장음표시 사용
211쪽
ΜΑΤΗΕΜATICAE HODIERNAE. 199 in puncto a. otus enim centri non variat alti DIALOGustudines circulatione acquisitas, quae semper sunt in altitudinum parallelis. Deinde radio 2 inducatur arcus circuli, secans parallelam altitudines secundam in b. Quando ergo punctum B propter motum circularem deberet esse in suo arcu ad 2 erit propter motum rectum centri in eadem parallela altitudinis abra eritque arcus, a sequalis arcui Ba et arcus 34 sequalis arcuitu. Item si radio 3 describatur arcus c, secans tertiam altitudinis parallelam in , erit arcus e tripla arcus Bl. Eadem methodo constituuntur reliqua puncta
d, e , g, λ μ λ per quae puncta cylclois debet
transire Quae est descriptio cycloidis. Consectarium primum. anifestum hinc est, arcu Omnes, a, 3b, c, usque ad arcum semicirculi GF, esse in ratione continua arithmetica. Consectarium secundum. anifestum quoque est, si plures fierent divisiones, accuratiorem fore cycloidem ratione arithmetica semper servata: et denique, si arcus ducerentur eadem methodo tot quot duci possibile est, impleretur spatium planum comprehensum duabus lineis curvis, nempe arcu semicirculi GF, et linea cycloide d B, et denique recta BG.
Spatium trilineum inclusum cycloide et duabus rectis BG, GF, sequale est semicirculo ABCD.
Νam arcus FIR I xk, ει, h, et caeteri, secundum rationem arithmeticam perpetuo decrescentes, aequales sunt totidem arcubus semici culorum integris, descriptis a radiis, quorum maximus quidem esset EG, caeteri vero minores
212쪽
200 ExAΜINATIO ET EΜENDATIO DIALOGus decrescentes, scilicet secundum eandem rationem rithmeticam, donec evanescerent in puncto .
Sed arcus hi constituerent semicirculum, modo radius EG in partes aliquota divisus sit, in quot partes dividi illum est possibile constituerent, inquam, semicirculum E GH F. Quare compositae
et caeteri, omnes eadem methodo descriptibiles, qui dupli sunt arcuum GH F, I, h, i ete , cuncti constituent spatium duplum semicirculi GH F. Sed spatium inclusum cycloide et arcum H et recta BG, est ipsum spatium quod constituitur a lineis illis compositis BGI F, B λἰ, etc. Est ergo spatium inclusum cycloide et arcum H et recta BG, duplum semicirculi EGΗF. Reliquum ergo spatium inclusum cycloide et duabus rectis G,
FG aequale est semicirculo. Quod erat demonstrandum.
Mectarium . Sequitur hinc, spatium Omprehensum cycloide et duabus rectis F, DB, triplum esse semicirculi genitoris. am rectangulum totum quod fit a semiperimetro, id est a DF in diametrum BD, est semicirculi quadruplum. Conaeet ii. anifestum quoque est, patium duabus curvis, nimirum cycloide et arcu BCD, et recta DF inclusum, duplum esse semicirculi genitoris ABCD. Est enim semicirculus ABCD unum, quorum trilineum inclusum cycloide et rectis DF, DB est tria. Consect iii Sequitur etiam, rectam quamlibet parallelam basi DF et interceptam a cycloide et arcu BCD, aequalem esse arcui sibi contiguo, Sumpto a contactu ad punctum B. Tota enim
recta D aequalis est toti arcu DCB, per hypo-
213쪽
hensum cycloide, arcu BCD, et recta FD, duplum '' est semicirculi ABCD, et recta FD dupla est j c, erunt singulae rectae singulis arcubus propterea quod similiter generantur aequales, id est, rectalli aequalis arcu B II, rectarat aequalis arcui Blo et sic de caeteris. Consectarium hoc tertium etiam sic demonstratur
Sumpto quolibet arcu B 3, cujus sinus productus sit ad cycloidem in , et pars intercepta sit 3 c.
