장음표시 사용
231쪽
facti a rectangulo G est in plano erecto ad DIALosus chartam inar, et utriusque centrum gravitatis in 'φ' recta quae facit cum diametro sui quadrantis angulum inclinationis semirectum, cumque centrum gravitatis solidi a conversione simili trianguli DBG sit similiter positum ad planum Super V erit centrum gravitatis solidi propositi, propter rationem magnitudinum 2 ad , in eo plano quod distat a plano peret ex altera parte, ita ut distantia i sit ad distantiam ejus, ex altera parte reciproce utra ad i. Erit ergo centrum gravitatis solidi propositi in plano quod ad planum chartae est erectum in s.
gravitatis solidi propositi est in recta, quae facit
cum reCin x x angulum semirectum. Rectarum δ υχ intersectio sit . Quoniam jam is est ad oruta ad I id est, in ratione solidi propositi ad solidum factum a simili conversione trianguli DB F; et centrum gravitatis solidi a triangulo BF est inis; si fiat, centrum librae, distabit centrum gravitatis solidi propositi a centro librae, ita ut distantia υ sit dupla distantis centri gravitatis solidi propositi ab eodem puncto, Erit ergo in .
Quod erat demonstrandum. Conaeci Sequitur hinc punctum , positum item in recta δω, ita ut faciat cum rectara angulum Semirectum esse centrum gravitatis utriusque
simul solidi, nempe solidi propositi, et solidi facti simili conversione trianguli DB F. B. Credo equidem, et praeterea punctum C esse centrum gravitatis utriusque simul solidi, nempe solidi propositi, et solidi quod fit a conversione simili plani cycloidalis externi BFG. Video etiam basem D ita dividi a plano sequilibri ex ex ut pars
232쪽
DiΑLocus F sit ad reliquam ut 5 ad 3 ut fit in semiparabola: nec mirum, cum ratio solidi propositi sit ad suum complementum eadem quae plani semiparabolici ad complementum suum. Caeterum BD non dividitur in Mad 2, ut diameter semiparabolae. Cujus rei
A. eque ego; sed neque quare ita esse debeat. Ex iis, quae demonstrata sunt de ratione propositi solidi, facti a conversione ejus circa basem FD ad solidum factum a simili conversione rectanguli DG, et de centris gravitatis ipsorum methodus apparet inveniendi rationem solidi facti a conversione cujuslibet partis ejus abscissae a parallela altitudinis quacunque am si planum cycloidale, cujus basis exempli causa est As, convertatur super basem suam V recta quidem AB describet quadrantem integrum, reliquae autem ipsi parallelae describent arcus quadrantum minore semper in ratione arithmetica, donec in puncto X describatur nihil. Ex quo, ut ante, inferetur solidum factum a conversione
plani cycloidalis ABin super basem in duplum
esse solidi quod fit a simili conversione triangulii AB. Cognitisque magnitudinum rationibus, in-Venientur, ut ante eorum centra gravitatis. PROPOSITIO XI.
