장음표시 사용
381쪽
in s. Erit ergo, Κ aequalis ipsi KE. Quare recta PROP. X. ΒΚ dividit angulum B bifariam ; et tum angulus CBΚ, tum angulus ΚΒΝ, est tertia pars anguli EBD. Itaque anguli ΚΒΝ, BV sunt aequales, et divisi ad agulos rectos in n. Sunt ergo latera BK, BV inter se aequalia. Sed V aequalis est C. Ergo C aequalis est ipsi BK, subtensae arcus BK. Coroll. Est ergo recta' vel SO media proportionalis inter chordam arcus 30 graduum, et Hu
dem chordae semisSem. PROPOSITIO XI.
Productam transibit per punctum d in diagonali AC, et secabit rectam STtna eritque B sequalis diagonali A vel BD.
Ρroducaturi ad arcum m in t et a puncto Μ demittatur perpendicularis e secansit productam in c. Quoniam ergo rectam et arcus BD sunt aequales, et ΑΚ, Μ parallelae, et recta V divisa bifariam et ad angulos rectos in v recta DΜ secabit rectam B ad angulos rectos in ;eruntque D et, sequales. roducta ergo Κincidet in Z. Est enim ut VK ad v, ita DZ ad M. Rursus quia radius BC triplum potest ejus quod potest C vel Μ, etiam media proportionalis inter BC et semissem ejus BE quae est recta AI, triplum poterit ejus quod potest media proportionalis inter C sive C et semissem ejus. Semissis autem rectae CL ostensa est o vel o et proinde Cmedia est proportionalis inter L et semissem ejus Co. Sed BI sive A potest triplum rectae C, id est propter triangula BCΝ, BId similia triplum rectae Id. Iransit ergo BZ per punctum coroll. i. Recta Gg est aequalis rectae BQ. Cum
382쪽
370 DR MAGNITUDINE CIRCULI. PROP. I. enim aequale sint C Id, dempta communitae,
restabunt ΙΡ, d aequales unde sequitur Gg, B quae ipsis IΡ, C sunt aequales utraque utrique,
Coroll. ii Rectas est aequalis rectae M. Dum enim Gg, Bg, compositae faciunt totam BG. Coroll. iii. Κ vel H aequalis est HS. In triangulo enim sequitatero VO, quia recta VK dupla est recis ΕΚ vel Hk, etiam recta V dupla erit ejusdem K velint: Est autem eadem dupla rectae HS quia I est quadratum cujus latus est aequale HS. Itaque juncta k, et producta ad DAin , aequalis erit rectae ΑΟ sive rectae Ae.
Ex iis quae hactenus demonstrata sunt, facile est cuivis rectae datae aliam rectam invenire, quae habet ad illam rationem semidiametri ad arcum qu drantis circuli, illa semidiametro descripti. Exempli causa, si sit data recta Rn, et quaeratur recta aequalis arcui quadrantis descripti semidiametro n, ducatur a centro circulia recta An, et producatur
ad minis, erit BE aequalis arcui descripto ab Rn. Similiter si quaeratur recta linea aequalis arcui quadrantis descripti a lineola V, ducaturAV et producatur ad ΒΜ in , eritque Eeto vel ELaequalis arcui quadrantis descripti ab nV. Item si data recta qualibet tu recta Μ, quaeratur arc circuli ipsi aequalis invenietur hoc modo. Si data recta AD; sumatur in ΒΜ recta B aequalis AE et ab is demittatur perpendiculariter recta as Seca ΑΜ in s et a punctori ducatur so paressela lateri BC, erit arcus quadrantis descripti ab Aia aequalis rectae .s sive ΑΕ.
