장음표시 사용
221쪽
parte cycloidis V, et recta)R, restabunt ex altera DIALocus parte trilineum Es, ex altera partem min, inter se aequalia. Quod erat demonstrandum.
Trilineum in aequale est complemento quadrantis ΕRF ad quadratum radii ER. Sunt enim triangula rectilinea F PFR6 aequalia, propter altitudinum inter se, et basium inter se aequalitatem. Quare utrumque eorum aequale est bilineo RFR. Est autem tam triangulum rectilineum GEF, quam trilineum 6Fm, aequale quadranti ERF, et proinde aequalia inter se. Itaque Si auferatur commune triangulum rectilineum VR, restabunt ab una quidem parte duo triangula FV, FR6, quae sunt inter se aequalia, et ambo simul aequalia duplo bilineo RFR ab altera vero parte duo trilinea, nempe triangulum rectilineum VR, et trilineum sim, quae ambo simul aequalia sunt duplo complemento quadrantis ERF ad quadratum
radii R. Sed cum duo triangula V, Rosequalia sint duplo bilineo FR, erit triangulum
Fixaequale uno complementorum praedictorum est enim quadrans aequalis duplo bilineo RFR una cum complemento ipsius quadrantis ad quadratum radii. Quare trilineum in aequale est altero complementorum. Trilineum ergo Vm, etc. Quod
erat demonstrandum. PROPOSITIO XV.
Spatium cycloidale M terminatum duabus rectis B, Aj et curva o mi aequale est quadranti ABC una cum quadrato ΑΒ a C. Ostensum enim est Prop. vi quod quadrilineum
222쪽
dranti ΑΒ C. Cui additum spatium Vm, aequale,
ut in praecedente ostensum est, complemento quadrantis ΑΒ ad quadratum ΑΒ e C sacit planum
comprehensum a duabus curvis B ' et arcu BC, et a rectas C aequale quadrato ΑΒΣC. Cui si addatur rursus ipse quadrans BC, fit totum planum terminatum duabus rectis AB, M, et curva B mi, aequale utrique simul, quadranti ΑΒ et quadrato ABn C. Quod erat demonstrandum. B. Cum rectangulum a C duplum sit quadram iis ΑΒ C, et rectae parallelae, quae complent trilineum BCi, crescant a puncto B secundum progressionem arithmeticam usque ad Cy sequalem arcui BC, ego credidissem, juxta doctrinam Wallisti in sua Arithmetica Infinitorum spatium planum yBCF sequale esse dimidio rectangulo istie C, id est quadranti ΑΒ C. A. Vides ergo regulae Wallisianae falsitatem, et
quod extra figuras rectangulas et earum partes
nihil valet. Gnaeos. i. Si ducatur recta Bi erit factum spatium bilineum Bin aequale dimidio quadrato ΑΒκ C. Ducta enim recta δε perpendiculari ad BG inor, et juncta a, erit rectangulum a contentum subta C, quae sequalis est arcui ABC, et sub radio ae sequale duplo quadranti ABC et proinde totum rectangulum V aequale duplo M dranti una cum quadrato ΑΒ a C. Et triangulum rectilineum M aequale uni quadranti BC una cum dimidio quadrati ABκC. Quare quod restat, bilineum ByB, aequale est alteri dimidio quadrati AB a C.
223쪽
Meet ii Recta in ita secat cycloidem puta DiALosusin, ut bilineum se et trilineum ex sint inter se aequalia quod ex eo manifestum St, quod Spatium cycloidale ΑΒ ms, et quadrilaterum rectilineum ΑΒ es sunt inter se aequalia. naeci iii Triangulum rectilineu α B sequale est bilineos . Est enim triangulum)Cα, cujus latust C aequale est arcui BC, et latus C aequale radio AC, sequale quadranti AB C. Quoniam autem triangulumin B una cum quadrato ΑΒ et C aequale est spatio cycloidali ΒΑ ablato communi triangulo rectilineoXAB, erit reliquum triangulumia Baequale reliquo bilineo mi id est, dimidio quadrato ABn C.
