장음표시 사용
431쪽
cogitaverit, proportionalia ipsa determinabit, ductisque lineis rectis determinabit exponetque oculis. Factu autem difficile non est. osti enim motu sive ductu lineae uniformi partes lineae descriptas
aequalibus temporibus, semper esse inter Se sequales. Item si linea descripta sit eadem semper Velocitate, partes ejus aequalibus temporibus descriptae esse etiam inter se aequales.
Sit recta ΑΒ descripta motu uniformi, in tempore quocunque et in parte aliqua ejusdem temporis, eodem motu uniformidescripta sita pars rectae AB. Quoniam ergo motus uniformis erat in omnibus partibus aequalibus temporis, descriptae erunt partes aequales tum totius rectae AB, tum rectae AD sive illae partes toti A sint, vel non sint, commensurabiles.
Eodem tempore, motu uniformi quidem ut ante, sed tardiore, sit descripta recta AC, faciens cum AB angulum quemcunque AC et quo tempore descripta erat AD, eodem intelligatur descripta ΑΕ. Quare in rectis AC, ΑΕ, pro partibus sive portionubus sumptis in ΑΒ, portiones aequales semper describentur in C eodem modo quo tota Brespondet toti AC, et pars AD parti AE. Habebunt ergo partes aequales factae sequalibus temporibus in AC ad partes aequales factas aequalibus temporibus in Ameandem rationem, singulae ad singulas, quam habet tota AC ad totam AB, sive etiam quam habet AE ad AD. tiam partes omnes aequalibus temporibus factae in EC, differentia inter AC, AR, ast partes omnes aequalibus tempori-
432쪽
420 DE PRINOIPII ET RATI OcINATIONE CAP. xii bus factas in BD, disserentia inter AB, AD),mis . Singulae ad Singulas, eandem habebunt rationem
quam AC tota ad ΑΒ totam velis pars ad AD
Quare si ΑΒ et, sint incommensurabiles, et proinde etiam AC, ΑΕ incommensurabiles intelliganturque quotlibet partes aequales sumptae in AB, ita ut restet ad complendam ΑΒ pars minor quam una earum partium; et totidem partes aequales intelligantur sumptae in AD, ita etiam ut restet ad complendam rectam D minor quam una harum partium isatque idem in rectis C AE: omnes illae partes aequales simul sumptae in AB, habebunt eandem rationem ad totam AB, quam habent partes similes aequales sumptae in AC ad ipsam AC et quam habent omnes similes partes aequales sumptaei AD ad ipsam AD AEt quam habent omnes similes partes aequales sumptae in ΑΕ ad ipsam M. Esedem ergo sunt rationes, quas determinat sive exponit motus uniformis id est, motus aequalibus temporibus aequales rectas describens) eodem tempore nempe ratio AB ad AC, vel AD ad M, vel differentiae DB ad differentiam O, sive in commensurabilibus sive in incommensurabilibus. Quare ratione madem definio esse ima, quas exponit in duabus rectis motu uniformis aequaliabus temporibus vel universalius, in eaciem ratioris
sunt, quae determinamur a cauδα quacunque temporibus aequalibu aequalia e lente. In eadem figura, si jungatur BC, et ducatur DF parallela EC secans BC in F erit triangulum BDF simile toti triangulo BAC, propter angulos ad Met aequales, et angulum ad B communem. Simules autem figurae non sunt quae differunt plus quam
433쪽
magnitudine: nam si non essent sequiangulae, aut CAP. XII. non haberent latera circa aequales angulos Propo D. iud-tionalia, non esset inter eas ulla figurae similitudo. mih
Eadem ergo est ratio AB ad DB, quae C ad DF. Sed ut AB ad BD, ita ostensa est esse C ad EC. Sunt ergo D et EC aequales et proinde ducta DE triangula DE, ABC sunt similia. Ad definitionem hanc, propositiones illae quae
sequuntur in Elemento quinto, de permutatione,
runt et ad lucem ejus omnes fere sese demonstrant Euclidis autem demonstrationes duplo Plure sunt, propterea quod idem in quantitate continua seorsim a numeris demonstrat et multo longiores quam erat necesse, propter sterilitatem definitionis rationiS. Sed quid'' inquies, opus est theorematum
pure geometricorum demonstrationes a motu peteres V Respondeo primo demonstratione Omnes, nisi scientificae sint, vitiosae sunt; et nisi a causis procedant, scientificae non sunt. Secundo, nisi conclusiones a constructione, id est, a descriptione figurarum, id est, a linearum ductione demonstrentur, vitiosae sunt. Iam omnis linearum ductio motus est itaque Vitiosa est omnis demonstratio,
cujus principia prima non continentur in definitionibus motuum quibus figurae describuntur. Sed post theoremata aliquot prima demonstrata, caetera ab his dependentia non egent demonstratione quae fit a motu, ut quorum demonstrationes in demonstrationibus priorum continentur nec alia re egent, ut intelligantur, praeter illorum priorum explicationem, Vel conversionem.