383쪽
DE MAGNITUDINE CIRCULI. 37lΡroponatur invenire rectam aequalem Mevi qua soHoraΠΜ.drantis descripti a majore segmento lateris ΑΒ secti extrema et media ratione Semidiametro AG describatur arcus secans M in erit ergo Esegmentum majus lateris ΑΒ secti extrema et media ratione. Onantur in ΑΒ, RO, AD, rectae Ar, Bl, Rη, Α singulae aequales ipsi δE. Iungaturque ιθ secans Amino, et M in ii, et ducatur recta Αη, et producatur ad BC in L Erit ergo recta εaequalis arcui quadrantis descripti radio Ar; quia est, ut BC ad Μ, ita Rii ad Βε): eademque aequalis
arcui descripto a majore segmento Ar, nempe arcui θ, eademque majus segmentum rectae ΒΜ divisse extrema et media ratione in et εΜ segmentum
Si quaeratur magnitudo rectae Bλ, quae est diagonalis quadrati a majore segmento Bi, eademque rectae BD divisse extrema et media ratione Segmentum majus cum ex eo quod sit segmentum majus dissiculter vel non omnino demonstrari possit, primo mechanice illum comparo cum recta re vel AB, et illam invenio proxime, et sine differentia sensibili, accedere ad magnitudinem rectae FK, quae est sinus rectus 60 graduum. Itaque juxta regulam
analyticae, suppono diagonalem B esse ipsi K
aequalem Calculum autem ineo. Quadratum ab F sequale est sedecim quadratis a quarta sui
parte. Ergo quadratum a diagonali BD aequale est 32 quadratis a quarta parte lateris ΑΒ vel E. Et quoniam quadratum a B supponitur aequale quadrato ab FK, id est tribus quadratis a dimidia ΑΒ id est duodecim quadratis a quarta parte AB vel EF, erit quoque quadratum a B aequale duo-
384쪽
scHOLIUM. decim quadratis a quarta parte lateris AB; et lateris B quadratum aequale sex quadratis a quarta parte ejusdem rectae FΕ. Fiat ut 32 ad 12, ita 12 ad aliam, quae erit , . Quoniam ergo BD, B λ λ D sunt continue proportionales, etiam earum quadrata erunt continue proportionalia. Erit ergo quadratum a D minore Semento, sequiae 4 quadratis a quarta parte
lateris EF Sumpta ergo De quae sit latus D drati aequalis dimidio quadrato a quarta parte lateris DΑ, junctam erit aequalis D λ. Cum enim Η quadratum aequale sit quatuor quadratis aquarta parte lateris DA, ductam erit latus quadrati quod sit 4 quadrati lateris Α. Quare potentia rectae D veli duplicatae erit 18, id est quadratum a D duplicata erit sequiae I 8 quadratis quarta parte lateris DA. Potentia ergo rectae B tripla est potentiae Bi, cujus quadratum est 6
et sesquialtera potentiae K. Quare ipsae rectae Βλ FK, sunt aequales. Inventa ergo est magnitudo rectae Bλ.
Sequitur hinc, per Elem. xiii prop. ), duplam
D sequalem esse rectae quae subtendit totam DAet minus segmentum Αμ. am quadratum subtensae illius triplum est quadrati a majore segmento B vel T. Quid ad haec dicturi sunt, qui Euclidem nusquam errasse volunt Euclides tamen lineae rationalis extrema et media ratione sectae utrumque segmentum lineam esse irrationalem dicit, cum et totum quadratum a DA, et quadratum utriusque segmenti, sint ut numerus ad numerum. Bene quidem ratiocinatus est Euclides,
sed falso usus est principio illo primo punctum eos
385쪽
DE MAGNITUDINE CIRCULI. 373 indirisibile et propterea, sectores, et triangula scΗOMUM. et rectangula minuta, pro lineis rectis promiscue semper numeravit adeo ut Elementum decimum,
ingenii quidem magni specimen, sed inutile, etiam magna parte incertum reddidit.
Sit data recta quaecunque G. Descriptoque ab ea quadrato ducatur diagonalis AI, cujus potentia dupla est potentiae lateris ΑG. Rursus, erecta ad punctum erigatur perpendicularis Iraequalis lateri AG jungaturque A γ poterit ergo A triplum ejus quod potest ΑG. Eritque circulus descriptus ab diametro A γ, circulus maximus in sphaera in quo inscribitur cubus cujus latus est ΑG: eademque aequalis rectae K vel k, quae itidem potest triplum ejus quod potest AG Similiter quadratum a L tertia pars est quadrati a BC, et BC diameter sphaerae in qua cubus a L inscribitur.
