장음표시 사용
421쪽
GEOMETRARUM. 409tatem aut duarum rectarum distantiam. eque AP. IX. omnino possibile est ideam habere lineae infinite n. Muta productae Fortasse, ex eo quod in neutram partem coincidant, demonstrari potest quod sunt parallelae, sive quod ubique seque distant, sed ex alia parallelarum sive sequidistantium definitione. Deinde per bonas definitiones demonstrari solent et debent conclusiones primae hac vero Euclides
Definitio denique neque demonstrabilis est, necesse debet cum sit demonstrationis principium. Hanc autem demonstrabo a definitione alia hac: Paralleloe recim unt, in quarum una umptis duobus punctis ad quodcunque intervallum, ab illis punctis duo rectae fa ciente cum ψε ad eaadem
partes angulo aequiae8, ducto ad alteram, uni requiriles. Ex qua definitione necessario sequitur, duas illas rectas productas nunquam esse concursuras ut quae ubique ab aequalibus rectis aequaliter inclinatis distinentur. Definitio mea haec ideam sequidistantis animo ingenerat, nec ab alia priore demonstrari potest: possunt autem ab illa multo brevius demonstrari
parallelarum rectarum, Vel etiam parallelorum planorum proprietates, quam aut ab Euclide aut a Clavio demonstrantur.
Atque haec dicta sussiciant de definitionibus ad
Elementum primum, ex quibus cognoscere potes quam bene tum Clavius, tum Euclides, tum etiam eorum Sectatores naturam parallelarum, aut anguli, aut lineae, aut puncti intellexerunt. Videamus jam petitione' utrum sequae an iniquae sint.
422쪽
4l DE PRINCIPII ET RATIOCINATIONE
DE PETITIOΝα PRIMA AELEMENTI PRIM ET ME DEFINITIONE DECIMA.cAp. x PETITI prima quonia puncto ad Quo s h. iuis punctum rectam lineam duinere concedatur. prima inementi Si concedatur lineam habere latitudinem aliquam
finitione decima ViSibilem, aequa est: nam a puncto ad punctum
extendi potest ex lino filum. Alioqui factu imm sibile est et propterea petitio iniqua est. Sed illa Euclidis mi μὴ etsi latitudinem habent, duci non potest nisi in plano. llanum autem e- scribi non potest sine ope rectae lineae ita ut neque recta Euclidis, neque superficies planta, a curate describi possit. Opus est instrumentis, chanicis, qualia sunt regula et norma, id est, non Rccurate. AEquum tamen esse fateor, ut in opificiis humanis pro accurato habeatur, quod accurato est proximum Sed quod lineas hyperbolicas et ellimticas duci posse Euclidistae non concedant, cum certius aliquanto ellipsis et hyperbole ope fili duci potest quam linea recta ope regulae), iniquum St. Itaque quamdiu geometrae lineas has duci posse negant, tamdiu petitio haec iniqua est et propterea etiam secunda haberi debet pro iniqua. Definitiones Elementi secundi faciles sunt, et Propter eam causam Vitio carent. Idem dico de definitionibus Elementi tertii fere omnibus. Fere, inquam notandum enim est, quod in secunda definitione Elem iii, definit tangere, per tangere nec 3ecare incertum relinquens an punctum contactus intelligendum sit in una tantum linearum contigu rum, an in utraque, an inter utramque test
423쪽
enim si quod ille dicit punctum nihil est, consi CAP. X. derari punctum inter utramque: nam contigua D. tio possunt non modo loco disjungi, sed etiam qualitate aliqua differre, ut colore. Et propterea duo sunt et sic habebimus tria puncta, nimirum duo in ipsis lineis contiguis quorum alterum sit album alterum nigrum, et inter illa duo puncta tertium
