장음표시 사용
371쪽
PROBLEMATA PHYSICA. 359 A. Si ita est, non opus est ut te interrogem cur CAP. Vri.
limatura ferri, imposita magneti in distanti qui D. oin μὰ dem ab ipsius polis utrinque aequali jacebit axi di 'κ rallela in aliis autem locis inclinabitur ad polum magnetis sibi proximum e quare, si obelisco ferreo magnes affricetur ductu continuo, obeliscus ille eosdem habebit polos eque cur magne et ferrum, sive duo magnetes, super aquam natantes alter ad alterum ita se applicet, ut eorum axis sit communis, et poli similes in eandem regionem spectent; et per consequens similes poli se mutuo repellant. am omnia haec oriri possunt ab unione motuum.
372쪽
AW LECTOREM CYCLOMETRIAE STUDIOSUM PRAEFATIUNCULA.Ν multitudine linearum in diagrammate a legendo deterreare, monendus es, rationem Circumferentis circuli ad diametrum demonstratam esSe conStructione prima, constante ex lineis satis paucis, et facile distinguendis. Habes ergo quod promittit titulus, in duabus primis propositionibus plene praestitum. Si tamen propositionum caeterarum pulchritudo, ut illarum etiam demonstrationes legere et examinare velis, suadeat, a lineis reliquis minorem habebis molestiam : et quanto plus Progredieris, tanto semper iam invenies procliviorem.
CONsvlluc DESCRIBATUR quadratum ABCD, et dividatur in 'xi' quatuor quadrata sequalia a duabus rectis EF, GH, se mutuo secantibus in I ducanturque diagonales AC, BD. Centro Α, radio AB ducatur arcu qu drantis BD, secans rectam EF in Κ, et rectam GH
in k, et C ini; itaque arcus BD sectus erit bifariam in . Ducatur Κ secans C in , et producatur ad BC in Μ. In producta C sumatur L aequalis Μ. Item in DC sumatur recta
373쪽
C aequalis CL vel Μ jungaturque Ν, quae ONSTRUO- secabit DL in diagonali AC ad O. Ducatur quoque 'Φ' ΑΚ secans diagonalem BD in V, et Η in q, et B in v et producatur ad BC in . Per punctumo ducatur recta; parallela BC, secans AB in R, et D in S, ducaturque A secans FE in , et Producatur ad ductam DΜ. roducatur item RS ad eandem Dinina.
Ρroducta AS incidet in . Quoniam enim angulus BC sectus est bifariam
a CO erit ut BC ad C sive Μ, ita BO ad Ν. Sed ut BO ad Ν, ita est propter triangula BOR, Νο similia R ad OS et quia anguli CS,COS sunt aequales, erunt quoque tum rectae Z,
CS, OS, tum RO, DS, SV propter triangula AD, KV similia inter se aequales. Quare ut C ad C vel Μ, ita est D ad SC. Et componendo ut D ad DC sive BC, ita est BC ad ΒΜ. Sunt ergo ΒΜ, BC sive ΑΒ et D continue proportionales. Ρroducta ergo A transibit per .