434쪽
422 DE PRINCIPII ET RATIOCINATIONE
CAP. Sili. DEFINITIO decima irreprehensibilis est, nempe Dε rationum haec : Cum autem tres magnitudines proportis-nal fuerunt, prima ad tertiam duplicatam rati nem habere dicitur ova quam habet ad secundam rat cum quinettuor magnitudine proportionades iumrint, prima ad quartam triplicatam rationem habere dieitur ejus quam habet ad aecundam e et semper deinceF3, uno amplius quamdiu proportis titerit.
Est autem quod reprehendi potest et debet in expositione hujus definitionis apud Clavium. Sic
enim scribit Interpretes nonnulli colligunt ex hac definitione, si proponantur plures quantitates continue proportionales, proportionem primae qua titatis ad tertiam esse duplam proportionis primae quantitatis ad secundam, eo quod Euclides illam vocet duplicatam proportionem hujus. Eodem modo volunt, proportionem primae quantitatis ad quartam esse triplam proportionis quam habet prima quantitas ad secundam, etc. Quod tamen nulla est ratione concedendum. Neque enim Euclides hoc significare voluit, sed docuit tantummodo proportionem primae quantitatis ad tertiam, appellari duplicatam ejus proportionis quam habet prima quantitas ad secundam ; propterea quod inter primam quantitatem ac tertiam reperitur quodammodo proportio primae quantitatis ad secundam duplicatan quippe cum inter primam quantitatem ac tertiam interponantur duae proportiones aequales ei proportioni, quam habet prima quantitas ad secun-
435쪽
dam, et sic de caeteris, ut diximus on autem AP. III. intelligit illam duplam esse hujus, ne theorema D. uotium proponeret, quod merito quispiam concedere recu saret Quis enim assirmabit, in his numeris Ontinue proportionalibus, 25-5-l, proportionem 25
ad I duplam esse proportionis 5 ad x cum potius eam quis dixerit esse quintuplam λVIn illis qui putant, positis tribus continue proportionalibus, rationem primi ad tertium duplam esse rationis primi ad secundum item positis quatuor proportionalibus, rationem primi ad qua tum triplam esse primi ad secundum, ubi primum
est omnium maximum etiam ego sum. Exempli gratia in his numeris 8-4-2-l, dico rationem
S ad 1 esse triplam rationis Mad 4 et sesquialteram rationis Mad ν; et rationem adis duplam esse rationis S ad 4. on solum quia Euclides tiones illas triplicatas vel duplicatas appellat, sed
quia Verum est, et lumine naturali aeque mande tum ne unum et unum esse duo, aut unum et duo esse tria. Vox qua utitur hoc loco Euclides, nempe oιπλασιων,
et vertitur a Clavio duplica ta aliis in locis utitur pro dupla. rimo introp. 20. Elem. iii. Itaque
angulus in centro, non minus dicitur duplicatus anguli in circumferentia, quam duplus. Etiam a Cl
vi vertitur vox illa Graeca πλασίων non modo per
Fleae, sed etiam per duplua in propositione ipsa et in conclusione per dupleae, scilicet ne dissentire videretur propositio a conclusionen sed in demonstratione, per duplus. Si ergo duplicatum, dupleae, et duplum, in quantitatibus non idem significant, non debuit illis uti ut idem significantibus. Rursus in propositione ultima Elem. ix eadem
436쪽
424 DE PRINCIPII ET RATIOCINATIONE CAP. XIII. Voce Graeca utitur Euclides pro ratione 2 ad I EID. talionu ad 2, ubi rursus Clavius illam reddit per duptiam 'qui' onne ergo et ipse lavius, ex eo quod dixit Euclides duplicatam, intellexit sicut alii duplam
Qui verbi ejusdem significationem modo unam modo aliam facit, mihi quidem videtur subjectain rem nullo modo intelligere. Quo autem nominEappellabunt rationem' ad 4 comparatam Cum --tione Mad 2 Dicent illam esse hujus catam, et rationis Mad I ubtriplicatam. umerum autem numeri subduplum dicent, non subd plicatum; et numerum 2 numeri 6 non subtriplicatum, sed subtriplum: nomina latinae genti inaudita. Itaque cessantis jam linguae Verba, quae