Quonium ergo, per constructionem, quo tempore per motum circularem punctum B deberet esse in 3, eodem tempore per motum rectum debet descripsisse rectam arcu B 3 aequalem, erit rectara cipsi arcu B 3 sequalis. Itaque si vera sit cyclois, non modo basis ejus DF sequalis erit arcui BCD, sed etiam omnis alia recta inter arcum BCD et cycloidem intercepta basique parallela erit arcui sibi contiguo terminato in B sequalis. Quod si motus centri rectus motu circulari per arcum BCD sit inequalis, erunt parallelae interceptae arcubus suis contiguis proportionales quidem, sed insequales et per consequens, non erite Vera cyclois quam definivimus.
Recta DG dividit bifariam tum triangulum rectilineum BGF, tum partes ejus, nempe spatium cycloidale externum BGF et bilineum BFB. Secet recta DG cycloidem in m. Eritque triangulum rectilineum GH F sequale quartae parti rectanguli BDFG, id est, semicirculo genitori et tria Spatia, nempe triangulum G 6 F, spatium cycloidale
214쪽
DIALOsus externum B FG, et bilineum B PB, inter se aequalia. Rursus, triangulo rectilineo G GF aequale est triangulum rectilineum G 6B. Dividitur ergo totum triangulum BGF a recta DG bifariam. ars ergo cycloidalis spatii comprehensa parte cycloidisime duabus rectis FG, Gm, una cum parte bilinei BFB comprehensa ab eadem parte cycloidis me duabus rectis FG, Gm, aequale est duobus spatiis, nempe cycloidali Gm et parti bilinei m6B. Cum autem triangulum rectilineum G 6 aequale sit spatio cycloidali BFG, ablato communi spatio
aequale spatio FGm, parti cycloidalis spatii externi reliquae. Quare spatium cycloidale ablatum, nempe BGm, aequale est parti reliquae bilinei FG m. Si ostendero jam spatium cycloidale Gm sequale esse spatio F6m parti bilinei BFB, necesse est ut quatuor illa spatia sint inter se aequalia. Dividatur rectam bifarium, id est, in , ducaturque recta Fa secans cycloidem inis eritque triangulum rectilineum GF aequale triangulo F6. Superat autem triangulum GF spatium cycloidale Gm spatio inlineo anm, minus spatio bilineo nF.
Sed triangulum FG triangulo GF sequale)Superat spatium F6 an partem bilinei BFB eodem
spatio trilineo sum, minus spatio bilineo nF. Sunt ergo partes trianguli G6F diremptae a parte cycloidis Fm, inter se aequales. Itaque recta Gsecat tum rectangulum totum G tum partes ejus, etc., bifariam. Quod erat demonstrandum.
Ρartes duae cycloidalis spatii BFG, ut et partes
215쪽
MATHRΜATICAE HODIERNAE. 203bilinei BF diremptae a recta D aequiponderant DIALOGUS super ipsam G. puncto B ducatur rectam secans rectam DG in ipso arcu BCD eritque o ad G propter arcum semicirculi BCD perpendicularis distantia ergo puncti B a recta D est recta O. Item centro si radio EG descripto arcu secantem G inp, recta is erit distantia puncti F a rectam G. Et sunt rectae BO Fminter se aequales. Cum ergo spatia FGm et mGB ostensa sint aequalia, et sequaliter distent a rectam G, quae dividit illa bifariam, etiam super ipsam DG aequiponderabunt. De pa tibus bilinei nempe F6m, BG an eadem est demonstratio. Quare partes, etc. Quod erat demonstrandum.
Per eandem causam demonstrari potest, quod centrum gravitatis etiam spatii cycloidalis intemi BFD terminati cycloide ipsa et duabus rectis BD, DF, est in eadem diagonali DG.
