Thomæ Hobbes Malmesburiensis Opera philosophica quæ latine scripsit omnia ...

441쪽

GEOMETRARUM. 29ri definitionem quintam Elem. V, quae haec est AP. I V. Rationem Mere inter a magnitudine dicuntur, critionum quo γοεδunt multiFlicatae eae mutuo auperare: -

explicat Euclides, ut recte dicit Clarius, quidnam

requirant duae quantitates ejusdem generis ut rationem dicantur habere, nempe, si non habeant hanc conditionem ut altera possit multiplicata alteram superare, non esse illas neque ejusdem generis, neque habere inter se rationem. Unde manifestum est, primo, lineam, superficiem, et solidum esse diversa genera, vel potius diversas species quantitatis. ulla enim harum quantumvis multiplicata alteram superabit. Secundo, angulus genitus ex motu circulari, et angulus contactus, diversae sunt species quantitatis Angulus enim contactus nulla unquam multiplicatione superabit angulum genitum ex motu circulari. Tertio, ratio majoris ad minus, et ratio minoris ad majus, sunt diversae species quantitatis. amratio minoris ad majus, quanto magis multiplic

tur, tanto semper minor est.

ETIAM DE RATIONUM CALCULO.

CLAVIUS, ad prop. 23 Elem vi, aliam habet methodum componendi rationes. Sint duae rationes

6 ad 4 et 2 ad 8 componendae. Fiat ut 2 ad 8, ita consequens 4 ad aliam I 6 eritque ratio in locomposita ex rationibus 6 ad 4 et 2 ad 8. Positis enim ordine his numeris , 4, 6, priores duae

442쪽

430 DE PRINCIPII ET RATIOCINATIONEOAP. xvi habent rationem 6 ad 4 posteriores duae rationem

φώς λ' Habet etiam methodum auferendi rationem minorem a majore Sit ratio I ad 4 auferenda rationΘ2 ad 4. Fiat ut 2 ad 4, ita antecedens I ad aliam 2 et collocentur ordine tres numeri I, 2, 4. Ratio 1 ad 4 componitur ex rationibus 1 ad 2 et 2 ad 4-Quare ablata ratione 2 ad 4 ex ratione 1 ad 4, reliqua est ratio I ad 2. Similiter, si ex ratione 3 ad 2 auferenda sit ratio 2 ad 3, fiat ut 2 ad 3, ita 3 ad aliam 4,. ampositis ordine, 3, 4, 2 ratio 2 ad 3, id est, ratio 3 ad 4ὲ, aufertur a ratione 3 ad 2 et relinquitur ratio Lad 2. Atque hae methodi ambae comprobantur a Clavio ad prop. 23 Elem. i.

RESPONSIO AD QUAEDAM QUAESITA CLAVII.

RESPONDEo jam ad quaesita lavit, et primo ad hoc: Quiseri potest, ut positis tribu magnitudianitas equalibus 4 4 4, rati primo ad tertiam dupla ait rationis primo ad 3ecundam, cum it Omnino eadem Quoniam ratio primae 4 ad secundam , quantumvis multiplicata nunquam superabit rationem eandem 4 ad 4, neque quantumvis per medias i terpositas divisa ab illa superabitur manifestum est rationem 4 ad 4 et in universum, aequalis adaequale non esse quantitatem, neque OSSe sequalitates alias aliis majores vel minores esse. Insequalitatum autem alia alia major esse potest, et

443쪽

GEOMETRARUM. 43lproinde habet quantitatem Iam quod quaerit AP. xvii. Clavius, quomodo positis ordine 4 4, 4, ratio Primae Riamurioia

ad tertiam dupla esse potest rationis primae oz.r

secundam, idem est ac si quaesiisset, quomodo positis tribus cistis 0, 0 0, ratio primae ad tertiam potest esse dupla rationis primae ad secundam: cum revera et proprie loquendo, unum nihil alterius nihil neque duplum neque duplicatum est. Rursus Clavius, ad finem Elem. ix, ut probet rationem duplicatam non esse rationem duplam, sic scribit Imprimis igitur compositionem propo tionum,' vocabulis enim ratio et proportio aliter quam Euclides promiscue utitur), de qua Euclides agit Def. 10, lib. V eloe, et in propositionibus duplicatam, triplicatam, et compositam proportionem de magnitudinibus vel numeris demonstrat, dico non esse Vere additionem proportionum, ita ut duplicata vel triplicata proportio sit duplo aut triplo major ea proportione cujus illa dicitur duplicata,

triplicatave item ut proportio ex pluribus propo tionibus composita sit Vere totum quippiam, cujus partes sunt proportiones ex quibus dicitur composita. am, etc. Si positis his terminis continue proportionalibus, . 0. 00, proportio 1 ad 100 non solum duplicata diceretur proportionis 1 ad 0, sed vere esset duplo major, etc., quis non videt Partem esse majorem toto λ' Respondeo primo non Videri mihi recte illatum, ex eo quod l. 10. 100 sunt continue proportionales, et ex eo quod ratio 1 ad lo major sit ratione 1 ad

