Thomæ Hobbes Malmesburiensis Opera philosophica quæ latine scripsit omnia ...

411쪽

GEOMETRARUM. 399 directum jacentium, alterius ad auream inclinatis. AP. VIII. Ideam sive imaginem anguli, de quo tam multa di m ..cuntur a geometris, impressam animo pauci habent. Quicquid maxima ex parte in superficie late patens, desinit in angustum, dicitur vulgo angulus. Talem ideam anguli, etiam Euclides a conspectis duabus lineis concurrentibus conceptam videtur Voluisse hoc loco verbis declarare : neque, ut Videtur, Omnino cogitaverat aut audiverat quicquam de angulo contactus. Quanquam enim Elem. iii prop. 6)conatur demonstrare angulum factum a tangente et circumferentia circuli minorem esse omni angulo acuto, nusquam tamen nominat angulum contactus, neque de illo sub alio quovis nomine quicquam dicit. Itaque non videtur voluisse comprehendere hac definitione angulum planum ullum, qui non fuerit ejusdem generis cum angulo rectilineo quod etiam ex eo colligi potest, quod ad anguli definitionem necessariam putaVerit esse conditionem, ne lineae quae angulum inciunt jaceant in directum. Verum quid voluisse videtur Euclides, conjicere frustra erit ipsam definitionem verbatim consid

remus.

Quod ut melius faciamus, cum sit res satis magni mathematicis momenti, quaeque magnas inter Cl vium et Pelletarium contentiones excitavit, rem totam descripta figura ponamus ante oculo8.

Si recta AB divisa bifariam in C, et radiis AC, BC describantur duo circuli I, GH secetque recta ED rectam ΑΒ ad angulos rectos in C.

Videamus primo, quaenam sint duae lineae quae angulum constituunt, et quae duae angulum non constituunt. Recta DC, E absque dubio constituunt compositae unam recta DE. Sed an item

412쪽

400 DE PRINcIPII ET RATIOCINATIONEOAP. Viii. rectae AC, E constituant unam lineam curvam, m. Q. incertum est imo Vero, certum potius quod non

Νam punctum C considerabitur Vel ut quantum,

vel ut nihil. ut nihil neque lineam neque

linea FΙ duci potest, neque considerari. 'in pun tum consideretur ut quantum, considerabitur recta quidem D ut rectangulum, et arcus Lut orbis alicujus latitudinis Itaque punctum C considerabitur ut pars utriusque communis et sic erit idem punctum consideratum ut majus et minus id est, ut quadratum et circulus ipsi inscriptus Quare

duae rectae constituentes angulum rectum, nullo modo considerari ut una recta possunt multo autem minus, si constituunt angulum acutum. Quid ergo,' inquiet sorte aliquis, iussane neque arte,

neque fortuna dividi potest linea recta in partes aliquota iunctum enim si nihil sit, nusquam

est, neque in media linea, neque in tertia, neque in quarta parte ejus in punctum sit quantum, auferetur per divisionem aliqua pars rectae divudendae.' ad quod respondeo: recte dividetur recta, si secemus eam per lineam habentem exiguam aliquam latitudinem, ita ut partes utrinque sint aequales, dicamusque totius rectae secandae mediet tem esse ad mediam latitudinis lineae secantis a curatius autem dividi bisariam, ab humana saltem potentia, non potest Itque haec verba duarum linearum, etc., ut obscura reprehendo, propterea quod quae duae lineae unam constituant vel non

constituant, nondum docuerat.

Id quod facit duas lineas compositas recte Vocari unam, est quod idem omnino habeant punctum commune, quale quidem habent arcus FC, I sed

non itemAEC, CD, neque ΕC, Α.

413쪽

GEOΜETRARUM. 40 IVideamus secundo, quaenam sint lineae quae ad AP. VIII. faciendum angulum debent e mutuo tantum an D. , ulo.

gerer et quoniam locum hunc exponens lavius angulum effici dicit ex hujusmodi concura seu n-elinatione quid sit duarum linearum in plano concursus. Etiam quid sit jacere in directum. Quid etiam sit inclinatio, quam Clavius eandem rem esse putavit cum concursu. Et quid sit lineam a linea