Recta ΒΜ aequalis est arcu BD. Ducatur per o recta ro parallela DC, secans AD in me BC in s. Cum ergo sit uti ad SC ita BC id est DC ad Μ, et componendo uti ad DC ita C vel DC ad Μ, per praecedentem; erunt Bs BC, ΒΜ continue proportionales inique etiam earum potentiae, nempe potentiaras, potentia BC, potentia merunt continue proportionales. Sed potentia C tripla est potentis CL sive Μ. Quare potentiae rectarum Ba BC, ΒΜ sunt in
374쪽
PROP. I. tione 3 ad 1 continua. Centro C radio Μ describatur arcus quadrantis ΜΝ : item radio D describatur arcus quadrantis SΤ, et radio SC describatur arcus quadrantis CZ. Quoniam ergo potentia DC tripla est potentiae CΜ, erit potentia arcus S tripla potentiae arcus CZ et arcus BD aequalis arcubus ambobus S et CZ. Est autem potentia totius arcus BD tripla potentis arcus Ν; et a tota ΒΜ ut semidiametro, descriptus arcus quadrantis m aequalis erit utrique simul arcu BD, ΜΝ. Est ergo ut BC recta composita exis et C quarum potentiae sunt utra ad I ad arcum BD compositum ex arcubus ST, CZ, quorum potentiae sunt ut 3 ad l), ita arcus BD ad arcum m compositum ex arcubus BD et ΜΝ, quorum potentis item sunt utra ad l). Sunt ergo recta BC, arcus BD, et arcus m continue proportionales. Sed recta BC est semidiameter circuli, cujus P rimetri arcus BD est pars quarta. Quare recta quae est aequalis arcu BD, erit semidiameter circuli cujus perimetri arcus m est pars quarta Est ergo ΒΜ aequalis arcu BD. Coroz Sequitur hinc rectam quae sequalis est arcu CZ, radium esse circuli descripti a Μ, de que arcum CZ aequalem esse rectae Μ, et arcum SVaequalem esse rectae BC.
Reet ΡC dupla est differentiae inter semidiagonalem et semiradium, eademque media proportionalis inter me ipsius semissem. Diagonalis enim AC dividit arcum Dassariamini. Ducatur u sinus rectus arcus Ρ, com-
375쪽
DR AGNITUDINE CIRCULI. 363pleaturque quadratain QPae; et producatur Q PMP. m. a DC in , et 'ad BC ins eritque ον quadra tum et Ho differentia interio et DΗ, id est inter semidiagonalem et semiradium. Ducta autem recta LΝ, erunt anguli CLΝ, Ρν,3CΡ, Ρ semirecti aequales Transibit autem L peri; quare erunt Ly, yC, Ρο, ο, Ν, omnes inter se aequales et unaquaeque earum semissis rectae CL sive Μ,
eademque aequalis differentis inter DC et Do vel ΩΡ. Est autem o admo ut DC ad Do vel ut D ad DF , vel ut C ad Co. Quoniam ergo Lest aequalis duplae Co erit 'duplamo, eademque media inter o plus ορο id est Μ et ipsam Co.
Si numeri integri quotlibet proportionaliter minuantur in ratione 2 ad , maximus omnium consequentibus omnibus cum assumpta unitate erit aequalis. Exempli causa, in numeris I 6 8 4. 2. I, consequentes omnes simul sumpti sunt i5, cui addita unitas facit ut sit aequalis maximo l6. Item in his 8 4. 2. l, consequentes simul sumpti sunt 7: quem numerum addita unitas facit aequalem maximo S. Quod si numeri quotcunque minuantur in ratione 3 ad , tunc consequentes omnes simul sumpti cum dimidio minimi aequales erunt dimidio maximi ut in his numeris 27 9 3. I, maximus 27 duplus est in Sina additori, qui numerus est 13ὲ, semissis maximi et in his γενε et additos, consequentes una cum P sunt semissis maximi 27. Si numeri quotlibet proportionaliter minuantur in ratione 4 ad , consequentes simul omnes una eum tertia parte minimi erunt tertia pars maximi ut in his numeris 6 in hi additori, consequente simul
376쪽
364 DE MAGNITUDINE CIRCULI. PROP. IV. Omnes cum l. faciunt 5 , quae est tertia pars max-
imi 16. Causa autem hujusmodi proportionum obscura non est. am numeri bisectione, quamquam infinities bisecti, nunquam devenietur ad nihilum, sed restabit semper unitas neque trisectio Perpetua numerum quemquam reducet ad nihilum, sed restabit semper pars aliqua.