I 00, partem esse majorem toto. Secundo, si illatio legitima sit, necesse est, quanquam absurda sit, sit tamen vera. am ipse lavius utrumque ammat, ne quisquam negat, nempe, et

444쪽

432 DE PRINcIPII ET RATIOCINATIONE PAP. VII. rationem I ad 100 esse totum, cujus pars est ratio

Dialo. I ad I 0 et rationem 1 ad lo majorem esse rationΘ

Γὰ24 oin t ad 100. Itaque si qua hic vere subsit a

surditas, lavii est nec solum illorum qui dicunt rationem duplicatam esse duplam. latet autem illa vel in assumpto hoc: In magnitudinibus κλ

acunque Ordine mattis, rationem primae ad uti mam com ait ea ex rationibus intermediis vel in diverso genere rationis majoris ad minus a genere rationis minoris ad majus Quare propri tates tum rationum ordine positarum, tum utriusque generis rationum, diligentius paulo consio

rabimus.

Et primo, in rationibus ejusdem generis, sive magnitudines decrescant perpetuo a majore in minus, sive perpetuo crescant a minore ad majus, compositio vera est. Sint enim tres numeri l00, 10 l, quae rationes sunt majoris ad minus. anifestum est rationem 100 ad I compositam esse ex rationibus l00 ad 0 et l0 ad 1, eandemque tum duplicatam tum duplam esse rationis utriusvis ad 10 vel l0 ad I. Item inversim, ubi rationes I. 10. 100 sunt minoris ad majus, manifestum est rationem compositam 1 ad 100 aequalem esse ambabus rationibus 1 ad I et I ad I 00 inter se

aequalibus. Deinde in his numeris l6, 4, 2, manifestum est rationem compositam I ad 2 aequalem esse duabus rationibus t 6 ad 4 et 4 ad 2 quarum prima ratio secundae est duplicata, tota autem ejusdem secundae triplicata. Item in his numeris illorum inversis 2 4, 16, composita ratio 2 ad I 6 aequalis est duabus rationibus quarum secunda est primae duplicata, composita autem ejusdem primae tripli.

445쪽

GEOMETRARUM. 433 Etiam in tribus aliis quibuslibet magnitudinibus, CAP. VII. quarum prima est maxima, tertio Vero minima, o,poti,io ad

idem continget ut in his numeris i 2 8, 2, ubi ra 2 C. ' tio primae ad secundam est eadem quae 3 ad 2, Tatio autem secundae ad tertiam eadem est quae ad .. Componamus has primo juxta definitionem traditam ab Euclide, Def. 5 Elem vi per multiplicationem inter se tum antecedentium tum consequentium. Oritur autem ratio I 2 ad 2 cujus parte componentes erunt rationes 3 ad 2 et 2 adu id est, multiplicatis omnibus terminis per ο), ratio I 2 ad 2 composita ex rationibus I 2 ad 8 et 8 ad 2.

Deinde componamus easdem per regulam compositionis aliam traditam a Clario ad Prop. 23. Elem vi. Fiat ergo ut 3 ad 2, ita 2 ad aliam . . Expositisque numeris 3, 2, ὲ, erit ratio compositam ad Laequalis rationibus componentibus 3 ad 2 et 2 ad . . am multiplicatis omnibus terminis per , nascentur numeria2, 8, 2, iidem qui prius. Itaque nihil video quo minus propositio illa,

nempe rati primi ad ultimam composita est ex rationibres intermediis, pro vera habeatur. Adverto etiam obiter, rationes componendi methodum hanc Clavianam esse veram rationum additionem non autem, ut vult lavius, multiplicationem. Quomodo autem eadem propositio, nempe, rationem primi ad ultimum cO Ogitam Gae eae rationibu intermediis locum habeat quando una ratio est majoris ad minus, altera minoris ad majus, dissicile explicatu est. Sint continue proportiOnales l,l0,I00 sed alio ordine collocatae, ut l,l00,l0 Cum ergo per propositionem illam univere