Recta arcum, sive aliam lineam curvam tangit tantum, quando tangit quidem, tota tamen est extra circulum, ut nullum sit utriusque commune punctum. Ut qui alicujus domus januam tangit tantum, is neque intra domum est, neque in ipsa anua, sed

totus eXtra. Concurrunt autem duae lineae, quando utriusque est aliquod commune punctum, necdum producitur ulterius. Recta denique arcum secat, quando par rectae est intra pars extra circulum. on est ergo eadem res contactus et concursus neque quae e Pl quam tangunt, neceSSari Se mutuo secant neque

recte interpretatus est hoc loco Euclidem Clavius. Tertio, videamus quid sit jacere in directum. Verba illa jacere in directum quem locum in lineis non rectis habere possunt, non intelligo: nam si vera sunt, juxta interpretationem Clavit, qui dicit duos arcus FC CI jacere in directum, etiam duae semisses ejusdem circuli jacebunt in directum; et quod inde sequitur puncta omnia totius perimetri jacebunt in directumn et punctum potest moveri a loco suo, donec ad eundem locum redeat motu directo, et fiat perimeter recta linea. Videamus quarto, quid sit inelinatis Quando

414쪽

402 DE PRINcIPII ET RATIOCINATIONE CAP. VIII. recta rectae ad angulos rectos insistit, non incitur, D. . . i. juxta sermonem communem, omnino inclinari in utramvis partem rectae cui insistit quando autem

altera alteri insistit ad angulos obliquos, tunc inclianari ad eam partem dicitur ubi angulus est acutus. Atque hoc sensu inelinationem intelligit in Elemento undecimo Euclides. Itaque minima inclinatio rectae CB ad CD tunc est, quando altera ad alternin est perpendicularis maxima autem, quando admovetur CB ad CD motu circulari ita ut ambae coin ictant. Idem etiam dici potest de inclinatione rectae CD ad CΑ, et recta C ad Ε, et rectae C ad CB. Μotus enim circularis cujuslibet e quatuor reotis ad rectos angulos deinceps collocatis, inclinationem

mensurat, adeoque angulos eo motu generato et et semper quo major est pars totius circuitionis quae eo motu circulari conficitur, eo major est angulus.

Iam inclinatio rectae CD ad arcum CPquo pacto mensurari potest, cum partes omnes arcus C diversas habeant inclinationes, nisi quod in puncto unico C inclinatio maxima est, nempe puncti quatenus in recta DC ad idem punctum C, quatenus in arcu ΙC Itaque angulus qui fit a curva CI et recta CD, omnino ad punctum ipsum C nullus est, nisi angulus contactus non sit ejusdem g neris quantitatis cum angulo quem Scit radius per motum circularem ad alium locum translatus. De quo fusius dicetur in examinatione Prop. 16. Elem. iii. Videamus denique, cur ad constitutionem anguli necessarium fit ut duae lineae, ipsum effcientes, non jaceant in directum cujus causam hanc reddit Clavius, quod nec duae parte ejusdem rectae, nec duo arcus ejusdem circuli, faciunt angulum. Caete-

415쪽

GEOMETRARUM. 403rum non negabit angulum habere quantitatem, CAP. VIII.

neque duas quantitates ejusdem generis proximi

compositas habere quantitatem unius duplam, neque duos angulos CD, ACΕ esse Vere angulos ejusdem generis. Quomodo ergo negabit duas rectas CD, CE constituere duos angulos rectos, Sive unum amgulum recti duplum λ Continent ergo duae rectae CD, B, quanquam in directum collocatae sint, angulum. Postremo, Clavius definitionem hanc Euclidis exponens sic scribit Consistit autem anguli cujusvis quantitas in sola inclinatione, non in longitudine, linearum lineae enim longius excurrentes non augent suam inclinationem igitur neque -- guli magnitudinem.' Quid ergo opus est omnino ad essentiam anguli lineis quae minui possunt ambae in infinitum, salva quantitate et natura anguli Etiam in angulo contactus, si minuatur arcus IC quantum fieri potest, quaenam erit differentia inter angulos DCC et CD Scire hinc

pote an accuratiores acutioresve sint mathematici, quam aliarum artium studiosi. Restat ut anguli plani naturam explicem, et inter angulum contactus et angulum ex circulatione distinguam et utramque definiam si potero clarius, accuratius, et ad usum geometricum accomodatius. Centro A motu radii AB describantur duo circuli BCD, EFG neque refert utrum AB sit recta an euma, quales sunt curvae punctis signatae ΑΒ, ΑΗ nam easdem describunt tum superficies tum lineas. Et a centro ad circumferentiam ducatur recta A utcunque secans circulum EFG in I. Facit ergo ΑΒ, per motum circularem ad ΑΗ, angulum ΒΑΗ et pergens ad C, lacit angulum m