Solidum descriptum a plano cycloidali MFDB,
moto super basem DF per quadrantem circuli, est aequale duabus tertiis solidi quod fit a rectangulo DG moto item super eandem basem et per quadrantem circuli. Intelligatur rectangulum DG moveri super basem DF immotam, donec rectae DB, G, caeteraeque intermediae parallelae descripserint singulae suos quadrantes; quo facto, dictum rectangulum Ginsistet plano chartae perpendiculariter, in communi sectione DF; eritque descripta quarta pars cylindri recti. Erit autem arcus quadrantis, descripti ab unaquaque parallelarum dictarum, sequalis arcui BCD, et quotalibet pars mus aequalis parti cognomini arcus B C. raeterea, Sinus rectus quouelibet partis arcus quadrantis descripti a B, aequalis erit chordae arcus cognominis descripti ab AB. Ubi enim arcus quadrantis arcui semicirculi
224쪽
2l2 EXAMINATI ET EMENDATIO DIALOsus est aequalis, si sumantur in utroque eaedem partes, - quae recta chorda est arcus sumpti in semicirculo, eadem recta erit sinus rectus arcus analogi in quadrante. Itaque si ducatur recta parallela et aequalis rectae DB, terminata in DF et BG, secans cycloidem inra parte duodecima arcus BCD, erit chorda B aequalis sinu recto partis duodecimae arcus quadrantis descripti radio qui sit aequalis rectae DB. Quare si in arcu quadrantis, descripti ai rallela per l, sumatur pars ejus duodecima, et demittatur inde in chartae planum recta perpendicularis, incidet illa in parallelam altitudinis quae transit per I. Similiter ostendi potest, quod si sumatur pars sexta, id est arcus B 2 sinus rectus duarum duodecimarum partium arcus quadrantis descripti a parallela per a ea incidet perpendiculariter in parallelam altitudinis quae transit per . Et sic de caeteris partibus quadrantis. Itaque arcu qu drantum descriptorum a rectis parallelis ipsi DB,
decrescunt in ratione arithmetica, donec evaneScant in puncto F. lana autem quadrantum eorundem decrescunt in ratione arcuum duplicata. Quare aggregatum quadrantum omnium, descriptorum a dictis parallelis sumptis usque ad cycloidem, id est, solidum descriptum a plano cycloidali FDB est ad solidum descriptum a conversione spatii cycloidalis externi BGυ B, et ad solidum descriptum a rectangulo G ut 2 ad 3. Quod
Consectarium i Sequitur hinc quod solidum descriptum a triangulo FBD, solidum descriptum bilineo FB et solidum descriptum a plano cycloidali externo BG B, esse inter se aequalia;
225쪽
et unum quodlibet eorum aequale quartae parti coni 1ΑLocus
ejusdem altitudinis et basis cum cylindro descripto VI a rectangulo DG. Est enim conus, id est, solidum descriptum a triangulo rectilineo G converso Super rectum DF, tertia pars cylindri descripti a revolutioni rectanguli DG super eandem rectam DF. naeet. i. anifestum hinc est eadem methodo demonstrari posse, sumpta quavis alia parallela altitudinis, ut As, terminata ex una parte in diametro DB, ex altera parte in cycloide, et ducta irrperpendiculariter ad BG, quod solidum lactim a conversione plani cycloidalis Bani circa rectam V per quadrantem circuli, aequale esse duabus tertiis solidi facti eodem tempore a conversione rectanguli Ar supra eandem Q.
Centrum gravitatis semicirculi genitoris ABCD ita dividit radium AC in , ut pars AO sita arcus BCD. Si fiat ut tertia pars arcus BCD ad tertiam partem subtensae, id est, diametri BD, ita duae tertiae radii ΑΒ, id est, una tertia diametri BD,
ad quartam, erit terminus illius quartae sumptae ab A versus C centrum gravitatis semicirculi ABCD
lib. i, cap. ix prop. i, Guldini de Centro Graniatatis) Sit terminus ille .