velut testamenta morte confirmata sunt, et quae mutari non debent, suo arbitrio sine necessitate
mutat. Quid enim omnino significat subduplum aut subduplicatum, si significat aliquid praeter dimidium aut subtriplum vel subtriplicatum, praeter tertiam partem. Retinebo ergo Vocabula propria, duplicatum vocans etiam duplum, et triplicatum triplum; nec pro subduplicato et subtriplicato dubitabo dicere dimidium, et tertiam partem, Vel si libet trientem. Etiam in rationibus quanquam id non concedat lavius similiter dicam, nisi id falso dici ostendat. Quod enim rogat, 'Quis in mabit in his numeris continue proportionalibus 25-5-l, proportionem 25 ades duplam esse proportionis 5 ad x potius eam quis dixerit esse quintuplam' nihil probat Quid, quia terminus primus est quintuplus secundi, et secundus tertii: ob eam causam dixerit aliquis rationem 5 ad 1, quintuplam esse rationis 5 ad I potius quam plam anifestum est rationem 5 ad 5 esse
437쪽
GEOMETRARUM. 25 rationem unicam, et rationem 5 ad 1 esse etiam AP. m. unicam et ipsi aequalem et rationem 25 ad I com misi titiis
poni ex illis rationibus duabus aequalibus. Quid ' aliud ergo negat lavius, nisi rationem ex duabus rationibus aequalibus compositam constituere unius earum duplam Cur autem hoc negat Quia numerus 25 numeri 5 est quintuplus : scilicet oblitus quaestionis, quae non instituitur de numero vel magnitudine aliqua absoluta, quae sit alterius quintupla, sed de ratione quae est magnitudo comparativa; itaque rationem unicam 25 ad 5 computavit pro quinque rationibus. atus est error lavit, ex eo quod vulgo apud mathematicos Vocabatur ratio
quintupli ad simplum quintupla ratio, et ratio dupli ad simplum ut Elem. ix. Prop. ult. ratio dupla imperite et falso nam ratio 2 ado non est rati, dupla, sed simpla, nempe dupli ad simplum eque quicquam valet quod illustrationis causa subjungit, quemadmodum etiam propo ti octupla dupla est proportionis quadruplae cum tamen quadruplae duplicata sit sedecupla, ut hic patet I 6-4-l Dissicile conceptu est quomodo octapla proportio magis sit quadruplae dupla, quam octuplicata sit quadruplicatae duplicata. Esto autem octupla proportio quadruplae dupla. Quid sequitur Nonne, quemadmodum in his numeris 16 unitates duplae sunt octo unitatum ita sedecem rationes duplas esse octo rationum: et proinde etiam duas rationes, I ad 4 et 4 ad I duplam esse rationis I 6 ad 4 vel 4 ad I id quod Clarius demonstratum nollet λΡostremo objiciens quaerit, in tribus magnitudinibus aequalibus, Vel in tribus aequalibus numeris, ut 4. 4. 4, atque adeo continue proportionalibus,
438쪽
426 DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONEOAP. xiii qui fieri potest ut proportio primi ad tertium clopis I riuotiui Sit proPoritonis primi ad secundum, cum sit omnino is Ri eadem Θ rofecto si ratio 4 ad 4, nempe ratio sequMisad aequale, id est, ipsa sequalitas, quantitas sit, ala est objectio. Si quantitas non sit, frivola est et
cum nihil ad nihil additum, vel per nihil multiplicatum semper facit nihil. Antequam autem in hanc et alias ejus objectiones respondeam, non abs re erit quantorum genera amplius ex ipsis Eucli et Clavo distinguere, et quid sit rationum adintio et a tractis, ex iisdem explicare et cur in tribus continue proportionalibus, quorum primum est maximum, rationem primi ad tertium duplam essEdixi rationis primi ad secundum non tamen quando primum est minimum.
