장음표시 사용
191쪽
ΜATHEMATICAE HODIERΝAE. I, 90, 3, 6, 9 ubi summa maximae et minimae, id est 9 DiΛLocus ducta in semissem numeri terminorum 2 facit 8, semissem ductivi in numerum terminorum 4. Geometrice etiam probari potest, eodem argumento
quo triangulum ostenditur parallelogrammi sui esse dimidium. A. otissimum est. Sed non hic de veritate
quaeritur conclusionis, sed demonstrationis. amper inductionem probat Inductio autem demonstratio non est, nisi ubi particularia Omnia enumerantur, quod hic est impossibile. Itaque cum post exposita aliquot particularia subjungit: Et pari modo quantumlibet progediamur, prodibit emper
ratio gubdupla : libenter velim scire, unde id scit, nisi causam proferat aut sciat quare necessario ita est. Secunda propositio eadem est cum prima, et propterea falsa, ut alio tempore ostendetur), nisi quod addit idem contingere, etsi numeru terminorum sit infinitus. B. Id certe falsum est. Siquidem enim numerorum termini numero infiniti essent, etiam terminus maximus solus per se infinitus esset, et summa terminorum numero infinitorum semissis
esset infinitae summae infinities multiplicatae. A. on ille primus se induit absurdis quae circumstant contemplantes infinitatem. Propositio tertia haec est Triangulum adparallelogrammum, super equali bagi inque altum est ut 1 ad 2. Imo Vero, non ergo, Sed propter causas ab Euclide dictas Elem. l. prop. l). Idem dicendum est ad propositionem quartam de conoide parabolico, propter causas ab aliis exhibitas. Propositione quinta, eadem methodo probare vult lineam spiralem esse
192쪽
I80 ExΑΜΙΝATIO ET EMEΝDATIO DIALocus in arcum circuli sibi respondentem, ut I ad 2.
Quod est falsum. B. Etiam confitente allisio, qui in scholio ad propositionem iii, per spiralem intelligere se dicit arcuum omnium infinite parvorum aggregatum. A. Sed in propositione hac loquitur manifeste de spirali descripta ab Archimede Propositiones ergo
vi, vii, iii ix X, i, ii, iii, sunt falsae, ut quae ab hac dependent. Praeterea, quam abSurdum est lineam, constantem ex infinitis numero arcubus infinite parvis, appellare spiralem Quae si regulariter sive regulari motu generetur, necessario erit arcus circuli. Itaque etiam propositiones iv, XV, xvi, Hii, viii, quae fundantur super hanc ejus spiralis interpretationem, sunt omnes falsae. Νeque ductae a centro ad aequales illos exiguos arcus, erunt arithmetice proportionales. Comparata haec ad sequentia leviuscula sunt. B. An pejus in geometria esse potest, quam facere spiralem constare ex arcubus circuli, iisdemque a rectis e centro interceptis arithmetice
proportionalibus, quique etiam aequales efficiunt angulos λA. Satis quidem absurda illa sunt. Sed videamus et haec, propositionis i lemma.-S pro O- natur eri suantitatum in duplicata ratione arithmetice proportionalium, rive juaeta eriem numerOrum quadraticorum continue re centium, a puncto
ueli inchoatarum, ut , I, 4 9, 16, etcu pro O3itum it inquirere quam habeat illa rationem adaeriem totidem maxinu nequalium. Fiat investigati per modum inductionis, ut in propositione
193쪽
Et te deincepa. Ratio provenien en ubique major quam subtripla, aetici. --δ- autem perpetu deerracit, prout numeructerminorem augetur Puta , , , etc. aucto nimi myractionis denominatore, in con8equente rationis, in ingulis locis numero enario, cui patet Q ut sit rationis provenientis aece88M Ura ubtriplum, ea quam habet unita ad aeaetu lum numeri termianorum μοδ in adeoque. B. Permitte mihi eadem una tecum inspicere.
A. Illud A quid sunt Fractiones an rationes λB. Utrum vis. osti enim huic scriptori eandem
esse rem, rationem et fractionem. A. Est ergo Dactio, et ' Dactio, et o Summa earum, eademque aequalis h. B. Iin.