nullius coloris. Quemadmodum etiam duae planae superficies admotae ad contactum mutuum erunt altera alba, altera nigra, altera nihil et tamen omnes simul una superficies. Non dubito quin Euclides tangentes circulorum semper ducendas putavit per diametrorum terminos atque ita punctum contactus Semper Commune fecit trium linearum, nimirum, arcus cireuli, tangentis circulum, et lineae cujusdam per quam tangens ab arcu dividi et loco separari posset. eque credibile est, si contactum quid sit clare explicuisset Euclides, controversiam inter Clarium et Pelletarium de angulo contactus ullam extitisse. Definitio decima : Similia circuli aegmenta sunt, g P angias capiunt aequales, aut in quibu anguli sunt inter se equales. Si in duobus segmentis circulorum valde insequalium inscriberentur duo anguli inter se aequales, credamne omnem hominem, qui agnosceret angulorum illorum aequalitatem,
necessario etiam agniturum SSe ipsorum segmentorum similitudinem inferri posse ratiocinando, id est, inde vel aliunde demonstrari posses Sed tunc
non erit definitio : nam ea debet esse indemonstrabilis. Cum geometria tota versetur circa quantitates, commensurabilia et incommensurabilia, sequatit tem et inaequalitatem, figurarum proportiones et si-
424쪽
4l DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE CAP. . militudines; cumque principia demonstrandi sint mi,uition definitione : quomodo excusari possunt geometrimP - ' ' magistri, qui tanto aliis accuratiores haberi volunt, quod nusquam neque quantitatem, neque menin-ram, neque similitudinem definierunt neque ipsam geometriam, cui, ut Videtur, studere homines aequum CSSe Xistimaverunt, antequam scirent cui O nos Geometriam recte definias esse, cientiam qua ex
aliqua ne aliquibus magnitudinibu menauratis,
cogno8cimu per ratiocinationem alia non men-rataδ menSuram autem esse, materiale aliquid
quod habenti magnitudinem applicatum semel vel plurio, isaam inquat Videmus enim linea mensurari pede, brachio, etc., plana planis, solida Olidis, fluida vasibus seu locis congruis AEqualia
autem esse dices, quiue eidem loco congruere με-
aunt similia, quin εοla disserunt magnitudine quantitatem denique magnitudinem donitam, nempe, expositione aut comparatione cum alia magnitudine cognita. Quae definitiones et faciles sunt, et principia demonstrandi. Clavius, ad prop. 22. hujus Elementi tertii demonstrat, quod 3 duo aut plure circuli a mutuo tangant interius in uno puncto, a quo dum aut plure recto educantur, erunt et arcu intersu cunque linea intercepti, et arcu inter quamcunque lineam et punctum contactu intercesti, imiles. Exempli gratia in figura ad Cap. viii, arcus duos ΒΜ, BN demonstrat esse similes. Et quidem recte. Sed ex eo sequetur arcum utrumque habere latitudinem aliquam, majorem majorem, minorem minorem alioqui salsum erit, Apelle judice, vel alio quovis pictore cum in similibus arcubus insequalibus clatitudines ipsorum arcuum aequaleS
425쪽
GEOΜETRARUΜ. 413 esse non possunt, sed in ipsorum arcuum ratione CAP. . inaequales. Etiam ut longitudine insequiae qua D. Diitio tenus longitudines similes sint, dictu absurdum est
Hactenus peccata definitionum Euclidis leviora: quae tamen, si demonstrationes nullas inficiunt, pro nullis habeantur. Accedo jam ad definitiones Elementi quinti, quae pertinent ad doctrinam rationum et proportionum, geometriae medullam. CAP. XI.