Quae proportio universaliter vera est in omni triangulo rectangulo, cujus angulus unus est tertia
pars recti. Itaque D triplum potest rectae So vel RV et O potest ejusdem quadruplum. temAO triplum potest ejus quod potest C, propterea
quod est ut AO ad DS, ita CO ad So vel SC.
Arcus quadrantis BD aequalis est lateri cubi ci cumscripti, una cum latere cubi inscripti, sphaerae cujus diameter aequalis est rectae BC. Si enim descriptus intelligatur circulus centro I intervallo ΙΕ; et cubus cujus unum quadratum est ABCD: circulus descriptus centro Pradio I si intelligatur
386쪽
374 DE AGNITUDINE CIRCULI. PROP. II transire per cubi centrum, sphaera in qua circumsille esset maximus tanget omnia cubi latera et propterea sphaerae circumscriptus erit. Quoniam autem latus cubi circumscripti ΑΒ potest triplum ejus quod potest I. vel Μ erit cubus a CΜ, is qui inscriptibilis est eidem sphaerae, cujus moimus circulus describitur semidiametro IE. Demonstru-tur autem ab Euclide, Elem. xiii prop. i5. Coroll. Sequitur hinc ductam L esse latus tetrahedri in eadem sphaera inscripti. otentia enim rectae L dupla est potentis CL quare potentiam potentiae ejusdem L est sesquialtera; et proinde, per Elem. xiii l 3, erit recta L latus tetrahedri inscripti sphaerae eidem.
Rectae AB, Ag, AR, AG sunt continue proportionales. Ostensum enim est prop. 7 rectas gQ Ρ, messe continue proportionales. Ostensum etiam est
prop. 8 esse ut BC ad gQ ita RO ad GI vel AG
Sunt ergo quatuor rectae AB, Ag, AR, A continue proportionales. Coroll. Sequitur hinc cubum a BC duplum esse cubi ab Ag et cubum ab Ag duplum esse cubia AR, et cubum ab A duplum esse ubi ab Q.
Compleatur quadratum Agda, et producatur ad ad BC inor producaturquead ad DC ina, et inter DC et D sumatur media proportionalis Diis et erit quadratum a D is aequale circulo descripto semidiametro AG vel ΙΗ Est enim Μ aequalis
387쪽
quartae parti circuli descripti semidiametro AB, et PROP. IV. per consequens aequalis erit perimetro totius circuli descripti a semisse rectae ΑΒ; et habebit di metrum aequalem AB. Quare triangulum rectangulum cujus latera circa rectum angulum BG sunt BC et ΒΜ, erit aequale circulo descripto semidiametro quae sit semissis rectae AB. Huic autem triangulo aequale est rectangulum sub AB et dimidia ΒΜ, id est rectangulo ΑΒ κου et rectangulo huic aequale est quadratum rectae D is, mediae proportionalis interis sive DC, et dimidiam ΒΜ quae est De.
Dato quadrato invenire sequalem circulum.
Si datum in figa quadratum ABCD cui inveniendus sit aequalis circulus Secetur latus ΑΒ quadrifariam in E, F et compleanturque quadrata partium, quae erunt sedecem inter se aequalia; ducanturque diagonales AD, BC, secantes se mutuo in centro quadrati ad Η. Centrom intervallo HEvel HG ducatur perimeter circuli secans ΑΒ tu Eet , et diagonales in Met S. Secabit autem circulus latera reliqua etiam quadrifariam transiens per punctat, , , , Q et L. Dico circulum hunc sequalem esse quadrato ABCD. roducatur Hrad circumferentiam in . Si ergo trilaterum AER, contentum duabus rectis AE, AR et arcu ER, aequale sit tri latero Fra contento duabus rectis EF, FΤ, et arcu EV manifestum est triangulum ΑΗF, nempe partem octavam totius quadrati, aequale esse sectorimo octavae item parti totius circuli et sic de caeteris partibus
388쪽
376 DR MAGNITUDINE CIRCULI. PROP. v. quadrati et circuli aequalibus. Sin dictorum trit terorum alterutrum altero majus sit, circulus Ru
drato inaequalis erit. Supponamus ergo trilaterum quidem contentum duabus rectis ΑΕ, Α et arcu ER majus esse triItero Eri, contento duabus rectis EF n, et arcu ΕΤ illi autem sequale esse trilaterum Aer, Contentum duabus rectis Ariar et arcu re Erit ergo recta AE major quam Ae et AR major quam Ar. Et rectam major quam HV et arcus circuli res non major quam arcus RE arcus autem re producatur donec occurrat productae Hriit. Itaque trilaterum contentum duabus rectis e F, Ft, et arouet, multo major erit quam trilaterum contentum duabus rectis EF re, et arcu ΕΤ Quare sector Hr totius circuli pars octava superat triangulum ΑΗF, octavam partem quadrati ABCD, plusquam triangulum ΑΗΤ superatur a sectore eodem FIrt. Circulus ergo per mi, i major est quam quadratum ABDC. Similiter ostendi potest, si trilaterum AER poneretur minus esse trilatero Eri et per consequens Hr minor quam HR, circulum descriptum radiom minorem fore quam quadratum ABDC. Sunt ergo aequalia inter se quadratum ABDC et circulus cujus semidiameter est FIR Dato ergo quadrato circulus inventus est aequalis.
