Thomæ Hobbes Malmesburiensis Opera philosophica quæ latine scripsit omnia ...

181쪽

Capitibus xii et xiii argumenta, quae adducit. DIALOGUS iiihil amplius probant quam quod angulus OntRC-tus anguli rectilinei non est pars quod non negatur. Capite xiv argumenta explicat desumpta ex Optica Vitellionis, ut ne hujus quidem philosophiae Partis ignarus esse videretur sed ab illis nihil aliud derivari potest, praeterquam quod angulus contactus angulo rectilineo nihil addit. Quod quidem fieri potest, ex eo quod quantitati nihil addit

non modo quantitas nulla, sed etiam quantitas heterogenea. ΡOStremo, capite xv respondet ad Clavi quaedam corollaria. Quorum unum est, quod si taliqua quantitas continue et infinite augeri, et tamen augmentum illiu quantumcunque minus 3 per erit decremento Qua quod quidem eo sensu quem hoc loco habere debet, dictum est plane absurdum. Alterum, tra iri mage a minore ad majus, vel contra, et per omnia media οῦ nec tamen per aequale quod est absurdissimum. Hiccine fuit qui adeo superbe insultaverat Ios Scaligero, quod dixerat latera decagoni, Ora egreperimetro circuli circumscripti st Quod quidem absurdum erat, sed non tam quam monstrum hoc Clavii propter quod geometriam ipsam non magni facerent homines non geometrae. t notat hoc non ut absurdum allistus, sed ut falsum. B. Restat, quoniam angulo contactu quantitatem tribuis, sed anguli rectilinei quantitati heterogeneam, ut ostendas quare sit heterogenean et quamenSura quantitates duorum angulorum contactus POSSint mensurari. Primo autem, quid est illud esse homogeneum ' Et quid est esse heterogeneumst A. Homogenea quantitate sunt, quarum men-

182쪽

l70 EXAMINATIO ET RΜENDATIO DIALocus Surae applicari possunt una ad alteram, ita ut con-

gruant. Itaque cum linea lineae applicari possit, et superficies superficiei, et solidum solido applicari concipi potest, erunt quantitates eorum homogeneae. Item quia quantitas temporis per lineam mensurari potest, et linea lineae applicari potest, erit quantitas temporis quantitati lineae homogenea. B. An tempus et linea congruere inter se pos- Sunt λA. Non. Nec id dixi sed mensuram lineae, et

mensuram temporis, quae ambae sunt lineae, com uere posse. Etiam motus et ponderis quanti tales ad lineas reduci possunt, et proinde eorum quantitates homogeneae sunt.

B. Quid ergo homogeneum non est λ amsolidum et linea ad numeros reduci possunt; est

autem numerus numero homogene . A. umerus numero, Si quae numerantur sunt

homogenea, homogeneus est alioqui heterogeneus, ut duae lineae et duae superficies. is enim numeri ex unis homogeneis constent, ipsi homogenei

non sunt. umerus enim omnium rerum est com-

mimis; et lineae sunt numerus linearum, quadrata numerus quadratorum, fractio numerus partium. Praeterea, angulus rectilineus cum angulo rectilineo congruere potest, cum possint per arcum circuli ambo mensurari arcus autem cum arcu ejusdem circuli congruere potest. Anguli autem contactus mensura cum anguli rectilinei mensura congruere non potest, quia angulus rectilineus non mensuratur per lineam nisi circularem, et quidem quatenus circularem mensura autem anguli contactus est linea recta quatenus reCin.

B. Quomodo id fieri potest

183쪽

A. Circulum non modo circino describi posse DiAL-us nosti, sed etiam continua flexione rectae. Ut enim

recta linea stangi potest in polygonum quotvis laterum aequalium ita flecti potest, id est, in omni parte

stangi, in polygonum laterum numero infinitorum. B. Scio. A. Prior generatio lineae circularis est generatio ab initio, nulla praeexistente linea recta posterior

praeexistentis rectae mutatio in curvam circularem. B. Ita est. A. Sunt autem curvarum aliae magis, aliae minus curvae. Itaque et curvitati omni sua est certa quantitas. B. St.