Est ergo tertia pars diametri BD media proportionalis inter tertiam partem arcus C et ΑΟ. Quoniam ergo diameter per superius demonstratain est media proportionalis inter arcum BCD et duas quinta arcus ejusdem, etiam tertia pars diametrierit media proportionalis inter tertiam partem arcus BCD et tertiam partem duarum quintarum,
226쪽
2l4 EXAMINATIO ET EΜENDATIO DIALOGUs sive ex quindecimarum, dicti arcus BCD. Sed tertia pars sex quindecimarum est P. Quare AO
est e arcus BCD, sive rectae ΑΕ vel DF. Itaque centrum gravitatis semicirculi genitoris ABCD ita dividit radium C in , ut pars A sit Q arcus BCD Quod erat demonstrandum. IL Ducta a, recta οὐ parallela diametro
BD, secans rectam Aa in M, erit punctum, centrum
Si fiat ut arcus B ad duas tertias subtensae BC, ita Αξ semisubtensa ad quartam Sumendama, versus C, erit terminus ejus centrum gravitatis Semicirculi Demonstratum est a Io de lis ille, prop. xxvi. Sed ut arcus BC ad subtensam BC, ita subtensa C ad b arcus BC, id est, ad unam quintam totius BCD. Quare, ut arcus BC ad lsubtensae BC, ita Αξ, id est, semisubtensa, ad duas tertias duarum quintarum arcus BC, id est, ad unam tertiam duarum quintarum totius arcus BCD, id est, ad inrcus BCD. Quod erat demonstrandum.
B. Si fiat semicirculus aeneus accuratus, qui sit ejusdem ubique crassitudinis, isque in puncto otenui filo suspensus maneat plano horigontis parallelus, quin recta D aequalis sit arcui semicirculi genitoris, dubitari amplius non potest. A. Etsi experimenta talia vim non habeant demonstrationis juVat tamen operis cum contemplatione consensio. Itaque semicirculum seneum fieri curavi, et suspendi ab eo puncto, et parallelismum horigontalem inveni exactissimum Sed procede.
227쪽
Invenire centrum gravitatis segmenti BCB, contenti arcu quadrantis et subtensa arcus BC. InVento centro gravitatis trianguli rectilinei ABC, at ut segmentum BC ad triangulum ΑΒ C, ita distantia inter centra gravitatis qua
drantis ΑΒ C et trianguli ABC ad aliam. Et illa
inVenta ponatur a puncto, versus arcum in eadem rectari et, nempe r et erit, centrum quaeSitum.
Datur autem ratio bilinei BCB ad triangulum BC, nempe ratio F ad FE, et est centrum gravitatis segmenti BC in recta a, in qua sunt centra gravitatis tum trianguli tum quadrantis ΑΒ C.
Datur ergo punctum', id est, centrum gravitatis segmenti BCB. Factum ergo est, quod erat faciendum. B. Video etiam aliud sequi scitu non indignum, nimirum, planum, quod nascitur ab aggregatione rectarum, quae sequale sunt partibus arcus BC perpetuo a nihilo crescentibus juxta rationem arithmeticam,quando applicantur ordinatim ad terminos curvarum sibi aequalium, nempe I, B2, B3, etc., aequales esse plano quod nascitur ab aggregatione Sinuum rectorum eorundem arcuum, quando illi sinus ordinantur singuli ad terminos arcuum suorum in recta quae sit ipsi arcui BC aequalis. am quod aggregatum Sinuum rectorum omnium ita ordinatorum aequale est quadrato radii, demonstrarunt fortasse plures, sed invenit et demonstravit primus Christopherus,ren, astronomiae professor reS-hamenSiS.