A. Sed hactio Λ est nihil ergo sola Dactio per se aequalis est stactioni , Satin hoc absurdumλB. Ita est; sed non magis quam doctrina ejus de spirali. t fortassis unica est fractio, et proinde aequalis L et illa sequalis , et haec aequalis ἱ- Quid hic absurdi est λώ. onne vides, dum copulatas quantitates pro fractione una habes, facere te 'τ, id est ψ,
aequalem B. Video. Sed etsi ponat E pro unica frac
tione ponit fortasse P pro duabuS. A. Esto Quomodo ergo unica ratio 3 ad 6
194쪽
DIALOGus aequalis est duabus rationibus 1 ad 3 et I ad 6, quod ille dicit; cum rationem 3 ad 6 superare dicat rationem ad 3 ratione 1 ad 6JB. onne recte λA. inime. Quoniam enim J est ratio 3 ad 6, eademque aequalis duabus simul rationibus 1 ad 3 et 1 ad 6 si componantur ratione 1 ad 3 et 1 ad 6 erit ratio proveniens per illum ratio 3 ad 6.
B. Recte. A. Componuntur autem rationes quando rationum quantitates, id est, tam antecedentes quam consequentes ipsarum, inter se multiplicantur.
Rationes ergo 1 ad 3 et 1 ad 6 compositae, faciunt rationem 1 ad l8. Vel sic fiat ut i ad 6, ita 3 ad aliam, et oritur S. Et proinde, expositis his numeris 1, 6, l8, priore duo habent rationem 1 ad 6, et posteriores rationem ad 8, sive I ad 3. Quare ratio aequalis est rationi 1 ad 18. Est ergo, per allistum, eadem ratio 3 ad 6 quae Padi 8. B. onstri simile est. A. Similiter, rationem 5 ad 2 aequalem facit rationibus 1 ad 3 et 1 ad l2, simul sumptis quae duae rationes compositae faciutit rationem 1 ad 36 itaque 5 ad 2 eandem habet rationem, quam ad 36. B. Itaque quicquid ex hac operatione inferetur,
pro indemonstrato habendum est. A. Inferetur autem primo, propOSiti SequenS, nempe ViceSima.-Si pro Onatur erie quantitatum in duplicata ratisme arithmetice proportionalium, ire uaeta eriem numerorum quadra-
195쪽
ΜATHEΜATICI HODIERNAE. 183ticorum Ontinue crescentium, a puncto veli in DIALocus
choaturam ratis quam alet illa ad aeriem totidem m-imae aequalium, Miriplam Uerabit: ritque eaeceou ea ratio, quam habet unitas adaeaetustum numeri terminorum Oδι λ; ive, quam
habet radiae quadratica termini primi post , adgeatuplum radicia quadrati e termini marimi.-Clare hic loquutus est. B. Intelligo. Rationem, quam habet serieserescentium ad seriem totidem maximae aequalium, majorem esse dicit quam ratio I ad 3, tanto quanto est ratio unitatis ad sextuplum numeri terminorum post , hoc est, in serie ), rationem 5 ad 2 majorem esse ratione lis 3 sive 4 ad 12, tanto quanta est ratiora ad 12. A. Recte intelligis. Est autem falsum. amratio 5 ad 2 aequalis esset ambabus simulo tionibus I ad 3 et 1 ad 12 quae ratione compositae, juxta definitionem Elem vi. 5 faciunt rati nem 1 ad 36. Est ergo ratio 5 ad 2 aequalis rationi I ad 36. Vel si interi et i interponamus 4, ut sint tres quantitates 5, 4, 12 ratio primae ad tertiam 12 major erit ratione 4 ad I 2, id est, ratione subtripla, tanto quanta est ratiora ad 4. Itaque, per bonum Vestrum professorem, eadem est ratiora ad 4 et 1 ad 12. B. Error manifestus est, et quidem major isso, quem erravit in doctrina spiralium. Quod non facile credidissem.
