratur ab Euclide Elem. ix is . Vel sic numeri plani sunt rectangula sub rectas, quarum partes aliquotae numerantur. In duobus autem rectangulis aequalibus, ut latus unum primi ad latus unum secundi, ita latus reliquum secundi ad latus reliquum primi. Quare in numeris planis aequalibus, est ut factor unus primi ad factorum utrumvis secundi, ita coefliciens secundi ad coeffcientem primi. Si dentur ergo tres numeri Α, Β, C, et quaeraturi; quia factus ex
in D sequalis est facto ex B in C divisoque Dpera proveniet , etiam diviso C per A pr venit idem D. Quae est Regulae Aureae demonstrationaturalis. Nullus enim numerus rerum aequalium, quales sunt partes aliquotae, multiplicatus per numerum, producit numerum alium quam numerum rerum numeratarum; propterea quod ratio aequalitatis, cum ipsa non sit quantitas, non addit neque
detrahit quantitati rationum, quam habent ipsi
B. Satis clare. Sed putaram potuisse fieri aliquanto brevius. A. escio, nec credo melius est autem quod probandum susceperis, pluribus verbis manifeste