PRIMA est, parx t magnitudo magnitudinia minorm Oriδ, cum minor metitur majorem. Si per partem intelligat partem aliquotam, et inter partes aliquotas numerat totum, nam sequale metitur aequale), bona est: et eadem in lineis est res, pars
Definitio tertia Ratio ea duarum magnitudianum Uuadem generis mutua quaedam ecundum quantitatem habitudo. Quis ex definitione hac, Latina sive Graeca, naturam rationis comprehendere intellectu potesti Quid enim est 6 dem generis 'Ubi hoc in antecedentibus explicavit λ Quid est illud quaedam, sive ut Graece sonat aliqualia ha bitudo Quid denique habitudost eque hoc usquam definivit, neque quantitatem. Idem rationis de qua hoc loco Euclides omnes perfectam habent. ercator scit, ex quantitate collatae a se pecuniae, quantum habere debet lucri. Colonus non ignorat quantum usum agri communis
426쪽
414 DE PRIΝcIPII ET RATIOCINATIONEOAP. i. habere debet, ex quantitate agri sibi proprii Μerminiisti. cator, qui tertiam Partem collatae pecuniae contulit,
statim dicet debere sibi tertiam partem lucri. C lonus qui possidet tertiam partem agri privatim, prompte postulabit tertiam partem usus agri Ommunis. Unusquisque enim videt inesse in ea re comparationem quantitatis ad quantitatem, quantitatis expensi ad quantitatem accepti. Sed ideam hanc ita oratione generali adsequate complecti, ut inde regulas generales demonstrare poSSit, non facile potest unusquisque. Iuxta hanc ideam Vul-gRrem, Proportionem in numeris optime definivit Euclides, Def. 24. Elem. Vii etsi e loco non rationem, sed proportionem dicat. Proportionem autem in alio sensu dicit in Def. 4. Elem. V pro rationum similitudine. Quod parvi momenti peccatum est, nisi quod inconstantia in vocabulis si num sit obscuritatis in intellectu Sed ideam illam quam habuit Euclides a partibua iisdem numerorum, magnitudinibus quae non semper Sunt ut numerus ad numerum adaptare non potuit. Itaque omissa illa responsione partium ad part , coactus est ideam aliam quaerere tum magnitudinum, tum numerorum communem. OVerat in quatuor proportionalibus primum ad secundum ita e habere, Graece, Osrω αειν), ut tertium ad quartum. Itaque
a cogitatione Vocis ita habeat, quasi ab idea ipsa
rei converso Verbo ἔχειν in nomen σχέσις, Seu Verbo
habere in nomen habitudo formavit rationis definitionem illam sterilem, ratio ea duarum magnitudinum ejusdem generia ecundum quantitatem habitudo quaedam sonum Verborum secutus preside rei. Antequam rationem definiam, necessarium est
427쪽
GEOΜETRARUM. 4l 5 definire quantitatem, et quantitatum diversa genera CAP. XI. inter se distinguere. Interroganti enim quantum orations.
eat, qui ita respondet ut interrogantis animus acquiescat in eo quod respondetur, necesse est ut magnitudinem de qua quaeritur Vel exponat ad oculos, Vel determinet per comparationem cum alio quanto per mensuram determinato. Animus enim in indefinitis non acquiescet. Sed quia non omnia quanta mensurantur Perlineam, nec per Superficiem, nec per solidum, totudem erunt genera mensurae quot Sunt genera quantorum. Corpus mensuratur tot mensuris quot
habet dimensiones, et proinde tria habet diversa
genera quantitatum, nempe lineam, superficiem, et soliditatem quarum quantitatum unius pars ParSalterius esse non potest. Et in universum, quantitates illae diversi generis sunt, quarum pars unius non est pars alterius vel ut definitur ab Euclide, quarum una, quantumvis multiplicata, nunquam alteram superabit. Unese ergo omnes, sise rectae sive cureae, ejusdem sunt generis quantitates et quia curva extendi potest, ita ut fiat, non mutata quantitate, recta, altera earum multiplicata alteram superare potest. Ab his tribus generibus Clarius excludit numerum, tanquam genus ab omnibus tribus diversum. Non recte. umerus semper est in eodem genere quantitatis cum numerato. eque genere disserunt unum et plura. umerus autem et plura, idem sunt. umerus linearum, et lineae habent idem genus quantitatis item numerus angulorum, et angulus temporum, et tempus, etc. Quod Clavius
lineam finitam et lineam infinitam ejusdem esse generi negat, superfluum est tanquam si quis di-
428쪽
4I6 DE PRINcIPII ET RATIOCINATIONE CAP. XI. ceret en et On-ena esse diversi generis linea enim
Distatum. infinita nulla est Quod autem dicitur in math maticis infinitum, id significat solummodo indete minatum, sive indefinitum, id est, quod quantum sit non est dictum. Distinguendum etiam est inter quantum et quantitatem, quorum unum nunquam dicitur de altero. aeterea etsi magnitudo, ut longitudo, superficies, soliditas, solis corporibus tribui proprie pos- Sunt, quantitas tamen multis aliis rebus tribui recte potest. Quicquid enim est de quo vere dicimus, quod majus vel minus alio est, Vel aequale, Vel de quo vere dicitur magis vel minus vel aequaliter est: habet illud quantitatem et dimensionem, Vel unam vel plures. Et proinde tempori sua quantitas est, quae exponi potest per lineam. otui est sua sibi quantitas, exponenda per lineam. Etiam vis habet
suam sibi quantitatem, exponendam per lineam vel planum. Et pondus quantitatem Suam quae X- poni potest etiam per lineam vel solidum. ectamen inde inferri potest, aut tempus, aut motum, aut Vim aut pondus esse lineam aut aliam magnitudinem. Denique ratio, quoniam ratio alia alia major est vel minor, quantitatem habet, et per duas lineas exponitur. Quandocunque enim exponuntur duae lineae, non modo exponuntur ipsae, sed etiam ipsarum ratio Ratio enim est, ut eam definiam, ain nitredinis ad magnitudinem relatio. eque exponi potest nisi per duas lineas, quarum altera antecedens altera consequens, ut in omnibus fere aliis relationibus, appellatur.