Centrum gravitatis spatii cycloidalis extemi BGF, est in . Iuncta enim F et divisa in I, ita ut I sit ad I ut 2 ad 1, erit punctum I centrum gravitatis trianguli rectilinei BFD, quod quidem triangulum rectilineum BFD duplum est spatii bilinei BFB. Est autem punctum I in concursu rectarumia et D G. Itaque si centrum librae statuatur in V ubi I dividitur bifariam, erit centrum gravitatis bilinei BFB in , ubi GΜ dividitur bifariam. Est enim triangulum BFD duplum bilinei BFB Ru sus, juncta B erit divisa in Μ, ita ut ΒΜ sit ad ΜΕ ut 2 ad 1, nempe in concursu rectarum DG et
216쪽
DIALocus χθ. Erit ergo, centrum gravitatis trianguli BFG. Q L . . Cum ergo centrum gravitatis bilinei BFB sit in , erit centrum gravitatis spatii cycloidalis extemi BGF in , ita ut a, ΜΚ sint aequales. Et propterea, punctum est in concursu parallelaei et DG Quod erat demonstrandum. Meetarium. Centrum gravitatis spatii intemicycloidalis BFD est in puncto , ubi diagonalis DG ita dividitur, ut GL sit ad LD ut Pad 5. Cum enim spatium cycloidale internum BFD triplum sit spatii cycloidalis extera BGF, si centrum libraestatuatur in puncto , erit a triplum distantiae centri gravitatis spatii cycloidalis intem ab eodem puncto . Sed a est triplum L. Est ergo centrum gravitatis spatii cycloidalis interni BFD in L. Dividitur autem recta G, ita ut G sit ad LD ut Tad 5, cum sita in concursu ε et D G.
Quadrilineum GCB, comprehensum duabus curvisim BC, et duabus rectis 6m 6 C, aequalis est quadranti ΑΒ C. Secet enim recta 6 B arcum BC ins. Quoniam ergo triangulum rectilineum ΑΒ 6 est pars octava rectanguli DFG, erit idem sequale quadranti ΑΒ C. blato ergo spatio communi ABqC, erit reliquum spatium 6qC aequale biline B B. Sed spatium 6 an BC, comprehensum a parte cycloidis Ban et duabus rectis an6 6 C, ostensum est aequale quadranti ABC. Itaque, si ipsi addatur spatium 6 C, et eidem auferatur bilineum B qB, erit factum spatium m6 CB, comprehensum duabus curvis B BC, et duabus rectis m6 6 C aequale ut ante quadranti ABC Quod erat demonstrandum.
217쪽
Spatium cycloidale internum BV comprehensum a parte cycloidis Bye duabus rectis AB, Q, superat semicirculum genitorem, tantum quantum est trilineum Vm. Nam per Praecedentem, spatium quadrilineum BC6m aequale est quadranti ΑΒ C. Quare quadrilineum ΑΒ m 6 aequale est semicirculo genitori; cui si addatur trilineum m , fit spatium cycloidale integrum B V. Spatium ergo cycloidalem , etc. Quod erat demonstrandum.
Si ducatur recta DC, et producatur ad BG in juncta F transibit per punctum . Cum enim D transeat per C erit B sequalis diametro BD. Et quoniam B est aequalis arcui semicirculi genitoris, erit G excessus quo arcus BCD superat diametrum BD. Est autem Esemissis ipsius G, et in semissis diametri sive rectae ΒΝ. Quare recta V est semissis rectae G Ν. Etiam FE est semissis FG. Ut ergo G ad G Ν, ita E ad M. Transit ergo F per punctum .
Triangulum rectilineum EFf aequale est spatio intercepto inter arcum quadrantis ABC et ejusdem
Triangulum EF sequale est quadranti ABC. Et quoniam V aequalis est semidiametro, erit triangulum V aequale dimidio quadrato ab G Reliquum igitur triangulum rectilineum Essequale
218쪽
206 xAΜΙΝΑTIO ET EΜENDATIO DIALmus est reliquo spatio, nimirum, spatio quod relinqui- tur, dempto a quadrante ΑΒ C triangulo rectilineo ABC, id est, spatio incluso intra arcum BC et subtensam ejus Quod erat demonstrandum.