416쪽

404 DE PRINOIPII ET RATIOCINATIONE CAP. VIII. orem ejusdem generis Appellabimus autem hoc Doti uio genus anguli, avidum genitum ex circulatione,

sive motu circulari radii. Itaque ideam anguli hujus generis persectam habes. Caeterum a definitionem ejus legitimam, investiganda prius e Sunt quae ipsi sunt essentialia.

remum est, ut sit quantum. Hoc autem m-ifestum est, ex eo quod alter altero major esse P

test ut angulus BAC major est angulo BAH. Secundo, quia anguli ΑΗ, ΕΑΙ aequales sunt, sed neque rectae ΑΒ, ΑΕ neque plana ΒΑΗ, EAI,

sequalia sunt, certum est quod essentia anguli non consistit neque in quantitate linearum quibus includitur, neque in quantitate superficierum ΑΗ, EAI: neque denique consistit essentia anguli in magnitudine arcuum BR EI, cum anguli ipsi aequales sint, arcus aequale non Sint.

Ubi ergo inveniemus aequalitatem illam, propter quam aequales dicuntur duo anguli ΒΑΗ ΕΑΙ ΘDuo anguli ΒΑΗ, ΕΑΙ aequales Vocantur, Prorterea quod aequale sunt partes, sive potius eadem pars totius circumlationis radii. Sunt enim duo arcus BFl et E sacti a motu radii, sive recti sive curvi ΑΒ eodem tempore. Itaque aequalitas angulorum hujus generis consistit in aequalitate partium temporis in quo circulatio tota radii perficitur. Atque hinc est, nec aliunde, quod tum anguli tum

sectores, in eodem circulo sumpti sunt in eadem ratione cum Suis arcubus. Habes ergo naturam anguli eae circulatione geniti, nempe eandem cum natura circulationis. Et

angulus ipse est pars circulationis totius. Et arcus, et anguli ui eadem est quantitas. omen autem anguli arcui datum est, propter lineas quae,

417쪽

GROΜETRARUM. 405 ducis a centro ad circumferentiam, faciunt ut an CAP. VIII.

gulus conspiciatur eque sunt illae lineae rectae m,.sula.de essentia anguli, qui sine illis determinatur in arcu, quanquam essentiales sint figuris angulatis, ut triangulis, quadratis, etc. Ex his quae dicta sunt de natura anguli brevis et clara emergit anguli hujus generis definitio haec: Anguis ea circuitionis alve circumlationis, radii, dum circulum vel partem circuli, cribit, quantitas. Dicere enim quod sit inclinatio linearum, aniculae potius est sedentis ad angulum camini, quam mathematici, ejusdemque accurati et rigidi.

Μensuram autem hujus generis angulorum agnoscunt omnes esse arcum circuli agnoscunt item mensuram et mensuratum esse in eodem genere quantitatis. Idem ergo est quantitati genuS, a cus et anguluS. Consideremus jam naturam anguli contactua.

Divisa B bifariam in K, radio B describatur semicirculus BA: ducaturque recta BL magnitudinis indefinitae, sed parallela F, quae propterea tanget circulos B et BD in puncto B. Supponamus rectam aliquam, ut BL aequalem arcu BA: impossibile enim non est. Supponamus etiam BL in omni ejus puncto aequaliter flecti sive incurvari, ita ut coincidat cum arcu BA: neque enim hoc est impossibile, quia ut arcus extensione fieri potest linea recta, ita recta per flectionem converti potest in arcum circuli. Habemus ergo duos arcus BA, BD aequaliter curvos, quanquam magnitudine insequales. Deinde, si a puncto B ducatur recta ΒΜ Secans utrumque semicirculum, majorem in , minorem in ci erunt quoque arcus ΒΜ, B sequaliter curvae, cum sint in eadem ratione cum suis cir-

418쪽

406 DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONEcAP. III. culis integris quanquam arcus ΒΜ major sit quam De angulo. Uri Haeterea, in eodem circulo, quo minor est arcus eo minorem habet curvitatem, in ratione ipsorum arcuum, qui in omni puncto aequaliter flectuntur, sive incurVantur.