DEFINITIO quinta lementi sexti haec est Resis eae rationibus componi dicitur, cum rationum quantitate inter a multiplicatio aliquam Moerivirationem: et vera est. Nam si sint proportiones illae duae eaedem Vel non eaedem, sive prima maxima sit vel non maxima, semper illis conveniet demnitio. Exempli gratia in his numeris 4-2.6-3, ubi rationes sunt eaedem, si multiplices inter se antecedente 4 et 6, qui faciunt 24, et consequentes 2 et 3 qui faciunt 6 ratio nascens erit ratio 24 ad
6, id est 4 ades, id est, duplicata rationis 4 ad 2
439쪽
GEOMETRARUM. 27 velis ad 3. Rursus in iisdem numeris inversis, AP. XIV. 2-4.3-6, multiplicatis inter se tum anteceden iatibus tum consequentibus, oritur ratio G ad 24 sive I ad 4, quae est duplicata rationis 2 ad 4. Rursus sint rationes non eaedem, ut in his numeris 4-2.6-4, multiplicatis tum antecentibus tum consequentibus
gignetur ratio 24 ad 8 sive I ad 4. Expositis autem his numeris, l2-6 4, erit ratio I 2 ad 6 eadem cum ratione 4 ad 2 et ratio Mad 4 eadem quae ante. Idem in horum conversis continget, 2-1.4-6. Atque hinc intelligere licet, quid sintillae quas appellat Euclides rationum quantitates,
nempe rationum antecedentes et Consequentes. Νec tamen voluit tantam esse rationem quanta est antecedens, aut quanta est consequens ejus et quarum utraque est quantitas absoluta, sed neutra
earum ratio. Quantitatem autem rationis 4 ad 2 interpretatur lavius per fractionem P, et rationem 6 ad 3 per j quas appellat etiam rationis denominatores. Quas si inter se multiplices, habebis quidem fractionem cujus numerator ad denomin torem rationem habet compositam ex rationibus ad 2 et 6 ad 3 propterea quod etiam sic multiplicantur inter se tum antecedente tum consequentes, ut prius. on est autem fractio , nec ratio composita, nec omnino ratio, cum sit pars
quantitatis absolutae. Aliud enim est l. id est , aliud ratio quaternarii ad unitatem. Ratio enim duabus lineis exponitur semper, at quantitas a
Quod Clarius hic scribit Quoniam denominator cujuslibet proportionis exprimit quanta sit magnitudo antecedens ad consequentem, dici solet propterea quantitas rationis' recte quidem dicit
440쪽
428 DE PRINCIPII ET RATIOCINATIONE CAP. XIV. Eurimit, non recte autem arithmetici dicunt eoae,m,inotitii nempe, quotientem divisionis numeri per numerum ivvis esse rationem ipsam divisi ad divisorem unde multa in geometriam irrepserunt absurda, et plura indies consequentur; quorum causa magna e Parte
fuit Clavi haec impropria locutio. Qualis etiam videtur tibi haec oratio in mathematicis quarisa ait magnitudo antecedena ad Onaequentem bebat enim dicere, quanta ea magnitudo avi ceden ut comparis cum Onaequente, Vel quanta est inti magnitudinis antecedentia ad magnitudinem consequentem. Scio Clavium linguae Latinae scientissimum fuisse : sed huic illius sententiae de compositione rationum inimica erat elocutio clarata CΑΡ. XV.
CLAVIUs ex hac definitione quinta Elementi sexti recte infert, quod in magnitudinibu quibuacunque virdine F itis, proporti primae ad ultimam disetur Oni eae proportione prinia ad aecundam, et aecundae ad tertiam, et tertim ad quartam, etc. Cujus etiam demonstrationes aliquot adfert ex. Theone Vitellione, utocio et Apollonio ita ut nullo modo a lavio negari possit, qui eandem in numeris pro definitione ad Elem. vii
posuit. Itaque in tribus lineis A, B, Cordine expositis, ratio A ad C componitur ex rationibus A ad B et B ad C et rursus ratio C ad A componitur ex ratione C ad Bet ratione B ad A.