Solidum factum a conversione rectanguli GPer quadrantem circuli, circa diametrum circuli genitoris B, quae est cylindri totius sic facti altitudo), est ad solidum actum a conversione ejusdem rectanguli DG circa rectam DF, quae est cylindri hujus altitudo), ut DF ad illius altitudinem DB. Sunt enim cylindri inter se in ratione composita
233쪽
basis ab basem, id est, diametri basis ad diametrum DIALOGUs basis duplicata), et altitudinis DB ad altitudinem DF. Sunt autem rectae DF, DB, D continue proportionales prop. ). Est igitur basis a basem, ut DF ad Du. Componitur ergo ratio cylindri, facti a conversione planii circa altitudinem proprium DB ad cylindrum factum a conversione circa altitudinem propriam DF, ex rationibus altitudinis DF ad Du, et D diametri basis ad DF,
hoc est, rectae Di ad altitudinem B. Si componantur ergo ratio BD ad Du, id est, ratio basis a basem), et ratio DB ad DF, id est Du ad DB, erit ratio cylindri facti a conversione ejusdem rectanguli DG circa DB ad cylindrum factum a con- Versione ejusdem rectanguli circa DF, in ratione composita ex rationibus DF ad Du, et D ti ad DB: et propterea cylindrus ad cylindrum, et proinde iillius ad Phujus est ut DF ad DB. Quod erat
B. Si certum esset quod cylindri sunt inter se in ratione composita ex rationibus basis ad basem, et altitudinis ad altitudinem, dubitari non posset de theorematis hujus veritate. Sed ubi est hoc demonstratum ΘΛ. Demonstravit Hobbius, libro DE CORPORE cap. iii art. 43. Quod caput ipse allistus non improbavit, sed quia nihil in eo reperit quod potuit rodere, Hobbi ipsius esse negavit. on quod alienum revera esse putaret, sed quia instituto ejus mentiri expedivit. heorema hoc non modo in quantitatibus factis, sed etiam in omni genere
rerum factarum Verum est. eque arte logicae, sed ratione tantum naturali opus est ad veritatem ejus agnoscendam. Satis enim manifestum est,
234쪽
222 EXAMINATIO ET EMENDATIO DIALOous quod omnis effectus naturalis ad omnem effectum γ' L naturalem rationem habet compositam ex rationibus earum rerum quae cauSas eorum Omponunt
integras. ihil enim in effectu esse potest, quod non fuit in aliqua parte causae Suae nec in causa, quod non in effectum derivetur. B.mihi nova quidem haec contingit doctrina, attamen Verissima est; et procedens a contemplatione quae in iis qui jurant in verba magistrorum, raro invenitur. Videamus jam consectaria. Meet. i. Conus, qui fit a conversione trianguli
FDB circa B diametrum circuli genitoris est ad conum qui fit a conversione ejusdem trianguli circa DF, ut DF ad DB. Sunt enim ut ipsi cylindri. Habent autem vertices, ille in B, hic in F. Graeci ii Solidum factum a conversione plani cycloidalis DByF circa DB, est ad solidum factum a conversione ejusdem plani cycloidalis circa DF, ut DF ad DB Sunt enim ut ipsi coni. Mect iii Excessus cylindri facti a conversione rectanguli DG circa DB, super solidum factum a conversione plani cycloidalis D F circa eandem DB, est ad excessum cylindri facti a conversione rectanguli DG circa F, super solidum factum a conversione plani cycloidalis D F circa eandem
DF, ut DF ad DB. Sunt enim hi quoque ut cylindri ipsi.
Centrum gravitatis semicirculi, cujus diameter est DF, id est, recta aequalis arcui BCD, est in recta quae ducta a centro, dividit ipsum semicirculum bifariam, et distat a centro D tantum quanta est recta aequalis duabus tertiis semiradii AB.
235쪽
MATHEMATICAE HODIERNAE. 223 Ostensum enim est, quod centrum gravitati DIALocus
semicirculi ABCD est in recta AC, quae a centro dividit semicirculum ABCD bifariam distatque
a puncto A tantum quanta est ΑΟ, id est, quanta est duae quindecimae rectae DF, sive arcus BCD. Sed in omnibus semicirculis centra gravitatis Situm habent similem. Quare centrum graVitati Semicirculi, cujus diameter est DF, distat a puncto tantum quanta est duae quindecimae arcus Semicirculi, cujus diameter est D F, aequalis arcui BCD. Est autem arcus semicirculi, cujus diameter est
aequalis arcui BCD, aequalis perprop. ii' quinque
semiradiis, sive quintuplae Bo. Itaque centrum gravitatis distat a centro D, tantum quanta Sidus quindecimae quintuplae ΑΒ, id est, duae tertiae semiradii AB. Quod erat demonstrandum. Meci. Dato centro gravitatis semicirculi, datur quoque centrum gravitatis dimidii ejus: atque etiam cujuslibet sectoris qui sit semicirculi quotalibet pars. B. ethodo ut videtur, eadem qua centra vitatis partium cylindri facti a conversione plani DG circa DF inventa sunt, inveniri possunt etiam centra gravitatis partium cylindri facti a conversione ejusdem plani DG circa DB. Quid ergo ea quae restant non demonstras λA. rimo, quia haec parata habui caetera nondum contemplatus sum. Secundo, quia alia figura describenda esset, in qua semicirculus, cujus di meter est DF, esset describendus, et non paucioribus lineis quam haec onerata est, oneranda id quod mihi quidem operae pretium esse non videtur. am
Frustra quaeretur in tractatu hoc propositio supra citata.