Si ductam producatur ad basim cycloidis BFin, erit recta Du duae quintae ipsius DF, sive ipsius arcus BCD. Ostensum enim est in praecedentibus arcum quadrantis, cujus radius est aequalis rectae BD, aequalem esse rectae quae potest decem semiradios, id est, quae potest decem radios semicirculi genitoris. Est autem DF, per constructionem, aequalis arcui BCD. Quoniam autem angulus Bo D in semicirculo est rectus, et quatuor rectae 6 G, 6 B, 6D,6F sunt sequales, item quatuor anguli Do GBo, DB, FDinter se aequales erunt triangula GDB, BDO, Duo similia. Est ergo ut BG, id est arcus BCD, ad DB diametrum, ita BD diameter aditi. Est ergo Di sequalis rectae quam appellavimus Z, sive duabus quintis rectae quae potest decem semiradios, id est rectae BF id est arcus BCD. Quod erat
Centrum gravitatis bilinei contenti linea cycloidale M F et recta BF est in eo puncto diagonalis DG quod ipsam ita dividit in , uti sit ad Guta ad 5. Est enim triangulum AFD quarta pars rectanguli DG id est, aequalis semicirculo genitori et triangulum BFD aequale duplo semicirculo genitori. Oniam autem centrum gravitatis trianguli FD
219쪽
est in recta DG ad I nam Pest ad ΙΑ ut 2 adu, DiALocus
et ostensum est centrum gravitatis figurae cycloi
talis comprehensae cycloide MF et duabus rectis BD DF, esse in puncto L, et bilineum B FB aequale
esse semicirculo genitori): erit bilineum unum, quorum triangulum rectilineum BFD, vel etiam BFG, est duo. Quoniam ergo centrum gravitatis
figurae B FD, quod est tria est in L erunt IL, L inter se in ratione reciproca magnitudinum K et LI. Si ergo punctum L statuatur centrum librae, triangulum BFD et bilineum B FB suspensa in I et K, aequiponderabunt. Est ergo centrum gravitatis bilinei BF B. Quod erat derionstrandum.
Planum inclusum intra arcum quadrantis et subtensam ejusdem arcus est ad trilineum conclusum ab eodem arcu quadrantis et duos radios in angulo recto concurrentes, ut sexta pars semiperimetri circuli genitoris una cum tertia parte exceSSus ipsius semiperimetri supra tres radios ejusdem circuli, ad dictam sextam partem semiperimetri mulctatam duabus tertiis praedicti excessus circuli genitoris supra tres radios.
Centro B radio EG vel EF describatur semici culus GRF, secans Κ in R. Eritque R aequalis C vel ire, id est, tertiae parti excessus rectae ΑΕ, sive arcus GRF, supra tres radios sive triplam AC. Νam ostensum est Prop. ix quod triangulum rectilineum M aequale est plano incluso intra arcum quadrantis et ipsius subtensam, id est, bilineo FR. Ducaturin perpendicularis ad Di S. Iam duplum planum RFR una cum trilineo incluso intra S, R et arcum R, constituunt
220쪽
' gulum rectilineum V et bilineum F sunt duplum bilineum RFR, erit triangulum rectilineum reliquum V aequale trilineo S incluso intra radios FS,AE R et arcum quadrantis FR. Est ergo
bilineum RFR ad trilineum FSR, ut V ad R;
id est, ut sexta pars semiperimetri circuli genitoris una cum tertia parte excessus ipsius semiperimetri supra tres radios ejusdem circuli, ad dictam sextam partem semiperimetri mulctatam duabus tertiis praedicti excessus semiperimetri circuli genitoris supra tres radios Quod erat demonstrandum. Conaret. I. Rectangulum sub R, Maequale
est duplo trilineo FSR; et rectangulum sub FE, sequale duplo bilineo FR; propterea quod sequalia sunt, alterum duplo triangulo VR alterum duplo triangulo F . Conaret ii Rectangulum sub S et dupla R8
est aequale excessu quo segmentum RFR superat trilineum conclusum rectis FS, R et arcu quadrantis FR: quod trilineum est complementum quadrantis ad quadratum radii. Nam rectangulum
FV superat rectangulum SV duplo rectangulo SMini R. Quare triangulum V superat triangulum S ipso rectangulo SMini R.
Trilineum Vm, clausum duabus rectis 6nt, Vel parte cycloidis m, aequale est trilineo V, clauso duabus rectis FE V et parte cycloidis V. Est enim planum, clausum parte cycloidis Vmet duabus rectis 6 6m, aequale quadranti ERF Prop. iii). Ablato ergo communi spatio trilineo VRF, clauso duabus curvis, nempe arcu Met