A. Et curvitati circulari sua certa quantitas. B. Etiam. A. Si quaeratur autem duorum arcuum aequalium in diversis circulis, uter sit magis cumuS, quomodo

respondebitur λB. escio, nisi quod mihi quidem videatur minor circulus esse magis curvus. a legi in Galileo quod arcus circuli, si radius esset infinitus esset

linea recta. A. Ego vero omnium circulorum perimetros, Si totas spectes, dico seque esse curvas item partem

perimetri unius, imilem parti alterius esse seque curvam. ec dissentio a Galileo. am si in perimetris diversorum circulorum arcus SumpseriS aequales, magis curvus est is qui sumitur in perimetro minore. Id quod voluit Galileus. Verum si sumpseris arcus proportionales, aeque curvi sunt; ut quorum curvitates oriuntur a totidem rectae lineae actionibus, in partibus totidem, quae sunt numero infinitae, proportionalibus.

184쪽

DiALocus B. Manifesta haec sunt, sed non mihi videntur satis respicere ad angulum contactus. A. Dico igitur quantitatem anguli contactu esse quantitatem curvitatis perimetri, quam contingit. Vide figuram hanc, ubi centris Aet B descripti sunt duo circuli D, CE contigui in C. Ducta autem recta CD secans circulum alterumina, alterum in D, non modo Stendit quod similes arcus CE, Daequalem habent curvitatem, sed etiam quod illa curvitas distributa sit in majori circulo per majorem arcum quam in minori contra Vero, partem CE in minore perimetro magis curVam eSSe quam

pars perimetri majoris, ut CF ipsi arcui CE aequalis, idque in ratione chordae ni oris CD ad chordam minorem Ε, id est in ratione radii AC ad radium BC. B. ihil clarius. Sed quid haec ad angulum

Contactus λA. Ducatur ergo tangens CG determinabitque illa quanto arcus Ε, propter curvitatem suam in arcu minore, magis recedit a tangente quam arcus CD, propter cumitatem eandem in arcu majore. B. Video reliqua. Recta a puncto contactuS, cum secet omnes circulos interiores transeuntes per C proportionaliter, determinabit quantitatem curvitatis arcuum aequalium in unoquoque circulo sumptorum et proinde earum curvitatum est menSura quae mensura cum sit linea recta ED, partes ejus omnes, applicatae Sibi invicem, aequales cum aequalibus congruent. Quare anguli contactus inter se homogenei Sunt, habentque quantitatem, et sunt angulis rectilineis eterogenei Perge modo.

185쪽

A. Hactenus tractatus De Angulo Contactu8, DiALocus quem Vides ejusdem esse farinae cum opere ejus

arithmetico integro. B. rogrediamur ergo ad tractatum de Sectionibu Conicis, qui distinguitur in tres partes; quarum prima prooemium habet et propositiones viginti secunda, propositiones viginti et tres: tertia, propositiones sex. In prooemio plus promittit quam post praestat. Supponit autem propositi prima planum quodlibet consari ex infinitis parallelogrammis Equalibuδ, quorum quidem ingulorum altitudo sit totius altitudinispara aliquota in ite parva Praetereo, quod si planum parallelogrammum non sit, conflari ex parallelogrammis non potest Praetereo item, quod planum finitum ex infinitis parallelogrammis conflari non potest. Ille autem hoc voluit conflari planum ex infinitis numero parallelogrammis idem putans esse infinita parallelogramma, et infinita numero parallelogramma Id quod notare volo, hoc est, quod supponat partem aliquam aliquotam esse infinite parvam nam est contradictio in adjecto, non minor quam si quis diceret curvam aliquam lineam esse

rectam. Cum enim dicit partem aliquotam dicit quantitatem in quantitates divisibilem perpetuo divisibiles. Si ergo pars aliquota sit infinite parva, erit illa nihil. Et quia pars aliquot ad totum est

ut unum ad numerum, erit quoque, ut nihil ad quantitatem, ita unitas ad numerum onne hoc aeque absurdum est, ac illud Clavii tranair po ea minore ad majua, nec tamen per aequale Et multo magis absurdum quam ulla aut caligeri Conclusio, aut Orontii ΘΛ. Ita est eque recte dicit consentaneum

186쪽

174 ExΑMINATIO ET RΜENDATIO DIALOGus esse hoc geometris indivisibilium Cavallerii, qui

per indivisibilia intelligit indivisa.