236쪽
224 EXAMINATI ET EMENDATIO niΑLocus Semicirculorum quidem, et quadrantum, et aliorum Vi Sectorum centra gravitatis cognoscere, utilitatem
aliquam habet ad magna aedificia, propterea quod saxa grandia talis formae, appensa a centri graVitatum suarum, elevari in altum possunt horigoni liter, et proinde apte collocari quod aliter fieri non potest, sine multo labore, atque etiam periculone, dum vectibus detorqueantur, diffringantur. B. Redigis mihi in memoriam fabulam vulpis et
A. Irride quantum libuerit. Ego haec nihilominus relinquam illis quibus longius speratur tempus vivendi. Credo te qui demonstrationibus legendis animum acriter intendere solitus es, satis jam tandem defatigatum eSSe. B. Ego ero minime. Delector enim paradoxis, qualia sunt haec, quae legimus fere omnia. A. Itane ais λB. Quid ni Quod punctum magnitudinem, etsi aliquando non consideratam, aliquam tamen habeat, paradoxum non est λA. Est quidem, sequutis doctorum auctoritatem: utentibus autem ratione propria, paradoxum non
B. Quod ratio ea quidem, quam habent inter se duo inaequalia, quantitas sit, a Vero, quam habent duo aequalia, quantita non it, paradoxum est. Quod in tribus continue proportionalibus, quorum primum est minimum, ratio primi ad secundum semissis est rationis primi ad tertium quod angulus rectilineus est quantitas conversionis radii circa centrum quod angulus contactus eSi quantitas, esse tamen angulos ad quos ille rationem
habeat nullam deinde illa, quae hinc deduxisti,
237쪽
nempe, latus quadrati, quod quadratum aequale sit DiALocus decem quadratis a quarta parte diametri, aequale in sit arcui quadrantis, contra Archimedem quod arcum vel angulum dividis in rationem datam: quod centrum gravitatis semicirculi tantum distata centro circuli, quanta est arcus ejusdem semicirculi nonne haec tua et Hobbiana paradoxa sunt geometrica λA. Sunt quidem paradoxa nihil tamen impedit quo minus Vera sint. Et fortasse in rebus, quales sunt hae speculationis aliquanto profundioris, nihil tam parodoxum est quam ipsa Veritas. B. aradoxum quoque est, quod regulam algebrae, id est delicatorum hominum geometriam totam in figuris curvilineis parum aut nihil valere dicis. A. In scriptis geometricis aliorum nulla credis esse paradoxa λ rimo lineam latitudinem non habere, et tamen duci posses Secundo, angulum planum esse inclinationem quam habent duae lineae concurrentes, in ipso puncto concursus Τertio, posse transiri a majore ad minus per omnia media, nec tamen per aequales Quarto duplicatum minus esse quam simplum λB. Cujus hoc sit non memini. A. onne omnes amrmant in ratione minoris ad majus duplicata, exempli causa, in his continue proportionalibus I, 2, 4, rationem I ad 4 duplicatam esse rationis 1 ad 2 iidem tamen, cum Euclide Elem. v. prop. ), rationem 1 ad 2 quae est impla majorem esse quam ratiora ad 4 quae
238쪽
226 xAMINATIO ET RΜENDATIO DiALocus B. Absurda. Sed ultimum hoc, de duplicata ratione, ex eo natum esse videtur, quod Euclides utitur Voce διπλασωνι semper pres Flicata, nunquam pro dupla. A. Quid autem geometram decet theorematum Veritatem ex usu Verborum, an e rebus ipsis recte conceptis, aestimares Sed quod Eucli dem is nunquam uti Voce διπλασίον pro duplo, verum non est Elem in prop. 20, quae Sic
B. ua illa, quanquam paradoxa, Vera tamen sunt, ut mihi videntur, et futura aliquando en Xa. Interea tu, qui defendis omnem doctrinam Hobbianam, quid dicturus es ad ea quae habet iii Ρhysica sua et Ρolitica λ t primo, in physica, quod omnium rerum naturalium causas dicit esse motum, eumque moti et contigui corporis A. Sive verum hoc sit sive falsum, paradoxum certe non est. amoristoteles, quem sequitur schola, idem dicit, si non et amplius, cum dicat naturam nihil aliud esse praeter motum motum autem proprium esse corporis. Quod internum esse dicat, non negat quin causam habeat in externo. am affirmat alibi, nihil Oage movere seipsum. Ab hoc principio orsus, causas qualit tum sensibilium et phaenomenω naturalium fere