A. Vide jam id quod inde infert, nempe, si Series
haec quadratica esset infinita, summa crescentium ad summam totidem maximarum esset accurate iuratione 1 ad 3. Sic enim probat.-Cum autem, creδcente numero terminorum, ea ceraua ille repra
196쪽
l84 EXAMINATIO ET EΜΕΝDATIO DiALocus rationem gubtriplam ita continuo minuatur, ut
tandem quovis aggignabili minor eivadat, ut patet: ε in in itum procedatur, proris evanituru οι-
Adeoque, i quae est propositi xxi proponatur series infinita quantitatum in duplicata ratione arithmetice proportionalium, in juxta retem
numerorum quadraticorum, continue re centium,
a puncto alvei inchoatarum eri tua ad seriem totidem mammae aequalium, ut 1 ad 3. B. Videtur sane excessum rationis, si perpetuo minuatur, debere tandem evanescere saltem tam exiguum esse, ut nullius deberet esse considera tionis. Itaque pereunte excessu rationi supra subtriplam, relinquetur praecise subtripla. A. Ita certe, nisi una crescerent quantitates
comparatae. Vide seriem primam T . onne majorem rationem habet 0- 1 ad 1 ci, quam 1 ad 3, id est, quam ratio subtripla
B. Ita quidem, sed ut addita ad consequentem unitate esset subtripla. A. Deinde, vide seriem secundamu E. Nonne ratio serie crescentis 5 ad seriem maximarum 12, major est quam subtripla λB. Etiam. Ita vero ut addito ad consequentem numerora fiat subtripla. A. anifestum ergo est, si procedatur in infini
tum numeru CreScentium major erit numero subtriplo maximarum eritque exceSSus numerus major
quam ut possit dici. Tantum abest ut series crescentium, quantuini procedendo, possit esse subtripla seriei maximarum. B. Error est manifestissimus. A. Ex propositione hac dependent non modo omne Sequentes Sque ad 39, sed etiam omnes
197쪽
ΜATHEΜATICAE HODIERNAE. 185 illae quibus rationem determina parabolarum et DIALOGus paraboloideum ad circumscripta parallelogramma B. Sed rationes, quas assignavit, Verse Sunt et a mathematicis receptae. A. Vere quidem, et jamdiu circumlatae sunt, sed sine demonstratione. B. Demonstratae extant ab Hobbio, cap. vii libri DE CORPORE, editione Latina. A. ropositio xxxix: Si proponatur eris8 quantitatum in triplicata ratione arithmetice proportionalium, sive juxta eriem num erorum cubicorum, continue creacentium, a puncto veli inchoatarum,
puta ut 0, , 8, 27 64, etc., propOδitum it inquia rere quam habeat illa rationem ad aeriem totidemmaaeimo aequalium. Fiat investigatio per modum inductionis, ut in prop. Let ix Eritque
Et aio deincepa. Ratio provenien rat ubique major quam sequadruplu, eua. Eaec δua autem perpetu decre3cit, Prout numerua terminorum augetur, puta etc. aucto nimirum fractionis denominatore, ive OnδequEnte rationis, in inguli locis, numer quaternario, cuit patet9, ut ait rationis provenienti exce83- upra
Rubquadruplum, ea uam habet unitas ad quadruplum numeri terminorum post Adeoque. B. Eadem est methodus quae in propositionexix Ati et iidem errores λA. Plane idem. am Si m - ratione Sint, impossibile est ut ratio 2 ad 4 sit aequalis duabus
198쪽
Draiccs rationibus et Lad 4. am ratio 2 ad 4 plicata esset rationis 1 ad 4. Sed ratiora ad loduplicata est rationis I ad 4. Esset ergo ut 2 ad 4, ita lis lG. Conclusio autem, quam deducit ex hac propositione xxxis, est propositio xl, nempe haec: Si pro natur series quamliιatum in tristicata ratione arithmetice pro ortionalium, me juaeta seriem numerorum cubicorem contin- cre centium, a puncto vel o inchoatarum ratis, quam