228쪽
Solidi, quod fit a conversione trianguli rectilinei FD per quadrantem circuli super basem D, centrum gravitatis est in plano quadrantis descripti semidiametro γγ et erecti ad planum chartae, et in ea recta quae ducta a puncto dividit arcum ejusdem quadrantis bifariam, distatque a puncto , quod est in basi, tantum quanta est dodrans duplae
Factum enim solidum a revolutione integra trianguli DB super basem FD, est conus cujus centrum gravitatis dividit basem mita ut pars adverticem sit ad reliquam ut 3 ad 1, id est in . Quare planum erectum ad planum chartae in communi sectione D secans eam in , est planum aequilibri tum ipsius coni, tum etiam dimidii vel quotaelibet partis ejus. lanum enim aequilibrii dividit haec in momenta sequalia. Est ergo centrum aequilibri solidi, quod fit a quarta parte conversionis trianguli D, in plano quadrantis descripti a V et erecti ad planum chartae. Quoniam autem arcus quadrantis descripti a D duplus est arcus BCD descripti ab ΑΒ, et centrum gravitatis semicirculi BCD distat a centro A intervallo ΑΟ, erit centrum gravitatis semicirculi descripti a DB in distantia a centro D tanta, quanta est dupla ΑΟ. Sumaturi I aequalis duplae ΑΟ, ducaturque Τsecans, in V. Quare, quando in conversione trianguli DB rectam Τ fit plano chartae perpendicularis, erit punctuma centrum gravitatis semici culi descripti a diametro B Secet recta Brectam V in X. Quare quando in conversione trianguli FDI', V est ad planum chartae ereeta,
229쪽
ΜATHEΜATICI HODIERNAE. 2l7 erit punctum V centrum gravitatis semicirculi de DIALocus scripti a semidiametro X. Et sic continget in 'φ' intersectionibus rectarum omnium, quae sunt Parallelae rectae DB, cum recta FΤ, ut centra gravitatis
quadrantum descriptorum ab ordinatis in triangulo F DB, sint in intersectionibus ipsarum ordinatarum cum recta FΤ. Sed intelligendum est triangulum FD erectum esse ad planum chartae. Itaque omnes semicirculi, descripti a conversione trianguli FD super basem D, aequiponderabunt superrectam FΤ, erectam ad planum chartae. Sed quodequiponderabunt etiam superis similiter erectam, manifestum est ex eo, quod F est ad UD, ut 3 ad . Est ergo centrum gravitatis semiconi, descripti a triangulo DB in punctos elevato perpendic lariter super planum chartae sive horigontis in V; et distat a puncto , quod est in base, tantum
quanta est arcus semicirculi descripti a semidiametro X, sive dodrante rectae DB. RurSus, quoniam centrum gravitatis quadrantis
ABC est ad se in recta x, quae dividit arcum BC
bifariam, erit quoque centrum gravitatis quadrantis descripti a B in recta quae dividit arcum quadrantis ejusdem bifariam distabitque tantum a puncto D quanta est duplari, Sumaturi, aequalis duplae Αν, ductaque F secet rectam γγ in . Quoniam ergo D est distantia centri gravitatis quadrantis descripti semidiametro DB a puncto D, et Ase est in recta quae dividit arcum BC bifariam, erit quoque , distantia centri gravitatis quadrantis descripti a X, et in recta quae dividit arcum ejusdem quadrantis X bifariam. Idem accidit in caeteris omnibus ordinatis trianguli DB. Est
igitur F diameter aequilibri solidi, quod fit a con-
230쪽
2l EXAMINATI ET EΜENDATIO DiALocus versione trianguli FDB super basem FD et recta 'A' γ, sumpta in recta quae dividit arcum quadrantis
descripti a V bifariam, diameter aequilibrii altera,
et i dodrans sive ξ rectae Φ, id est, duplae Αν. Itaque punctum intersectionis ambarum i et Fφ, id est, punctum ipsum , est centrum gravitatis solidi quod fit a conversione trianguli FD per quadrantem circuli. Quare solidi quod fit, etc. Quod erat demonstrandum. naeci. Centrum gravitatis quartae partis cylindri descripti a conversione integra rectanguli DG super latus D, est in plano quadrantis descripti a G, in distantia a puncto , quod est in base, tanta quanta est D φ, et est in recta quae dividit arcum ejusdem quadrantis bifariam. Et centrum gravitatis dimidii cylindri ejusdem, est in recta quae ex Perigitur plano chartae perpendicularis in distantia aequali rectaei T.
Invenire centrum gravitatis solidi, quod fit a conversione plani cycloidalis BF circa basem DF per circuli quadrantem. Sumatur ex aequalis rectae φ, et collocetur unus ejus terminus in recta DF ad e, et alter terminus in plano quadrantis erecti ad planum chartae in e , ita ut ex faciat cum recta ta angulum semi- rectum jungaturque x, seceturque δε, tam Supra quam infra, bifariam a recta, si quae Secet x in . Dico punctum et esse centrum gravitatis solidi propositi. Quoniam enim solidum propositum est ad solidum descriptum eodem tempore a rectangulo Gut 2 ad 3, prop. xvi), et centrum gravitatis solidi