Dato circulo aequale iuvenire quadratum. Circulo per R, . inveniendum sit aequale quadratum sit datus circulus per R, Τ, G. Ducatur
pero latus unum quadrati illius, quod circulum circumscribit, nempe XV, dividaturque ΤV bifariam
389쪽
D MAGNITUDINE CIRCULI. 377in a, ducaturquemd quae secabit arcum in E ita PROP. XVI.
ut sit sicut Τὰ ad 6, ita re ad EA. Sed F di viditur quoque bifariam in , transibit ergo HaPer communem sectionem rectae in et arcus R. Erit ergo circulo per m aequale quadratum descriptum super latus AB, ut in praecedente propositione demonstratum est. Ρotuit ergo problema hoc demonstrari sine ope mediae proportionalis inter semidiametrum et semissem peripheris circuli nisi aliquando ea quae
prope sunt, longe quaereremus.
Diagonalis cujuslibet ex dictis sedecim quadratis
subtendit decimam partem totius perimetri circuli, ita ut arcus SG sit una vigesima pars ejus, et arcus G tres vicesimae partes, et rursus ER Vicesima pars ejusdem, et arcus RS, quarta pars totius perimetri, quinque vicesimae partes. Nam si Tsemidiameter divisa sit extrema et media ratione in F, recta ΗF, majus ejus segmentum, aequale erit subtensae arcus ' per Elem. XiV. Prop. 4. Reddidi jam rationem omnium fere linearum in figura prima descriptarum; circulum quadrato aequalem, et circulo quadratum aequale exhibui; etiam inter totam ΑΒ et semissem ejus duas inveni medias continue proportionales, id est cubum duplicavi; quod etiam methodo alia ante feceram, ea nempe quae sequitur; non plenioris aut clarioris demonstrationis causa, sed ut objectiones a professoribus nostris geometriae publicis editae, quam i eptae sint lectori appareat.
390쪽
Sit in fig. I data AV, secta in D, ita ut sit dupla DV.
Quadratum ab AD, majore segmento, si ABCD. Sit tum B tum AS aequalis semidiagonali ΑΙ. Ρroducatur mini, ita ut DP sit aequalis D. Ducatur; et producatur. Fiat S aequalis DV et jungantur m ΡV. Ergo rectae RY ΡV erunt parallelae et aequales. Connectantur G, R secans DC in X. Ergo G, V sunt aequales et Yo parallelo
punctos ad rectam Y ducatur perpendicularis Z. Et divisa V bifariam in a radio a vel aΡdescriuntur semicirculus qui transibit per metra. Ergo anguli ZV, Z sunt recti. Divisis AB, DC bifariam in De F ducta EF secabit o bifariam ini. Ducatur resecans V in , et ZWinis. Ergo ai dividit parallelogrammum οὐ bifariam, et sunt tres rectae ΡΥ, af, V aequales et parallelae. Ducatur Z, quae est aequalis a V. Ergo Z divisa est bifariam et ad angulos rectos
Etiam DS divisa est bifariam in . Ergo circulus descriptus radio V vel utransibit per Ζ.