Stremo, natura anguli quem faciunt duo arcus ΒΑ, BD, non consistit in quantitate superficiei quam continent: nam anguli quantitas determinata, superficies illa indeterminata est. Similiter neque consistit natura anguli, quem facit recta

B cum arcu Μ, in superficie indefinita, cui illae

dum lineae utrinque adstant. In quo ergo'' inquies, consistit natura anguli contactu duorum arcuum vel arcus et rectae λ' In eo, quod angulus ille determinat quantitatem cum Vitatis ut ex modo dictis aperte constat. amcum duo arcus BD, B sint aeque curvi erunt etiam

arcus ΒΜ, B qui sunt ut arcus BD ad arcum BMaeque curvi Et quia arcus ΒΜ duplo curvior est Sua Semisse, ut arcu BO, erit quoque arcus BΝ duplo curvior quam est idem arcus Bo sibi aequalis. Atque idem omnino continget in omni alia propo tione arcus exterioris ad interiorem. Itaque arcus illi qui angulum contactus dicuntureflicere, aliud non sunt quoniam cumita major, vel minor, vel aequalis, alteri curvitati esse potestinquam quantitas curvedinis circumferentiae. taque angulum contactus, quem angulum dici volunt geometrae, sic definio Angulus contactu rat quantita curritatis quo eat in arcu circuliiacta a mntinua et uniformiserione lineae rectae. Sequitur hinc in puncto primo rectae BL nempe

puncto B, ubi nulla intelligi potest flexio, nullam

419쪽

GEOMETRARUM. 407 esse curvitatem et proinde rectam BD cum arcu AP. VIII. ΒΜ in puncto B constituere angulum rectum Fate' is angula.

tur enim lavius longitudines linearum nil mutare in magnitudine anguli nec ideo angulum contactus quicquam detrahere a magnitudine anguli recti rectilinei DBL.

Sequitur etiam angulum contactus non esse H dem generis cum angulo rectilineo, quod et lavius fatetur cum curvitates arcuum aequale eSS POS- Sunt tunc, quando arcus ipsi sunt inaequales. Haec tibi satis perspicue puto explicavi. Sin argumenta Clavi contra Pelletarium assensum tuum etiamnunc impediant, tollam ea cum istuc Venero.

DE FIGURA.

DEFINITIO decima tertia, nempe, terminus otquod alicujua extremum eae sera Venit cum in tertia et sexta definiisset terminos lineae et superficiei esse puncta. Definitio decima quarta, Mum ea quae aliquo se aliquibus terminis comprehenditur. Quaero hic primo, ad quam Vocem expressam Vel subauditam refertur vox relativa quin Si refertur ad

figuram, definitio erit Mura fora viae alia quo, etc. vitiosa. Si ad Vocem magnitudo, tum definitio talis erit Figura magnitu Ealiquo et aliquitas terminia comprehenditur Vel brevius, Mur ea magnitudo undiquaque nita. Quae quidem definitio est legitima. Sed quomodo excludet ab hac definitione Clarius finitam lineam' Dicet fortasse, lineam quae longitudo tantum G

420쪽

408 DE PRINCIPII ET RATIOCINATIONE CAP. m. terminos alios non habere praeterquam longitu- mahuri dini8, et Propterea figuram non esse. Quomodo ergo differunt inter se duae lineae finitae insequales, quarum altera recta, altera curva ret, si non figura λDisserunt enim plusquam longitudine. Definitio decima quinta Circulus est fora plana vi una linea com rehensa, quin peripheria amelgatur, in quam ab uno puncto eorum quae intra Muram unt Oaita, cadente omne recto lineae inter e sunt aequalea. Quam non reprehendo sed quaero, primo, quare latera omnia simul quae constituunt ambitum polygoni, non seque una linea sunt ac perimeter circuli qui circulus polygonum censeri potest laterum numero infinitorum. Si dicant di ferentiam consistere in eo quod duo latera polygoni non habent punctum commune ad eos quos faciunt angulos, sicut habent duo quilibet arcus circuli, acquiescam. Caeterum si ita dicant, videant an ρίβειαν illam propositionis 47 Elem i, non tollant, cui maxima pars geometriae innititur. Quaerora cundo, cur non definivit circulum a circumductione radii, ut definivit sphaeram a circumductione semicirculi; nam potuit et fuisset definitio illa declaratio generationis circuli, et per illam haec definitio demonstrari breviter potuisset. In his igitur

definitionibus reprehendo την intdrarra.

Definitio tricesima quarta Paralleloe rectae linem unt, quo cum in eodem in plamo, et eae utraque parte in Unitum producantur, in ne tram ibi mutuo incident Vera quidem est propositio, non autem bona definitio Bona definitio ingenerare debet auditoris animo ideam paralle-lismi, id est, sequidistantiae. At in hac definitione ne una quidem vox eSi quae significat aut aequali-