429쪽
DE IISDEw RATIONIBUS. DEFINITIO sexta in eadem ratione magnitudines Ap. II.
dicuntur esse, prima ad secundam, et tertia ac tua quartam, cum primae et tertiae neque multiplicia a cundo et quartae neque multiplicibua, quali8cunque sit Haec multiplicatio, utrumque ab utroque vel una deficiunt, vel una aequalia unt, vel una excedunt: si ea sumantur guta inter e re ondent. In hac definitione nulla mentio est habitudinis unius magnitudinis ad aliam, cum tamen ex definitione Euclidis verba illa sunt de rationis essentia Itaque aut definitio rationis, aut definitio ejusdem rationis, vitiosa est. Neque axioma est, quia non est lumine naturali cognoscendum. eque est ex antecedentibus demonstrabile. eque denique de quantitate continua demonstrabile est ex subsequentibus. Et tamen vera est propositio, et conversa propositionis 2 hujus Elementi, Demonstrari autem potest per definitionem quam ego posui hanc ratis ea duarum magnitudinum a cundum quantitatem relatio et demonstratam vidi. Clarius, sentiens ut puto definitionem hanc egere defensione longam de causa propter quam ' Euclides quatuor magnitudines proportionales et non proportionales per earum seque multiplicia definierit,' orationem instituens, nullam adfert camsam aliam, praeterquam quod, propter multarum magnitudinum incommensurabilitatem, coactus sit investigare aliquid quod certum sit convenire qui-VOL. IV. E E
430쪽
418 DE PRINcIPIIS ET RATIOCINATIONEcAP. II. iuscunque numeris eandem habentibus propor-D. ilia.. tionem deinde idem demonstrare convenire etiam η hq in commensurabilibus. Hoc tamen nusquam Praestitum est Itaque idem est ac si dixisset, ideo illum proportionalia sic definiisse, quia definitionem
meliorem nondum poterat reperire. Exponantur quatuor numeri proportionales,
8: : 6 3 Vides hic duas relationes totius ad dimidium: sunt enim totum et dimidium rei tiva, et relatio totius Mad dimidium suum , --dem relatio quae totius 6 ad suum dimidium . Idem dici etiam potest de tertiis, quartis, ete , aeque ac de dimidiis. latet ergo rationem esse
relationem et rationem eandem esse relationem eandem. Et propterea proportionem in numeris per
partea e dem recte definivit Euclides Sed invenire debuit aliquid quod rationibus etiam magnitudinum incommensurabilium conveniret. Cur autem
non fecit An impossibile erat escio, nisi quod sit dissicile. ius lineae simul atque ductae
sunt, habent inter se rationem suam, quaecunque ea sit. Et quae causa essiciens erat ipsarum linearum, eadem erat et causa ejus quam habent inter se tionis. Causa ipsarum linearum essiciens erat ductio, id est, motus quare etiam causa emiens rationis quam habet earum altera ad alteram, erat mutus
ille idem, ex quo motu lineae ipsae ortae sunt. Etiam ratio illa eadem erat in motibus ipsis, quibus illae lineae erant descriptae. Quaerenda ergo est rationis duarum linearum inaequalium identit , sive aequalitas, sive similitudo quae tria nomina in rationibus idem significant in motuum inaequalium aliqua similitudine, id est in responsione partis ad partem vel portionis ad portionem sive illi partes aliquo-