Quadrata a rectis lineis, quae sequales sunt arcuia caeterisque consequentibus usque ad punctum Μ, simul sumpta, aequalia sunt quadrato ex ΡC siveis Quadratum enim ex PC latus habet quod est medium inter Iriet ipsius duplum, id est per prop. iii
inter Μ, sive arcum CZ, et ipsius semissem. Sed quadratum ex ab cum consequentibus quadratis ex caeteris arcubus omnibus terminatis in Μ, sunt
per lemma praecedens dimidium quadrati ab arcu CZ. Quare quadratum quod illis omnibus est aequale habebit pro latere mediam proportionalem inter arcum CZ, id est rectam Μ, et ipsius semissem. edia autem illa est ipsa recta C, nempe dupla rectae GQ, quae differentia est inter A et Aia. Dico praeterea, quadrata arcuum eorundem una cum quadrato ab arcu CZ dimidium facere arcus Τ, sive rectae BC et proinde quadratum quod illis omnibus est aequale habere pro latere rectaminia mediam inter ΑΒ et AG. Coroll. Et propterea, quadrata ex omnibus illis arcubus, assumpto quadrato ab arcu quod quadratum aequale est quadrato ABCD), aequalia esse duobus quadratis simul a radiis A et ΑΩ, cujus latus erit recta ducta a puncto D ad punctum
377쪽
DE MAGNITUDIN CIRCULI. 365 Q cujus recue D quadratum aequale est se qua PROP. V.
dratis a semiradio AG ac proinde ipsam DE ductam, aequalem esse diagonali quadrati cujus latus est k vel Fk, quarum utravis potest triplum ejus quod potest A G. Etiam propter eandem rationem quadrata omnia rectarum Z,ab una cum consequentibus simul omnibus per rectam Μscandentibus, simul sumpta, faciunt dimidium quadrati a recta DS et proinde quadratum quod illis omnibus aequale est, pro latere habet mediam proportionalem interi et ipsius semissem. Semissis
Recta ΑΟ est media proportionalis inter ΑΒ et quatuor quintas partes ipsius AB. Recta autem D media est proportionalis inter ΑΒ et duas quintas ejusdem ΑΒ. Ducatur E secans RO in m in quam demittatur perpendicularis BX. Quia ergo triangula ABE,AXB angulum habent ad A communem, et angulos ad B et X rectos, erit ut ΑΕ ad ΑΒ, ita AB ad ΑX. Sunt ergo AE, AB AX continue proportionales. Ducta autem V secante AB in i ad angulos rectos, erunt etiam similia triangula XB VX.
Habent enim angulum ad A communem, et angulos ad Meti rectos. Ducto igitur arco Usecante AC in , erunt tres arcus Ρ, O, i continue
proportionales. Sunt etiam continue proportionales ΒΜ, AB RO sive DS Ut ergo arcus BD, sive recta B ad ΑΕ ita est reciproce propter AB mediam in utroque analogismo A ad RO. Intervallo A intelligatur descriptus arcus quadrantis, secans AC alicubi eritque ut arcus BD
378쪽
366 DE AGNITUDINE CIRCULI. PROP. V. ad arcum descriptum ab AE, ita arcus descriptus
ab A ad D vel m. Erit etiam ut semissi arcus BD ad semissem arcus descripti ad M, ita semissis arcus descripti ab A ad RO. Transibit ergo arcus ab A per punctum O. Sed Α media est proportionalis inter duplam AR et rectam m. Est autem eadem A media proportionalis inter AB et quatuor ejus quintasu et propterea potest ieecuplum ejus quod potest pars quinta radii AB id est, quadratum ab Ao est ad quadratum ABCD ut 4 ad 5. Quare quadratum ab RO est ad quadratum ABCD ut 2 ad 5. Coroll. i. Sequitur hinc, si ducatur rectaad parallela BC, secans ΑΒ in g, illam, mediam esse proportionalem inter Ag et ipsam dg et proinde
utramvis earum aequalem esse dimidio arcus per BD, id est aequalem esse arcu BΡ.
Coroz ii. Quia Ad potest quintuplum ejus quod potest semiradius ΒΕ, poterit - quintuplum ejus quod potest quarta pars radii AB; et ambae
simul in unam rectam compositae possunt decem semiradiosa sequitur eam quae potest decem semi- radios, aequalem esse arcu BD.