B. Falsum quoque est quod dicit, planum quodlibet conflari ex infinitis parallelogrammis sequalibus. eque enim trianguli constant ex parallelogrammis, sed ex trapegiis neque ullum aliud planum ex parallelogrammis constat, praeter parallelogrammum. eque sequitur ex doctrina mallerii, sicut ex doctrina hac allisti, uillam saec u3cunque plani altitudinem. Propositio ergo prima nihil egit. A. Dicit fortasse idem sentire se quod Cavallerius, nempe esse altitudines suorum parallelo grammorum infinite parvorum non prorSu nullaS, sed valde exigura.

B. Quid ergo opus erat dicere, infinite parva3, cum suffecisset dixisse non consideraturum se illorum altitudines ut quantitate. Deinde Propositione secunda, ubi demonstrare vult triangulum totum aequale esse omnibus basi parallelis, supponitque triangulum divisum esse in parallelogramma altitudines habentia infinite parvas et quia illa parallelogramma sunt arithmetice proportionalia, concludit, et quidem recte, ea simul omnia toti triangulo esse aequalia animadverto, quod si alti tudines nullae sint, ut is supponit, nulla erit proportio arithmetica, nisii, , , , etc., sint arithmetice proportionales. Neque erunt parallelogramma toti triangulo aequalia, nisi infinities nihil possit esse aequale alicui rei neque si per in ite parvum intelligit eriguum, necesse erat facere illa exigua. An in ratione arithmetica non fuissent toti non aequalia, si altitudines supposuisset quascunque Tota ergo haec propositio unicam habet

187쪽

ΜATHEMATICAE HODIERNAE. 75 demonstrationem, quae poterat decuplo esse brevior. DIALosus Itaque quae sequuntur riopositiones iii, iri V et vi, etsi veras habeant conclusiones, vitiosas continent ratiocinationes. Easdem tamen conclusiones nemo non nOVit, nec recte non potest, et breviter demo

strare. Propositio vii praeter terminorum, quibus utuntur scriptores conici, definitiones, unicam habet demonstrationem, et monita quaedam ne non recte intelligeretur, illi qui non satis accurate loquitur plane necessaria Propositio quam demonstrat, haec est planum coni sectionem inciens, at unum eae par elis in Ono circulis ecet aecundum rectam Fatua diametro perpendicularem, etiam reliquo illi parallelo circulo aecabit 3ecundum recta' quin Faorum diametri para telis uni perpendicularea quae per Se Perspicua, nec noVa est. Hanc ergo propositionem, ut non falsa continentem, quod deberi puto absentis symbolorum, dimittamus. A. Expectabam hic ut demonstraret circulorum omnes in cono perimetros, perimetro basis parallelas, coni totius superficiei esse aequales ut ante minuta parallelogramma triangulo toti.

B. Et ego. Sed id forte oblitus praetermisit; nam, propter secundam Arithmeticae Infinitorum, non potuit videre falsitatem. At Propositione tu, eadem illa methodo ostendit semiparabolae planum

ex infinitis constare lateribus quadratorum, arithmetice proportionalium; et recte quidem, modo latus quadrati concedamus esse parallelogrammum. A. Sed illud falsum est. B. Scis autem ex falsis verum, etsi non contra ex Veris falsum, concludi posse. Idem eodem modo

Propositio is probat de conoide parabolico, quod

188쪽

176 EXAMINATIO ET EΜENDATIO DIALOsus constat ex infinito numero planorum arithmetice

proportionalium. Quod concedimus ut verum, sed non ut novum, nec hic demonstratum, nisi illa plana sint cylindrusi Quod tu iterum dices esse

falsum.