446쪽

434 DE PRINOIPII ET RATIOCINATIONHCAP. XVII. lem, ratiora ad I 0 composita est ex rationibus I ad m,mti,io. l00 et l00 ad I 0, sicut totum ex inibus, erit

si ' ratiora ad l00 pars rationis 1 ad 10 Sed quota

pars Ea scilicet pars, quam geometrae uri -- pellant subduplicatam rationis I ad 10 Qui vero ratio 1 ad 00 minor est quam ratio 1 ad 10, erit pars 1 ad 100 minor quam reliqua pars, umrato ratio una minor est quam duae; et sunt a Be --tiones 1 ad 100 et 100 ad 10 partes rationis I ad 10, si modo ratio I 00 ad I 00 quae quantitas non est pro quantitate computetur alioqui ratio I ad 10 non potest esse pars rationis 1 ad 10. eque enim duae quantitates diversi generis, quale o tendi supra esse rationes minoris ad majus, et, joris ad minus, partes ejusdem quantitatis esse

tionem ad I 0 ex rationibus 1 ad l00 et 00 ad

10 λ Respondeo, Verum esse secundum Verborum SenSum proprium, nimirum, si ratio 100 ad 10, siv

ratiora Madri, addatur rationi 1 ad 100, nasci rationem compositam ad insequalem duabus ratio nibus I ad I 00 et Mad I. Id quod facilius intelliges, si prius duo illa genera rationum quomodo

creSeunt, minuuntur, componuntur, et alterum ab altero substrahitur, clare explicaVero.

Sumantur ergo quinque magnitudines continue proportionales in ratione majoris ad minus exempli causa, 81, 27, 9, 3, i, quarum inVeras I,3,9, 27, 8 I, sunt in ratione continua minoris ad majus et media omnium est . In his, incipiendo a maxima, desinendo in media, tres primae sunt ratione majoris ad minus incipiendo autem a minima, desinendo in media, tres primae sunt rationes minoris ad maj .

447쪽

GEOMETRARUM. 435 Rursus incipiendo a maxima ratio primae ad ter CAP. XVII. tiam est major ratione ejusdem primae ad secun -, o addam, nempe duplo major: contra, incipiendo a II; T

minima ratio primae ad tertiam minor est ratione primae ad secundam, nimirum duplo minor. Tertio incipiendo a maxima, Semper Prima majorem rationem habet ad eam quae proprior est tertiae, quam ad eam quae ab eadem tertia est remotior contra Vero, incipiendo a minima, semper prima minorem rationem habet ad eam quae tertiae proprior est, quam ad eam quae a tertia est remotior.

Quarto, incipiendo a maxima rationes sunt X- cessuum quibus majores superant minores contra Vero, incipiendo a minima rationes sunt defectuum

quibus minores deficiunt a magnitudine majorum. Quinto ratio tertiae ad tertiam quae est aequalitas in rationibus excessuum minor est omni ratione eXCessus contra Vero, ratio aequalitatis major est omni ratione defectus et quia ratio aequalitatis quantitas non est, erit quantitas rationis defectus minor nihilo tanto quanto ratio excessus ipsi respondens major est nihilo. Exempli gratia exponantur I. 27. . . . in margine sedem magnitudi- . . . . .

nes proportionales et quia ratiora ad 9 duplicata est rationis 27 ad 9 subin ponatur 2 et sub 27

ponatur i, quae significent duplicatam rationem et unam rationem; ponatur autem cyphra subis, propterea quod ratio Mad 9 quantitas non est. Similiter subra ponatura, et subra ponatur l. Vides itaque rationemra ad 9 duplo majorem esse ratione 27 ad 9, quia rationes illae sunt ut duae r tiones excessus ad unam item rationem I ad s

448쪽

436 DE PRINcIPIIS ET RATIOCINATIONE CAP. VII. duplo minorem esse ratione 1 ad 3, propterea quod

Rων ..cram ambae rationes desectus Quoniα- igitur Toπ' ratiora a s duplo minor est quam ratio I - , manifestum est rationem I ad 3 duplo inviorem esse quam ratio 1 ad s. His intellectis, ostendendum est quomocto in his numeris 1.100. I 0. ratio I ad I componitur ex rationibus I ad I 00 et 100 ad 10. Quoniam enim rationes 100 ad 10 et 1 ad I 00 simul additae faciunt rationem sequalitatis, i altera alterius quantitatem extinguit, restabit rutio ad 10 pro summa rationum I ad l00 et O ad 10 ut qui unum dederit carenti duobus moit ut

careat tantummodo uno.