omnium satis probabiles deducit Hobbium id quod illi, quibus principium hoc videtur falsum facere
nunquam Poterunt. B.maximam partem effectuum naturalium deducit ille a motu quodam, quem Vocat circularem 3implicem quem motum, Vereor ne lectores, eX-cePti paucis, non satis concipiant. am etsi talis
239쪽
ΜΑΤΗΕΜATICI HODIERNAE. 227 motus ad producenda phaenomena naturae fere DIALOGUS omnia sit omnium motuum aptissimus, quia tamen nemine ante illum animadversus et explicatus est,
lectores pauci ductum orationis, qua motus ille describitur et computatur, facile sequi possunt. A. Si quis manu teneat corpus aliquod figurae cujuscunque, puta pilam, e qua pila promineret stylus scriptorius an difficile est imaginari, quomodo ille eo stylo possit literam aliquam alphabetiductu continuo exarare
B. ihil facilius. A. Quod si plures simul styli prominerent, ita
ut tabellam aliquam omnes simul tangerent; nonne idem eodem tempore literas plures exarare poterit λB. ille, si vult, et tot sint styli. Sed illae erunt omnes inter se similes et aequales. A. Id quidem manifestum est. Sed quis interea motus et qualis dicetur totius pilae λB. Profecto, quem motum habet unius stylicujuslibet cuspis, eundem habebit cuspis styli alterius cujuscunque imo Ver punctum unum quodlibet tum pilae tum manuS. A. otus jam pilae ipse est, quem appellat ille motum circularem implicem, non modo quando pilae puncta describunt circulos, sed etiam quando quaslibet alias describunt figuras, modo puncta illa motu suo ad loca redeant unde moveri inceperunt. Cujus motus proprietas una est, ut quaelibet linea in pila sumpta feratur sibi semper parallela. otandum est etiam hoc, quod naturae non repugnat tali motu, quamquam Velocissimo, describi posse figuram etiam minutissimam. Hunc motum telluri quidem toti attribuit Copernicus Hobbius autem
240쪽
DIALoon etiam soli, et planetis omnibus, et singulis etiam VJ minimis eorum partibus. Aliam ejusdem motus proprietatem ostendit esse, quod heterogenen Segregans congregat homogenea. Atque ex his proprietatibus causas reddit omnium sere phaenomen onnaturalium satis probabiles, tantas ubique magnitudines et Velocitates supponens, quantas effectuS, cujus causa quaeritur, postulat.
B. Nihil a physicis, quorum principia, ut e
metrarum, proprio arbitrio certa statui non possunt, amplius requirendum est, quam ut cauSae rerum
tales esse possint. Itaque physica illa Hobbii tamdiu improbanda non est, quamdiu nemo eorundem effectuum per alios motus causas reddiderit probabilioreS. A. Id quod nunquam credo, fiet. am auSanaturalis omni rei est motus aliquis. I autem, qui philosophiae maxime nunc studente naturam motus minime contemplati sunt, in hanc unam rem
incumbunt, ut OV acquirant phaenomena cum phaenomena Sola experiendo, causae ratiocinando amotu cognoscendae Sunt.
B. Qui corpora corporibus admovendo nova et mirabilia ostendunt naturae opera, mirum in modum incendunt animos hominum amore philosophiae, et ad causas investigandas non parum instigant, eoque nomine laude digni sunt. A. Ita est; nam historiam naturalem, Sine qua scientia naturalis frustra quaeritur, locupletant. Sed intueri et admirari naturae opera, ut puer pulchritudinem libri plus contemplatur quam literas, non est hominis philosophi id quod faciunt qui
ridentes phaenomena, non considerant quo gente, quo motu, et quo modo generari potuerunt am