A. Quidni λB. Propositio decima est, quod pyrami idisparabolici et plani per axem ecantis communia aecti ea parabola. Quod est falsum, nisi addat quod sectio transire debeat per angulo oppOSitos. Cum enim conoidis parabolici planique per axem communis sectio sit parabola, impossibile est ut idem contingat in pyramidoide, aut ulla alia figura basem habente rectilineam, nempe, Polygonum. A. Propositio xi figuram exhibet aliam novam, quam appellat cuneum parabolicum qui nihil aliud est, ut mihi videtur, quam simpliciter cuneuS, nimirum, prisma cujus basi est parallelogrammum, acies autem linea recta. Quod quidem prisma est aggregatum triangulorum, quorum quidem bases simul omnes faciunt parallelogrammum, Vertices autem lineam rectam. Quae est figura tecti domus. B. emere haec. A. Sequuntur rursus inventa aliena. Itaque Propositio xii ostendit quid sit latu rectum, sive parameter, sive juarta quam Oaaunt ordinatim applicatae. Parameter haec non viam, inquit, oel in conlisectione re incisa cono realiter latit, aediola imaginatione ampletur.-Quod est falsum, natumque ex imperitia hominis in conicis semidocti. B. Quaenam autem est recta illa in coni sectione realiter existens parameter λA. Dicam. Describe parabolam, non nunc, sed cum fueris apud te), et comprehende parallelo-

189쪽

ΜΑΤΗΕΜATICAE HODIERΝ E. I, 7 grammo, cujus uniam latus tanget parabolam in DiALocus vertice et faciet angulum cum diametro Angulum

illum ducta recta secans lineam parabolicam alicubi, divida bifariam, et compleatur parallelogrammum, cujus unus angulus est in Vertice, alter est in linea parabolica. Erit autem parallelograminum illud vel quadratum vel rhombus. Hujus latus est pura- meter. editare, inquam, hoc tecum, et judica an parameter magis sit imaginaria quam diameter, vel alia quaevis linea. st autem ubique ut inter .cepta diameter ad illam, ita illa ad ordinatim applicatam. Id quod allistus enuntiat per quantusmmatis eat vel minor, etc., tantulo, etc. quae VOCOS quantuplum et tantuplum neque Latinae sunt, neque quicquam significant. B.miror certe alienae Latinitatis reprehensorem tam acrem, toties barbare scribentem non enSisse. A. Fieri potest ut linguae Latinae usum aliqua ex parte labefactaverit studium nimium linguae Arabicae. B. on puto. A. roximo loco, quamlibet parabolam cuilibet con aptari posse, puto nam obscure), demon- Strat; neque enim nova res est, neque difficilis. Propositiones decem hujus partis primae reliquae,

ubi de ellipticis et hyperbolicis pyramidoidibus et

cuneis, et de ellipsium et hyperbolarum parametris imaginariis loquitur, eodem laborant vitio. Vides ergo sectiones conicas, quatenus in pSO On consideratas, quam parum intelligit. Quod attinet ad

considerationem earundem sectionum eXtra conum,

ea scribit quae, quia non intelligi, reprehendi non

190쪽

I78 EXAMINATIO ET EMEΝDATIO DIALocus pomunt. am theoremata, excepto quadragesimo

septimo, quod suum est et falsum, ab aliis Vere demonstrata sunt Wallisti autem demonstrationes, propter densitatem symbolorum, non PParent. Νeque quicquam habent, etsi Verse Ment, Praeter analysin alienae syntheseos. Ea igitur transilio,

properans ad tractatum de Arithmetica Insnitorum, quo nihil unquam quisquam vidit in geometria

turpius.

B. Incipiamus ergo ab Epistola Dedicatoria. A. on est necesse. ihil enim continet praeter ordinem suarum ipsius cogitationum, quibus perductus est ad absurdam illam ejus circuli quadraturam. eque in tractatu ipso ulterius legam quam ad propositionem xli quia priores has profundamento ponit omnium quae sequuntur. Prima propositio est lemma, vel potius problema hoc: Si proponatur serie quantitatum arithmetice

proportionalium, ive juata naturalem numerorum conδequutionem continue creδcentium, a puncto velo Ceyphra seu nihil cinchoatarum puta , I, 2, 3, 4, etc. propοaitum sit inquirere quam Mibet rationem

earum omnium aggregatum re aggregatum totidem maaeimo aequalium. B. Rationem habet tota series ad numerum terminorum multiplicatum per maximum, eandem quam habet semissis ad integrum. Summa enim terminorum omnium, ut in hac Serie , i, 2, 3, 4, aequalis est producto e numero terminorum ducto in semissem maximae. Itaque cum termini hic sint quinque, et mmimae emissi 2 erit productus ex

24 5 sequalis l0. Est autem 10 Summa terminorum omnium. Idem contingeret in alia quavis progressione arithmetica incipiente a cyphra, ut