Atque hoc exacte convenit cum Def. 5. Elem. i. Νam antecedentes rationum 1 ad 100 et 100 ad Io, sunt I et 00 consequentes autem 100 ad in tecedentes in se multiplicatae faciunt 100 : Consequentes autem multiplicatae in se faciunt 1000: sed ratio 100 ad 1000 eadem est cum ratione Composita I ad I 0. Componitur ergo ita ratio I ad loe rationibus 1 ad 100 et 100 ad 10, ut partes componentes sint Vere partes rationis compositae. Sed rationes 1 ad 100 et 100 ad 10 non sunt partes ejusdem rationis compositae I ad 0 neque Mepossunt, cum sint diversi generis rationes. Vides ergo rationem duplicatam duplam quoque esse, hoc est duplo majorem esse ratione quae duplicari dicitur. Ut in iisdem proportionalibus i ,10,100, ratio defectus 1 ad 100, duplicata est tionis defectus I ad 100 duplicata scilicet defectus ratione): et propterea etiam duplo major, quia sublatio defectus quantitatem auget. Μanifeste hinc sequitur theorema hoc miserSale.

449쪽

GEOMETRARUM. 437Si fuerint quotcunque magnitudines continue AP. XVII. proportionales, quarum prima est marim ; quanto potitio ad

prima ad aliam a se remotiorem quam est proxima, Tra' majorem rationem habet quam ad ipsam proximam: tanto in iisdem magnitudinibus, inverso ordine collocatis, minima majorem rationem habet ad sibi Proximam, quam ad remotiorem in eadem distantia. Exempli gratia in his magnitudinibus 81.27.9. 3. I, quanto major est ratio 1 ad 3 quam ratio 81 ad 27, tanto major est ratio 1 ad 3 quam

ratio 1 ad 27 quanquam geometrae qui nunc Sunt, id non concedant. Sed ex iis quae hactenus dicta sunt, constatin

turam rationis ne Euclidi quidem penitus perspectam fuisse multo autem minus Clario; sed minime omnium illis, qui nunc algebrisue perhibentur. Nam hi a Clario docti denominatorem rationis indicare ipsius quantitatem, ut , sive , denominat indicatque quantitatem rationis 4 ad I et Lindicat rationem 2 ad 3 sunt autem illi denominatores nihil aliud praeter quotientes natas ex divisione numeri per numerusi, temere arripuerunt quasi rem demonstratam, factionem et rationem eandem esserem, nempe quantitatem absolutam et quantitatem comparatisam quae comparativa, quantita omnino non est nisi respectu ad aliam rationem. R tionis enim magnitudino non determinatur nec exponitur per unam lineam, sicut quantitas absoluta, sed per duas. Atque ab hoc errore tot absurda consequuta sunt, ut Vix magno volumine commode contineri possint quorum praecipua infra paucis considerabimus, una cum aliis quae ex

aliis principiis salsis in geometrarum scripta irrep

serunt.

450쪽

438 DE PRINCIPII ET RATIOCINATIONEcAP. VII. umerat duodecem alia genera rationum rimus, .m,ino, quorum duo considerat in Commentario ad Def. 6

I nar Elem. V.Clavius nimirum, rationem arithmeticam, et rationem harmonicam sive musicam. Atque arithmeticae quidem satis bene convenit definitio rationis tradita ab Euclide. am quantitates cluae

quarum una alteram superat quantitate determinata, habent inter se habitudinem quandam secundum quantitatem. Ratio autem quam harmonicam Vocant, est habitudo quaedam non duarum sed trium magnitudinum. De utraque satis multa et ingeniosa habet lavius Ratio autem arithmetica eadem est, cum quanto prima superat secundam vel ab ea superatur, tanto secunda superat tertiam vel ab ea superatur. Sed ratio harmonica eadem est, quando extremae sunt inter se ut differentis a media sumptae major extrema ad majorem differentiam, et minor ad minorem. Putasne in aliis scientiis majus peccatum iuVeniri posse, quam est in geometria non recte expliacasse quid sit ratio Quis scripto ethicus usus est definitione boni non bona, vel politicus definitione sum vitiosa Attamen ejusdem est in geometria momenti definitio rationis cujus est in

doctrina ethica definitio boni, et in politica definitio juriis Deinde, quod dicit lavius, proportionem illam

in tribus numeris, ubi major extremorum est ad minorem ut differentia majoris et medii ad differentiam medii et minoris esse musicam se harmonicam temere dictum est. In his , inquit, -- meri 6 4.3 est ut 6 ad 3 ita , differentia duorum majorum, ada, differentiam duorum minorum. Quoniam autem 6 et 3 faciunt consonantiam dia-