habe illa ad seriem totidem maxin P aequialium, subquadruplum superabit eritque excogus ea ratio, quam habet unitas ad quadruplum utimeri terminorum post in sire, quam habet radiae cis a termini primi po/t , ad quadruplum mineis cubico termini maximi. B. Erit, inquit, excessus rationis quam habet series crescentium ad totidem maximaS, SUPru rationem subquadruplam, ea ratio quam habet unitas ad quadruplum numeri terminorum post . Id est, in hac serie Azz ratiora ad 24 superabit rationem Subquadruplam, et excessus erit ratiora ad 8.A. onne ergo ratio 1 ad 8, compOSita eum ratione subquadrupla faciet rationem Mad 24 λB. Certissime. A. Sed ratio I ad 8, et ratio G ad 24, id est, subquadrupla faciunt rationem 6 ad l92. Est ergo ut 9 ad 24 ita 6 ad 92. Vel si ponantur ordine hi numeri 9 6, 24, ratio G ad 24 est subquadrupla. Superat autem ratio Mad 24 rationem 6 ad 24 subquadruplam, ratione 9 ad 6. Est ergo ut 9 ad 6itam ad 8. Siccine solent γε armet ProfeSSOreS
B. Eundem errat errorem, nunc et Bnte. A. Deinde quod infert: Cum autem, creδcente
199쪽
MATHEMATICAE HODIERNAE. 87 numer terminorum, eaeceasus iue Ura rationem DIALOGUS subquadruplam ita continuo minuatur, ut tandem
quolibet assignabili minor evadat, cui patet9; ii in itum procedatur, 'Oraua evanitur- δι. Aiaeoque quae est propositio lih a proponatur serie sis ita quantitatum in triplicata ratione arithmetice pro Ortionalium, sise uaeta eriem
puncto eum inchoatarum eri ille ad seriem t ti m maaeimo aequalium, ut 1 ad 4 falsum est. Est enim in prima serieta, Summa crescentium, major quam subquadrupla totidem maximarum, tanto quanta est semissis unitatis In serie se-Cunda, Summa crescentium superat subquadruplam maximarum tribus unitatibus. In tertia, novem unitatibus etc. Quousque procedendum eSSe Putas, ut Summa crescentium sit tandem maximarum Sub-
quadrupla ΘB. Quanto plus proceditur tanto ejus. r positio est falsa. A. Deinde propositione xliii Pari, inquit, methodo invenietur ratio orie ini inito quantitatum
in ratione quadruplicata quintuplicata, eaetupliacata, etc. arithmetice proportionalium, a punctoaec inchoatarum, ad eriem totidem maaeiminaequalium nempe in quadruplicatara ad 5, etc. B. Falsum est ne examineS. A. Imo vero, quid afferant novi quae sequuntur, ulterius e quaeramus cum ab his dependeant
B. e imaginari quidem possum quicquam, quod aut allistus aut eorum ullus qui libros ejus literis ad ipsum scriptis laudaverunt, contra haec tam pei Spicue demonStrata afirre pOSSunt.
200쪽
DiΑLocus A. Extantne geometrarum literae, quibus ge- Ometria haec Wallisti comprobatur λB. Extant quidem, editae ab allisio altera Hugenii, altera nescio cujus, sed dicunt aliqui esse Schootenti, vix Latina. raeterea Robervallus, professor arisiis celeberrimus, idemque alias in demonstrationibus propriis satis cautus, chartulae cujusdam manuscriptae exemplaria aliquot in Angliam transmisit, in qua doctrinam de comparatione parabolarum et conoideum ex illis factarum ad parallelogramma et cylindros circumscriptos, in hoc tractatu De Arithmetica Infinitorum expositam, negat ab allisio primo, sed a se inventam SSe serit. Quod non fecisset nisi doctrinam ipsam
A. irandum non est si illi, qui maximam operam in eo posuerunt ut rationem arcus ad radium ad numeros reducerent, methodum hanc symbolicam incaute amplexi sint. Sed ut Robervallus, qui
geometrarum primus eSSe Vult et fere est, paralogismos tam crassos videre non potuerit, profecto mirandum eSt.
B. Habet hoc peculiare Robervallus cum egregium quis a se inventum theorema in publicum emiserit, ut statim distributis chartulis dicat idem a se inventum esse prius. Itaque theorema de solido hyperbolico, inventum a Toricellio, poStquam esset editum ad se rapuit; et nunc methodum de comparatione paraboloideum, editam a Wallisio et solo Wallisio dignam suam haberi incautus petit. Idem Hobbium, qui aequalitatem inter spiralem et parabolicam primus vidit, quia ipse eandem prius demonstraverat appellat plagiarium.