Rectam aequalis est duabus quintis arcus BD. Cum enim DS per praecedentem media sit proportionalis inter ΑΒ vel DC et duas ipsius quintas,
erit arcus S media proportionalis inter arcum BD et duas quintas partes ejusdem arcuS. Sunt Rutem continue proportionales duae quintae radii AB vel DC, recta S, recta DC, arcus BD Ontinue etiam proportionales duae quintae arcus BD, totus arcus SV et arcus BD. Sed in utroque or-
379쪽
DE MAGNITUDINE CIRCULI. 367dine arcus idem ponitur BD, arcus autem S PROP. I.
aequalis est rectae DC. Est ergo etiam DS aequalis duabus quintis arcus BD. u. Semissis ergo rectae S aequalis est quintae parti arcus BD. Quare si semissis D id est, Fu quintuplicetur, tota aequalis erit rectae BΜ: et proinde arcus, m aequalis est quintuplae E. Cum enim arcus S aequalis sit rectae AB, erit arcus quadrantis descripti a dimidia D aequalis rectae ΒΕ, et arcus descriptus a dimidiam quintuplicata aequalis quintuplae BE.
Semissis arcus BD nempe ΒΡ), recta uri quae media est proportionesis inter ΑΒ et AG), et Rosive DS, sunt continue proportionales. Quoniam
ΑΒ media est proportionalis inter arcum metrectam DS vel RO, eademque media proportionalis inter ΑC diagonalem, et ejusdem semimem, nempe AI erit ut arcus BD ad diagonalemAC, ita reciproce AI ad DS vel RO; et per consequens, ut BPsemissis ipsius arcus BD ad ΑΙ, ita ΑI semissis AC ad eandem D vel RO. Sunt ergo arcus ΒΡ, recta iam sive ΑΙ), et D sive RO, continue proportionales. Sunt
autem tres arcus ΒΡ, eo, eti continue propo
tionales. amis est quinta pars lateris AB, et quatuor quintae ejusdem Αν; et proindefh est
duae quintae arcus BD, quam aequalem esse rectae RO ostensum est in corollario praecedenti P P sitionis. Cum ergo arcus e medius sit propo tionalis inter arcum me arcum Λ, erit arcus eo medius proportionalis inter arcum BP et rectam m et proinde aequalis rectae QP sunt ergo arcus ΒΡ, recta P, et recta; continue proportionales.
380쪽
PROP. vii Orsu. Quia ergo recta g et arcus Brisunt aequales erunt id, ΩΡ, RO continue proportionales
Ut radius B ad semissem arcus BD, ita est D vel RO ad semiradium GI. Cum enim O, AB, ΒΜ sive arcus BD), sunt continue proportionales, erit ut AB ad semissem ΒΜ id est, ad arcum ΒΡ), ita RO ad G semissem lateris BC.
Recta AE aequalis est arcui quadrantis descripti radio ΑI vel Aia. Cum enim arcus quadrantis descripti radio Suel RO sequalis sit lateri ΑΒ, et Rn sit dimidia RO, arcus quadrantis descripti abra vel ab no erit
aequalis semiradio E. Quare arcus quadrantis descriptus a subtensa, sequalis erit subtensa duarum rectarum ΑΒ, ΒΕ, id est, rectae ΑΕ. Ostensum autem est quod AE, sive Ad est media proportionalis inter arcum BD et ipsius semissem ΒΡ et manifestum est arcum quadrantis descripti ab Aia vel A medium esse proportionalem inter eosdem arcus BD et ΒΡ, cum ipsa Α sit media proportionalis inter ΑΒ et AG sequitur ergo re tam AE et arcum quadrantis descripti radio Aia vel I, esse inter se aequales.
Recta CO aequalis est subtensae arcus BK. Ducatur subtensa ΒΚ, et producatur indefinite. Erunt ergo punctam et V in eadem recta O. Triangulum autem OKV est aequilaterum; et ΑΚ secabit rectam Bl bifariam et ad angulos rectos